Combinatorial Representation Theory
Hélène Barcelo, Arun Ram
我们试图调查领域的组合表示论，描述的主要结果和主要问题，并给出了更新的现状。我们在这个领域给出了一个个人观点，同时意识到有很多重要而美丽的工作，我们还没有能够提到。
We attempt to survey the field of combinatorial representation theory, describe the main results and main questions and give an update of its current status. We give a personal viewpoint on the field, while remaining aware that there is much important and beautiful work that we have not been able to mention.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Combinatorial Hopf algebras from representations of families of wreath products
通过推广Zelevinsky关于圈积表示的Hopf代数的一个定理，构造了其元素为组合自同构群表示的霍普夫代数.作为一个应用程序，我们重视对称函数表示的图形自同构群，概括和完善斯坦利的色对称函数。
Combinatorial operators for Kronecker powers of representations of $§_n$
我们提出了组合算子的对称群的不可约表示的Kronecker积的扩展。这些组合算子定义在对称函数环中，作用在Schur函数基上。这导致了一个组合描述的不可约表示的克罗内克权力的分区（n-1，1），专门的概念，以前定义的杨氏格振荡tableaux。孙达拉姆我们称我们的专门化为{ \it Kronecker tableaux}。他们的组合分析得出了形式为${\c^{(n-1,1)}}^{\otimes k}$的克罗内克幂中任何不可约表示的多重性的枚举结果。
Gale-Robinson quivers: from representations to combinatorial formulas
我们调查了一个家庭的表示盖尔-罗宾逊颤动，面向提供有关相应的集群代数的具体信息。通过这种方式，我们提供了一个表示理论的解释已知的组合公式的Gale-Robinson序列，也获得了类似的公式为其他几个集群变量。
Combinatorial representation theory of Lie algebras. Richard Stanley's work and the way it was continued
理查德斯坦利发挥了至关重要的作用，通过他的工作和他的学生，在发展相对较新的领域被称为组合表示论。在早期阶段，他的优点是指出了组合的潜力，表示论的应用组合方法。在他杰出的职业生涯中，他写了重要的文章，其中涉及各种组合方面的表示论（李代数，对称群等）。我描述了一些理查德的贡献涉及李代数，以及最近的事态发展的启发，他们（包括一些开放的问题），这证明了持久的影响，他的工作。
Combinatorial representations of Coxeter groups over a field of two elements
设$W$表示具有$n$生成元的单系Coxeter群。我们构造了二元有限域$F_2$上$W$的$n$维表示$ϕ$. $ϕ(W)$通过左乘作用于$F_2^n$对应于从Vogan图中提取和推广的组合结构。在A、D和E型的每种情况W下，我们确定了$F_2^n$在$ϕ(W)$作用下的轨道，并发现$ϕ$的核是$W.$的中心$Z(W)$
Representation stability of the cohomology of Springer varieties and some combinatorial consequences
一个$S_n$ -表示序列$\{V_n\}$被称为一致表示稳定的，如果$V_n = \bigoplus_μ c_{μ,n} V(μ)_n$分解为不可约表示对于每个$μ$独立于$n$-也就是说，对于每个$μ$，重数$c_{μ,n}$最终独立于$n$。Church-Ellenberg-Farb证明了旗簇的上同调（所谓的对角上不变代数）是一致表示稳定的。我们将他们的结果从旗形变种推广到所有的Springer纤维。更确切地说，我们表明，对于任何增加的子序列的杨图，相应的序列的Springer表示形式的分次co-FI-模的有限型（在Church-Ellenberg-Farb的意义）。我们还探讨了这种稳定性的一些组合后果。
On $J$-folded alcove paths and combinatorial representations of affine Hecke algebras
本文引入仿射Weyl群中的$J$-折叠alcove路径组合模型以构造仿射Hecke代数的表示，研究了其有界性，并提出将其组合公式与Kazhdan-Lusztig理论及Opdam的Plancherel定理相联系的猜想。
Permutation representations on invertible matrices
讨论了由简单组合属性定义的可逆矩阵的特殊集合上的$S_n \times S_n$的自然作用所得到的置换表示。我们把这些表示分解成不可约的。所涉及的多重性有一个很好的组合解释。我们还推广了已知的结果的共轭表示的$S_n$的渐近行为。
A combinatorial approach to classical representation theory
不变量理论的一个基本问题是描述多线性函数在群G作用下在表示V上的自同态代数。根据Weyl的经典，第一个主要（后来：基本）定理的不变理论提供了一个有限的生成集，这个代数，而第二个主要定理描述了线性关系之间的那些基本不变式。我们使用图解的方法进行外尔的程序更进一步，提供明确的基础的子空间的第r张量幂的权力V不变的作用下的G，这是另外保存的行动的长周期的对称群r字母。我们研究的表示基本上是那些发生在Weyl的书：定义表示的辛群，定义表示的对称群被认为是线性表示，和伴随表示的线性群。特别是，我们提出了一个透明的，组合证明的第二个基本定理的定义表示的辛群Sp（2n）。我们的公式是明确的，并提供了一个非常精确的链接（n+1）-非交叉完美匹配，超越了维度计数。将我们的论证扩展到这些表示的k次对称幂，所涉及的组合对象原来是（n+1）-非交叉k-正则图。作为推论，我们得到这些对象的循环筛分现象和自然旋转行动的实例。在一般情况下，我们推导出分支规则对应的图代数的表示在一个统一的方式。我们还计算了限制在对称群作用下的图代数的模的Frobenius特征，并且当n比r足够大时，得到了V的r次张量幂的同构分解.
Some Restriction Coefficients for the Trivial and Sign Representations
我们使用字符多项式得到一个积极的组合解释的多重性的符号表示在不可约多项式表示的$GL_n(\mathbb{C})$索引的两列和挂钩分区。我们的方法也产生了积极的组合解释的平凡表示的$S_n$在一个不可约多项式表示索引的挂钩分区的多重性。
Modular representation of Reductive Lie algebras and related combinatorial category
本文引入并研究了一个与Reductive Lie代数reduced enveloping algebras表示相关的组合范畴，该范畴与AJS范畴兼容，对研究Lusztig猜想具有重要意义。
Combinatorial Constructions of Weight Bases: The Gelfand-Tsetlin Basis
这项工作是一个项目的一部分重量基地的不可约表示的半单李代数的代表矩阵的Chevalley发电机给出明确的公式。在sl_n的情形中，著名的Gelfand-Tsetlin基是唯一已知的这样的基。使用Donnelly开发的支持图的设置，我们基于有理函数等式给出了Gelfand-Tsetlin公式的简单组合证明。通过求解半标准Young tableaux格上的某些方程的算法，导出了Gelfand-Tsetlin基的一些性质。
Gröbner methods for representations of combinatorial categories
给定一个组合性质的范畴C，我们研究以下基本问题：C的组合行为如何影响C的代数表示行为？我们证明了两个一般结果。第一个给出了一个组合的标准表示的C承认理论的Gröbner基地。由此，我们得到一个标准noetherianity的表示。第二类给出了C的Hilbert表示级数的一般“合理性”结果的组合判据。这个准则与形式语言的理论相联系，并充分利用了语言生成函数的结果，如转移矩阵方法和Chomsky-Schützenberger定理。我们的工作是出于最近的工作在文献中的各种具体类别的表示。我们的一般准则恢复了许多已经被特别方法证明的关于这些范畴的结果，并且经常产生更清晰的证明和更有力的陈述。举例来说：我们给出了一个新的，更强大的，证明FI-模（最初由Church-Ellenberg-Farb引入）和一族自然推广是Noether的;我们从有限域的一般表示论的研究中给出了Lannes-Schwartz artinian猜想的推广的简单证明;我们显著改进了Snowden引入的与Segre嵌入合冲有关的$Δ$ -模理论;建立了正特征扭交换代数的基本性质。
Combinatorics of asymptotic representation theory
对称群S_n的表示论与组合学密切相关：组合对象如Young tableaux和组合算法如Murnaghan-Nakayama规则。当n趋于无穷大时，这些组合对象和算法的结构变得复杂，很难从中提取出一些有意义的渐近问题的答案。为了克服这些困难，20世纪90年代，人们提出了一类关于对称群的表示论的对偶组合学。我们将集中在其亮点之一：Kerov多项式表示字符的条款，所谓的，自由累积量。
Unitary representations of cyclotomic Hecke algebras at roots of unity: combinatorial classification and BGG resolutions
我们涉及类的酉和校准表示分圆Hecke代数，特别是，我们表明，最重要的变形参数，这两个类相吻合。我们分类这些表示在两个多分区组合和作为点的基本凹下的仿射外尔群的作用。最后，我们通过BGG决议上同调构造这些模块。
Natural transformations of tensor algebras and representations of combinatorial groups
研究了张量代数的自然线性变换和余代数变换。给出了某些组合群的表示。这些表示与张量代数的自然变换和从James构造到闭路空间的映射的同伦类的群有关。应用同伦理论出现在续集。
Polynomial Representation of $F_4$ and a New Combinatorial Identity about Twenty-Four
有限维单李代数的表示的奇异向量是底层模中被正根向量无效的权向量。本文利用偏微分方程求出了基本不可约模上$F_4$型单李代数多项式表示的所有奇异向量。作为应用，我们得到了关于数24的一个新的组合恒等式和不变量的显式生成元。证明了次数为$k\geq 2$的齐次调和多项式空间所包含的不可约子模的个数为$\geq [|k/3|]+[|(k-2)/3|]+2$ .
A combinatorial realization of Schur-Weyl duality via crystal graphs and dual equivalence graphs
对于特殊线性群的任何多项式表示，对应晶体的节点可以通过半标准杨氏表格索引。在某些条件下，出现标准的Young tableaux，并且权重为0。标准Young tableaux也参数化对偶等价图的顶点。受表示论的启发，本文通过Schur-Weyl对偶的组合表示来解释这种联系。特别地，我们在某些晶体图的0-权空间上放置一个对偶等价图结构，从晶体边组合产生边。这种构造可以用Stembridge对晶体图和作者对对偶等价图给出的局部刻画来表示。
Combinatorial bases for covariant representations of the Lie superalgebra gl(m|n)
gl（m）的共变张量表示|n）作为自然（m+n）维表示的张量幂幂的不可约分量出现。我们构造了每个协变表示的基，并给出了gl（m）的生成元作用的显式公式|在此基础上。该基具有自然李子代数gl（m）和gl（n）作用于经典Gelfand-Tsetlin公式的性质。在构造中起主要作用的是这样一个事实：gl（m）的任何有限维不可约表示中gl（m）-最高向量的子空间|n）在Yangian Y（gl（n））上携带不可约模的结构。一个后果是一个新的证明的字符公式的协变表示首先发现的Berele和Regev和Sergeev。
Colored-Descent Representations of Complex Reflection Groups G(r,p,n)
研究复反射群G（r，p，n）。通过把这些群看作是圈积Z_r wr S_n的子群，并利用Clifford理论，我们定义了G（r，p，n）的组合参数和下降表示，这是经典外尔群已知的.其中一个参数是flag major index，它在将这些表示分解为不可约项时也起着重要作用。给出了一个关于组合参数与群的度的Carlitz型恒等式。
A Combinatorial Model for Exceptional Sequences in Type A
例外序列是特殊表示的某些有序序列。我们在一个有边界顶点的圆盘上使用非交叉边标记树（在T上展开）。Araya的工作）来分类Q的表示的例外序列，具有n个顶点的线性有序的序列。我们还展示了如何使用这个模型的变化来分类的C-矩阵的Q，解释例外序列的线性扩展，并给出一个简单的双射例外序列和某些链之间的格的非交叉分区。在c-矩阵的情况下，我们也给出了一个解释的c-矩阵突变的不交叉树的有向边。
A combinatorial $\mathfrak{sl}_2$-action and the Sperner property for the weak order
我们构造了一个简单的组合定义的$\mathfrak{sl}_2$表示，它尊重对称群上弱序的序结构。这是用来解决斯坦利的一个猜想，即弱序具有强Sperner性质，因此是一个Peck偏序集。
A Combinatorial Formula for the Wedderburn Decomposition of Rational Group Algebras and the Rational Representations of Ordinary Metacyclic $p$-groups
针对任意素数 $p$ 的普通亚循环 $p$-群，本文提出组合公式计算其有理群代数的 Wedderburn 分解，并给出不同次数不可约有理表示的计数公式及构造全部不等价不可约有理矩阵表示的方法。
On the relation of some combinatorial functions to representation theory
本文从表示论的角度研究了对称群$\sn$上几个著名的组合函数--主指数$\maj$、下降数$\des$和反转数$\inv$.我们证明了这些函数中的每一个在群代数中生成相同的理想，并且左正则表示对这个理想的限制同构于$n\times n$斜对称矩阵空间中的$\sn$的表示。这使我们能够获得公式的功能$\maj,\des,\inv$在矩阵方面的一个非常简单的形式。这些公式被应用到寻找在正规表示的研究中的元素的光谱，以及推导出一系列的身份，这些功能相互关联和固定点$\fix$的数量。\smallskip \noindent { \it Keywords：}主要指标，下降数，反转数，对称群的表示，反对称矩阵，对偶复杂度。
Hopf structures in the representation theory of direct products
组合霍普夫代数给出了一个线性代数结构的无限家庭的组合对象，进一步丰富了这些结构的分类，通过表示论的家庭代数的技术。本文研究了群论中的一个基本结构，直积，以及如何用它来建立表示论的霍普夫代数。一个关键的特殊情况给了我们非交换对称函数NSym，但是对于一般的霍普夫代数，我们可以说很多东西，包括它们的特征群的结构和对极的公式。
Polynomial Representation of $E_7$ and Its Combinatorial and PDE Implications
本文利用偏微分方程求出了$E_7$的基本不可约模上的多项式代数分解为不可约子模之和。此外，我们还得到了一个组合恒等式，即$E_7$的某些不可约模的维数与二项式系数为55有关。进一步证明了两类具有三个积分参数的不可约子模是对应于Cartan唯一四次$E_7$不变量的基本不变微分算子的解.
Standard multipartitions and a combinatorial affine Schur-Weyl duality
引入了标准多重划分的概念，并建立了参数q不是单位单位根的A型仿射Hecke代数的标准多重划分与带整数权的不可约表示之间的一一对应关系.然后，我们将对应关系推广到积分型的Ariki-Koike代数的所有Kleshchev多重划分。通过仿射Schur-Weyl对偶，我们进一步将其推广到标准多重划分和积分型Drinfeld多重多项式之间的对应关系，其相关的不可约多项式表示完全决定了量子圈代数的所有不可约多项式表示.我们将看到，特别是，标准multipartition的概念产生了一个组合描述的仿射舒尔-外尔对偶的列阅读与行阅读的残基multipartition。
Polynomial Representation of E6 and Its Combinatorial and PDE Implications
本文利用偏微分方程，求出了E6的基本不可约模上的多项式代数分解为不可约子模之和的问题。证明了与Dicksons不变三线性形式对应的三次多项式不变量是唯一的基本不变量。此外，我们还得到了一个组合恒等式，即E6的某些不可约模的维数与26的二项式系数相关。进一步，我们找到了对应于Dickson三线性形式的不变微分算子的所有多项式解，这些多项式解都是关于不可约子模的.
A combinatorial model for $q$-characters of fundamental modules of type $D_{n}$
受Mukhin和Young的工作启发，本文引入$D_n$型量子仿射代数表示的组合路径模型，通过路径分配单项式或二项式给出基本模$q$-特征标的组合公式，并由此得到基本模维数的新表达式。
Full Projective Oscillator Representations of Special Linear Lie Algebras and Combinatorial Identities
利用sl（n+1）的投射振子表示和Shen关于Witt代数的混合积，Zhao和第二作者（2011）构造了一个新的从sl（n）-Mod到sl（n+1）-Mod的函子。本文从n = 2开始，依次利用该函子得到了sl（n+1）的任意有限维不可约表示的全投射振子实现。给出了sl（n+1）的所有根向量用n（n+1）/2元一阶微分算子表示的公式.利用这一结果可以通过求解某些一阶线性偏微分方程来研究有限维不可约模的张量分解，从而得到相应的物理意义的Clebsch-Gordan系数和共形域论WZW模型中Knizhnik-Zamolodchikov方程的精确解.
A remark on Frobenius characters for set representations of symmetric groups
对于对称群$S_n$的任意集合表示（置换表示），给出了其Frobenius特征标在单项式对称函数基上展开的系数的组合解释.
A Littlewood-Richardson rule for evaluation representations of quantum affine sl(n)
给出GL（m）型仿射Iwahori-Hecke代数的两个赋值模的诱导积的合成因子的组合刻画.利用量子仿射Schur-Weyl对偶，给出了sl（n）型量子仿射代数的两个求值模的张量积的合成因子的组合描述.
Cayley's hyperdeterminant: a combinatorial approach via representation theory
通过表示论的组合方法，凯莱超行列式被证明为2x2x2数组不变多项式生成元，并扩展至多维数组
Representations of $\mathbb{N}^{\infty}$-type combinatorial categories
本文研究四类$\n\mathbb{N}^{\infty}$型组合范畴的表示，给出同调度显式上界，证明域上有限表现表示构成阿贝尔子范畴，还刻画了环化原子场上的层范畴并证明不可约层由本原单位根参数化。
Enhanced Nilpotent Representations of a Cyclic Quiver
我们定义了一组“增强”幂零锥表示，推广了增强幂零锥。这个集合允许一个由一个具有多个轨道的关联代数群$K$作用。我们定义了一个组合集，参数化的轨道集下，这一行动，我们得出一个纯粹的组合公式的轨道的尺寸。
On Representations of Weyl Groups attached to Spherical Varieties
研究关于光滑球形\(G\)簇\(X\)的外尔群表示，通过博雷尔 - 摩尔同调与博雷尔轨道结构分别构建两个表示，利用傅里叶 - 佐藤变换证明其同构，还将相关猜想转化为组合问题并解决了几个例子。
Towards a combinatorial representation theory for the rational Cherednik algebra of type G(r,p,n)
本文的目的是通过正交函数和交织算子，为G（r，p，n）型有理Cherednik代数的O范畴的组合研究奠定基础.作为第一个应用，我们给出了对角协不变环上Gordon定理（以前的Haiman猜想）对群G（r，p，n）（r>1）的类似的一个自包含的初等证明。我们对p没有任何限制; Vale使用类似于Gordon的技巧证明了p<r的结果。由于组合应用到海曼猜想，该文件是逻辑上自成一体的，除了标准的事实复杂的反射群。主要结果应该是访问数学家工作的代数组合谁是不熟悉的令人印象深刻的范围内使用的想法戈登的证明他的定理。
Representations of the Necklace Braid Group: Topological and Combinatorial Approaches
项链辫群$\mathcal{NB}_n$是欧几里得$\mathbb{R}^3$中的$n+1$组件项链链接$\mathcal{L}_n$的运动群。这里，$\mathcal{L}_n$由$n$成对的未链接的欧几里德圆组成，每个欧几里德圆链接到一个辅助圆。部分出于物理上的考虑，我们研究表示的项链辫群$\mathcal{NB}_n$，特别是那些得到的扩展表示的辫群$\mathcal{B}_n$和环辫群$\mathcal{LB}_n$。我们表明，任何不可约的$\mathcal{B}_n$表示扩展到$\mathcal{NB}_n$在一个标准的方式。我们还发现一些非标准的扩展几个著名的$\mathcal{B}_n$ -表示，如Burau和LKB表示。此外，我们证明了任何本地表示的$\mathcal{B}_n$（即来自一个编织向量空间）可以扩展到$\mathcal{NB}_n$，与$\mathcal{LB}_n$的情况相反。我们还从范畴和物理的角度讨论了未来的研究方向。
Young tableaux and representations of Hecke algebras of type ADE
引入并研究了ADE型仿射Hecke代数，推广了GL型仿射Hecke代数。我们构造了不可约的校准表示，并描述了校准谱。这是在新的家庭的组合对象配备了相应的外尔群的行动。这些对象是建立和推广通常的标准杨tableaux，并控制所考虑的仿射赫克代数。通过限制和极限过程，得到了有限Hecke代数和ADE型外尔群表示的几种组合模型.表示是由显式公式，在一个规范的形式。
A combinatorial rule for $GL$-multiplicities of $A_n$-quiver loci
研究A类箭图轨道闭包坐标环中不可约GL表示重数问题，提出首个对任意定向均有效的正组合规则，利用带晶体结构的组合对象最高权元计算重数，补充了复形簇情形的隐式描述。
A Mixed Robinson--Schensted--Knuth Construction in the Representation Theory of $\mathrm{GL}_n$ over Local non-Archimedean Fields
针对局部非阿基米德域上GL_n的表示，提出混合-RSK这一新型RSK变体的组合方法，计算其根基，解决了Erez Lapid的猜想。
Full Conformal Oscillator Representations of Orthogonal Lie Algebras and Combinatorial Identities
本文通过连续使用 Zhao 等人构造的函子，给出正交李代数最高权表示的一阶微分算子实现，并用于研究张量分解、Clebsch-Gordan 系数及 KZ 方程，同时得到 Steinberg 模维数的新组合恒等式。
On the Combinatorics of $\mathbb{F}_1$-Representations of Pseudotree Quivers
我们研究了$\mathbb{F}_1$上的正则表示.系数颤动是相当于$\mathbb{F}_1$的组合小工具-颤动的表示。我们专注于的情况下，当被删除的$Q$是一个伪树。对于这样的箭图，我们首先使用系数箭图的概念，提供一个完整的分类的渐近行为的不可分解表示$\mathbb{F}_1$。然后，我们证明了与伪树相关的李代数的一些基本结构结果。最后，我们构造的例子$\mathbb{F}_1$ -表示$M$的一个$Q$通过使用覆盖，下的欧拉示性数的一个纯粹的组合的方式计算的Grassmannian $\textrm{Gr}^Q_{\underline{d}}(M)$。
Perfect bases in representation theory: three mountains and their springs
为了给出半单群的张量积重数的组合刻划，寻找与李代数的Chevalley生成元作用相容的表示的基是有用的.有三个已知的例子，这样的基地，其中每一个流动的几何或代数山。值得注意的是，每座山都给出了相同的组合阴影：晶体B（infty）和Mirkovic-Vilonen多面体。为了区分这三个基地，我们介绍这些多面体上支持的措施。我们还报告了这些基地的相互作用与集群结构的坐标环上的最大幂幺子群。
Combinatorial insights on tensor power decomposition in $U_q(\mathfrak{sl}_2)-$module
本文研究$U(\mathfrak{sl}_2)$自然表示张量幂中不可约表示重数的组合解释，并将分析拓展到限制量子包络代数$U_q^{\mathrm{res}}(\mathfrak{sl}_2)$的二维表示，用组合技术阐明其张量幂重数及渐近行为。
Cyclic symmetries of A_n-quiver representations
这个简短的说明包含了一个组合结构的对称性所产生的辛几何（部分包裹或无穷小类），代数几何（导出范畴的奇点），和K理论（瓦尔德豪森的S-建设）。我们的具体动机（在Kontsevich的期望的精神，并采取了一般其他地方）是一个组合的建设量化的拉格朗日层（相当于微局部层在其许多伪装）。我们在这里解释的带状图的主要结果，本文给出了一个直接的解决方案的一维情况。
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