可由两两不可比较的整数矩形铺砌的最小正方形
The smallest square tileable by pairwise incomparable integer rectangles
- California State University, San Bernardino（圣贝纳迪诺加州州立大学）
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AI总结：
本文证明 27 是可被两两不可比较的整数矩形铺砌的最小正方形边长，通过结构约简与穷举搜索验证了所有 n≤26 的情况。
AI中文摘要：
Croft、Falconer 和 Guy（《几何学未解问题》，问题 C5）展示了用八个两两不可比较的整数矩形铺砌 27×27 正方形的方法，并指出尚不清楚 27 是否为可被两两不可比较的整数矩形铺砌的正方形的最小边长，且对瓷砖数量没有限制。我们证明事实确实如此：对于每个整数 n≤26 和每个 k≥2，n×n 正方形都不存在由 k 个两两不可比较的整数矩形构成的铺砌。证明结合了两种结构约简与对 167,538 个幸存候选瓷砖集合的穷举搜索，该搜索由两个独立编写的程序执行。完整软件、构建说明和输出日志作为附件文件包含在内。
英文摘要：
Croft, Falconer and Guy ({Unsolved Problems in Geometry}, Problem~C5) exhibit a tiling of the $27\times27$ square by eight pairwise incomparable integer rectangles and remark that it is not known whether $27$ is the smallest side length of a square that can be tiled by pairwise incomparable integer rectangles, no restriction being placed on the number of tiles. We show that it is: for every integer $n\le26$ and every $k\ge2$, the $n\times n$ square admits no tiling by $k$ pairwise incomparable integer rectangles. The proof combines two structural reductions with an exhaustive search over the $167\,538$ surviving candidate tile sets, carried out by two independently written programs. The complete software, build instructions and output logs are included as ancillary files.
