On Subtilings of Polyomino Tilings
我们考虑了一个关于矩形区域的有限多边形库的平铺问题。我们具体地查看尺寸为$n\times m$的矩形区域，并询问该区域的平铺是否可以被重新布置，使得$n\times m$矩形的平铺可以被实现为$n\times m'$矩形和$n\times m"$矩形的平铺，即$m=m'+m"$。我们称之为“小拼图”。我们表明，相关的判定问题是$\mathsf{NP}$ -完全时，仅限于矩形多项式。我们还表明，对于某些有限库的polyominoes，如果$m$是足够大的，一个subtiling总是存在的，并给出界限。
2016-06-17 math.AC math.CO
Golden-Ratio-Based Rectangular Tilings
通过沿着一个轴绘制位于$ϕ$的所有偶数次幂处的垂直和水平网格线，以及沿着另一个轴绘制位于$ϕ$的所有奇数次幂处的垂直和水平网格线，来构造欧几里德平面的第一象限的基于黄金比例的矩形平铺。由这些线形成的矩形的顶点可以由从原点开始的具有$ϕ$的奇次幂的斜率的射线连接。这种平铺的细化结果是沿着每个轴以$ϕ$的每个幂的水平和垂直网格线。给出了几种已知幂级数在$ϕ$中收敛的几何证明。
2016-11-01 math.CO math.HO math.MG
A special tiling of the rectangle
我们通过一组特殊的瓦片来计算边长为m-1和n-1的矩形的瓦片数。本文通过对Z × Z的n × n矩形图的邻接矩阵的核的研究，得到了这一结果。
2001-09-06 math.CO
Asymptotics of random domino tilings of rectangular Aztec diamonds
我们考虑一类域，我们称之为矩形阿兹特克钻石的多米诺骨牌平铺模型的对称性。我们证明了相应高度函数的大数定律，并提供了明确的极限公式。对于一类特殊的例子，给出了冻结边界的显式参数化。它是一条具有特殊性质的代数曲线。此外，我们建立了收敛的波动高斯自由场在适当的坐标。我们的主要工具是最近开发的离散粒子系统的矩方法。
2017-06-22 math-ph math.CO math.MP
New results on torus cube packings and tilings
本文考虑立方体$[0,N]^n$到环面$Z^n / 2NZ^n$的整数平移的顺序随机填充.两种特殊情况下是特别感兴趣的：（一）$N=2$的情况下，这对应于一个离散的情况下，平铺（考虑在\cite{cubetiling,book}）（二）$N=\infty$的情况下，对应于一个连续平铺的情况下（考虑在\cite{combincubepack,book}）这两种情况下，对应于一些特殊的组合结构，我们在这里描述新的发展。
2014-10-03 math.CO math.MG
$SL_2(\mathbb{Z})$-tilings of the torus, Coxeter-Conway friezes and Farey triangulations
$SL_2$镶嵌的概念是对经典Coxeter-Conway中楣图案概念的推广。我们对包含正整数矩形域的双反周期$SL_2$ -镶嵌进行分类。每个这样的$SL_2$ -镶嵌对应于一对镶边图案和一个具有正整数系数的幺模$2\times2$ -矩阵。我们将这个概念与Farey图中的三角化$n$ -图联系起来。
2014-04-16 math.CO math.NT
Counting tilings of the $n \times m$ grid, cylinder, and torus
本文提出统一框架，用任意瓦片集并纳入几何对称与行列循环移位，计算矩形网格、圆柱面和环面的铺砌数，推广了已有两色环面铺砌计数工作。
2023-12-22 math.CO math.GR
A factorization theorem for classical group characters, with applications to plane partitions and rhombus tilings
我们证明了一个Schur函数的矩形$(M^n)$的变量专门为$x_1,x_1^{-1},...,x_n,x_n^{-1}$分解成一个产品的两个奇数正交字符的矩形，其中之一是评估在$-x_1,...,-x_n$，如果$M$是偶数，而它分解成一个产品的一个辛字符和一个偶数正交字符的矩形，如果$M$是奇数。进一步证明了第一因子分解蕴含一个关于六边形的菱形镶嵌的因子分解定理，它在平面剖分方面有一个等价的公式。对于矩形形状分别为$(M^n)$和$(M^{n-1})$的两个Schur函数之和，证明了一个类似的分解定理.
2008-12-06 math.CO math.RT
Combinatorial Interpretations of $q$-Fibonacci Numbers and Their Binomial Analogues
本文提出一个推广Bergeron方法的q-Fibonacci数新模型，为q-Fibonomial系数的阶梯模型提供非双射证明，并展示了涉及该系数的新恒等式，增强了对相关数学对象的组合理解。
2024-10-10 math.CO
A rigidity property of ribbon L-shaped n-ominoes and generalizations
设n为大于或等于4的偶数，T_n为带状L形n-角点集。本文利用T_n研究了正方形格上区域的平铺问题。我们的主要结果显示了一个显著的刚性性质：第一象限被T_n平铺是可能的当且仅当它简化为一个由2 × n和n × 2矩形平铺。一个应用是对所有可以被T_n平铺的矩形的分类：一个矩形可以被T_n平铺当且仅当它的两边都是偶数并且至少有一边可以被n整除。另一个应用是存在的局部移动性质的一个无限族的集合的瓷砖：T_n具有局部移动性质的类矩形区域关于局部移动互换平铺的n × n正方形由n/2垂直矩形，平铺的n/2水平矩形，每个垂直/水平矩形被覆盖的两个带状L形的n-ominoes。我们表明，这些结果是无效的任何n奇数。如果我们在T_n上增加一个额外的2 × 2的正方形，那么瓷砖的矩形图案仍然存在。当且仅当一个矩形的两边都是偶数时，它才能被较大的一组瓦片平铺。相比之下，将额外的偶数×奇数或奇数×奇数矩形添加到上述瓦片集合中的一个允许不遵守矩形图案的第一象限的瓦片化。
2014-06-03 math.CO
Sandpiles and Dominos
我们考虑的阿贝尔沙堆组的网格图组成的配置的沙子是对称的关于中心的垂直和水平轴的子群。我们表明，这个组的大小是（i）多米诺骨牌的数量相应的加权矩形棋盘;（ii）一个产品的切比雪夫多项式的特殊值;和（iii）一个双重产品的因素是三角函数的值的平方和。我们提供了一个新的推导公式，由于Kasteleyn和Temperley和Fisher计数多米诺瓷砖的数量的2 m × 2n的矩形棋盘和一个新的方式计数多米诺瓷砖的数量的2 m × 2n的棋盘上的默比乌斯带。
2014-05-31 math.CO
DNA Origami and Unknotted A-trails in Torus Graphs
出于确定DNA折纸自组装中的脚手架链的未打结路线的问题，我们研究了嵌入在环面上的图中的A-踪迹的存在性和打结性。我们证明了棋盘可着色环面图中的任何A-迹都是无结的，并利用相关嵌入中的拟树对刻画了棋盘可着色环面图中A-迹的存在性。表面网格是DNA纳米结构自组装的常见目标，因此我们研究了三角形和矩形环面网格。我们证明了，除了一个例外的家庭，三角形环面网格包含A-轨迹当且仅当它有一个奇数顶点，这样的A-轨迹必然是unknotted。另一方面，虽然每个矩形环面网格包含一个unknotted的A-线索，我们还表明，任何环面结可以实现为一个A-线索在一些矩形网格。最后，我们使用一个胶合操作，以构建无限家庭的三角形和矩形网格包含unknotted A-线索表面上的任意属。我们也给无限家庭的三角形网格不包含unknotted A-线索表面的任意非零属。
2017-03-21 math.CO
Applications of Three Dimensional Extremal Length, I: Tiling of a Topological Cube
给定一个封闭的拓扑立方体的三角剖分，我们表明（在某些技术条件下）有一个基本上是唯一的平铺矩形平行六面体立方体，索引的顶点的三角剖分。此外，i -组合学被保留，ii-边界被保留：对应于长方体的角的立方体的顶点在拓扑立方体的角。此外，立方体的大小作为一个变分问题的解决方案，这是一个离散版本的概念，极值长度在三维欧几里得空间。
2011-05-11 math.CO math.GT
A class of maps on the torus and their vertex orbits
平面的平铺（边到边）是覆盖平面而没有间隙或重叠的平铺族。平铺中顶点的顶点图形是与该顶点相关的所有边的并集。一个镶嵌是$k$ -顶点齐次的，如果任意两个顶点具有全等的顶点图形，并且这两个顶点关于镶嵌的所有对称的群精确地形成$k$传递类.本文讨论了如果一个映射是一个平面的$k$ -顶点齐次格（$k \ge 4$）的商，那么顶点轨道数的精确界是什么。
2022-01-20 math.CO math.GT
A Note on One-Hole Domino Tilings of Squares and Rectangles
本文研究奇数乘奇数矩形网格中单孔多米诺铺砖（即近完美匹配）的计数问题，证明了正方形网格任意特定空缺位置的近完美匹配数均为$2^k$的倍数，从而证实Kong猜想，并给出矩形情形的奇偶性判定。
2025-06-03 math.CO
Semi-equivelar maps on the torus are Archimedean
如果曲面上的映射中所有顶点处的面圈都是同一类型的，则该映射称为半等值面映射。平面上有十一种阿基米德镶嵌。所有的阿基米德镶嵌都是半等值线映射。如果环面上的映射$X$是平面上阿基米德镶嵌的商，则映射$X$是半等价的。我们证明了环面上的每个半等值线映射都是平面上阿基米德镶嵌的商。点传递映射是半等价映射。我们知道环面上的四种半等幅映射总是点传递的，还有其他七种半等幅映射不是点传递的例子。本文证明了环面上任意半等值线映射$Y$的顶点的${\rm Aut}(Y)$ -轨道数至多为6.事实上，除了一类半等幅映射外，轨道的数目至多为三个。我们对轨道数的界限是很明确的。
2017-06-30 math.CO math.GT
Rectangular tileability and complementary tileability are undecidable
一个给定的一组多项式是否平铺某个矩形？我们证明了这个问题是不可判定的。在不同的方向上，我们也考虑平铺平面的上有限子集。对于这个问题的许多变体，可分块性是不可判定的。然而，我们提出了一个算法来测试是否补有限区域是平铺的矩形集。
2012-12-14 cs.CC cs.CG math.CO
Tiling simply connected regions with rectangles
在[BNRR]中，它表明，平铺一般区域的两个矩形是NP-完全的，除了一些平凡的特殊情况。在另一个方向上，Rémila证明了对于由两个矩形简单连接的区域，可分块性可以在二次时间内解决（在该区域中）。我们证明了存在至多10^6个矩形的有限集，使得单连通区域的可分块性问题是NP-完全的，从而缩小了该领域正反结果之间的差距。我们还证明了计数这样的矩形平铺是P-完全的，这是第一个结果。
2013-05-13 cs.CC cs.CG math.CO
Decidability and Periodicity of Low Complexity Tilings
本文研究二维网格$\mathbb{Z}^2$的着色（或平铺）问题。如果着色的所有$n\times m$子图案都在$P$中，则该着色被称为相对于$n\times m$矩形图案的集合$P$有效。如果存在$m,n\in\mathbb{N}$和$n\times m$矩形图案的集合$P$，使得$c$相对于$P$和$|P|\leq nm$有效，则着色$c$被称为相对于矩形具有低复杂度。自1997年提出以来，Nivat猜想一直是开放的，它指出这样的着色必然是周期性的。如果Nivat猜想成立，则所有关于$P$的有效着色使得$|P|\leq mn$必须是周期性的。我们证明了在有效的周期染色中至少存在一个周期染色。我们使用这个结果来调查平铺问题，也被称为多米诺骨牌问题，这是众所周知的，在其充分的一般性是不可判定的。然而，我们表明，它是可判定的低复杂性设置。然后，我们使用我们的结果表明，Nivat的猜想成立的一致递归配置。这些结果也可以推广到其它凸形代替矩形。在此之后，我们证明了$nm$界是乘法最优的多米诺骨牌问题的可判定性，因为对于所有的$\varepsilon>0$，它是不可判定的，以确定是否存在一个有效的着色为一个给定的$m,n\in \mathbb{N}$和一组矩形模式$P$的大小$n\times m$，使$|P|\leq (1+\varepsilon)nm$。我们证明了一个稍微好一点的情况下，…
2022-06-03 cs.DM math.CO math.DS
Fault-Free Tileability of Rectangles, Cylinders, Tori, and Möbius Strips with Dominoes
我们周围到处都是瓦片，我们的好奇心吸引我们去研究它们的特性。瓷砖是一种在木板上排列棋子的方式，这样就没有未覆盖的空间，也没有被一个以上瓷砖覆盖的空间。特别是，我们研究了无故障平铺板与多米诺骨牌。为了无故障，与瓷砖相交的每条线也必须与至少一个瓷砖的内部相交。无故障矩形板已经得到了很好的研究，但我们看看板是圆柱体，环面，和默比乌斯带。使用多米诺骨牌，我们研究各种形状的董事会，看看如何瓷砖的变化。我们得到了圆柱、圆环和默比乌斯带的完整结果。
2019-12-10 math.CO math.HO
Visibility Representations of Toroidal and Klein-bottle Graphs
在本文中，我们研究的可见性表示的图，嵌入在一个环面或克莱因瓶。Mohar和Rosenstiehl表明，任何环形图都有一个可见性表示在一个平面环面上，该平面环面由一个平面包围，但留下了一个问题，即是否可以假设一个矩形平面环面，被矩形包围的平坦的圆环。塔马西亚和托利斯也独立地提出了同样的问题。我们对这个问题的回答是肯定的。用同样的技巧，我们也可以证明任何嵌入在克莱因瓶上的图在矩形平面克莱因瓶上都有可见性表示。
2022-09-04 cs.CG math.CO
Signed tilings by ribbon L n-ominoes, n even, via Groebner bases
令$\mathcal{T}_n$为某个$n\ge 4$偶数的带状$L$形状的$n$ -ominoes的集合，令$\mathcal{T}_n^+$为带有额外$2\times 2$正方形的$\mathcal{T}_n$.本文利用$\mathcal{T}_n$和$\mathcal{T}_n^+$研究了矩形的符号镶嵌问题。我们证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n$当且仅当矩形的两边都是偶数，其中之一是可分的$n$，或如果一边是奇数，另一边是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们还证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n^+, n\ge 6$偶数，当且仅当矩形的两边都是偶数，或如果一侧是奇数和另一侧是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们的证明是基于展览的显式Gröbner基地的理想所产生的多项式相关联的平铺集。特别是，我们表明，\emph{ V.~Nitica, Every tiling of the first quadrant by ribbon $L$ $n$-ominoes follows the rectangular pattern. Open Journal of Discrete Mathematics, {\em 5}, (2015) 11--25,}中的一些定期平铺结果不…
2016-02-29 math.AC math.CO
The quadric flat torus theorem
Cornell University（康奈尔大学）；Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski（弗罗茨瓦夫大学数学研究所）；McGill University（麦吉尔大学）；Technion（以色列理工学院）；University of Bristol（布里斯托大学）
该研究证明了二次复形中的扁环面定理，指出非循环自由阿贝尔群作用于二次复形时的结构，并展示了其在拓扑学中的应用。
2026-05-21 math.CO math.GR
Optimal partitions of the flat torus into parts of smaller diameter
本文研究将二维平坦环面划分为 $m$ 个部分以最小化最大直径的问题，对 $m \leq 25$ 给出数值估计，并提出多种方法，其中 $m=3$ 时用拓扑推理证明精确值。
2024-02-06 math.CO math.MG
Random triangles on flat tori
受几何学中关于几何现象概率的经典难题的启发，我们给出了一个关于平坦环面上随机三角形同伦平凡的概率的明确公式。我们的主要工具，这种计算涉及减少问题的新不变的可测集在平面上是不变的面积保持仿射变换。我们的结果表明，这种概率是最小的，在所有的矩形环面和最大的正六边形环面。
2020-03-18 math.CO math.GT math.PR
