A note on tiling with integer-sided rectangles
我们将展示如何确定一个给定的简单的直线多边形是否可以平铺矩形，每个矩形都有一个整数边。
1994-11-28 math.CO math.MG
A special tiling of the rectangle
我们通过一组特殊的瓦片来计算边长为m-1和n-1的矩形的瓦片数。本文通过对Z × Z的n × n矩形图的邻接矩阵的核的研究，得到了这一结果。
2001-09-06 math.CO
Tromino tilings of Domino-Deficient Rectangles
我们考虑了$m\times n$的多米诺骨牌缺失矩形的tromino拼接，其中$3|(mn-2)$和$m,n\geq0$，并刻画了所有允许这种拼接的多米诺骨牌移除情形，从而解决了J.M. Ash和S. \cite {marshall}中的Golomb。基于此特性，我们设计了一个程序，用于构建这样的瓷砖，如果存在的。我们还考虑这样的平铺计数的问题，并推导出确切的公式为$2\times(3t+1)$矩形的平铺数，确切的生成函数为$4\times(3t+2)$矩形，其中$t\geq0$，和上界的tromino平铺数为$m\times n$多米诺骨牌缺陷矩形。我们还考虑一般的2-不足$n\times4$矩形，其中$n\geq8$，并描述所有对的广场，不允许一个tromino平铺。
2007-08-13 cs.DM math.CO
Tiling a rectangle with the fewest squares
我们证明了一个正方形平铺的$p\times q$矩形，其中$p$和$q$是互素，至少有$\log_2p$平方。如果$q>p$，我们构造一个小于整数大小的$q/p+C\log p$正方形的正方形平铺，对于某些通用常数$C$。
1994-11-28 math.CO math.MG
Tiling of rectangles with squares via Diophantine approximation
本文针对矩形与正方形拼接这一经典问题，提出了一种新的算法。与传统的电阻网络的方法扭曲，我们提供了新的和改进的结果，就此事使用的理论丢番图逼近，从而克服了长期以来的困难，如推广到高维类似物。该方法的通用性证明通过其应用到不同的平铺问题。这些包括平铺矩形与其他矩形，与它们各自的高维对应物，以及平铺等边三角形，平行四边形和长方体与等边三角形。
2022-10-30 math.CO math.NT
Tiling n X m rectangles with 1 X 1 and s X s squares
我们考虑由不重叠的1 × 1正方形和s × s正方形组成的n个单位宽和m个单位长的矩形的平铺。二元生成函数的计算与传递矩阵法的适度大，但固定的宽度n作为参数m的函数和在矩形中的s × s平方数。
2016-09-13 math.CO
Generating functions for straight polyomino tilings of narrow rectangles
设$m,k$为固定的正整数。由$k\times 1$矩形确定$m\times n$矩形的平铺数的生成函数是一个长期存在的公开问题，其答案仅在某些特殊情况下是已知的。在$m<2k$ .此结果用于获得具有$k\times k\times 1$砖的$m\times n \times k$盒的平铺数的生成函数。
2022-08-07 math.CO
Tiling simply connected regions with rectangles
在[BNRR]中，它表明，平铺一般区域的两个矩形是NP-完全的，除了一些平凡的特殊情况。在另一个方向上，Rémila证明了对于由两个矩形简单连接的区域，可分块性可以在二次时间内解决（在该区域中）。我们证明了存在至多10^6个矩形的有限集，使得单连通区域的可分块性问题是NP-完全的，从而缩小了该领域正反结果之间的差距。我们还证明了计数这样的矩形平铺是P-完全的，这是第一个结果。
2013-05-13 cs.CC cs.CG math.CO
Transformations of 2-port networks and tiling by rectangles
本文研究了二端口网络，引入了压降和$Π$ -等价的新概念。主要结果是每个平面网络是$Π$ -等价于不超过5条边的网络。这意味着，如果一个八边形的字母$Π$可以平铺正方形，那么它可以平铺不超过5个矩形与合理的纵横比。1998年的凯尼恩定理只证明了6个矩形。
2022-04-09 math.CO
The minimum length of an axis-aligned rectangular tiling of a flat torus
National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；National Taiwan University（国立台湾大学）
该研究确定了平坦 torus 轴对齐矩形铺砌的最小周长总和，并证明该最小值可通过单个或两个矩形实现。
2026-03-05 math.CO
Straight polyomino tilings of rectangles and special rim-hook tableaux
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Indraprastha Institute of Information Technology Delhi (IIIT-Delhi)（德里因德拉普拉斯塔信息技术学院）
通过故障线分解与Hadamard积框架，结合Littlewood恒等式和Graham定理，推导了$2k\ imes n$矩形被$k\ imes 1$直线瓷砖覆盖的加权生成函数显式表达式。
2026-06-24 math.CO
Generalizing the divisibility property of rectangle domino tilings
我们介绍了一类图称为复合图，广义矩形，这是一个平面的二分基图的副本。主要结果是：每一个复合图的完美匹配数都能被它的基图的完美匹配数整除。我们的方法是使用Kasteleyn定理来证明一个关键引理，其中整除定理组合地遵循。这个定理然后被应用于提供Propp的匹配的枚举问题21的证明，矩形的整除性。最后，我们提出了一个新的证明，在同样的精神，Ciucu的因式分解定理。
2016-07-26 math.CO
Double Aztec Rectangles
我们调查菱形瓷砖和多米诺骨牌瓷砖之间的连接，通过引入一个新的家庭的地区附加两个不同的阿兹特克矩形。我们证明了一个简单的产品公式的生成函数的平铺的新的区域，其中涉及的统计，在阿兹特克钻石定理（埃尔基，Kuperberg，拉森，和Propp，J.代数Combin。1992年）。此外，我们还考虑了生成函数与MacMahon的$q$ --适合于给定盒子的平面划分的枚举之间的联系
2015-09-29 math.CO
Tetromino tilings and the Tutte polynomial
我们考虑用T形四分块来平铺大小为4 m x 4 n的矩形。每个图块都被分配了一个权重，该权重取决于其在晶格上的方向和位置。对于一个特定的选择的权重，平铺的生成函数被示出为多变量Tutte多项式Z\_G（Q，v）（也称为物理学家的分拆函数的Q-状态Potts模型）的评价（m-1）x（n-1）矩形G，其中参数Q和边缘权重v可以采取任意值取决于瓦片的权重。
2006-09-19 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
A Note on One-Hole Domino Tilings of Squares and Rectangles
本文研究奇数乘奇数矩形网格中单孔多米诺铺砖（即近完美匹配）的计数问题，证明了正方形网格任意特定空缺位置的近完美匹配数均为$2^k$的倍数，从而证实Kong猜想，并给出矩形情形的奇偶性判定。
2025-06-03 math.CO
On Subtilings of Polyomino Tilings
我们考虑了一个关于矩形区域的有限多边形库的平铺问题。我们具体地查看尺寸为$n\times m$的矩形区域，并询问该区域的平铺是否可以被重新布置，使得$n\times m$矩形的平铺可以被实现为$n\times m'$矩形和$n\times m"$矩形的平铺，即$m=m'+m"$。我们称之为“小拼图”。我们表明，相关的判定问题是$\mathsf{NP}$ -完全时，仅限于矩形多项式。我们还表明，对于某些有限库的polyominoes，如果$m$是足够大的，一个subtiling总是存在的，并给出界限。
2016-06-17 math.AC math.CO
On the number of tilings of a square by rectangles
本文给出了一个计算正方形矩形化次数的递归公式，即计算正方形与矩形组合不同的拼接次数。我们的公式专门给出一个计算一般矩形化的公式，如Reading在[5]中所分析的。我们的计算与[5]的计算一致，并推广到非一般情况。矩形化的数量的一个有趣的特征是它似乎具有模2的8倍周期性。我们验证了这种周期性的小值n，但一般的结果仍然难以捉摸，也许暗示在一些看不见的结构上的矩形空间，类似于阅读的发现，通用矩形是在1-1对应的某一类排列。最后，我们用离散的莫尔斯理论证明了由小于或等于n个矩形构成的镶嵌空间同伦等价于由若干个（n-1）维球面构成的楔形。结合分片数的计算公式，计算了$n\leq 28$的精确同伦类型。
2012-09-10 math.CO math.GT
A rigidity property of ribbon L-shaped n-ominoes and generalizations
设n为大于或等于4的偶数，T_n为带状L形n-角点集。本文利用T_n研究了正方形格上区域的平铺问题。我们的主要结果显示了一个显著的刚性性质：第一象限被T_n平铺是可能的当且仅当它简化为一个由2 × n和n × 2矩形平铺。一个应用是对所有可以被T_n平铺的矩形的分类：一个矩形可以被T_n平铺当且仅当它的两边都是偶数并且至少有一边可以被n整除。另一个应用是存在的局部移动性质的一个无限族的集合的瓷砖：T_n具有局部移动性质的类矩形区域关于局部移动互换平铺的n × n正方形由n/2垂直矩形，平铺的n/2水平矩形，每个垂直/水平矩形被覆盖的两个带状L形的n-ominoes。我们表明，这些结果是无效的任何n奇数。如果我们在T_n上增加一个额外的2 × 2的正方形，那么瓷砖的矩形图案仍然存在。当且仅当一个矩形的两边都是偶数时，它才能被较大的一组瓦片平铺。相比之下，将额外的偶数×奇数或奇数×奇数矩形添加到上述瓦片集合中的一个允许不遵守矩形图案的第一象限的瓦片化。
2014-06-03 math.CO
Signed tilings by ribbon L n-ominoes, n even, via Groebner bases
令$\mathcal{T}_n$为某个$n\ge 4$偶数的带状$L$形状的$n$ -ominoes的集合，令$\mathcal{T}_n^+$为带有额外$2\times 2$正方形的$\mathcal{T}_n$.本文利用$\mathcal{T}_n$和$\mathcal{T}_n^+$研究了矩形的符号镶嵌问题。我们证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n$当且仅当矩形的两边都是偶数，其中之一是可分的$n$，或如果一边是奇数，另一边是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们还证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n^+, n\ge 6$偶数，当且仅当矩形的两边都是偶数，或如果一侧是奇数和另一侧是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们的证明是基于展览的显式Gröbner基地的理想所产生的多项式相关联的平铺集。特别是，我们表明，\emph{ V.~Nitica, Every tiling of the first quadrant by ribbon $L$ $n$-ominoes follows the rectangular pattern. Open Journal of Discrete Mathematics, {\em 5}, (2015) 11--25,}中的一些定期平铺结果不…
2016-02-29 math.AC math.CO
The tilings of deficient squares by ribbon L-tetrominoes are diagonally cracked
我们考虑由带状$L$ -tetrominoes的集合$\mathcal{T}_4$的亏矩形的镶嵌。平铺存在当且仅当矩形是奇边正方形。丢失的单元格位于主NW-SE对角线上，如果正方形是$(4m+1)\times (4m+1)$，则位于奇数位置，如果正方形是$(4m+3)\times (4m+3)$，则位于偶数位置。平铺中的大多数平铺是成对的，每对平铺一个$2\times 4$矩形。不规则位置的瓦片和缺失的单元形成了一个NW-SE对角裂纹，位于对角线对称的薄区域中，由重叠在一个角单元上的$3\times 3$正方形组成。裂缝把正方形分成两个相等面积的部分。$(4m+1)\times (4m+1)$亏格的平铺数等于$2m\times 2m$正方形的多米诺骨牌平铺数。$(4m+3)\times (4m+3)$缺陷正方形的平铺数是$(2m+1)\times (2m+1)$缺陷正方形的多米诺骨牌平铺数的两倍，缺失单元格位于主对角线上。如果将额外的$2\times 2$图块添加到$\mathcal{T}_4$，则我们将新图块集称为$\mathcal{T}_4^+$。亏矩形的$\mathcal{T}_4^+$平铺存在当且仅当该矩形是奇边正方形。丢失的单元格位于主NW-SE对角线上，如果正方形是$(4m+1)\times (4m+1)$，则位于奇数位置，如果正方形是$(4m+3)\times (4m…
2017-02-09 math.CO
Fault-Free Tileability of Rectangles, Cylinders, Tori, and Möbius Strips with Dominoes
我们周围到处都是瓦片，我们的好奇心吸引我们去研究它们的特性。瓷砖是一种在木板上排列棋子的方式，这样就没有未覆盖的空间，也没有被一个以上瓷砖覆盖的空间。特别是，我们研究了无故障平铺板与多米诺骨牌。为了无故障，与瓷砖相交的每条线也必须与至少一个瓷砖的内部相交。无故障矩形板已经得到了很好的研究，但我们看看板是圆柱体，环面，和默比乌斯带。使用多米诺骨牌，我们研究各种形状的董事会，看看如何瓷砖的变化。我们得到了圆柱、圆环和默比乌斯带的完整结果。
2019-12-10 math.CO math.HO
Signed tilings by ribbon L n-ominoes, n odd, via Groebner bases
我们表明，一个矩形可以签署平铺带状L n-ominoes，n奇数，当且仅当它有一个边整除n。我们的技术的一个后果，基于一个明确的Groebner基础的展览，是任何k-膨胀的副本的斜L n-omino有一个签署平铺斜L n-ominoes。我们还讨论了经常平铺带状L n-ominoes，n奇数，矩形和更一般的地区。我们表明，在这种情况下，障碍物出现，没有被检测到签署平铺。
2016-03-06 math.AC math.CO
Polynomial mixing of the edge-flip Markov chain for unbiased dyadic tilings
我们给出了第一个多项式上界的混合时间的边缘翻转马尔可夫链无偏并元平铺，解决了一个开放的问题，最初由詹森，兰德尔和斯宾塞在2002年。大小为n的二元平铺是单位正方形通过n个非重叠二元矩形的平铺，每个二元矩形的面积为1/n，其中二元矩形是对于非负整数a，b，s，t可以写成[a2^{-s}，（a+1）2^{-s}] \times [b2^{-t}，（b+1）2^{-t}]形式的任何矩形。边缘翻转马尔可夫链选择平铺的随机边缘，并且如果这样做产生有效的二元平铺，则用其中垂线替换它。具体地说，我们证明了边翻转马尔可夫链的弛豫时间最多为O（n^{4.09}），这意味着混合时间最多为O（n^{5.09}）。我们通过证明弛豫时间至少为Ω（n^{1.38}）来补充这一点，改进了来自链直径的Ω（n \log n）的先前最佳下界。
2016-11-11 cs.DM math.CO math.PR
T-Tetrominos in Arithmetic Progression
本文针对T-tetrominos铺砌矩形的经典结论，研究所有合法铺砌中必然存在的有序性程度，以骨牌算术级数的长度作为有序性度量标准。
2024-02-02 math.CO
New Combinatorial Interpretations of the Fibonacci Numbers Squared, Golden Rectangle Numbers, and Jacobsthal Numbers Using Two Types of Tile
我们考虑$n$ -板（大小为$n\times1$的板）的平铺，其具有单位宽度的正方形和$(1,1)$ -栅栏瓦片. $(1,1)$栅栏瓦片由两个单位宽度的正方形子瓦片组成，子瓦片由单位宽度的间隙隔开。我们表明，使用单位宽度的正方形和$(1,1)$栅栏瓷砖瓷砖的$n$板的方式的数量是等于一个斐波那契数的平方时，$n$是偶数和黄金矩形数（两个连续的斐波那契数的产品）时，$n$是奇数。我们还表明，使用$n$，如广场和栅栏瓷砖的板的平铺数是一个Jacobsthal数。使用组合技术，我们证明身份涉及费波纳契和Jacobsthal数的总和在一个简单的方式。其中一些身份似乎是新的。我们还构造并获得了一个已知的Pascal三角形（沿一侧有交替的1和0），其第$(n,k)$条目是使用$n$瓦片（其中$k$是栅栏瓦片）的平铺数的身份。在这个三角形和类似的$n$板的镶嵌三角形之间有一个简单的关系。三角形和Riordan阵列之间的连接也被证明。借助三角形，我们将斐波那契数的平方、黄金矩形数和雅各布斯塔尔数表示为两个二项式系数乘积的双重和。
2020-10-04 math.CO
Alternating sign matrices and domino tilings
我们介绍了一个家庭的平面区域，称为阿兹特克钻石，并研究这些地区可以平铺多米诺骨牌的方式。我们的主要结果是一个生成函数，它不仅给出了顺序$n$的阿兹特克钻石的多米诺骨牌平铺的数量，而且还提供了有关多米诺骨牌的方向（垂直与水平）的信息，以及通过局部修改从另一个平铺的可访问性。给出了该公式的几种证明。这个问题原来与米尔斯、罗宾斯和拉姆齐的交替符号矩阵以及利布研究的方形冰模型有关。
1991-06-01 math.CO
The smallest square tileable by pairwise incomparable integer rectangles
California State University, San Bernardino（圣贝纳迪诺加州州立大学）
本文证明 27 是可被两两不可比较的整数矩形铺砌的最小正方形边长，通过结构约简与穷举搜索验证了所有 n≤26 的情况。
2026-09-18 math.CO
The Number of Ribbon Tilings for Strips
本文研究了矩形和带状的 $n$ 阶带状铺砌数量，证明了增长率的存在性并给出上下界，同时构建递归系统枚举了 $n \leq 8$ 的带状铺砌及其生成函数。
2023-07-03 math.CO
An Algebraic Approach to the Arithmetic of Square Tilings
École Polytechnique（巴黎综合理工学院）
本文提出一种代数方法，通过块矩阵编码平铺几何，利用区间矩阵的全幺模性证明二维方形平铺分母最小公倍数以2^n为界，并推广到d维得到d^n界，同时简洁证明Kenyon定理。
2026-09-10 math.CO
Singular polynomials of generalized Kasteleyn matrices
Kasteleyn通过考虑邻接矩阵的一个突变：Kasteleyn矩阵K来计算矩形的多米诺骨牌的数量。本文给出了Kasteleyn矩阵的一个推广和KK^ \ast的特征多项式（我们称之为奇异多项式）的系数的组合解释，其中K是平面二部图的广义Kasteleyn矩阵.我们还提出了一个Q-版本的这些想法和一些结果，如矩形的特殊区域的平铺。
2000-12-30 math.CO
Alternating links, rational balls, and cube tilings
针对沿交错链环分支的三维球面二重覆叠的有理同调球边界问题，提出棋盘格点立方遍在性充要猜想，证明归一化行列式为1的情形，并将结果推广至缎带配边与协和性研究。
2023-07-25 math.CO math.GT
Pattern avoidance in alternating sign rectangles I: Extended avoidance
University of Ljubljana, Faculty of Mathematics and Physics（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute for Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
本文为交替符号矩形引入扩展模式避免，对长度三的四个模式建立递推枚举系统，并给出312的猜想证明及213到小Schröder路径的双射。
2026-10-07 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with arbitrary dents
Eisenk“Olbl给出了一个计算三角形格上六边形菱形镶嵌数的公式，其中三个单位三角形沿交错边被移除。在早期的工作中，第一作者将其扩展到当任意一组单位三角形从六边形的交替边移除时的情况。在本文中，我们解决的一般情况下，任意一组单位三角形被删除沿边界的六边形。
2014-12-12 math.CO
Generic rectangulations
North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）
本文研究了通用矩形划分的计数问题，通过建立与避免特定模式的排列集之间的双射关系，提出了新的计数方法。
2012-01-05 cs.DM math.CO
Counting With Irrational Tiles
介绍并研究了单位高矩形的无理分块数。我们证明了这些数的序列类与N-有理数生成函数的对角线类和一类特定的二项式多重和重合。然后，我们给出渐近应用，并建立连接到超几何函数和Catalan数。
2014-07-30 math.CO
Slack-Pack algorithm for Meir-Moser packing problem
针对 Meir-Moser 矩形铺砌问题，本文提出允许零件堆间留隙的 Slack-Pack 算法，以论证 Tao 关于大索引矩形可铺满等面积正方形的结果可推广至 t=1。
2025-07-23 math.CO
