Tiling a rectangle with the fewest squares
Richard Kenyon
我们证明了一个正方形平铺的$p\times q$矩形，其中$p$和$q$是互素，至少有$\log_2p$平方。如果$q>p$，我们构造一个小于整数大小的$q/p+C\log p$正方形的正方形平铺，对于某些通用常数$C$。
We show that a square-tiling of a $p\times q$ rectangle, where $p$ and $q$ are relatively prime integers, has at least $\log_2p$ squares. If $q>p$ we construct a square-tiling with less than $q/p+C\log p$ squares of integer size, for some universal constant $C$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A note on tiling with integer-sided rectangles
我们将展示如何确定一个给定的简单的直线多边形是否可以平铺矩形，每个矩形都有一个整数边。
Faultfree Tromino Tilings of Rectangles
在本文中，我们考虑矩形的无故障tromino镶嵌，并描述允许这种镶嵌的矩形。我们引进的概念{ \it交叉数}的平铺和无故障平铺的交叉数的界限。我们开发了一个迭代方案，用于生成无故障tromino平铺矩形和导出的封闭形式的表达式的确切数目的无故障tromino平铺$4\times3t$矩形和确切的生成函数$5\times 3t$矩形，$t\geq 1$。我们的迭代方案推广到任意矩形;对于$6\times 6t$和$7\times 6t$矩形，$t\geq 1$，我们推导出生成函数，用于估计无故障平铺的数量的下界。我们还得到了一个上限上的数量tromino平铺的$m\times n$矩形，其中$3|mn$和$m,n>0$。
Tilings of polygons composed of equal rectangles by similar rectangles
设一个多边形由相等的矩形组成。我们发现所有的二次无理数r的多边形可以平铺类似的矩形与给定的边比r。
Generating function of the tilings of Aztec rectangle with holes
我们考虑一个生成函数的多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形与几个边界单位广场删除。我们的生成函数涉及两个统计：排名的瓷砖和一半数量的垂直多米诺骨牌在阿兹特克钻石定理由Elkies，Kuperberg，Larsen和Propp。此外，我们的工作推导出一个有趣的连接之间的菱形平铺的半六边形和多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形的数量的组合解释。
Enumeration of Domino Tilings of an Aztec Rectangle with boundary defects
Helfgott和Gessel给出了一个阿兹特克矩形的多米诺骨牌的数量，其中一个矩形的边界上有一个大小为1的缺陷。在本文中，我们扩展到的情况下，多米诺骨牌平铺的阿兹特克矩形缺陷的所有边界两侧。
Enumeration of tilings of quartered Aztec rectangles
推广了W. Jockusch和J. Propp通过列举四分之一阿兹特克矩形的镶嵌来研究四分之一阿兹特克钻石。利用子图替换法将Aztec矩形的对偶图转化为菱形六边形的对偶图，然后利用Lindström-Gessel-Viennot方法求菱形六边形的分块个数.
On tiling rectangles via the Frobenius number
本文给出了$n$维矩形可铺砖的几个充分条件。这些条件是通过使用所谓的Frobenius数得到的。
A special tiling of the rectangle
我们通过一组特殊的瓦片来计算边长为m-1和n-1的矩形的瓦片数。本文通过对Z × Z的n × n矩形图的邻接矩阵的核的研究，得到了这一结果。
Tiling n X m rectangles with 1 X 1 and s X s squares
我们考虑由不重叠的1 × 1正方形和s × s正方形组成的n个单位宽和m个单位长的矩形的平铺。二元生成函数的计算与传递矩阵法的适度大，但固定的宽度n作为参数m的函数和在矩形中的s × s平方数。
Tromino tilings of Domino-Deficient Rectangles
我们考虑了$m\times n$的多米诺骨牌缺失矩形的tromino拼接，其中$3|(mn-2)$和$m,n\geq0$，并刻画了所有允许这种拼接的多米诺骨牌移除情形，从而解决了J.M. Ash和S. \cite {marshall}中的Golomb。基于此特性，我们设计了一个程序，用于构建这样的瓷砖，如果存在的。我们还考虑这样的平铺计数的问题，并推导出确切的公式为$2\times(3t+1)$矩形的平铺数，确切的生成函数为$4\times(3t+2)$矩形，其中$t\geq0$，和上界的tromino平铺数为$m\times n$多米诺骨牌缺陷矩形。我们还考虑一般的2-不足$n\times4$矩形，其中$n\geq8$，并描述所有对的广场，不允许一个tromino平铺。
Generating functions for straight polyomino tilings of narrow rectangles
设$m,k$为固定的正整数。由$k\times 1$矩形确定$m\times n$矩形的平铺数的生成函数是一个长期存在的公开问题，其答案仅在某些特殊情况下是已知的。在$m<2k$ .此结果用于获得具有$k\times k\times 1$砖的$m\times n \times k$盒的平铺数的生成函数。
Tiling of rectangles with squares via Diophantine approximation
本文针对矩形与正方形拼接这一经典问题，提出了一种新的算法。与传统的电阻网络的方法扭曲，我们提供了新的和改进的结果，就此事使用的理论丢番图逼近，从而克服了长期以来的困难，如推广到高维类似物。该方法的通用性证明通过其应用到不同的平铺问题。这些包括平铺矩形与其他矩形，与它们各自的高维对应物，以及平铺等边三角形，平行四边形和长方体与等边三角形。
Transformations of 2-port networks and tiling by rectangles
本文研究了二端口网络，引入了压降和$Π$ -等价的新概念。主要结果是每个平面网络是$Π$ -等价于不超过5条边的网络。这意味着，如果一个八边形的字母$Π$可以平铺正方形，那么它可以平铺不超过5个矩形与合理的纵横比。1998年的凯尼恩定理只证明了6个矩形。
The minimum length of an axis-aligned rectangular tiling of a flat torus
该研究确定了平坦 torus 轴对齐矩形铺砌的最小周长总和，并证明该最小值可通过单个或两个矩形实现。
Straight polyomino tilings of rectangles and special rim-hook tableaux
通过故障线分解与Hadamard积框架，结合Littlewood恒等式和Graham定理，推导了$2k\ imes n$矩形被$k\ imes 1$直线瓷砖覆盖的加权生成函数显式表达式。
Tiling simply connected regions with rectangles
在[BNRR]中，它表明，平铺一般区域的两个矩形是NP-完全的，除了一些平凡的特殊情况。在另一个方向上，Rémila证明了对于由两个矩形简单连接的区域，可分块性可以在二次时间内解决（在该区域中）。我们证明了存在至多10^6个矩形的有限集，使得单连通区域的可分块性问题是NP-完全的，从而缩小了该领域正反结果之间的差距。我们还证明了计数这样的矩形平铺是P-完全的，这是第一个结果。
Generalizing the divisibility property of rectangle domino tilings
我们介绍了一类图称为复合图，广义矩形，这是一个平面的二分基图的副本。主要结果是：每一个复合图的完美匹配数都能被它的基图的完美匹配数整除。我们的方法是使用Kasteleyn定理来证明一个关键引理，其中整除定理组合地遵循。这个定理然后被应用于提供Propp的匹配的枚举问题21的证明，矩形的整除性。最后，我们提出了一个新的证明，在同样的精神，Ciucu的因式分解定理。
Tiling by rectangles and alternating current
本文研究多边形的矩形镶嵌问题。一个著名的物理解释，这种平铺由于R.L.布鲁克斯，C.A.B.史密斯，A.H.斯通和W.T. Tutte使用直流电路。本文的新方法是交流电路的应用。得到了如下结果：-矩形可被给定形状的矩形倾斜的必要条件; -矩形可被与其相似但不全位似的矩形倾斜的判据; -一般多边形可被正方形倾斜的判据.这些结果推广了C.弗赖林河Kenyon，M. Laczkovich，D. Rinne和G.塞凯雷斯
Double Aztec Rectangles
我们调查菱形瓷砖和多米诺骨牌瓷砖之间的连接，通过引入一个新的家庭的地区附加两个不同的阿兹特克矩形。我们证明了一个简单的产品公式的生成函数的平铺的新的区域，其中涉及的统计，在阿兹特克钻石定理（埃尔基，Kuperberg，拉森，和Propp，J.代数Combin。1992年）。此外，我们还考虑了生成函数与MacMahon的$q$ --适合于给定盒子的平面划分的枚举之间的联系
A Note on One-Hole Domino Tilings of Squares and Rectangles
本文研究奇数乘奇数矩形网格中单孔多米诺铺砖（即近完美匹配）的计数问题，证明了正方形网格任意特定空缺位置的近完美匹配数均为$2^k$的倍数，从而证实Kong猜想，并给出矩形情形的奇偶性判定。
A rigidity property of ribbon L-shaped n-ominoes and generalizations
设n为大于或等于4的偶数，T_n为带状L形n-角点集。本文利用T_n研究了正方形格上区域的平铺问题。我们的主要结果显示了一个显著的刚性性质：第一象限被T_n平铺是可能的当且仅当它简化为一个由2 × n和n × 2矩形平铺。一个应用是对所有可以被T_n平铺的矩形的分类：一个矩形可以被T_n平铺当且仅当它的两边都是偶数并且至少有一边可以被n整除。另一个应用是存在的局部移动性质的一个无限族的集合的瓷砖：T_n具有局部移动性质的类矩形区域关于局部移动互换平铺的n × n正方形由n/2垂直矩形，平铺的n/2水平矩形，每个垂直/水平矩形被覆盖的两个带状L形的n-ominoes。我们表明，这些结果是无效的任何n奇数。如果我们在T_n上增加一个额外的2 × 2的正方形，那么瓷砖的矩形图案仍然存在。当且仅当一个矩形的两边都是偶数时，它才能被较大的一组瓦片平铺。相比之下，将额外的偶数×奇数或奇数×奇数矩形添加到上述瓦片集合中的一个允许不遵守矩形图案的第一象限的瓦片化。
On Subtilings of Polyomino Tilings
我们考虑了一个关于矩形区域的有限多边形库的平铺问题。我们具体地查看尺寸为$n\times m$的矩形区域，并询问该区域的平铺是否可以被重新布置，使得$n\times m$矩形的平铺可以被实现为$n\times m'$矩形和$n\times m"$矩形的平铺，即$m=m'+m"$。我们称之为“小拼图”。我们表明，相关的判定问题是$\mathsf{NP}$ -完全时，仅限于矩形多项式。我们还表明，对于某些有限库的polyominoes，如果$m$是足够大的，一个subtiling总是存在的，并给出界限。
On the number of tilings of a square by rectangles
本文给出了一个计算正方形矩形化次数的递归公式，即计算正方形与矩形组合不同的拼接次数。我们的公式专门给出一个计算一般矩形化的公式，如Reading在[5]中所分析的。我们的计算与[5]的计算一致，并推广到非一般情况。矩形化的数量的一个有趣的特征是它似乎具有模2的8倍周期性。我们验证了这种周期性的小值n，但一般的结果仍然难以捉摸，也许暗示在一些看不见的结构上的矩形空间，类似于阅读的发现，通用矩形是在1-1对应的某一类排列。最后，我们用离散的莫尔斯理论证明了由小于或等于n个矩形构成的镶嵌空间同伦等价于由若干个（n-1）维球面构成的楔形。结合分片数的计算公式，计算了$n\leq 28$的精确同伦类型。
The tilings of deficient squares by ribbon L-tetrominoes are diagonally cracked
我们考虑由带状$L$ -tetrominoes的集合$\mathcal{T}_4$的亏矩形的镶嵌。平铺存在当且仅当矩形是奇边正方形。丢失的单元格位于主NW-SE对角线上，如果正方形是$(4m+1)\times (4m+1)$，则位于奇数位置，如果正方形是$(4m+3)\times (4m+3)$，则位于偶数位置。平铺中的大多数平铺是成对的，每对平铺一个$2\times 4$矩形。不规则位置的瓦片和缺失的单元形成了一个NW-SE对角裂纹，位于对角线对称的薄区域中，由重叠在一个角单元上的$3\times 3$正方形组成。裂缝把正方形分成两个相等面积的部分。$(4m+1)\times (4m+1)$亏格的平铺数等于$2m\times 2m$正方形的多米诺骨牌平铺数。$(4m+3)\times (4m+3)$缺陷正方形的平铺数是$(2m+1)\times (2m+1)$缺陷正方形的多米诺骨牌平铺数的两倍，缺失单元格位于主对角线上。如果将额外的$2\times 2$图块添加到$\mathcal{T}_4$，则我们将新图块集称为$\mathcal{T}_4^+$。亏矩形的$\mathcal{T}_4^+$平铺存在当且仅当该矩形是奇边正方形。丢失的单元格位于主NW-SE对角线上，如果正方形是$(4m+1)\times (4m+1)$，则位于奇数位置，如果正方形是$(4m+3)\times (4m…
Signed tilings by ribbon L n-ominoes, n even, via Groebner bases
令$\mathcal{T}_n$为某个$n\ge 4$偶数的带状$L$形状的$n$ -ominoes的集合，令$\mathcal{T}_n^+$为带有额外$2\times 2$正方形的$\mathcal{T}_n$.本文利用$\mathcal{T}_n$和$\mathcal{T}_n^+$研究了矩形的符号镶嵌问题。我们证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n$当且仅当矩形的两边都是偶数，其中之一是可分的$n$，或如果一边是奇数，另一边是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们还证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n^+, n\ge 6$偶数，当且仅当矩形的两边都是偶数，或如果一侧是奇数和另一侧是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们的证明是基于展览的显式Gröbner基地的理想所产生的多项式相关联的平铺集。特别是，我们表明，\emph{ V.~Nitica, Every tiling of the first quadrant by ribbon $L$ $n$-ominoes follows the rectangular pattern. Open Journal of Discrete Mathematics, {\em 5}, (2015) 11--25,}中的一些定期平铺结果不…
Fault-Free Tileability of Rectangles, Cylinders, Tori, and Möbius Strips with Dominoes
我们周围到处都是瓦片，我们的好奇心吸引我们去研究它们的特性。瓷砖是一种在木板上排列棋子的方式，这样就没有未覆盖的空间，也没有被一个以上瓷砖覆盖的空间。特别是，我们研究了无故障平铺板与多米诺骨牌。为了无故障，与瓷砖相交的每条线也必须与至少一个瓷砖的内部相交。无故障矩形板已经得到了很好的研究，但我们看看板是圆柱体，环面，和默比乌斯带。使用多米诺骨牌，我们研究各种形状的董事会，看看如何瓷砖的变化。我们得到了圆柱、圆环和默比乌斯带的完整结果。
Signed tilings by ribbon L n-ominoes, n odd, via Groebner bases
我们表明，一个矩形可以签署平铺带状L n-ominoes，n奇数，当且仅当它有一个边整除n。我们的技术的一个后果，基于一个明确的Groebner基础的展览，是任何k-膨胀的副本的斜L n-omino有一个签署平铺斜L n-ominoes。我们还讨论了经常平铺带状L n-ominoes，n奇数，矩形和更一般的地区。我们表明，在这种情况下，障碍物出现，没有被检测到签署平铺。
T-Tetrominos in Arithmetic Progression
本文针对T-tetrominos铺砌矩形的经典结论，研究所有合法铺砌中必然存在的有序性程度，以骨牌算术级数的长度作为有序性度量标准。
Polynomial mixing of the edge-flip Markov chain for unbiased dyadic tilings
我们给出了第一个多项式上界的混合时间的边缘翻转马尔可夫链无偏并元平铺，解决了一个开放的问题，最初由詹森，兰德尔和斯宾塞在2002年。大小为n的二元平铺是单位正方形通过n个非重叠二元矩形的平铺，每个二元矩形的面积为1/n，其中二元矩形是对于非负整数a，b，s，t可以写成[a2^{-s}，（a+1）2^{-s}] \times [b2^{-t}，（b+1）2^{-t}]形式的任何矩形。边缘翻转马尔可夫链选择平铺的随机边缘，并且如果这样做产生有效的二元平铺，则用其中垂线替换它。具体地说，我们证明了边翻转马尔可夫链的弛豫时间最多为O（n^{4.09}），这意味着混合时间最多为O（n^{5.09}）。我们通过证明弛豫时间至少为Ω（n^{1.38}）来补充这一点，改进了来自链直径的Ω（n \log n）的先前最佳下界。
New Combinatorial Interpretations of the Fibonacci Numbers Squared, Golden Rectangle Numbers, and Jacobsthal Numbers Using Two Types of Tile
我们考虑$n$ -板（大小为$n\times1$的板）的平铺，其具有单位宽度的正方形和$(1,1)$ -栅栏瓦片. $(1,1)$栅栏瓦片由两个单位宽度的正方形子瓦片组成，子瓦片由单位宽度的间隙隔开。我们表明，使用单位宽度的正方形和$(1,1)$栅栏瓷砖瓷砖的$n$板的方式的数量是等于一个斐波那契数的平方时，$n$是偶数和黄金矩形数（两个连续的斐波那契数的产品）时，$n$是奇数。我们还表明，使用$n$，如广场和栅栏瓷砖的板的平铺数是一个Jacobsthal数。使用组合技术，我们证明身份涉及费波纳契和Jacobsthal数的总和在一个简单的方式。其中一些身份似乎是新的。我们还构造并获得了一个已知的Pascal三角形（沿一侧有交替的1和0），其第$(n,k)$条目是使用$n$瓦片（其中$k$是栅栏瓦片）的平铺数的身份。在这个三角形和类似的$n$板的镶嵌三角形之间有一个简单的关系。三角形和Riordan阵列之间的连接也被证明。借助三角形，我们将斐波那契数的平方、黄金矩形数和雅各布斯塔尔数表示为两个二项式系数乘积的双重和。
Tiling Parity Results and the Holey Square Solution
我们证明组合的奇偶性的多米诺骨牌平铺的一个区域的数量等于奇偶性的多米诺骨牌平铺的一个特定的子区域的数量。利用这个结果，我们可以解决多孔平方猜想。此外，我们给出了其他几个平铺奇偶校验结果的组合证明，包括一个特定的矩形家庭的多米诺骨牌平铺的数量总是奇数。
Tetromino tilings and the Tutte polynomial
我们考虑用T形四分块来平铺大小为4 m x 4 n的矩形。每个图块都被分配了一个权重，该权重取决于其在晶格上的方向和位置。对于一个特定的选择的权重，平铺的生成函数被示出为多变量Tutte多项式Z\_G（Q，v）（也称为物理学家的分拆函数的Q-状态Potts模型）的评价（m-1）x（n-1）矩形G，其中参数Q和边缘权重v可以采取任意值取决于瓦片的权重。
The smallest square tileable by pairwise incomparable integer rectangles
本文证明 27 是可被两两不可比较的整数矩形铺砌的最小正方形边长，通过结构约简与穷举搜索验证了所有 n≤26 的情况。
The Number of Ribbon Tilings for Strips
本文研究了矩形和带状的 $n$ 阶带状铺砌数量，证明了增长率的存在性并给出上下界，同时构建递归系统枚举了 $n \leq 8$ 的带状铺砌及其生成函数。
Auspicious tatami mat arrangements
\emph{auspicious tatami mat arrangement}是具有两种类型的瓦片的直线区域的瓦片，$1 \times 2$瓦片（二聚体）和$1 \times 1$瓦片（单体）。平铺必须覆盖区域并满足平铺的四个角不相交的约束;此类平铺称为\emph{tatami tilings}。本文的主要研究对象是矩形区域。我们提供了一个结构表征的矩形榻榻米瓷砖，并用它来证明，瓷砖是完全由其边界上的瓷砖。我们证明了含有$n$单体的$n \times n$正方形的榻榻米拼接数是$n2^{n-1}$。我们还表明，对于固定的高度，一个矩形的榻榻米平铺的数量的生成函数是一个有理函数，并概述了一个算法，产生的生成函数。
An Algebraic Approach to the Arithmetic of Square Tilings
本文提出一种代数方法，通过块矩阵编码平铺几何，利用区间矩阵的全幺模性证明二维方形平铺分母最小公倍数以2^n为界，并推广到d维得到d^n界，同时简洁证明Kenyon定理。
Singular polynomials of generalized Kasteleyn matrices
Kasteleyn通过考虑邻接矩阵的一个突变：Kasteleyn矩阵K来计算矩形的多米诺骨牌的数量。本文给出了Kasteleyn矩阵的一个推广和KK^ \ast的特征多项式（我们称之为奇异多项式）的系数的组合解释，其中K是平面二部图的广义Kasteleyn矩阵.我们还提出了一个Q-版本的这些想法和一些结果，如矩形的特殊区域的平铺。
An upper bound on the per-tile entropy of ribbon tilings
针对一般区域的 $n$-带状铺砌，本文证明每瓦熵不超过 $\log_2 n$，改进了一般区域及增长矩形上的已有上界。
Signed shape tilings of squares
设T是笛卡尔平面上的一个瓦片，它由许多矩形组成，矩形的角有有理坐标，矩形的边平行于坐标轴。本文给出了正方形可由多个与T形状相同的\Q加权瓦片倾斜的充要条件，以及正方形可由多个与T形状相同的\Z加权瓦片倾斜的充要条件。我们使用的主要工具是F的一个变体。W. Barnes的砖块堆积的代数理论，它将平铺问题转化为交换代数中的问题。
Counting tilings of the $n \times m$ grid, cylinder, and torus
本文提出统一框架，用任意瓦片集并纳入几何对称与行列循环移位，计算矩形网格、圆柱面和环面的铺砌数，推广了已有两色环面铺砌计数工作。
The Phase Transition for Dyadic Tilings
一个n阶的并元瓦片是通过水平或垂直切割从单位正方形通过n个连续二等分获得的任何矩形。令每个n阶的二元图块以概率p可用，独立于其他图块。我们证明，对于p足够接近1，存在一组成对不相交的可用瓦片，其并集是单位平方，当n->无穷大时概率趋于1，正如Joel Spencer在1999年所证明的那样。特别地，我们证明了，如果p=7/8，这样的平铺存在的概率至少为1-（3/4）^n。这个证明涉及到一个令人惊讶的微妙的计数参数，用于防止平铺的不可用的瓷砖集。
Hard and Easy Instances of L-Tromino Tilings
我们研究了在正方形晶格中的L形trominoes区域的平铺。一般来说，判定任意区域是否存在具有L-trominoes的瓦片是NP完全的，尽管如此，我们还是确定了对该问题的限制，即它要么保持NP完全，要么具有多项式时间算法。首先，我们描述的可能性时，阿兹特克矩形和阿兹特克钻石有一个L-特罗米诺瓷砖。然后，我们研究了任意区域的平铺只有$180^\circ$旋转的L-特罗米诺。对于这种特殊的情况下，我们表明，决定存在的瓷砖仍然是NP-完全的，但是，如果一个区域不包含某些所谓的“禁止polyominoes”作为子区域，那么存在一个多项式时间算法决定瓷砖。
When Can You Tile an Integer Rectangle with Integer Squares?
本文刻画了整数矩形可被边长至少为2的整数正方形铺满的条件：当两维均至少为10时总是可行，小维度时行为呈周期性或由穷举确定。
Compactness Theorems for Geometric Packings
莫泽问，尺寸为1 x 1/2，1/2 x 1/3，1/3 x 1/4，...，总面积等于1的正方形的集合是否可以无重叠地装入单位正方形，边长为1/2，1/3，1/4，.可以无重叠地组合成一个面积为pi ^2/6-1的矩形。人们已经分别对将这些集合包装成边长为1+ π的正方形和面积为π ^2/6-1+ π的矩形进行了计算研究，并且可以考虑这样一个显然较弱的问题：对于每个正数π，这种包装是否可能。在本文中，我们建立了一个一般定理序列的几何包装，这意味着特别是“为每一个ε”的版本，这两个问题实际上是等价的原始平铺问题。
Counting With Irrational Tiles
介绍并研究了单位高矩形的无理分块数。我们证明了这些数的序列类与N-有理数生成函数的对角线类和一类特定的二项式多重和重合。然后，我们给出渐近应用，并建立连接到超几何函数和Catalan数。
Generic rectangulations
本文研究了通用矩形划分的计数问题，通过建立与避免特定模式的排列集之间的双射关系，提出了新的计数方法。
Decidability and Periodicity of Low Complexity Tilings
本文研究二维网格$\mathbb{Z}^2$的着色（或平铺）问题。如果着色的所有$n\times m$子图案都在$P$中，则该着色被称为相对于$n\times m$矩形图案的集合$P$有效。如果存在$m,n\in\mathbb{N}$和$n\times m$矩形图案的集合$P$，使得$c$相对于$P$和$|P|\leq nm$有效，则着色$c$被称为相对于矩形具有低复杂度。自1997年提出以来，Nivat猜想一直是开放的，它指出这样的着色必然是周期性的。如果Nivat猜想成立，则所有关于$P$的有效着色使得$|P|\leq mn$必须是周期性的。我们证明了在有效的周期染色中至少存在一个周期染色。我们使用这个结果来调查平铺问题，也被称为多米诺骨牌问题，这是众所周知的，在其充分的一般性是不可判定的。然而，我们表明，它是可判定的低复杂性设置。然后，我们使用我们的结果表明，Nivat的猜想成立的一致递归配置。这些结果也可以推广到其它凸形代替矩形。在此之后，我们证明了$nm$界是乘法最优的多米诺骨牌问题的可判定性，因为对于所有的$\varepsilon>0$，它是不可判定的，以确定是否存在一个有效的着色为一个给定的$m,n\in \mathbb{N}$和一组矩形模式$P$的大小$n\times m$，使$|P|\leq (1+\varepsilon)nm$。我们证明了一个稍微好一点的情况下，…
Domino tilings of cylinders: connected components under flips and normal distribution of the twist
我们考虑$3$ -维离散区域的多米诺平铺.三维多米诺骨牌是一个2x2 x1的长方体。我们特别感兴趣的地区的形式$R_N = D \times [0,N]$ $D$是一个固定的quadriculated磁盘。在维度3中，扭曲将整数$Tw(t)$与每个平铺$t$相关联。我们证明，当PDMATHAMR趋于无穷大时，扭转遵循正态分布。翻转是一种局部移动：两个相邻的平行多米诺骨牌被移走并放回不同的位置。扭转在翻转下不变。四次圆盘$D$是正则的，如果只要$R_N$的两个平铺$t_0$和$t_1$满足$Tw(t_0) = Tw(t_1)$，只要允许一些额外的垂直空间，$t_0$和$t_1$可以通过一系列翻转连接。许多大的磁盘是规则的，包括矩形$D = [0,L] \times [0,M]$与$LM$甚至和$L,M \ge 3$。对于规则的磁盘，我们描述了较大的连接组件下翻转的一组平铺的区域$R_N = D \times [0,N]$。作为推论，令$p_N$为$D \times [0,N]$的两个随机镶嵌$T_0$和$T_1$可以通过翻转序列连接（条件是它们的扭曲相等）的概率。则$p_N$趋于1当且仅当$D$是正则的。在一个适当的等价关系下，镶嵌的集合有一个群结构，多米诺群。这些结果说明了多米诺群决定了圆柱体$R_N = D \times [0,N]$的平铺空间的许多性质，特别是对于大的$N$。
Slack-Pack algorithm for Meir-Moser packing problem
针对 Meir-Moser 矩形铺砌问题，本文提出允许零件堆间留隙的 Slack-Pack 算法，以论证 Tao 关于大索引矩形可铺满等面积正方形的结果可推广至 t=1。
Billiard Orbits in Young Diagrams: Medial Links, Bicycle Spaces, and Domino Tilings
本文研究 Young 图中对角台球轨道的计数，将其与中缀链、二进制自行车空间及多米诺骨牌平铺联系起来，给出精确公式、奇偶性限制及渐近下界。
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