Structure and enumeration of (3+1)-free posets
一个偏序集是（3+1）-free的，如果它不包含长度为3和1的链的不交并作为导出子偏序集。这些偏序集在Stanley和Stembridge的（3+1）-free猜想中起着核心作用。Lewis和Zhang通过将（3+1）-free偏序集分解为二部图的方法，在分次情况下枚举了这些偏序集，但到目前为止，一般的计数问题仍然是开放的。我们给出了一个适用于所有（3+1）-自由偏序集的二部图的更精细的分解，并得到了计数具有标号和非标号顶点的（3+1）-自由偏序集的生成函数。利用这个分解，我们得到了自同构群的一个分解和（3+1）-free偏序集个数的渐近性。
2014-03-05 math.CO
A matrix approach to the structure, enumeration, and applications of partially ordered sets
Sungkyunkwan University (SKKU)（成均馆大学）；Jeju National University（济州国立大学）；Shanxi Normal University（山西师范大学）
本文提出利用矩阵理论研究偏序集的结构、计数及应用，通过构造偏序集矩阵的主子矩阵，统一解决非同构偏序集和反链问题。
2026-02-04 math.CO
A Flexible Approach for the Enumeration of Down-Sets and its Application on Dedekind Numbers
本文介绍了一种灵活的有限偏序集的下集计数方法，并通过计算Dedekind数$b(5) = 7581$和$b(6) = 7828354$对其进行了检验.对于计算$b(5)$，我们开发了两种方法，其中第一种方法（没有预先计算）需要简单的评估80偏序集和第二种方法（预先计算）的34偏序集。通过评估245个偏序集来完成$b(6)$的计算（具有预先计算）。
2022-06-27 math.CO
Unbalanced subtrees in binary rooted ordered and un-ordered trees
二元有根树，在有序和无序的情况下，是组合学领域中研究得很好的结构。这项工作的目的是研究这些类别的树木的特定模式。我们考虑完全不平衡的子树，其中不平衡是根据所谓的Colless指数来衡量的。最大的不平衡子树的大小成为一个新的参数，我们可以找到几个枚举。
2013-03-09 math.CO
Generalized snake posets, order polytopes, and lattice-point enumeration
Gwangju Institute of Science and Technology（光州科学技术院）；Harvey Mudd College（哈维穆德学院）；University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文研究了广义蛇偏序集的顺序聚类的Ehrhart理论，推导了其$h^*$-多项式的显式公式和递推关系，并证明了其$h^*$-向量的界性。
2026-02-27 math.CO
Four Variations on Graded Posets
研究了分次偏序集的一些自然类的计数问题，包括所有分次偏序集、（2+2）-和（3+1）-回避分次偏序集、（2+2）-回避分次偏序集和（3+1）-回避分次偏序集.我们获得了所有这些枚举和结构定理。一路上，我们讨论的情况下，我们可以切换之间的枚举标记和未标记的对象轻松，概括的结果Postnikov和斯坦利从超平面安排的理论，回答一个问题所提出的斯坦利，并看到一个旧的结果Klarner在一个新的光。
2015-08-04 math.CO
Peak Quasisymmetric Functions and Eulerian Enumeration
通过霍普夫代数的对偶性，将峰值拟对称函数与欧拉偏序集中链的计数直接联系起来.我们研究这种关联明确，表明$\cd$指数的概念，长期研究的背景下，凸多胞体和欧拉偏序集，出现作为对偶基的自然基础的峰值拟对称函数引进Stembridge。因此，具有非负$\cd$ -指数的欧拉偏序集（例如，凸多胞体的面格）对应于根据该基具有非负表示的峰值准对称函数。我们对角化的运营商，关联的基础下降集的所有拟对称函数的峰值集的代数的峰值功能，并研究了$g$ -多项式欧拉偏序集作为一个代数同态。
2007-06-24 math.CO
Chain enumeration, partition lattices and polynomials with only real roots
有限偏序集的链多项式的系数通过链的元素个数枚举偏序集中的链。证明了分划格及其标准型$B$类似物的链多项式只有实根。证明了链多项式在所有几何格上的实根性，并证明了它在Cohen-Macaulay偏序集上的金字塔和棱柱运算是保持的.结果，提出了面格具有实根链多项式的新的凸多胞体族。文中还应用于单形边界复形的第二次重心重分剖分的面计数。
2023-01-02 math.CO
Enumeration of interval-closed sets via Motzkin paths and quarter-plane walks
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Concordia University（康考迪亚大学）；The George Washington University（乔治华盛顿大学）；Willamette University（威拉米特大学）；North Dakota State University（北达科他州立大学）；Eastern Illinois University（东伊利诺伊大学）
本文通过构造双射分别将两条链之积偏序集的区间闭集映射到双色Motzkin路径，将截断矩形偏序集的区间闭集映射到四分仪游走，从而求得了对应的生成函数与函数方程。
2024-12-20 math.CO
Lattice path enumeration for semi-magic squares by Latin rectangles
类似于标准的Young表格如何表示Young格中的路径，拉丁矩形可以用于枚举具有条目0或1的半幻方的偏序集中的路径。与行列式相关的对称性保持了这个偏序集，我们完整地描述了大小为4，5和6的正方形的轨道，覆盖数据和最大链。最后一项给出了这些情况下拉丁方的数量。为了有效地计算大小为6，我们反过来确定轨道与某些等价类的超图。
2022-02-13 math.CO
Nonleaf Patterns in Trees: Protected Nodes and Fine Numbers
一个封闭形式的公式推导出一个多集的模式之间的所有有序（平面种植）树与给定数量的边缘匹配的出现次数。模式看起来像一棵树，有内部节点和叶子，但也包含匹配子树或子树序列的组件。这一结果扩展了以前的多功能树模式枚举公式，将只允许匹配非叶子子树的组件，并提供枚举的树的数量的保护（最短的传出路径有两个或更多的边缘）或不受保护的节点。
2019-08-12 cs.DM math.CO
Generating naturally labeled posets through matrix extensions, order ideals and automorphism groups
Sungkyunkwan University (SKKU)（成均馆大学）；Université du Québec à Montréal (UQAM)（蒙特利尔大学）
本文提出了一种矩阵方法，通过将每个偏序集P表示为布尔偏序矩阵A，生成自然标记的偏序集。该方法利用矩阵扩展A^v系统地处理偏序关系，并通过序理想和固定点方程定义有效的偏序矩阵。进一步探索了A的双胞分解，为Birkhoff关于通过自同构群计数非同构偏序集的问题提供了代数基础。
2026-05-17 math.CO
Polytopes and posets associated to preorders
National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波蒂斯坦大学）；Université de Strasbourg（斯特拉斯堡大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文引入并研究有限集上预序定义的预序多面体，从格点计数角度推广了树形多面体，证明了其作为格多面体的对偶性，给出了归一化体积的组合解释以及Ehrhart多项式和h*多项式的公式。
2026-05-26 math.CO
Enumeration of totally positive Grassmann cells
Alex Postnikov给出了Grassmannian的完全非负部分的组合显式胞腔剖分，记为Gr_{kn} +，并证明了这组胞腔作为分次偏序集与许多其他有趣的分次偏序集同构。本文的主要结果是一个显式的生成函数，它根据其维数枚举Gr_{kn} +中的细胞。作为推论，我们给出了Gr_{kn} +的欧拉示性数为1的新证明。此外，我们使用我们的结果来产生一个新的q模拟的欧拉数，插值之间的欧拉数，Narayana数，和二项式系数。
2004-03-13 math.CO
Enumeration of labeled trees and Dyck tilings
本文利用Dyck铺砌研究平面带标号有根树的偏序集，证明其生成函数在特定条件下可因式分解，并通过两种分解方式建立有理Dyck铺砌的权重关系与偏序结构。
2024-08-10 math.CO
Euler flag enumeration of Whitney stratified spaces
标志向量包含多面体的所有面关联数据，以及偏序集设置中的链枚举数据。这是一个经典的结果，由于拜耳和克拉珀，面格的多面体，更一般地说，欧拉分次偏序集，标志向量可以写为一个cd-指数，一个非交换多项式，删除所有的线性冗余之间的标志向量的条目。这一结果适用于常规CW复形。通过将分次偏序集的概念推广到拟分次偏序集的概念，放松了正则性条件，证明了Whitney分层流形的cd指数存在.这是一个偏序集赋予一个保序秩函数和一个加权zeta函数。这使我们能够推广经典的欧拉性概念，并在拟分次偏序集领域获得cd-指标。我们还将半悬挂操作扩展到在高维球的边界上嵌入复形的操作，并研究了单纯形的脱壳成分。
2014-09-29 math.AT math.CO
On the unimodality of convolutions of sequences of binomial coefficients
我们提供了两个序列的二项式系数的卷积的单峰性的充要条件，前面有一个有限数量的。这些卷积序列的出现，作为一个特定类别的树的顶点诱导子树的偏序集的秩序列。对于固定的顶点数$i$，确定了含有根的顶点诱导子图的偏序集不是秩单峰的树的个数。
2018-10-24 math.CO
Linear inequalities for flags in graded posets
证明了分次偏序集的所有旗$f$ -向量生成的凸锥的闭包是多面体的。特别地，我们给出了这类偏序集上所有非负链计数泛函的极锥的刻面不等式。这些都是在一对一的对应关系的反链的间隔设置的行列，因此是计数的加泰罗尼亚数字。此外，我们证明了卷积操作引入Kalai分配极端射线对极端射线在大多数情况下。我们描述了秩至多为5的分次偏序集的最强可能不等式。
1997-06-25 math.CO
Coatom Enumeration in Hypergraph Horn Functions: Rank-Three Representations of Horn Model Posets
Tokyo University of Science（东京科学大学）
该研究提出超图 Horn 函数中 Horn 模型偏序集的秩-3 表示，结合相关构造证明余原子枚举的复杂性，给出不同秩与频率下的生成算法及复杂度结论。
2026-08-10 cs.DS math.CO
Tree Posets: Supersaturation, Enumeration, and Randomness
本文提出一种嵌入任意高度树偏序集到布尔格的新工具，解决了超饱和、枚举和随机性三个开放问题，结果渐近紧并证实了相关猜想。
2025-10-08 math.CO
Enumerating (2+2)-free posets by the number of minimal elements and other statistics
一个未标号偏序集被称为（2+2）-free，如果它不包含一个同构于2+2（两个不相交的二元链的并）的诱导子偏序集。令$p_n$表示大小为$n$的（2+2）-自由偏序集的个数。在最近的一篇论文中，Bousquet-Mélou et al. \cite{BCDK}使用所谓的上升序列发现了$n$大小的（2+2）-free偏序集的生成函数：$P(t)=\sum_{n \geq 0} p_n t^n = \sum_{n\geq 0} \prod_{i=1}^{n} (1-(1-t)^i)$。我们以两种方式扩展这个结果。首先，我们在考虑偏序集的极小元个数这四个统计量的情况下，求出了（2+2）-free偏序集的生成函数。其次，我们证明了如果$p_{n,k}$等于$n$的（2+2）-free偏序集的个数，且$k$是极小元，则$P(t,z)=\sum_{n,k \geq 0} p_{n,k} t^n z^k = 1+ \sum_{n \geq 0} \frac{zt}{(1-zt)^{n+1}} \prod_{i=1}^n (1-(1-t)^i)$ .第二个结果不能通过替换从第一个结果导出。另一方面，$P(t)$可以很容易地从$P(t,z)$中获得，从而为\cite{BCDK}中的枚举结果提供了另一种证明。此外，我们猜想一个更简单的形式写$P(t,z)$。我们的计数结果被推广到某些限制排列和经常线性…
2010-04-19 math.CO
On the Enumeration of $(s,s+1,s+2)$-Core Partitions
Anderson通过将一个划分映射到它的$β$ -集，建立了核划分和某些偏序集的阶理想之间的联系。本文给出了阶理想对应于$(s,s+1,s+2)$ -核划分的偏序集$P_{(s,s+1,s+2)}$的一个刻划.利用这个特性，我们得到了$(s,s+1,s+2)$ -核心分区的数量，最大尺寸和平均尺寸的$(s,s+1,s+2)$ -核心分区，确认Amdeberhan提出的三个假设。
2014-07-09 math.CO math.NT
Lattice path enumeration for semi-magic squares of size three
给出了3阶半幻方分次偏序集中有向路的计数公式。我们给出了这些公式的两个应用：有限分次偏序集的Vandermonde卷积的一个高级例子，以及导出非规范化Clebsch-Gordan系数的Regge对称性公式的直接法。
2021-12-26 math-ph math.CO math.MP
On the enumeration of plane bipolar posets and transversal structures
本文借助 Kenyon–Miller–Sheffield–Wilson 双射将平面双极偏序集和横截结构对应到加权象限游走，证明其与平面排列的计数等式，并给出横截结构的递推、渐近式及非 D-有限性结论。
2023-09-30 cs.DM math.CO
Totally nonnegative matrices, chain enumeration and zeros of polynomials
KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
本文证明了任何下三角单位矩阵且完全非负的矩阵都产生只含实零点的多项式家族，从而在多个数学领域中产生影响。作者发展了一种在偏序集中链计数和链多项式零点的一般理论，并扩展和统一了Brenti、Welker和Athanasiadis等人的结果。此外，作者还定义了一种广义的h向量概念，用于一大类偏序集，以及通过方法对Förgács和Tran提出的关于某些双变量有理函数产生的多项式实根性的问题进行了回答。
2025-12-11 math.CO
Structure and enumeration results of matchable Lucas cubes
Lucasene是一个类似于Fibonaccene的六边形链，$L$ -fence是一个偏序集，它的Hasse图同构于对应的Lucasene的有向内对偶图。一类新的立方体是由$L$ -栅栏滤子格的有向或无向Hasse图组成的，它是根据Lucas立方体的顶点（或元素）个数来匹配的。本文介绍了多项式的基本性质和几类多项式，例如：得到了匹配Lucas立方体的秩生成函数、立方体多项式和次数序列多项式。给出了关于二项式系数和Lucas三角形的一些特殊结论。
2019-03-02 math.CO
Face enumeration - from spheres to manifolds
证明了同调流形和半欧拉复形及偏序集的计数性质的一些新的限制。这些包括确定的仿射跨度的罚款$h$ -向量的平衡半欧拉复合体和复曲面$h$ -向量的半欧拉偏序集。当与Walkup的三维构造\cite{Wal}的高维类似物结合时，单纯同调流形的下界允许我们给出$S^1 \times S^3, \C P^2,$ $ K3$曲面的任意单纯三角剖分的$f$ -向量的完整表征，和$(S^2 \times S^2) # (S^2 \times S^2).$，我们还建立了一个原理，它导致了一个猜想的同调流形几乎是逻辑等值的$g$ -同调球面的猜想最后，我们证明了，有足够多的顶点，每一个三角化的同调流形没有边界的三维或更大的可以三角化的2-邻的方式。
2007-09-25 math.CO math.GT
On Promotion and Quasi-tangled Labelings of Posets
在2022年，Defant和Kravitz引入了扩展提升（表示为$\partial$），一个作用于偏序集的标号集的映射。扩展提升是Schützenberger提升算子的推广，Schützenberger提升算子是一个研究得很好的映射，置换偏序集的线性扩张集。已知如果$L$是$n$元素偏序集$P$的标号，则$\partial^{n-1}(L)$是线性扩张.这允许我们把$\partial$看作是$P$的所有标签的集合上的排序算子，其中我们把$P$的线性扩展看作是已经排序的标签。需要$\partial$的$n-1$应用程序进行排序的标记称为缠结;需要$n-2$应用程序的标记称为准缠结。除了计算根树偏序集的推广纤维的大小，我们计算了一个相对较大的偏序集类称为膨胀根树与放气叶的准纠缠标签。给定一个具有唯一极小元的$n$ -元偏序集，该极小元具有恰好一个父元的性质，从前面的枚举可以得出这个偏序集具有$2(n-1)!-(n-2)!$拟纠缠标号。使用类似的方法，我们概述了一个算法的方法来枚举的标签需要$n-k-1$应用程序进行排序的任何固定的$k\in\{1,\ldots,n-2\}$。我们也取得了部分进展，证明了一个猜想的Defant和Kravitz的最大可能数量的纠缠标签的$n$元素偏序集。
2022-08-18 math.CO
Pebble trees
Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）
本文研究了石子树的结构及其与凸多面体的关联，证明了石子树的收缩偏序集与石子树多面体的面偏序集同构，并展示了其在多面体构造中的应用。
2024-05-16 math.CO
Antichain polynomials of products of chains and minuscule posets
School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology（大连理工大学数学科学学院）
本文研究链与极小偏序集乘积的反链多项式，给出计数公式、回文性条件，证明零点性质并构造双射，解决猜想并给出反例。
2026-09-25 math.CO
Pattern avoidance in the matching pattern poset
集合$[2n]=\{ 1,2,\ldots ,2n\}$的匹配是将$[2n]$划分为具有两个元素的块，即$[2n]$上的图，使得每个顶点具有度1。给定两个匹配$σ$和$τ$，当$σ$可以从$τ$通过删除它的一些边并一致地重新标记剩余的顶点来获得时，我们说$σ$是$τ$的模式。这是一个偏序关系，它把所有匹配的集合变成一个偏序集，我们称之为匹配模式偏序集。在本文中，我们继续研究由Chen，Deng，Du，Stanley和Yan（2007），Jelinek和Mansour（2010），Bloom和Elizalde（2012）发起的模式避免匹配类。特别是，我们制定明确的公式来枚举类的匹配，避免两个新的模式，获得并列的较小的模式，我们描述了一个递归公式的生成函数的类的匹配，避免提升的模式和两个额外的模式。最后，我们引入了未标记模式的概念，作为一种组合的方式来收集模式，我们提供了两类匹配的枚举公式，避免了未标记模式的顺序三。在一种情况下，枚举遵循类和三叉树的匹配之间的有趣的双射。
2020-09-02 math.CO
Enumeration of Irredundant Forests
逆向搜萦是一种方便的枚举结构化对象的方法，既可以用来解决理论问题，也可以用来解决数据采掘问题。这种方法已经被成功地开发来处理无序树。如果文献中提出的解决方案，枚举树的单例，我们在这篇文章中研究一个更一般的问题，枚举的树集-森林。具体来说，我们主要研究非冗余森林，即，没有一棵树是另一棵树的子树。通过将每一个这样的森林压缩成一个有向无环图（DAG），我们开发了一个类似逆向搜萦的方法来枚举压缩无冗余森林的DAG。值得注意的是，我们证明了这些DAG是双射的行-菲什伯恩矩阵，一类研究的组合对象。在第二步中，我们推导出我们的非冗余森林枚举，以提供解决相关问题的算法：（i）经典意义上的森林枚举（允许冗余）;（ii）森林的“子森林”的枚举;（iii）频繁的“子森林”挖掘问题。本文中提出的所有方法都唯一地枚举每个项，直到同构。
2022-04-13 cs.DM cs.DS math.CO
Asymptotic Enumeration of Compacted Binary Trees of Bounded Right Height
压缩二叉树是从二叉树创建的图，使得原始树中重复出现的子树由指向现有子树的指针表示，因此每个子树都是唯一的。这样的表示形成一类特殊的有向无圈图。我们感兴趣的是给定大小的压缩树的渐近数，其中压缩树的大小由其内部节点的数量给出。由于其超指数增长，这个问题造成了许多困难。因此，我们限制我们的调查紧凑的树有界的权利的高度，这是最大数量的边缘去的权利，从根到叶的任何路径。我们解决了这个类以及密切相关的，进一步简化类的渐近计数问题。为此目的，我们开发了一个演算指数母函数紧凑的树有界的权利的高度和放松的树有界的权利的高度，从紧凑的树不同，通过下降上述的唯一性条件。这使我们能够推导出一个递归定义的序列的微分方程的指数母函数。然后可以通过对这些微分方程的解进行奇异性分析来确定系数。我们的主要结果是计算的渐近数的放松，以及紧凑的树有界的右高度和给定的大小，当大小趋于无穷大。
2022-03-09 cs.DM cs.DS math.CO
A note on limits of sequences of binary trees
本文提出基于子树大小的二叉树收敛概念，研究了其拓扑性质与度量空间结构，并针对随机输入下搜索排序算法产生的嵌套树序列，利用局部可交换性导出了具有混合渐近正态性的中心极限定理。
2023-05-26 math.CO math.PR
On maximum graphs in Tutte polynomial posets
本文通过 $(n,m)$ Tutte 多项式偏序集，证明先前发现的一致最优可靠图（UOR 图）不仅是全端可靠性的极大图，也是 Tutte 多项式本身导出的众多参数和多项式的极大图。
2025-03-04 math.CO
Enumeration in the lattice of $q$-decreasing words
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
本文证明了$q$-递减词按分量序构成格，枚举了$q>0$时的join-不可约元，对正有理数$q$给出了覆盖数、区间数和meet-不可约元的计数，并分析了渐近行为。
2026-06-19 cs.DM math.CO
Equivalence Classes Induced by Binary Tree Isomorphism -- Generating Functions
本文利用生成函数重述了有序与非同构有根二叉树的枚举结果，并提出了以节点数、特定颜色数和非同构兄弟子树数为参数的二色二叉树同构新枚举结果，给出了可乘性分离为简化方程的多变量生成函数。
2025-03-04 cs.NA math.CO math.NA
Between weak and Bruhat: the middle order on permutations
本文定义了排列上的“中间序”偏序 $\mathcal{P}_n$，证明其介于弱序与 Bruhat 序之间且为分配格，并研究了其区间、布尔区间的组合性质及对合限制下的 Möbius 函数。
2024-08-29 math.CO
Hall-Littlewood polynomials, affine Schubert series, and lattice enumeration
本文引入Hall-Littlewood-Schubert级数，通过变量替换解决p-adic格枚举等问题，提供Hecke级数新公式，并作为Stanley-Reisner环Hilbert级数的q-模拟，推广Littlewood恒等式。
2025-04-25 math.CO math.GR math.NT
