给定树形状的最大一致子树的期望大小的界限

随机叶标号二叉树的最大公共子树

On the Largest Common Subtree of Random Leaf-Labeled Binary Trees

已知$n$叶上的两个独立均匀随机二叉树的最大公共子树（最大一致子树）的大小在阶数$n^{1/8}$和$n^{1/2}$之间。通过一种基于递归分裂的构造方法，并利用标准的“随机分裂”方法，改进了$β= \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = 0.366$的$n^β$阶数的下界.提高上界仍然是一个具有挑战性的问题。

树中最大度不超过k的子树和BC-子树

Subtrees and BC-subtrees of maximum degree no more than k in trees

子树和BC-子树（任意两个叶子间隔相等的子树）近年来得到了广泛的研究。在特殊的度约束下，这种结构在许多领域都有应用。通过一种基于生成函数的方法，给出了树中各种最大度子树和BC-子树$\leq k$的递归枚举算法。算法通过详细的例子来说明。我们还简要地讨论了在树中，子树的密度（分别为~ BC-子树）中最大度$\leq k(\geq 2)$的所有子树（分别为BC-子树）。

均匀附着树的最大公共子树

On the largest common subtree of uniform attachment trees

研究两个独立无标号均匀附着树的最大公共子树，证明其大小以高概率至少为 $n^{0.83}$，并提出上界及开放问题。

枚举树的子树总数

Enumerating the total number of subtrees of trees

研究了在给定顶点数的某些类型的树上，哪些树使子树或含叶子树的总数最小或最大。主要结果如下：（1）子树总数的Sharp上界（分别为确定具有给定匹配数的$n$ -顶点树中的包含叶子的子树）;结果，具有最大化子树的总数（相应地，包含叶子的子树）的支配数$γ$的$n$ -顶点树包含子树的叶子）的特征。(2)\，确定了最大度至少为$Δ$的$n$ -顶点树中包含叶子的子树总数的精确下界;因此，最大度至少为$Δ$的$n$ -顶点树具有最小化子树总数的完美匹配。包含子树的叶子）的特征。(3)\、尖鞋帮（分别为下）界的所有$n$ -顶点树与$k$叶之间的子树的总数（分别.确定直径为$d$的所有$n$ -顶点树的集合。

关于树的非同构子树的个数

On the number of nonisomorphic subtrees of a tree

我们证明了树的顺序$n$有最多$O(5^{n/4})$非同构的子树，这个界是最好的可能。我们还证明了一个类似的结果，一个有根树的非同构有根子树的数目。

最大一致子树与布朗树之间的Hölder同胚

Maximum Agreement Subtrees and Hölder homeomorphisms between Brownian trees

本研究证明两个独立均匀叶标记随机二叉树的最大公共子树大小通常小于$n^{1/2-\varepsilon}$，并借助离散树与布朗树的耦合及Aldous递归分解，进一步证明两个独立布朗树副本间几乎必然不存在$(1-\varepsilon)$-Hölder同胚。

树的子树的Enumeration

Enumeration of subtrees of trees

假设$T$是一个加权树。$T$的子树$T_1$的权重被定义为$T_1$的顶点和边的权重的乘积。我们得到了一个线性时间算法来计算$T$的子树的权重和。作为应用，我们刻画了直径至少为$d$，子树个数最多的树，以及最大度至少为$Δ$，子树个数最少的树.

随机树中的不同边缘子树

Distinct Fringe Subtrees in Random Trees

一棵有根树的边缘子树是由一个顶点及其所有后代诱导的子树。我们考虑两种类型的随机树中不同的边缘子树的数目估计问题：简单生成树和递增树族（递归树、$d$ -ary递增树和广义平面递归树）。我们证明了不同的边缘子树的数量级（在相当温和的假设下，什么“不同”的意思）在随机树与$n$顶点是$n/\sqrt{\log n}$简单生成的树和$n/\log n$增加树。

拓扑树中叶诱导子树的同构类

On isomorphism classes of leaf-induced subtrees in topological trees

子树可以由有根树的叶子子集以自然的方式导出。本文研究了一棵没有出度为1的顶点的有根树（拓扑树）的叶子诱导的非同构的这类子树（叶诱导子树）的个数。我们发现，只有恒星和二进制毛毛虫有最小的非同构叶诱导子树中的所有拓扑树与给定数量的叶子。我们分别得到了$d$ -ary毛虫族和完全$d$ -ary树族的一个闭公式和一个递归公式。利用多项式递归方法，得到了完全$d$ -叉树的一个渐近公式.我们还表明，完全二叉树的高度$h>1$包含正是$\lfloor 2(1.24602...)^{2^h}\rfloor$非同构叶诱导的子树。

两个随机树的最大学生子树

The largest common subtree of two random trees

研究两个随机树的最大公共子树的大小和结构，证明其大小为√n，并探讨临界树的矩条件对结果的影响。

Schroeder树中给定大小的子树

Subtrees of a Given size in Schroeder Trees

在本文中，我们找到的生成函数的顶点的数量有$k$元素在其子树，并使用此生成函数来计算的概率，一个顶点有一个大小$k$子树。我们还展示了如何将同样的技术应用于计算其他树的概率，并特别将其应用于Motzkin树。

从随机选择的叶子序列所覆盖的子树长度中恢复树

Recovering a tree from the lengths of subtrees spanned by a randomly chosen sequence of leaves

给定一个具有$n$叶子的边加权树$T$，随机均匀采样叶子而不替换，并让$W_k$，$2 \le k \le n$，是第一个$k$叶子所跨越的子树的长度。我们考虑的问题，“可以识别$T$（同构）的随机向量$(W_2, \ldots, W_n)$的联合概率分布？“我们表明，如果$T$是已知的{ \em先验}属于各种家庭的边加权树，那么答案是，“是的。这些家族包括在一般位置具有边权的边加权树、超度量边加权树和在所有边上具有相等权的某些家族，例如用于$k \ge 2$和毛虫的$(k+1)$ -价树和根$k$ -元树。

Trees with the most subtrees -- an algorithmic approach

When considering the number of subtrees of trees, the extremal structures which maximize this number among binary trees and trees with a given maximum degree lead to some interesting facts that correlate to other graphical indices in applications. The number of subtrees in the extremal cases constitute sequences which are of interest to number theorists. The structures which maximize or minimize the number of subtrees among general trees, binary trees and trees with a given maximum degree have been identified previously. Most recently, results of this nature are generalized to trees with a giv…

关于树的最大平均子树序

On the maximum mean subtree order of trees

树的子树是再次是树的任何诱导子图（即，连接）。一棵树的平均子树阶是它的子树的平均顶点数。这个不变量在20世纪80年代由Jamison首次分析。贾米森提出了一个有趣的开放性问题，即给定树的顺序，平均子树顺序的最大值是否总是由一些毛虫达到。虽然我们没有完全解决这个猜想，我们找到了一些证据，在它的青睐，证明不同的功能，达到最大的树。例如，我们证明了具有最大平均子树阶的$n$阶树的直径必须非常接近于$n$。此外，我们证明了最大平均子树的顺序是等于$n - 2\log_2 n + O(1)$。对于局部平均子树序，这是所有包含一个固定顶点的子树的平均序，我们可以更精确：我们证明了它的最大值总是通过扫帚达到的，并且它等于$n - \log_2 n + O(1)$。

最近邻热力学模型下平面树的子树可加性质类的渐近分布

On the Asymptotic Distributions of Classes of Subtree Additive Properties of Plane Trees under the Nearest Neighbor Thermodynamic Model

我们定义了一类随机平面树的属性，我们称之为子树添加剂的属性，灵感来自于组合的某些生物学上有趣的属性在一个平面树模型的RNA二级结构。子树加性属性的类别包括维纳指数和路径长度（在生物学背景下分别为总梯形距离和总梯形接触距离）。然后，我们调查的渐近分布的随机平面树上的这些子树添加剂的属性分布根据吉布斯分布所产生的最近邻RNA二级结构的热力学模型。我们表明，在考虑类中的任何属性，有一个常数，将均匀加权随机变量的吉布斯分布加权随机变量（我们提供的常数）。我们还涉及的渐近分布的另一类属性，我们称之为简单的子树添加剂的属性，路径长度的渐近分布，在均匀加权的情况下。本文中的主要证明技术来自分析组合学，我们的大部分结果来自已知和未知分布的矩，并表明这足以收敛。

临界β分裂树的极值子树

Extremal subtrees of critical beta-splitting trees

本文利用数据压缩与霍夫曼编码的关联，确定临界β分裂树的最可能和最不可能形态，从而解决Aldous和Janson提出的进化枝分布组合问题。

序列约简树平均子树密度的极值结果

Extremal results on average subtree density of series-reduced trees

Vince和Wang证明了一棵序列约简树的平均子树密度在1/2到3/4之间，回答了Jamison的一个猜想。他们问在什么条件下一系列这样的树可能有平均子树密度倾向于任何一个界限，我们回答这些问题，在每种情况下，简单的充要条件。

随机树的两个独立副本共享的诱导子树的期望数

Expected number of induced subtrees shared by two independent copies of a random tree

考虑一棵根树$T$，其叶集为$[n]$，并且所有非叶顶点至少具有出度$2$。如果$\mathcal T$是$S$的最低共同祖先子树，且其所有2度顶点被抑制，则根树$\mathcal T$具有叶集$S\subset [n]$由$T$中的$S$诱导。一对两棵树$T'$和$T"$的“最大一致性子树”（MAST）是具有最大叶集$S\subset [n]$的树$\mathcal T$，使得$\mathcal T$在$T'$和$T"$两者中由$S$诱导。Bryant等人的\cite{BryMcKSte}和Bernstein等人的\cite{Ber}证明了，除其他结果外，对于$T'$和$T"$是随机二进制（均匀或Yule-Harding分布）树$T$的两个独立副本，$\text{MAST}(T',T")$的可能数量级是$O(n^{1/2})$。我们证明了这一界广泛的一类随机根树：$T$是一个终端树的分支，高尔顿-沃森，过程的有序后代分布的平均$1$，条件是“叶的总数是$n$“。

本杰明-施拉姆收敛与树的子树

Benjamini-Schramm convergence and subtrees of trees

研究树序列在本杰明-施拉姆收敛下的子树数量渐进行为，证明子树熵和子树密度收敛于仅依赖极限的常数。

各种平面树的子树大小

Subtree Size in Various Planar Trees

在本文中，我们找到的生成函数的顶点的数量有k个元素在其子树，并使用此生成函数来计算的概率，一个顶点有一个大小为k的子树。我们还展示了如何将同样的技术应用于计算其他树的概率，并将其具体应用于4种不同类型的树。

具有给定度序列且具有最小子树的树

Trees with given degree sequences that have minimal subtrees

本文研究了在给定树的度序列的所有树的集合中，子树个数最少的极树的结构。特别地，极端树必须是毛虫树，但一般来说不是唯一的。此外，所有具有给定度序列$π=(d_1, ..., d_5, 1,..., 1)$的极值树已被特征化。

二叉根有序树和无序树中的不平衡子树

Unbalanced subtrees in binary rooted ordered and un-ordered trees

二元有根树，在有序和无序的情况下，是组合学领域中研究得很好的结构。这项工作的目的是研究这些类别的树木的特定模式。我们考虑完全不平衡的子树，其中不平衡是根据所谓的Colless指数来衡量的。最大的不平衡子树的大小成为一个新的参数，我们可以找到几个枚举。

树的子树总数的进一步分析

Further analysis on the total number of subtrees of trees

我们研究了在给定顶点数的某些类型的树上，哪些树最小化或最大化子树的总数。树最小化（最大化）子树的总数通常最大化（相应地，最小化）维纳指数，反之亦然。（1）设$\mathscr{T}_n^k$是所有具有$k$叶的$n$ -顶点树的集合，我们确定了它们的最大值（分别为.最小）值，并刻画了$\mathscr{T}_n^k$中树的极图. (2)设$\mathscr{P}_n^{p,q}$是所有$n$ -顶点树的集合，每个$n$-顶点树都有一个$(p,q)$ -二分划，我们确定了最大值（分别为.最小）值，并刻画了$\mathscr{P}_n^{p,q}$中树的极图. (3)设$\mathscr{A}_n^q$是所有具有$n$个非叶顶点的$q$ -元树的集合，我们确定了$\mathscr{A}_n^q$中树的子树总数的最小值，并识别了极图。

叶Fibonacci树的叶诱导子树

Leaf-induced subtrees of leaf-Fibonacci trees

在类比的概念，斐波那契树，我们定义的叶斐波那契树的大小$n$，并调查其数量的非同构叶诱导的子树。用$f_0$表示一个顶点树，$f_1$表示由一个根和两个叶子组成的树;大小为$n\geq 2$的叶斐波那契树$f_n$是一个二叉树，其分支是$f_{n-1}$和$f_{n-2}$。本文导出了$f_n$的非同构叶诱导子树（叶诱导子树）个数$\text{N}(f_n)$的非线性差分方程，并证明了当$n$增长到无穷大时，$\text{N}(f_n)$渐近于$1.00001887227319\ldots (1.48369689570172 \ldots)^{ϕ^n}$（$ϕ=$ ~黄金比例）.

关于BC-树与BC-子树

On BC-trees and BC-subtrees

BC树（block cutpoint tree）是一棵树（至少有两个顶点），其中任何两个叶子之间的距离是偶数。受图的“核”研究的启发，BC-树提供了一类有趣的树。我们认为与BC-树相关的问题是为了在理解这一概念方面取得适度的进展。在可能的情况下，为具有给定顺序和叶数的BC-树提供了构造性算法。BC-子树的概念被自然地引入。类似的工作的启发，树和子树，我们也提出了一些极值结果，并简要讨论了“中间部分”的一棵树的BC-子树的数量。

最大减子树长度固定的有根树上的双射

Bijections on rooted trees with fixed size of maximal decreasing subtrees

Seo和Shin证明了$[n+1]$上的有根树的数目使得具有相同根的最大递减子树具有$k+1$顶点等于函数$f:[n]\to[n]$的数目使得$f$的图像包含$[k]$。我们给出了这个定理的一个双射证明。

给定度序列的树的子树个数

The Number of Subtrees of Trees with Given Degree Sequence

本文研究了给定度序列的树的子树个数的一些性质。这些结果被用来刻画具有给定度序列的树具有最多的子树，推广了Kirk和Wang的最近结果。这些树与Wang和Zhang等人证明的最小化Wiener指数的树一致。给出了不同度序列的极值树的一个偏序，一些极值结果作为推论。

关于平衡树的最大一致子树猜想

On the maximum agreement subtree conjecture for balanced trees

本文通过构造反例否定了平衡有根二叉叶子标记树的 MAST 大小至少为 n^(1/2) 的猜想，并将其下界改进为 n^(1/6)。

树的乘积的大子集中的算术子树

Arithmetic subtrees in large subsets of products of trees

Furstenberg-Weiss将Szemerédi关于等差数列的定理推广到树上，证明了树的一个大子集包含任意长的等差子树。我们研究高维版本，类似的多维Szemerédi定理证明存在某些算术结构的大子集的一个笛卡儿积的树木。

树的中心、形心和子树核心

Center, centroid and subtree core of trees

对于$n\geq 5$和$2\leq g\leq n-3,$，考虑$n$顶点上的树$P_{n-g,g}$，该树是通过将$g$悬垂顶点添加到路径$P_{n-g}$的一度$1$顶点而获得的。我们称之为路径星树$P_{n-g,g}$。证明了在$n\geq 5$顶点上的所有树上，中心到子树核的距离和质心到子树核的距离都被某些路径星树最大化。我们还证明了树$P_{n-g_0,g_0}$最大化了$n$顶点上所有路径星树之间的距离，其中$g_0$是使得$2^{g_0}+g_0>n-1.$

二叉树中子树转移操作的极值距离

Extremal Distances for Subtree Transfer Operations in Binary Trees

二叉树的三种标准子树转移操作，特别是用于系统发生树的操作，是：树二分和重连接（$TBR$）、子树修剪和重移植（$SPR$）和有根子树修剪和重移植（$rSPR$）。对于一对具有$n$叶的叶标记二叉树，将一个转化为另一个所需的最大移动次数是$n-Θ(\sqrt{n})$，扩展了Ding，Grunewald和Humphries的结果。我们表明，如果选择的对均匀随机，然后转移到其他所需的移动的预期数量是$n-Θ(n^{2/3})$。这些结果可能是措辞的协议森林：我们也给扩展两个以上的二叉树。

限制树的子树重叠图的识别是一个困难的问题

Recognising the overlap graphs of subtrees of restricted trees is hard

树中子树重叠图（SOG）推广了许多其他具有集合表示特征的图类。在公开场合识别SOG的复杂性。识别SOG的许多子类的复杂性是已知的。我们考虑几个子类的SOG限制底层树。对于固定整数$k \geq 3$，我们考虑：\begin{my_itemize} \item树中有$k$叶子的子树的重叠图\item树中的子树的重叠图，可以从给定的输入树通过细分得到，并且至少有3个叶子\item树中的路径的重叠和相交图，其中树具有最大度$k$ \end{my_itemize}我们证明了识别问题这些类都是NP完全的。对于所有其他参数，我们得到圆图，众所周知是多项式可识别的。

随机树的子树

Subtrees of a random tree

设$T$是从$n$顶点上的标号树族中随机均匀抽取的随机树。本文给出了$c(n)$的界，即$T$的子树的个数渐近几乎必然成立。在计算机的支持下，我们表明，$1.41805386^n \le c(n) \le 1.41959881^n$。此外，有强烈的迹象表明，事实上，$c(n) \le 1.41806183^n$。

树的有界度子树划分与覆盖

Partitions and Coverings of Trees by Bounded-Degree Subtrees

本文对给定的树$T$和整数$d\geq2$讨论了下列问题：（1）划分$E(T)$的最小度$d$子树个数是多少？(2)覆盖$E(T)$的最小度$d$子树数是多少？我们回答第一个问题，提供了一个明确的公式的最小数量的子树，我们描述了一个线性时间算法，找到相应的分区。对于第二个问题，我们提出了一个计算最小覆盖的多项式时间算法。然后，我们建立了一个严格的约束的子树的数量覆盖的树与给定的最大程度和路径宽度。我们的研究结果表明，路径宽度是正确的参数时，考虑研究覆盖树的度3子树。我们简要地考虑了一般图的有界度连通子图的覆盖。

Galton-Watson族树上完全N元子树的个数

Number of Complete N-ary Subtrees on Galton-Watson Family Trees

我们将Bienayme-Galton-Watson分支过程与一个以祖先为根的家谱联系起来。对于一个正整数N，定义一个完全N叉树为一个确定性分支过程的家谱，其后代生成函数为s^N。我们研究了随机变量V（N，n）和V（N），它们分别计算了根在祖先上的高为n和无穷大的不相交的完全N元子树的个数. Dekking（1991）和Pakes and Dekking（1991）找到了Pr（V（N，n）>0）和Pr（V（N）>0）的递归关系，其中涉及后代概率生成函数（pgf）及其导数。我们推广了他们的结果，确定了V（N，n）和V（N）的概率分布.事实证明，它们可以用后代pgf、其导数和上述概率来表示。我们展示了如何简化一般结果的情况下，分数线性，几何，泊松，和一个或多个后代法律。

关于随机二叉树的边缘子树集

On the Collection of Fringe Subtrees in Random Binary Trees

有根树的边缘子树是由一个节点及其所有后代组成的子树。在本文中，我们特别感兴趣的非同构树，出现在一个二叉树的所有边缘子树的集合中的数量。这个数字在两种不同的随机模型下进行分析：均匀随机二叉树和随机二叉搜索树。在均匀随机二叉树的情况下，我们表明，非同构的边缘子树的数量位于$c_1n/\sqrt{\ln n}(1+o(1))$和$c_2n/\sqrt{\ln n}(1+o(1))$之间的两个常数$c_1 \approx 1.0591261434$和$c_2 \approx 1.0761505454$，在期望和高概率，其中$n$表示的大小（叶数）的均匀随机二叉树。对于随机二叉搜索树也证明了类似的结果，但是在这种情况下，数量级是$n/\ln n$。我们的证明技术还可以用于加强关于不同边缘子树（在有序树的意义上是不同的）数量的已知结果。这个量在两种情况下具有相同的数量级，但是在上界和下界中具有略微不同的常数。

一般子树计数在条件Galton-Watson树中的渐近正态性

Asymptotic normality for general subtree counts in conditioned Galton--Watson trees

研究在条件Galton-Watson树中一般子树计数的渐近正态性，证明在满足矩条件时其分布渐近正态，且均值和方差线性增长。

关于局部有限有序有根树及其有根子树

On locally finite ordered rooted trees and their rooted subtrees

本文从枚举与组合角度比较 game-over 攻击的动态多项式时间算法和暴力子树检查，推广双重指数序列结果，并刻画有限及局部有限有序有根树中低高度有根子树数量为多项式界的条件。

Wiener指标、子树数与树偏心序列

Wiener index, number of subtrees, and tree eccentric sequence

连通图$G$中顶点$u$的偏心率是$u$与距离它最远的顶点之间的距离; $G$的偏心率序列是$G$的偏心率的非减序列。在本文中，我们确定了唯一的树，最小化维纳指数，即所有无序顶点对之间的距离之和，在所有的树与给定的偏心序列。我们发现，同一棵树最大化的子树的数量在所有的树与一个给定的偏心序列，从而提供了另一个例子的子树的数量和维纳指数的树之间的负相关。此外，我们还给出了这两个不变量在偏心序列下相应的极值公式。作为推论，我们的结果，我们确定的唯一的树，最小化的边缘维纳指数，顶点边缘维纳指数，舒尔茨指数（或度距离），和古特曼指数之间的所有树木与一个给定的偏心序列。

子树的离散性

Discrepancies of subtrees

我们研究多色，定向和高维的差异的所有子树的树的集合。作为我们的主要结果，我们表明，$r$颜色差异的任何树的子树是一个线性函数的叶子数$\ell$的树。更具体地说，我们表明，它是有界的$\lceil(r-1)\ell/r\rceil$从下面和$\lceil(r-1)\ell/2\rceil$从上面，这些边界是渐近尖锐的。出于这一结果，我们引入自然的概念，面向和高维的差异，并证明边界的一个给定的树的所有子树的集合作为其数量的函数的叶子的相应的差异。

关于多个系统发育树中的一致子树

On Agreement Subtrees in Multiple Phylogenetic Trees

研究k个无根二叉系统发育树共享公共诱导二叉子树的叶子数上界问题，给出新上界为四次迭代指数函数，得到h(k)的四次迭代指数上界并给出指数下界。

最大一致子树问题

The maximum agreement subtree problem

本文研究二元系统发生树上的一个极值问题。给定两个这样的树$T_1$和$T_2$，都具有叶集${1,2,...,n}$，我们感兴趣的是$T_1$和$T_2$的公共子树中的叶的最大子集$S \subseteq {1,2,...,n}$的大小。我们发现，任何两个二元系统发育树有一个共同的子树上的$Ω(\sqrt{\log{n}})$叶，从而提高了以前已知的绑定的$Ω(\log\log n)$由于M。钢和L。塞克利为了实现这一改进的界限，我们首先考虑两种特殊情况下的问题：当一棵树是平衡的或毛毛虫，我们表明，最大的共同子树有$Ω(\log n)$叶。然后，我们处理的一般情况下，证明和应用拉姆齐型的结果：每一个二叉树包含一个大的平衡子树或一个大毛虫。我们还表明，有常数$c, α> 0$，这样，当两棵树是平衡的，他们有一个共同的子树上$c n^α$叶。我们推测在无根情况下取$α= 1/2$是可能的，在有根情况下取$c = 1$和$α= 1/2$都是可能的。

偏序集的所有固定基数理想的输出多项式enumeration，以及树的所有固定基数子树的输出多项式

Output polynomial enumeration of all fixed-cardinality ideals of a poset, respectively all fixed-cardinality subtrees of a tree

任何w元偏序集（w，k变量）的N基数k理想可以在时间O（Nw^3）内枚举。对于一个w元树的k元子树，其相应的界是O（Nw^5）。本文描述了一个算法，它通过使用通配符以紧凑的方式显示偏序集的所有阶理想，即不是一个接一个。

二元树中距离的一些极比和子树问题

Some extremal ratios of the distance and subtree problems in binary trees

在树的拓扑指数中，距离和$σ(T)$与子树个数$F(T)$是一对长期存在的图不变量，它们之间存在负相关.也就是说，在各种给定的树类中，极值结构最大化一个通常最小化另一个，反之亦然。通过引入这些不变量的“局部”版本，$σ_T(v)$表示从$v$到所有其他顶点的距离之和，$F_T(v)$表示包含$v$的子树的数目，可以提出并研究树内顶点的极值问题。这就引出了树的“中间部分”的概念。一个具有挑战性的问题是找到图的指数和相应的局部函数之间的比值在中间部分或叶的极值。这个问题也提供了新的机会，以进一步验证不同的指标，如$σ(T)$和$F(T)$之间的相关性。这种极端的比率，随着极端的结构，进行了研究和比较一般的树的距离和子树的问题。在本文中，这项研究被扩展到二叉树，一类树与众多的实际应用中，极端的比率问题似乎更加复杂。在证明了树和二叉树中距离和子树问题的一些基本性质之后，给出了给定阶二叉树中达到两个极值比的极值结构的特征.这项工作的推广$k$ -ary树也简要讨论。研究结果与以前建立的极值结构一般树。最后，提出了未来可能开展的工作。

有界最大度树中子树出现的渐近数及其在Estrada指标中的应用

The asymptotic number of occurrences of a subtree in trees with bounded maximum degree and an application to the Estrada index

令$\mathcal {T}^Δ_n$表示$n$阶树的集合，其中每个顶点的度由某个整数$Δ$限定。假设$\mathcal {T}^Δ_n$中的每棵树都是等概率的。对于任意给定的子树$H$，证明了$H$在$\mathcal {T}^Δ_n$的树中出现的次数具有均值$(μ_H+o(1))n$和方差$(σ_H+o(1))n$，其中$μ_H$，$σ_H$是常数.作为应用，我们估计了$\mathcal {T}^Δ_n$中几乎所有树的Estrada指数$EE$的值，并从理论上解释了$EE$与定量分析得到的第一个Zagreb指数之间的近似线性相关。

完全图的随机子树

Random subtrees of complete graphs

我们研究了与完全图的子树相关的四个统计量的渐近行为：随机子树是$K_n$的生成树的均匀概率$p_n$，随机子树生成的加权概率$q_n$（其中子树被选择的概率与子树中的边数成正比）以及与这两个概率相关的两个期望。我们发现$p_n$和$q_n$都接近$e^{-e^{-1}}\approx .692$，而两个期望都接近生成树的大小，即，$K_n$的随机子树具有大约$n-1$的边。

最大减树长度固定的有根树的enumeration

On the enumeration of rooted trees with fixed size of maximal decreasing trees

令$\T_{n}$是$\set{0,...,n}$上的有根标记树的集合。根标号树的最大递减子树定义为从根开始的所有边都递减的最大子树。本文研究了$\T_n$的一个新的加细$\T_{n,k}$，它是最大递减子树有$k+1$顶点的有根标号树的集合.

随机Apollonian网络的最长路与随机$d$元递归树的最大$r$元子树

Longest paths in random Apollonian networks and largest $r$-ary subtrees of random $d$-ary recursive trees

令$r$和$d$是正整数，其中$r<d$。考虑如下构造的随机$d$叉树。从一个顶点开始，在每个时间步中选择一个均匀随机的叶子，并给它新创建的后代$d$。令${\mathcal T}_t$为$t$步骤后生成的树。我们证明了存在一个固定的$δ<1$依赖于$d$和$r$，使得几乎肯定对于所有大的$t$，每个$r$ -ary子树的${\mathcal T}_t$有少于$t^δ$顶点。这个证明涉及到分析，也产生了一个相关的结果。考虑以下随机平面三角剖分的迭代构造。从嵌入平面的三角形开始。在每一步中，随机均匀地选择一个有界面，在该面内添加一个顶点，并将其连接到该面的顶点。这样，一个面被破坏，三个新的面被创建。经过$t$步骤，我们得到了一个具有$t+3$顶点的随机三角化平面图，称为随机阿波罗网络。证明了存在一个固定的$δ<1$，使得最终该图中的每条路的长度都小于$t^δ$，从而验证了Cooper和Frieze的一个猜想.

关于子树多项式的根

On the roots of the subtree polynomial

对于树$T$，$T$的子树多项式是$T$的子树数目的生成多项式。我们表明，复根的子树多项式包含在磁盘$\left\{z\in\mathbb{C}\colon\ |z|\leq 1+\sqrt[3]{3}\right\}$，和$K_{1,3}$是唯一的树，其子树多项式有一个根的边界上。我们还证明了子树多项式的所有实根的集合的闭包包含区间$[-2,-1]$，而区间$(\infty,-1-\sqrt[3]{3})$、$[-1,0)$和$(0,\infty)$是无根的.

条件Galton-Watson树的子树大小的幂和

The sum of powers of subtree sizes for conditioned Galton-Watson trees

本文研究了条件Galton-Watson树上的可加泛函$X_n(α)$，对于任意复$α$，通过对所有子树大小的$α$次幂求和.允许复$α$是有利的，甚至对于实$α$的研究，因为它允许我们在证明中使用来自解析函数理论的强大结果。对于$\Reα< 0$，我们证明了$X_n(α)$在适当的归一化条件下具有复正态极限分布，并且作为$α$中的过程，弱收敛在左半平面的解析函数空间中成立.我们建立，并证明类似的过程收敛扩展，限制分布结果$α$在各个区域的复平面。我们主要集中在$\Reα> 0$的情况下，$X_n(α)$，适当规范化，有一个极限分布，这是不正常的，但不依赖于后代分布$ξ$的条件高尔顿-沃森树，假设只有$E[ξ] = 1$和$0 < \mathrm{Var} [ξ] < \infty$。在$ξ$上的弱额外矩假设下，证明了收敛性扩展到所有阶的普通矩、绝对矩和混合矩.至少当$\Reα> \frac12$时，极限随机变量$Y(α)$可以表示为归一化布朗偏移的函数。

大型随机树中孪生子树的可能最大规模

The likely maximum size of twin subtrees in a large random tree

本文研究了规模趋于无穷大的随机根 Cayley 树中孪生子树的最大可能规模，证明了其孪生子树期望数量的相变阈值介于 $(2±δ)\sqrt{\log n\cdot\log\log n}$ 之间。

树的子树的顶点集

The vertex sets of subtrees of a tree

本文研究集合族能否表示为某棵树的所有子树的顶点集，证明在有限情形及一定无限条件下，Helly性质与交图弦性这两个必要条件也是充分的。

树桶与系统发育树对的重建

Tree Buckets and the Reconstruction of Pairs of Phylogenetic Trees

该研究针对系统发育组合学中从部分信息恢复树的问题，提出k-桶概念，确定了系统发育树对在不同条件下可从子树中恢复的精确情形，还明确带标记叶子的树对可在子树交换下恢复。

有序标号树的一个加细

A refinement for ordered labeled trees

令$\mathcal{O}_n$是${0,...,n}$上的有序标记树的集合。有序标号树的最大减子树定义为从根开始的所有边都减的最大有序子树。本文研究了$\mathcal{O}_n$的一个新的加细$\mathcal{O}_{n,k}$，它是最大递减子树有$k+1$顶点的有序标号树的集合.