随机狄利克雷多项式根的期望个数
On the expected number of roots of a random Dirichlet polynomial
AI总结：
本文研究随机狄利克雷多项式在二进区间内根的期望个数，证明其近似为 $2/\sqrt{3}$ 倍黎曼 $ζ$ 函数零点数，并推广至导数情形。
摘要：
设 $T>0$，考虑随机狄利克雷多项式 $S_T(t)=Re\\, \sum_{n\leq T} X_n n^{-1/2-it}$，其中 $(X_n)_{n}$ 是均值为 $0$、方差为 $1$ 的独立同分布高斯随机变量。我们证明 $S_T(t)$ 在二进区间 $[T,2T]$ 内的根的期望个数（记为 $\mathbb{E} N(T)$）近似等于 $2/\sqrt{3}$ 乘以黎曼 $ζ$ 函数在临界带内高度不超过 $T$ 的零点个数。此外，我们还计算了 $S_T(t)$ 的 $k$ 阶导数在同一二进区间内的零点期望个数。我们的证明需要目前已知的黎曼 $ζ$ 函数的最佳上界，以及某些狄利克雷多项式的 $L^2$ 平均值的估计。
英文摘要：
Let $T>0$ and consider the random Dirichlet polynomial $S_T(t)=Re\, \sum_{n\leq T} X_n n^{-1/2-it}$, where $(X_n)_{n}$ are i.i.d. Gaussian random variables with mean $0$ and variance $1$. We prove that the expected number of roots of $S_T(t)$ in the dyadic interval $[T,2T]$, say $\mathbb{E} N(T)$, is approximately $2/\sqrt{3}$ times the number of zeros of the Riemann $ζ$ function in the critical strip up to height $T$. Moreover, we also compute the expected number of zeros in the same dyadic interval of the $k$-th derivative of $S_T(t)$. Our proof requires the best upper bounds for the Riemann $ζ$ function known up to date, and also estimates for the $L^2$ averages of certain Dirichlet polynomials.
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