On the expected number of zeros of nonlinear equations
Instituto de Matemática da UFRJ（巴西联邦里约热内卢大学数学研究所）
本文研究解析非线性方程在给定域内复根的期望数量，通过证明根计数对函数空间乘积运算的加性，建立了混合与未混合系统期望根数的关系定理，并给出了非多项式和非指数和方程的实例。
2013-06-28 cs.NA math.AG math.NA
On the expected number of roots of a random Dirichlet polynomial
本文研究随机狄利克雷多项式在二进区间内根的期望个数，证明其近似为 $2/\sqrt{3}$ 倍黎曼 $ζ$ 函数零点数，并推广至导数情形。
2025-04-22 math.NT math.PR
Coalescing random walk on unimodular graphs
在根具有有限期望度的单模随机有根图上，聚结随机游动无限次几乎必然地访问每个站点。一个推论是在这样的图上的选举模型中的意见具有无限的期望寿命。此外，我们推导出一个适应我们的主要定理，一致适用于合并随机游动有限随机幺模图的度分布随机主导的概率测度有限平均。
2018-04-04 math.PR
A study of centrality measures in random recursive trees
Polytechnic University of Catalonia（加泰罗尼亚理工大学）；Pompeu Fabra University（庞培法布拉大学）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）；Barcelona Graduate School of Economics（巴塞罗那经济研究生院）；McGill University（麦吉尔大学）
本文研究了随机递归树中五种经典中心性度量在时间到达顺序和根节点相对中心性上的行为，分析了根节点成为最中心节点的概率及其预期排名，以及中心性顶点的出生时间分布。
2026-03-19 math.PR
Roots of random trigonometric polynomials with general dependent coefficients
本文研究具有一般相依系数的随机三角多项式，证明了在温和假设下其实零点期望数量的渐近性与独立情况一致，并在非高斯相依背景下首次获得了该普适性结果。
2024-09-23 math.PR
Random systems of polynomial equations. The expected number of roots under smooth analysis
研究随机多项式方程组在信号与噪声关系满足特定条件时，期望根数随维数增大趋于零的几何快速衰减行为。
2009-02-09 cs.NA math.NA math.PR
An invariant of finitary codes with finite expected square root coding length
令$p$和$q$是具有相同熵$h$的概率向量。用$B(p)$表示伯努利位移，其由具有边缘分布$p$的$\Z$索引。假设$ϕ$是保持从$B(p)$到$B(q)$的同态的测度.证明了如果$ϕ$的编码长度有有限的1/2矩，则$σ_p^2=σ_q^2$，其中$σ_p^2=\sum_i p_i(-\log p_i-h)^2$是$p$的{ \dof信息方差}.在这个结果中，它使Parry（1979）的一个定理更加尖锐，1/2矩不能用更小的矩代替。另一方面，对于任何$θ<1$，我们展示了概率向量$p$和$q$，它们不是彼此的置换，使得存在从$B(p)$到$B(q)$的有限同构$Φ$，其中$Φ$及其逆的编码长度具有有限的$θ$矩。我们还提出了一个扩展遍历马尔可夫链。
2003-09-08 cs.IT math.IT math.PR
Real roots of random orthogonal polynomials with exponential weights
我们考虑随机正交多项式$$ P_{n}(x)=\sum_{i=0}^{n}ξ_{i}p_{i}(x), $$，其中$ξ_{0}$，. . .，$ξ_{n}$是具有零均值、单位方差和一致有界$(2+\ep_0)$ -矩的独立随机变量，$\{p_n\}_{n=0}^{\infty}$是关于实数线上一般指数权$W$的正交多项式组.这类正交多项式包括流行的埃尔米特和弗洛伊德多项式。我们建立了普遍性的预期数量的实根的$P_n$，全球和当地的领先渐近。此外，我们还发现了$P_n.$的所有根的测度的几乎必然极限。这是通过在正交多项式的经典三项递归关系的背景下引入逆Littlewood-Offord理论的新思想来建立反集中性质，并通过将普适性方法应用于$W P_n.$形式的加权随机正交多项式来实现的
2022-12-30 math.PR
Expected energy of zeros of elliptic polynomials
2011年，Armentano，Beltrán和Shub在\cite{ABS11}中得到了由随机椭圆多项式的根给出的球面上的随机点过程的期望对数能量的封闭表达式。我们考虑一种不同的方法，使我们能够扩展到Riesz能量的研究，并计算预期的分离距离。
2022-11-14 math.CA math.PR
Expected size of a tree in the fixed point forest
研究固定点森林的局部极限，推广随机树并计算其随机有根子树的期望大小、期望叶子数及方差界。
2019-09-13 math.PR
How many roots of a system of random trigonometric polynomials are real?
次数为$N$的随机实多项式的期望零点数渐近等于$\frac{2}π\log N$。另一方面，一个随机三角多项式的实零点的平均分数的增加次数$N$收敛到$1/\sqrt 3$而不是$0$。多元随机三角多项式组根的平均个数等于某些椭球的混合体积，这取决于多项式的次数。通过与定理BKK的比较，证明了实根的非零分数现象仍然成立。
2021-02-01 math.AG math.PR
Expected number of induced subtrees shared by two independent copies of a random tree
考虑一棵根树$T$，其叶集为$[n]$，并且所有非叶顶点至少具有出度$2$。如果$\mathcal T$是$S$的最低共同祖先子树，且其所有2度顶点被抑制，则根树$\mathcal T$具有叶集$S\subset [n]$由$T$中的$S$诱导。一对两棵树$T'$和$T"$的“最大一致性子树”（MAST）是具有最大叶集$S\subset [n]$的树$\mathcal T$，使得$\mathcal T$在$T'$和$T"$两者中由$S$诱导。Bryant等人的\cite{BryMcKSte}和Bernstein等人的\cite{Ber}证明了，除其他结果外，对于$T'$和$T"$是随机二进制（均匀或Yule-Harding分布）树$T$的两个独立副本，$\text{MAST}(T',T")$的可能数量级是$O(n^{1/2})$。我们证明了这一界广泛的一类随机根树：$T$是一个终端树的分支，高尔顿-沃森，过程的有序后代分布的平均$1$，条件是“叶的总数是$n$“。
2021-08-11 math.CO math.PR
Real zeros of random cosine polynomials with palindromic blocks of coefficients
众所周知，随机余弦多项式$ V_n(x) = \sum_ {j=0} ^{n} a_j \cos (j x) , \ x \in (0,2 π) $，其中系数是独立且同分布的（i.i.d.）实值标准高斯随机变量（渐近）具有$ 2n / \sqrt{3} $期望实根。另一方面，在构造相关随机多项式的许多方法中，一种是强制系数是回文的。因此，问一个随机余弦多项式有多少个实零是有意义的。本文证明了这类多项式的实根期望个数的渐近性是$ n $，其中常数$ \mathrm{K}_\ell $（仅取决于$ \ell $）大于1，并且可以明确地由二重积分公式表示。也就是说，这样的多项式与经典的i.i.d.情况相比，具有稍微更多的期望实零点。系数
2019-08-22 math.PR
Real roots of non-centered random polynomials
University of Virginia（弗吉尼亚大学）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
研究具有独立非零均值系数的随机多项式实根数量的波动，通过发展比较原理将非中心系综的波动理论简化为中心系综，得到方差渐近和中心极限定理。
2026-05-26 math.PR
A review of some recent results on random polynomials over R and over C
本文分为两个部分。第一部分回顾了随机多项式方程组实根期望数的一些最新结果。在第二部分中，我们处理一个不同的问题，即某些复杂的随机多项式的根的分布。我们讨论了最近的结果在这个方向上，这表明，相关的点在球（通过球极平面投影）是令人惊讶的非常适合相对于最小对数能量的领域。
2010-10-15 math.PR
Palindromic random trigonometric polynomials
证明了如果一个实三角多项式的实根很少，则系数按逆序写得到的三角多项式必有多个实根。这是用来说明一类随机三角多项式平均有许多实根。在实三角多项式的系数独立且同分布的情况下，但没有对分布的其他假设，实零点的期望分数至少是一半。这是最好的结果。
2008-12-09 math.CV math.PR
Bounds on the expected size of the maximum agreement subtree for a given tree shape
我们证明了两个$n$ -叶树的最大一致子树的期望大小是$Θ(\sqrt{n})$，在所有具有该形状的树中是均匀随机的。推导出的下界，我们证明了一个全球性的结构结果分解成子群的叶子称为斑点的根二叉树。为了得到上界，我们推广了随机树分布的第一时刻参数，是可交换的，不一定是采样一致的。
2018-09-12 math.CO math.PR q-bio.PE
Real Roots of Random Weyl Polynomials with General Coefficients: Expectation and Variance
本文研究一般系数分布的随机Weyl多项式实根数量的期望与方差，发现期望一阶渐近普适、下一阶修正依赖矩且随\ud835\udc5b对数线性增长，方差主导阶普适，方法基于随机游走的Edgeworth展开。
2025-11-11 math.PR
Real roots of random polynomials: expectation and repulsion
令$P_{n}(x)= \sum_{i=0}^n ξ_i x^i$是Kac随机多项式，其中系数$ξ_i$是给定随机变量$ξ$的iid副本。我们的主要结果是关于实根排斥的一个最佳数量界。这导致存在二重根的概率的最佳界限。作为一个应用程序，我们考虑的问题，估计的实根的$P_n$，这有着悠久的历史，特别是一个著名的系列文件的主要课题Littlewood和Offord从20世纪40年代。我们表明，对于一个大的和自然的家庭的原子变量$ξ$，$P_n(x)$的实根的预期数量正是$\frac{2}π \log n +C +o(1)$，其中$C$是一个绝对常数取决于原子变量$ξ$。在此之前，这样的结果是已知的情况下，只有当$ξ$是高斯。
2014-09-15 math-ph math.CO math.MP
Zeros of Polynomials with Random Coefficients
许多随机系数多项式系综的零点在单位圆周附近渐近等分布。我们给出了定量估计等分布的预期差异和预期数量的根在不同的集合。这是针对系数可能是相关的多项式，并且不需要具有相同的分布。我们还研究了由各种确定性基生成的随机多项式。
2014-07-25 math.CV math.PR
Diffusion-limited annihilating-coalescing systems
研究传递幺模图上具有湮灭和聚结反应的交互粒子系统，发现随初始密度变化的相变，并在对称无上限情形下证明根点极限占据概率渐近于经典聚结随机游走的2/3，解决了Stephenson的开放问题。
2023-05-30 math.PR
Beyond Worst-Case Analysis for Root Isolation Algorithms
一元多项式实根的分离是符号计算中的一个基本问题，也是计算数学中最重要的问题之一。这个问题有着悠久的历史，装饰着许多巧妙的算法，并成为一个活跃的研究领域。然而，最坏情况下的寻根算法的分析并不相关的实际性能。我们开发了一个平滑的分析框架多项式与整数系数之间的差距，复杂性估计和实际性能。在此设置中，我们推导出DESCARTES求解器隔离多项式的实根的预期位复杂度，其中系数均匀分布，为$\widetilde{\mathcal{O}}_B(d^2 + d τ)$，其中$d$是多项式的次数，$τ$是系数的位大小。
2022-06-23 cs.CC cs.SC math.AG
Root Statistics of Random Polynomials with Bounded Mahler Measure
多项式的马勒测度是一种复杂性的测度，它是通过取首系数的模乘以单位圆外的根的乘积的模而形成的。从Mahler测度至多为1的多项式集合中一致选取实次数$N$多项式的根，得到复平面上的Pfronian点过程.当$N$很大时，概率趋于1，根趋于单位圆，并且我们研究了单位圆上一点邻域内尺度核的渐近性。当该点远离实轴（在实轴上存在找到根的正概率）时，缩放过程退化为具有相同局部统计的行列式点过程（即，标量核）作为从马勒测度至多为1的多项式集合中均匀选择的复多项式的根形成的极限过程。三个新的矩阵核出现在$\pm 1$的邻域中，它们编码关于实根之间、复根之间以及实根和复根之间的相关性的信息。远离单位圆，核收敛到新的限制核，这意味着除其他事项外，在任何开放的子集的$\C$不相交的单位圆的根的预期数量收敛到一个正数。我们也给合奏相同的统计从二维静电与潜在的理论权重，和正常的矩阵选择关于他们的拓扑熵作为行动的欧几里得空间。
2013-07-15 math-ph math.MP math.NT
Average volume, curvatures, and Euler characteristic of random real algebraic varieties
确定了随机实射影簇的期望曲率多项式为高斯分布的独立随机多项式的零集，其分布在正交群的作用下是不变的.特别地，得到了这类随机实射影簇的期望欧拉示性数，推广了以往关于随机多项式方程解集的根数、体积和欧拉示性数的结果
2006-10-12 math.DG math.PR
The expected characteristic and permanental polynomials of the random Gram matrix
通过对n个独立的随机列向量进行采样来形成t × n随机矩阵A，每个列向量包含t个分量。大小为n的随机Gram矩阵G_n包含随机生成矩阵A中所有列向量对之间的点积;即G_n =转置（A）A。矩阵G_n的特征根与A的奇异值一致。此外，序列det（G_i）和per（G_i）（对于i = 0，1，.，n）是构成G_n的特征多项式和积和多项式的期望系数的因子。本文证明了矩阵幂的迹的生成函数与递归、期望特征系数、期望行列式E（det（G_n））和期望持久式E（per（G_n））之间相互联系的定理。利用导出的递推公式，我们给出了任意分布的随机Gram矩阵G_n的期望行列式和期望积和式的有效计算。这些理论结果既可用于加速数值算法，也可用于研究由独立采样列组成的任何矩阵的期望特征系数和永久系数的数值性质。
2013-09-09 math.CO math.PR
Expected Survival-Time Bounds for Robust Optimization Over Time under Isotropic Gaussian Dynamics
Universidad de La Laguna（拉古纳大学）
该研究针对各向同性高斯环境动态下的ROOT问题，推导了固定部署解期望生存时间的严格下界与多步上界，经蒙特卡洛验证了理论预测，为部署决策提供分析支撑。
2026-07-31 cs.LG math.OC math.PR
Proof of the Conjecture that the Planar Self-Avoiding Walk has Root Mean Square Displacement Exponent 3/4
本文证明了Flory（1949）提出的一个长期存在的猜想：正方形格子中的自回避行走（SAW）具有均方根位移指数ν= 3/4.这个值是Z上的公式ν=1和Z^d上的公式ν= max（1/2，1/4 + 1/d）的一个例子，对于维数d \geq 2，这将在随后的论文中证明。这个表达不同于弗洛里的论点所建议的表达。我们考虑（a）Z ^2中对称简单随机游动的某些路径所定义的自相交的点过程和（b）当处于某种“形状”时相对于该点过程的"弱自回避锥过程“。我们得到了参数β>0的弱声表面波从其起始点出发的渐近期望距离的结果，由此也可立即得到声表面波的一些距离指数.我们的方法采用Palm分布的点过程的自相交点在一个圆锥。
2001-08-17 math-ph math.MP math.PR
Expected Number of Slope Crossings of Certain Gaussian Random Polynomials
令$Q_n(x)=\sum_{i=0}^{n} A_{i}x^{i}$为随机多项式，其中系数$A_0,A_1,... $形成中心高斯随机变量的序列。此外，假定增量$Δ_j=A_j-A_{j-1}$、$j=0,1,2,...$是独立的，假定为$A_{-1}=0$。这些系数可以被认为是布朗运动的$n$连续观测。我们研究了这样一个随机多项式穿过一条不一定平行于x轴的线的次数。更精确地，我们分别得到了方程$Q_n(x)=Kx$的期望实根数的渐近性态，对于$K$是任意非零实常数$K=o(n^{1/4})$和$K=o(n^{1/2})$的情形.
2006-12-31 math.PR math.ST stat.TH
Root and community inference on the latent growth process of a network
许多现有的网络统计模型忽略了这样一个事实，即许多现实世界的网络是通过增长过程形成的。为了解决这个问题，我们引入了随机网络的PAPER（优先连接加Erdens-Rényi）模型，其中我们让随机网络G是优先连接（PA）树T和额外的Erdens-Rényi（ER）随机边的并集。PA树组件捕获了网络的潜在增长/招募过程，其中顶点和边依次添加，而ER组件可以被视为随机噪声。只给出最终网络G的一个快照，我们研究了为未观察到的增长过程的早期历史，特别是根节点构建置信集的问题;根节点可以是疾病感染网络中的零号病人，也可以是社交媒体网络中的假新闻来源。我们提出了一个推理算法的基础上吉布斯抽样，规模以百万计的节点网络，并提供理论分析表明，只要ER边缘的噪声水平不是太大的预期大小的置信集是小的。我们还提出了多种增长过程同时发生的模型的变化，反映了多个社区的增长，我们使用这些模型提供了一种新的方法来社区检测。
2023-02-07 math.PR stat.CO stat.ME
The looping constant of Z^d
循环常数$ξ(Z^d)$是位于$Z^d$中的无限循环擦除随机游动上的原点的邻居的预期数量。Poghosyan，Priezzhev和Ruelle，以及独立的Kenyon和Wilson，最近证明了$ξ(Z^2)=5/4$。我们把无限体积极限看作是三种不同统计量的$G \uparrow Z^d$：（1）G的均匀生成单圈的期望圈长;（2）G上阿贝尔沙堆模型的均匀常返状态的期望密度;（3）G的生成单圈数与G的根生成树数之比.我们证明了这三个极限都是循环常数$ξ(Z^d)$的有理函数。在$Z^2$的情况下，它们各自的值是8、17/8和1/8。
2012-07-17 cond-mat.stat-mech math.PR
Beyond Worst-Case Analysis for Symbolic Computation: Root Isolation Algorithms
本文首次将超越最坏情况分析引入符号计算，针对单变量多项式实根隔离问题建立整数系数多项式的平滑分析框架，证明了笛卡尔算法的（准）线性期望与平滑复杂度界限，从而解释了其实际高效性，并进一步分析了 Sturm 求解器、ANewDsc 及稀疏多项式符号算法。
2025-06-04 cs.CC cs.SC math.AG
On the number of components of random polynomial lemniscates
本文研究随机多项式 lemniscates 的连通分量期望数量：当根在单位圆盘内均匀分布时，期望数量为 O(√n)；当根在单位圆周上均匀分布时，期望数量除以 n 收敛于 1/2。
2023-06-19 math.CA math.CV math.PR
Robust Reconstruction on Trees with a Growing Alphabet
Stanford University（斯坦福大学）
本文研究字母表增长时Potts树上鲁棒重构，证明在dλ>1条件下，即使边界噪声极强，根后验渐近不变，无噪声与有噪声重构精度相同。
2026-09-29 cs.IT math.IT math.PR
Betti numbers of random real hypersurfaces and determinants of random symmetric matrices
本文从上述结果出发，渐近估计了光滑实射影流形中随机实超曲面的期望贝蒂数.我们的上界随着超曲面的次数的平方根而增长，因为后者增长到无穷大，其中系数涉及流形的实轨迹的凯勒体积以及给定索引的随机实对称矩阵的期望行列式。特别地，对于大维度，这些系数在远离中维度贝蒂数的情况下呈指数地变小。为了得到这些结果，我们首先建立了限制在随机实超曲面上的Morse函数的临界点的等分布。
2012-07-06 math.AG math.CV math.PR
The reciprocal Mahler ensembles of random polynomials
本文研究了Mahler测度为常数有界的$N$次复多项式和实多项式的根。在变量变换后，这减少到一个概括的Ginibre的复杂和真正的合奏随机矩阵的权函数（矩阵的特征值）被取代的指数平衡潜力的间隔$[-2,2]$的实轴上的复平面。在复杂的（真实的）情况下，随机根形成一个行列式（Pfuman）点过程，在这两种情况下，经验措施的根弱收敛到反正弦分布支持$[-2,2]$。在该区域之外，内核在没有缩放的情况下收敛，这意味着除其他外，存在远离$[-2,2]$的正的预期离群值数量。这些内核，以及在散装$(-2,2)$和端点$\{-2,2\}$的内核的缩放限制。这些内核似乎是新的，我们比较它们的行为与相关的内核所产生的随机多项式的（非互易）马勒措施合奏以及经典的正弦和贝塞尔内核。
2018-06-07 math.CA math.NT math.PR
