On the maximum mean subtree order of trees
树的子树是再次是树的任何诱导子图（即，连接）。一棵树的平均子树阶是它的子树的平均顶点数。这个不变量在20世纪80年代由Jamison首次分析。贾米森提出了一个有趣的开放性问题，即给定树的顺序，平均子树顺序的最大值是否总是由一些毛虫达到。虽然我们没有完全解决这个猜想，我们找到了一些证据，在它的青睐，证明不同的功能，达到最大的树。例如，我们证明了具有最大平均子树阶的$n$阶树的直径必须非常接近于$n$。此外，我们证明了最大平均子树的顺序是等于$n - 2\log_2 n + O(1)$。对于局部平均子树序，这是所有包含一个固定顶点的子树的平均序，我们可以更精确：我们证明了它的最大值总是通过扫帚达到的，并且它等于$n - \log_2 n + O(1)$。
2021-06-10 math.CO
Decreasing the mean subtree order by adding $k$ edges
本研究证实了Cameron和Mol提出的两个猜想：对任意正整数k，存在加k条边后平均子树阶数反而降低的图对，且当n远大于m时，图K_m+nK₁的平均子树阶数小于完全二部图K_{m,n}。
2023-08-24 math.CO
A conjecture on different central parts of binary trees
令$Ω_n$是通过识别具有二元毛虫的最大偏心率的顶点的rgood二叉树的根而获得的$n$顶点上的二叉树族。在题为“On different middle parts of a tree（The electronic journal of combinatorics，25（2018），no. 3，paper 3.17，32 pp）"的论文中，Smith等人指出，在$n$顶点上的所有二叉树中，中心、质心和子树核心中的任何两个之间的成对距离都是由$Ω_n$家族的某个成员最大化的。我们首先得到了一个最小化包含根的子树个数的有根二叉树，然后证明了这个猜想。我们还得到了最大化这些距离的二叉树。
2020-09-25 math.CO
Spectral radius conditions for the existence of all subtrees of diameter at most four
用$μ(G)$表示图$G$的谱半径。我们部分证实了一个猜想，由于Nikiforov，这是一个谱半径模拟著名的Erdens-Sós猜想，任何树的顺序$t$是包含在一个图的平均度大于$t-2$。令$S_{n,k}=K_{k}\vee\overline{K_{n-k}}$，令$S_{n,k}^{+}$是从$S_{n,k}$通过添加连接$S_{n,k}$的独立集合的两个顶点的单个边而获得的图。在2010年，Nikiforov证明了对于给定的整数$k$，每一个具有足够大阶$n$和$μ(G)\geq μ(S_{n,k}^{+})$的图$G$包含所有阶为$2k+3$的树，除非$G=S_{n,k}^{+}$。我们证实了这一猜想的树木直径最多为4，有一个例外。事实上，我们证明了以下关于$k\geq 8$的更强结果。如果一个具有足够大阶数$n$的图$G$满足$μ(G)\geq μ(S_{n,k})$和$G\neq S_{n,k}$，则$G$包含所有阶数$2k+3$且直径至多为4的树，除了从一个星形$K_{1,k+1}$通过将其每个$k+1$边细分一次而得到的树。
2021-09-23 math.CO
Subtree Counts and the Maximum Mean Subtree Order
Xiamen University（厦门大学）；Qinghai Minzu University（青海民族大学）；Xinjiang Normal University（新疆师范大学）
本文证明固定阶图中子树计数与完全图之比随子树大小单调递减，从而完全图最大化平均子树阶，并解决相关猜想。
2026-09-15 math.CO
Chromatic symmetric functions and polynomial invariants of trees
本文通过研究色对称函数与其他不变量的关系探讨Stanley问题，证明了Crew猜想、广义度序列与子树多项式的等价性，并构造任意大树族推广了Eisenstat和Gordon猜想。
2024-07-23 math.CO
On the extrema of the mean subtree order of graphs
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；TU Graz（格拉茨工业大学）；Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文证明了在阶为 $n$ 的连通图中，平均子树阶的最小值由路径取得，最大值由团取得，分别通过扩展已有思想和双重计数论证完成。
2026-09-18 math.CO
Invariant subsets of scattered trees. An application to the tree alternative property of Bonato and Tardif
一棵树是离散的，如果没有子树的完全二叉树的细分。基于Halin，Polat和Sabidussi的结果，我们确定了四种类型的子树的分散树和一个函数的树到整数，其中至少有一个是保存的每一个嵌入。利用这个结果和Tyomkyn的结果，我们证明了Bonato和Tardif的树替代性质猜想对于散布树成立，Tyomkin的猜想对于局部有限散布树成立。
2016-09-30 math.CO
Balanced Spanning Trees for Triangular Strip Lattices
Rice University（莱斯大学）
本文针对三角条带格，通过递推关系和渐近分析，研究了平衡生成树的计数及其比例，并给出了均匀随机选取时平衡生成树的极限概率。
2026-09-09 math.CO
Random planar trees and the Jacobian conjecture
Institute of Statistics and Mathematical Methods in Economics, TU Vienna（维也纳工业大学统计与数学方法经济研究所）；Mathematical Institute, Wrocław University（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）；Department of Mathematics, TU Munich（慕尼黑工业大学数学系）；Department of Mathematics, King’s College London（伦敦国王学院数学系）；Faculty of Compute（计算学院）
本文通过概率方法和随机洗牌子树的理论，提出了雅可比猜想的近似证明，并展示了其在渐近意义上的成立。
2024-04-05 math.AG math.CO math.PR
Mader's conjecture for graphs with small connectivity
Mader证明了对于任意阶为$m$的树$T$，每个最小度至少为$\lfloor\frac{3k}{2}\rfloor +m-1$的$k$连通图$G$都包含一个子树$T'\cong T$，使得$G-V(T')$是$k$连通的.本文给出了一个子图含有一个特定树的避开某个顶点的嵌入的刻画。作为推论，我们证实了Mader对$k\leq3$的猜想.
2021-01-28 math.CO
Lower Bound Theorems and a Generalized Lower Bound Conjecture for balanced simplicial complexes
一个$(d-1)$维单纯复形称为平衡复形，如果它的基础图允许一个适当的$d$ -染色.我们发现，许多著名的人脸计数结果有自然的平衡类似物（或至少是结构类似物）。具体地说，我们证明了著名的伪流形下界定理的平衡模拟，并刻画了等式的情形;我们引入并刻画了Walkup类的平衡模拟;我们提出了广义下界猜想的平衡模拟，并建立了一些相关的结果.最后，我们用几个顶点的平衡流形的构造来结束。
2015-05-23 math.CO
On the class reconstruction number of trees
针对Harary与Lauri提出的树的类重构数为2的猜想，证明在特定选取顶点的假设下，可通过两个无标号顶点删除子图重构树的同构类，但因选取条件无法从子图识别，尚未完全解决该猜想。
2024-04-10 math.CO
Optimality of the Neighbor Joining Algorithm and Faces of the Balanced Minimum Evolution Polytope
平衡最小进化（Balanced Minimum Evolution，BME）是一种基于统计一致距离的方法，用于从分子数据的比对中重建系统发育树。在2000年，Pauplin证明了BME方法等价于在BME多面体上优化线性泛函，从Pauplin公式得到的BME向量的凸包适用于所有二叉树。BME方法与邻居连接（NJ）算法有关，现在已知该算法是BME原理的贪婪优化。此外，先前已经研究了NJ和BME算法，以了解NJ算法何时返回少量分类群的BME树。在本文中，我们的目的是阐明结构的BME多面体和加强知识之间的联系BME方法和NJ算法。我们首先证明，任何子树修剪嫁接移动从一个二叉树到另一个二叉树对应的BME多面体的边缘。此外，我们描述了一个完整的家庭的脸参数化不相交的分支。我们表明，这些{ \em进化枝面}是较小的维BME多面体本身。最后，我们证明了，对于任何顺序的连接节点形成一棵树，存在一个相关的距离矩阵（即，相异度图），NJ算法针对该相异度图返回BME树。更强地，我们表明，BME锥和每一个NJ锥关联到一棵树$T$有一个交集的积极措施。
2011-02-03 math.CO q-bio.PE
Asymptotic normality for general subtree counts in conditioned Galton--Watson trees
Stellenbosch University（斯泰伦博斯大学）
研究在条件Galton-Watson树中一般子树计数的渐近正态性，证明在满足矩条件时其分布渐近正态，且均值和方差线性增长。
2026-03-09 math.CO math.PR
On a conjecture about the absence of an initial balanced pair for Pisot substitutions
Sellami和Sirvent指出，平衡对算法在以下Pisot替换对中失败：\[ φ_0: \begin{array}{l} a \mapsto abc b \mapsto a c \mapsto ac \end{array} \quad \text{ and } \quad φ_1: \begin{array}{l} a \mapsto cba b \mapsto a c \mapsto ca \end{array}. \]该猜想指出平衡对算法失败是因为没有初始平衡对。本文利用态射的不动点对同时编码的方法证明了这一猜想。
2017-11-28 math.CO math.DS
Mader's Conjecture and Its Variants for Cographs
Tokushima University（德岛大学）
本文针对余图类证明了马德猜想及其三个变体成立，并给出了余图中几类保连通性树存在所需最小度的紧下界。
2025-11-16 math.CO
Longest paths in random Apollonian networks and largest $r$-ary subtrees of random $d$-ary recursive trees
令$r$和$d$是正整数，其中$r<d$。考虑如下构造的随机$d$叉树。从一个顶点开始，在每个时间步中选择一个均匀随机的叶子，并给它新创建的后代$d$。令${\mathcal T}_t$为$t$步骤后生成的树。我们证明了存在一个固定的$δ<1$依赖于$d$和$r$，使得几乎肯定对于所有大的$t$，每个$r$ -ary子树的${\mathcal T}_t$有少于$t^δ$顶点。这个证明涉及到分析，也产生了一个相关的结果。考虑以下随机平面三角剖分的迭代构造。从嵌入平面的三角形开始。在每一步中，随机均匀地选择一个有界面，在该面内添加一个顶点，并将其连接到该面的顶点。这样，一个面被破坏，三个新的面被创建。经过$t$步骤，我们得到了一个具有$t+3$顶点的随机三角化平面图，称为随机阿波罗网络。证明了存在一个固定的$δ<1$，使得最终该图中的每条路的长度都小于$t^δ$，从而验证了Cooper和Frieze的一个猜想.
2014-04-11 math.CO math.PR
Non-hereditary maximum parsimony trees
在本文中，我们调查的猜想冯Haeseler关于最大简约法的系统发育估计，这是由牛顿研究所在剑桥大学发表的一个开放的系统发育问题在2007年的列表。这个猜想涉及的问题是否最大简约树是遗传的。该猜想表明，一个特定的（DNA）比对的最大简约树必然具有所有可能大小的子树，这些子树对于相应的子比对是最简约的。我们肯定地回答了猜想的二元对齐五个类群，但也展示了如何构建的例子，最大简约树是不遗传的。除了表明，一个最吝啬的树一般不能减少到最吝啬的树在更少的类群，我们还表明，兼容的最吝啬的四重奏不提供最吝啬的超树。最后，我们表明，我们的结果可以推广到最大似然某些核苷酸取代模型。
2010-07-29 math.CO q-bio.PE
Find Subtrees of Specified Weight and Cycles of Specified Length in Linear Time
我们应用欧拉巡回技术找到指定权重的子树如下。令$k, g, N_1, N_2 \in \mathbb{N}$使得$1 \leq k \leq N_2$、$g + h > 2$和$2k - 4g - h + 3 \leq N_2 \leq 2k + g + h - 2$，其中$h := 2N_1 - N_2$ .令$T$是$N_1$顶点的树，并且令$c : V(T) \rightarrow \mathbb{N}$是顶点权重，使得对于所有$v \in V(T)$，$c(T) := \sum_{v \in V(T)} c(v) = N_2$和$c(v) \leq k$。我们证明了一个子树$S$的$T$的重量$k - g + 1 \leq c(S) \leq k$存在，并可以找到线性时间。我们应用它来显示，除其他外，以下内容：（i）每一个平面哈密尔顿图$G = (V(G), E(G))$与最小度$δ\geq 4$有一个周期的长度$k$为每$k \in \{\lfloor \frac{|V(G)|}{2} \rfloor, \dots, \lceil \frac{|V(G)|}{2} \rceil + 3\}$与$3 \leq k \leq |V(G)|$。(ii)每个具有$δ\geq 4$和$|V(G)| \geq 8$的$3$ -连通平面Hamilton图$G$甚至有一个长为$\frac…
2019-10-12 cs.DM math.CO
On minimal critical exponent of balanced sequences
我们研究了有限字母表上无限平衡序列中可避免重复和不可避免重复之间的阈值。Rampersad、Shallit和Vandomme提出的猜想认为，在$d \geq 5$大小的字母表上，平衡序列的最小临界指数等于$\frac{d-2}{d-3}$。已知这个猜想对$d\in \{5, 6, 7,8,9,10\}$成立。我们驳斥了这一猜想表明，图片是不同的较大的字母。本文证明了$d\geq 11$大小的字母表上的平衡序列的临界指数的下界是由$\frac{d-1}{d-2}$得到的，并且这个下界对所有偶数$d\geq 12$都成立.根据这一结果，我们推测对所有$d\geq 11$，$d$字母上的平衡序列的最小临界指数是$\frac{d-1}{d-2}$.
2021-12-06 math.CO
Antimatroids and Balanced Pairs
我们将偏序集的1/3-2/3猜想推广到反拟阵：我们猜想任何反拟阵都有一对元素x，y，使得x在反拟阵的一致随机基字中出现的概率在1/3到2/3之间.我们证明了猜想的反矩阵的凸维2（反矩阵理论模拟的偏序的宽度2），为反矩阵的高度2，为反矩阵与一个独立的元素，并为完美消除反矩阵和节点搜索反矩阵的几类图。计算机搜索表明，这个猜想对所有最多含有六种元素的抗疟药都是正确的。
2013-02-24 math.CO
On Balanced Colorings of the n-Cube
n维欧几里得空间中的n立方图的2-着色可以被认为是给顶点分配1或0的权重。这样一个着色的n立方图如果其质心与几何中心重合，则称其为平衡的。令$B_{n,2k}$为具有2k个顶点且权重为1的n立方图的平衡2-着色数。Palmer、Read和Robinson指出，对于$n\geq 1$，序列$\{B_{n,2k}\}_{k=0, 1 ... 2^{n-1}}$是对称的和单峰的。我们给出了这个猜想的一个证明。对于固定的k，我们还提出了一个关于$B_{n,2k}$的对数正态性的猜想，并通过概率的方法证明了当n足够大时该猜想成立.
2009-10-06 math.CO
A Lower Bound on the Average Size of a Connected Vertex Set of a Graph
本文研究图的连通诱导子图的平均阶。这推广到一般的图，一棵树的子树的平均阶。在1984年，Jamison证明了在所有$n$阶的树上，路径$P_n$使平均阶最小化。在2018年，Kroeker，Mol和Oellermann证明了$P_n$可以最小化所有连通图的平均阶数。本文的主要结果证实了这一猜想。
2021-03-28 math.CO
A note on balanced independent sets in the cube
Ramras证明了当n为奇数时，在包含偶数和奇数个数相等的集合的离散立方体中，独立集的最大大小为2^（n-1）-（n-1 choose（n-1）/2）。我们证明了这个猜想，并找到了类似的界限时，n是偶数。这个结果是由立方中的一个等周不等式得出的。
2012-10-15 math.CO
A balanced non-partitionable Cohen-Macaulay complex
在最近的一篇论文中，Duval、Goeckner、Klivans和Martin反驳了Stanley长期以来的猜想，即每个Cohen-Macaulay单纯复形都是可分的。我们构造了这个猜想的反例，它们是偶数\emph{balanced}，即，它们的基础图具有最小着色。这回答了Duval等人的一个问题。
2017-11-15 math.AC math.CO
Chouinard's Conjecture for Graphical t-Designs
Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）
针对所有块大小相同的t-设计，证明了舒阿纳尔关于有限非平凡简单图论t-平衡设计的猜想，且不要求设计简单，参数可由λ的显式多项式界定。
2026-08-25 math.CO
The $g$-extra edge-connectivity of balanced hypercubes
$g$ -额外边连通度是衡量互连网络可靠性的重要指标。最近，Yang等人[Appl. Math. Comput. 320（2018）464--473]确定了平衡超立方体$BH_n$的$3$ -额外边连通度，并证明$BH_n$的$g$ -额外边连通度是$2\leq g\leq 2n-1$的$λ_g(BH_n)=2(g+1)n-4g+4$。本文证实了他们对$n\geq 6-\dfrac{12}{g+1}$和$2\leq g\leq 8$的猜想，并反驳了他们对$n\geq \dfrac{3e_g(BH_n)}{g+1}$和$9\leq g\leq 2n-1$的猜想，其中$e_g(BH_n)=\max\{|E(BH_n[U])|\mid U\subseteq V(BH_n), |U|=g+1\}$ .
2020-07-06 math.CO
The 1/3-2/3 conjecture for $N$-free ordered sets
有限序集$P=(V,\leq)$中的平衡对是$V$的元素对$(x,y)$，使得$P$的线性扩张中将$x$置于$y$之前的比例在实区间$[1/3, 2/3]$中。本文证明了每一个不全序的有限无$N$序集都有一个平衡对。
2012-05-20 math.CO
Disjoint isomorphic balanced clique subdivisions
极值图论中的一个深入研究的问题是在宿主图$G$中找到最佳可能的密度条件，以保证$G$中存在特定的子图$H$。一个这样的经典结果，由于Bollobás和Pillason，独立Komlós和Szemerédi，国家的平均程度$O(k^2)$保证存在的$K_k$ -细分。我们研究两个方向扩展这一结果。一方面，Verstraëte证明了二次界$O(k^2)$将保证$K_k$ -细分的两个顶点不相交的同构副本。另一方面，Rassen指出，对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一些$d = d(k)$，使得每个平均度至少为$d$的图都包含$K_k$的平衡细分，即$K_k$的副本，其中边被等长的路径取代。最近，Liu和Montgomery证实了Mesquassen的猜想，但关于$d(k)$的最优界仍然是开放的。在本文中，我们证明了二次界$O(k^2)$足以迫使平衡的$K_k$ -细分。这就给出了Mesquassen猜想中所需的关于$d(k)$的最优界，并暗示了存在$O(1)$许多顶点不相交的同构$K_k$ -细分，在强意义上证实了Verstraëte猜想.
2022-04-26 math.CO
Balanced supersaturation and Turan numbers in random graphs
本文证明了Morris和Saxton关于二分图平衡超饱和性质的猜想在含环二分图的弱假设下成立，并将其应用于得到随机图G(n,p)中二分H的Turan数的计数结果与首个一般上界。
2024-06-19 math.CO
A Theory of Stationary Trees and the Balanced Baumgartner-Hajnal-Todorcevic Theorem for Trees
早期的工作由Stevo Todorcevic的基础上，我们描述了一个理论的静态子树的树的继任者基数高度。我们定义的对角线联盟的子集的树，以及正常的理想的树，我们的特点是任意子集的非特殊树是固定的或非固定的。主要定理：设$κ$为任意无穷正则基数，$ξ$为任意序数使得$2^{\left|ξ\right|} < κ$，$k$为任意自然数。然后是\[ \text{non-$\left(2^{<κ}\right)$-special tree } \to \left(κ+ ξ\right)^2_k. \]这是平衡Baumgartner-Hajnal-Todorcevic定理的树的推广，我们通过将上述应用于基数$(2^{<κ})^+$来恢复，基数是非$(2^{<κ})$特殊树的最简单示例。定理：设$κ$是任意无穷正则基数，$ξ$是任意序数，使得$2^{\left|ξ\right|} < κ$，$k$是任意自然数.设$P$是一个偏序集，使得$P \to (2^{<κ})^1_{2^{<κ}}$ .然后是\[ P \to \left(κ+ ξ\right)^2_k. \]
2013-12-17 math.CO math.LO
Non-Vertex-Balanced Factors in Random Graphs
本文证明了Johansson，Kahn和Vu \cite{JKV}关于随机图\gnp中存在$H$因子的门限函数的猜想的一部分.我们证明了所猜测的门限函数对于任何未被其最稠密子图覆盖的图$H$都是正确的。我们还证明了\cite{JKV}的主要结果推广到多重图，有向图和多部模型。
2013-04-10 math.CO
The $q$-analog of the Markoff injectivity conjecture over the language of a balanced sequence
马尔可夫内射性猜想指出$w\mapstoμ(w)_{12}$是Christoffel词集合上的内射，其中$μ:\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^*\to\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$是某种同态，$M_{12}$是$2\times2$矩阵$M$的对角线上方的项。最近，Leclere和Morier-Genoud（2021）提出了$μ$的$q$ -模拟$μ_q$，使得$μ_{q}(w)_{12}|_{q=1}=μ(w)_{12}$是在$q=1$处评估时与Christoffel字$w$相关联的马尔可夫数。证明了$\{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^*$上存在一个$<_{radix}$阶，使得对于每个平衡序列$s \in \{\mathtt{0},\mathtt{1}\}^\mathbb{Z}$和所有因子$u, v$，$s$与$u <_{radix} v$的语言中的差$μ_q(v)_{12} - μ_q(u)_{12}$是一个非零多项式的不定$q$与非负整数系数.因此，映射$u\mapstoμ_q(u)_{12}$在平衡序列的语言上是单射的。证明使用满足某些马尔可夫性质的平衡序列和不可区分的渐近对之间的等价性。
2021-12-03 math.CO math.NT
Balanced-chromatic number and Hadwiger-like conjectures
Universidad de Valparaíso（瓦尔帕莱索大学）；Millennium Nucleus for Social Data Science (SODAS)（社会数据科学千年核（SODAS））；Auburn University（奥本大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（信息研究与研究所）；École Normale Supérieure, Paris（巴黎高等师范学院）
本文引入带符号图的平衡色数概念，提出并证明一个与哈德维格猜想等价的带符号版本猜想，并研究细分与平衡色数的关系，推广了Kawarabayashi关于全奇细分的结果。
2026-07-02 cs.DM math.CO
Coarse Balanced Separators and Tree-Decompositions
本文针对 $K_{t,t}$ 诱导子图无关图，在分离器由有界数量半径为1的球组成时，证实了关于粗平衡分离器与有界树宽图拟等距的猜想，从而沟通了两个关于排除平面图作为诱导子式的图结构猜想。
2025-07-22 math.CO
Embedding perfectly balanced 2-caterpillar into its optimal hypercube
关于超立方体的生成树的一个长期存在的猜想指出，$2^n$顶点上的平衡树的最大度至多为$3$，该平衡树跨越维度为$n$ \cite{havel1986}的超立方体。本文解决了一类特殊二叉树的猜想。一个$0$ -毛虫是一个路径。对于$k\geq 1$，一个$k$ -毛虫是一个二叉树，由一个路径和从路径上的一些顶点发出的$j$ -毛虫$(0\leq j\leq k-1)$组成。一个包含完美匹配的$k$ -毛虫被称为完美平衡。本文证明了在$2^n$顶点上的完美平衡$2$ -毛虫跨越维数为$n$的超立方体.
2021-10-12 cs.DM math.CO
Difference Balanced Functions and Their Generalized Difference Sets
从$F_{q^n}^*$到$F_q$的差分平衡函数与组合设计密切相关，并且自然地定义了具有理想两级自相关的$p$元序列。在文献中，所有存在的这类函数都与$d$ -齐次性有关，Gong和Song证明了差平衡函数必是$d$ -齐次的.首先利用关于两个例外子群的广义差集刻画了差平衡函数。然后我们得到了$d$ -齐次差分平衡函数的几个充要条件。特别是，我们揭示了一个意想不到的等价性之间的$d$ -齐次属性和广义差集的乘数。通过确定这些乘子，我们证明了关于$q$素数的Gong-Song猜想.证明了每一个差分平衡函数都是平衡的或平衡函数的仿射移位。
2013-09-30 cs.IT math.CO math.IT
Transversal $C_k$-factors in subgraphs of the balanced blow-up of $C_k$
对于图$F$的爆破的子图$G$，我们设$δ^*(G)$是由对应于$F$的边的部分对所诱导的$G$的所有二部子图上的最小度.在[三角形]中-平衡放大三角形中的因子。离散数学，2000]，Johansson证明了如果$G$是$C_3$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge \frac{2}{3}n + \sqrt{n}$，则$G$包含$n$顶点不相交的三角形，并提出了Häggkvist的以下猜想：如果$G$是$C_k$的爆破的生成子图，其部分大小为$n$和$δ^*(G) \ge (1 + 1/k)n/2 + 1$，则$G$包含$C_k$的$n$顶点不相交副本，使得每个$C_k$与每个$k$部分恰好相交一次。当$k=3$时，该猜想的度条件是紧的，当$k \ge 4$ .时，该猜想的度条件不能被加强超过1，一个类似的猜想也作出了菲舍尔在[变种的Hajnal-Szemerédi定理。Journal of Graph Theory，1999]，Magyar和Martin在[Corrádi-Hajnal定理的三分版本]中证明了大$n$的三角形情况。离散数学，2002]。本文证明了这个猜想的渐近性。我们还提出了一个猜想，通过允许最小度条件的非空的二部子图诱导的部分对变化，推广了这一结果。我们的第二个结果支持这个新的猜想证明三角形的情况。这个结果渐近地推广了Johannson的…
2021-03-17 math.CO
The least balanced graphs and trees
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ELTE: Eötvös Loránd University, Mathematics Institute, Department of Computer Science（厄特沃什·罗兰大学数学研究所计算机科学系）
本文研究了图和树的最不平衡性，证明了完全图K4附加路径P_{n-4}和星树S5附加路径P_{n-5}是最不平衡的结构。
2026-03-25 math.CO
On the $1/3-2/3$ Conjecture
设$(P,\leq)$是有限偏序集（偏序集），其中$P$具有基数$n$ .考虑$P$的线性扩展作为单行符号中的置换$x_1x_2\cdots x_n$。对于不同的元素$x,y\in P$，我们定义$\mathbb{P}(x\prec y)$为$P$的线性扩展的比例，其中$x$在$y$之前。对于$0\leq α\leq \frac{1}{2}$，我们说$(x,y)$是一个$α$ -平衡对，如果$α\leq \mathbb{P}(x\prec y) \leq 1-α.$ $1/3-2/3$猜想指出，每一个有限偏序集不是一个链有一个$1/3$ -平衡对.我们在这个猜想上取得了进展，证明了它对某些偏序集族成立。这些包括格，如布尔格、集合划分格和子空间格;从杨氏图产生的偏序;以及维度$2$的一些偏序。我们还考虑了各种偏序集，满足更强的条件，有$1/2$平衡对。例如，当偏序集有一个长度为$2$的循环的自同构时，就会发生这种情况。提出了未来研究的各种问题。
2018-01-31 math.CO
Powers of 2 in Balanced Grid Colourings
研究平衡网格着色中2的幂次问题，验证Bhattacharya猜想，发展二进制数字和分析技术。
2025-04-30 math.CO
Connectivity keeping trees in 3-connected bipartite graphs with girth conditions
针对Luo等人提出的k-连通二部图中存在保持连通性的指定树子图的猜想，本文证明在k≤3且图的围长不小于树的直径减1时猜想成立。
2024-03-06 math.CO
An upper bound on asymptotic repetitive threshold of balanced sequences via colouring of the Fibonacci sequence
通过对Fibonacci序列进行适当的常间隔着色，给出了$d$元平衡序列渐近重复阈值的上界.得到了$d=2, 4$和$8$的上界，并推测对于无穷多个偶数$d$，上界也存在.我们的界揭示了平衡序列的重复阈值和渐近重复阈值在行为上的本质区别。已知对于每个$d \geq 3$，$d$元平衡序列的重复阈值至少为$1+\frac{1}{d-2}$。相反，我们的界意味着对于每个$d\geq 2$，$d$元平衡序列的渐近重复阈值至多是$1+\frac{τ^3}{2^{d-3}}$，其中$τ$是黄金平均值。
2022-11-21 math.CO
The Average Size of a Connected Vertex Set of a $k$-connected Graph
本文的主题是图$G$的连通诱导子图的平均阶$A(G)$。这推广到一般的图，一棵树的子树的平均阶。在1984年，Jamison证明了在所有$n$阶的树上，平均阶被路径$P_n$最小化，平均阶为$A(P_n)=(n+2)/3$。在2018年，Kroeker、Mol和Oellermann证明了$P_n$可以最小化所有连通图$G$的平均阶数--这一猜想最近被证明。在这个简短的说明中，我们表明，如果$G$的连通性是已知的，这个下限可以得到改善。如果$G$已连接$k$，则\[A(G) \geq \frac{n}2 \Bigg (1- \frac{1}{2^k+1} \Bigg ).\]
2021-05-24 math.CO
Invitation to the subpath number
本文定义并研究了图的子路径数，给出了树、单圈图和圈链的显式公式，证明了连通图和二部图中的极值情况，并指出其在化学中的潜在应用。
2025-03-01 math.CO
Nonseparating trees in 2-connected graphs and oriented trees in strongly connected digraphs
Mader [J. Graph Theory 65（2010）61-69]证明了对于每一个正整数$k$和每一个阶为$m$的有限树$T$，每一个$k$ -连通的，具有$δ(G)\geq \lfloor\frac{3}{2}k\rfloor+m-1$的有限图$G$包含一个与$T$同构的子树$T'$，使得$G-V(T')$是$k$ -连通的。该猜想已被证实的道路，树时，$k=1$，和明星或双星时，$k=2$。本文证明了两类树当$k=2$ .对于有向图，Mader [J. Graph Theory 69（2012）324-329]证明，对于正整数$m$，具有最小半度$δ(D)=min\{δ^+(D),δ^-(D)\}\geq 2k+m-1$的每个$k$ -连通有向图$D$具有$κ(D-V(P))\geq k$的$m$阶的有向路$P$。该猜想仅在与$m=1$、与$m=2$和$k=1$的导径中得到了验证。证明了每一个具有最小半度$δ(D)=min\{δ^+(D),δ^-(D)\}\geq m+1$的强连通有向图都含有一棵定向树$T$，它同构于某些给定的定向星或双星，使$D-V(T)$仍是强连通的.
2017-10-08 math.CO
Note on near-spanning balanced antidirected trees missing from regular tournaments
Royal Holloway University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）；Nankai University（南开大学）
本文构造了满足半度条件但无法嵌入高度对称锦标赛的近生成平衡反定向树，给出了Stein猜想在均匀次线性度解释下的反例，并确定了最优目标阶及最小宿主阶。
2026-10-05 cs.DM math.CO
Further results on the inducibility of $d$-ary trees
一棵有根树的叶子子集以一种自然的方式导出一棵新树。树$D$在更大的树$T$中的密度是$T$中与$D$同构的这种叶诱导子树在与$D$具有相同数目的叶的所有那些子树中的比例。当$T$的大小趋于无穷大时，$D$的诱导值测量该密度可以有多大。在本文中，我们明确地确定了在一些以前未知的情况下的诱导数，并找到了一般的下界，特别是在$D$是平衡的情况下，即，当它的分支至少有几乎相同的大小时。此外，我们证明了一个关于严格$d$ -ary树$T$（树的每个内部顶点都有精确的$d$孩子）中的$D$的最大密度收敛到归纳数$n \to \infty$的速度的结果，该结果支持一个公开猜想.
2020-05-10 math.CO
A finite threshold for the double-comet conjecture
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文证明了在阶数至少为200的树中，平衡双彗星达到最小邻接谱隙，并给出了马尔可夫链逆谱隙与有效电阻-方差量的精确关系。
2026-10-05 math.CO
On balanced sequences and their critical exponent
研究了有限字母表上的非周期平衡序列。这种类型的序列vv完全由Sturmian序列u和两个恒定间隙序列y和y '表征。我们表明，V的语言最终是树枝状的，我们专注于返回的话，它的因素。给出了平衡序列的临界指数和渐近临界指数的一种计算方法，条件是相关的Sturmian序列u具有二次斜率。该方法是基于寻找最短的返回字的双特殊因素在v.我们说明我们的方法上的几个例子，特别是我们证实了一个猜想Rampersad，Shallit和Vandomme，两个特定的序列有最小的关键指数之间的所有平衡序列超过9个字母（分别，$0-字母）字母表。
2022-10-20 cs.FL math.CO
Path-monochromatic bounded depth rooted trees in (random) tournaments
本文研究竞赛图任意边着色中路径单色根树的保证规模，确定一般及有界深度情形的极值，并分析随机竞赛图中的典型值。
2024-04-04 math.CO
Exact random covers of metric trees: balanced rounding, duality, and sharp thresholds
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）
本文证明了Norin和Turcotte提出的有限度量树精确随机覆盖猜想，通过重铸自举计算、结合分解与递归构造精确覆盖，还建立了对偶准则并拓展了均匀范围、推导了相关估计。
2026-08-20 math.CO
The 1/3-2/3 Conjecture for ordered sets whose cover graph is a forest
有序集合$P=(V,\leq)$中的平衡对是$V$的元素对$(x,y)$，使得$P$的线性扩展的比例将$x$置于$y$之前，该比例在实区间$[1/3, 2/3]$中。我们定义了好对的概念，并声称任何有好对的有序集都将满足猜想，而且每一个不全序的有序集都有一个好对，它的覆盖图是森林。
2017-06-18 math.CO
