Tiling Lattices with Sublattices, II
我们之前的文章证明了，如果$n > 1$平移了$Z^d$的子格tile $Z^d$，并且所有的子格都是等差数列的笛卡儿积，那么其中两个tile必须相互平移。我们重新证明这个定理，这一次使用生成函数。我们还表明，对于$d \geq 1$，并不是每一个有限的平铺$Z^d$的格子可以从平凡的平铺的过程中重复细分成子瓦片，是相互平移的瓦片。
2010-06-03 math.CO
Aperiodic tilings with one prototile and low complexity atlas matching rules
我们给出了一个建设性的方法，可以减少所需的prototile平铺空间的数量。我们实现这一点，通过交换边缘到边缘匹配规则的一个小图集允许补丁。这种方法与王瓷砖，我们应用我们的方法，通过这些规则，目前一个单一的prototile，只能瓷砖$R^3$非周期性，和一对正方形瓷砖，只能瓷砖$R^2$非周期性。
2010-03-25 math.CO
Hard Tiling Problems with Simple Tiles
众所周知，一个给定的有限区域是否可以用一组给定的瓦片拼接的问题是NP完全的。我们表明，同样是正确的tromino和正方形tetromino的正方形格子上，或单独的右tromino。在这个过程中，我们证明了平面三次图的单调1-in-3可满足性是NP-完全的。在更高的维度，我们显示NP-完全的多米诺骨牌和直tromino的一般区域的立方晶格，和简单的连接区域的四维超立方晶格。
2000-03-06 math.CO
Tiling with Small Tiles
我们看一下可以在正方形网格上平铺大小大于1的任何区域的瓦片集。这不是典型的平铺问题，但与它密切相关，因此可以帮助解决其他平铺问题-我们给出一个例子。我们还提出了一个结果，一个更经典的瓷砖问题与多米诺骨牌和L形瓷砖。
2015-11-10 cs.DM math.CO
Tilings of Rectangular Regions by Rectangular Tiles: Counts Derived from Transfer Matrices
一步一步地完成从左到右的瓷砖的矩形地板与单一形状的瓷砖从地板的一个边缘开始，考虑可能的方式插入瓷砖在最左边的未覆盖的正方形，通过一系列的崎岖形状的前线之间的覆盖和未覆盖的区域的地板，并完成与直线前线在相对的边缘。我们通过将正面形状映射到有向图中的节点来计算平铺，然后使用传递矩阵方法计算该有向图上的闭合行走。生成函数详细介绍了形状为1 x 3，1 x 4和2 x 3的瓷砖和适度宽的地板。对于将形状为1 x 1 x 2、1 x 1 x 3、1 x 1 x 4、1 x 2 x 2或1 x 2 x 3的砖填充到小截面的矩形容器中的三维模拟，示出了等同的结果。
2014-06-30 math.CO
The Number of Ribbon Tilings for Strips
本文研究了矩形和带状的 $n$ 阶带状铺砌数量，证明了增长率的存在性并给出上下界，同时构建递归系统枚举了 $n \leq 8$ 的带状铺砌及其生成函数。
2023-07-03 math.CO
Combinatorics of a fractal tiling family
本文研究二元初始瓦片经有限递归平铺生成自相似分形的组合计数问题，利用伯恩赛德引理证明特定2x2初始矩阵下恰有232个真正不同的分形，并给出3x3对称情形的部分结果。
2015-12-06 math.CO
Tiling of Strip Lattices and Asymptotics
本文研究等边三角形条带格的铺砌，建立两类三角形组合铺砌方式数与 Pell 数的联系，并首次分析所有铺砌所需瓦片的总数及分类数量。
2025-03-17 math.CO
Rhombus Tilings of a Hexagon with Three Fixed Border Tiles
我们计算一个六边形的菱形镶嵌的数量，该六边形的边为$a+2,b+2,c+2,a+2,b+2,c+2$，有三个固定的瓷砖接触边界。特殊情况$a=b=c$解决了Propp提出的问题。我们的结果也可以看作是具有$a+2$行和$b+2$列的平面分区的枚举，具有最大的条目$\le c+2$，在第一行具有给定数目的条目$c+2$，在最后一列具有给定数目的条目0，以及给定的左下条目。
1998-09-08 math.CO
Tiling of Hyperbolic Surface by Multiple Tiles
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
研究双曲面负欧拉特征数情况下用n边形(n≥7)铺砌的有限问题，提出固定瓷砖数的算法，并计算小亏格表面用两个瓷砖的铺砌数，讨论多瓷砖铺砌中不同边长的数量。
2026-04-28 math.CO math.MG
Finite-state transducers for substitution tilings
本文提出用有限状态自动机处理替换铺砌的算法技术，用于生成如帽子、Spectres和彭罗斯瓷砖等铺砌图案，并允许对所表示的铺砌进行分析。
2026-03-15 math.CO
The tilings of deficient squares by ribbon L-tetrominoes are diagonally cracked
我们考虑由带状$L$ -tetrominoes的集合$\mathcal{T}_4$的亏矩形的镶嵌。平铺存在当且仅当矩形是奇边正方形。丢失的单元格位于主NW-SE对角线上，如果正方形是$(4m+1)\times (4m+1)$，则位于奇数位置，如果正方形是$(4m+3)\times (4m+3)$，则位于偶数位置。平铺中的大多数平铺是成对的，每对平铺一个$2\times 4$矩形。不规则位置的瓦片和缺失的单元形成了一个NW-SE对角裂纹，位于对角线对称的薄区域中，由重叠在一个角单元上的$3\times 3$正方形组成。裂缝把正方形分成两个相等面积的部分。$(4m+1)\times (4m+1)$亏格的平铺数等于$2m\times 2m$正方形的多米诺骨牌平铺数。$(4m+3)\times (4m+3)$缺陷正方形的平铺数是$(2m+1)\times (2m+1)$缺陷正方形的多米诺骨牌平铺数的两倍，缺失单元格位于主对角线上。如果将额外的$2\times 2$图块添加到$\mathcal{T}_4$，则我们将新图块集称为$\mathcal{T}_4^+$。亏矩形的$\mathcal{T}_4^+$平铺存在当且仅当该矩形是奇边正方形。丢失的单元格位于主NW-SE对角线上，如果正方形是$(4m+1)\times (4m+1)$，则位于奇数位置，如果正方形是$(4m+3)\times (4m…
2017-02-09 math.CO
Signed tilings by ribbon L n-ominoes, n odd, via Groebner bases
我们表明，一个矩形可以签署平铺带状L n-ominoes，n奇数，当且仅当它有一个边整除n。我们的技术的一个后果，基于一个明确的Groebner基础的展览，是任何k-膨胀的副本的斜L n-omino有一个签署平铺斜L n-ominoes。我们还讨论了经常平铺带状L n-ominoes，n奇数，矩形和更一般的地区。我们表明，在这种情况下，障碍物出现，没有被检测到签署平铺。
2016-03-06 math.AC math.CO
Auspicious tatami mat arrangements
\emph{auspicious tatami mat arrangement}是具有两种类型的瓦片的直线区域的瓦片，$1 \times 2$瓦片（二聚体）和$1 \times 1$瓦片（单体）。平铺必须覆盖区域并满足平铺的四个角不相交的约束;此类平铺称为\emph{tatami tilings}。本文的主要研究对象是矩形区域。我们提供了一个结构表征的矩形榻榻米瓷砖，并用它来证明，瓷砖是完全由其边界上的瓷砖。我们证明了含有$n$单体的$n \times n$正方形的榻榻米拼接数是$n2^{n-1}$。我们还表明，对于固定的高度，一个矩形的榻榻米平铺的数量的生成函数是一个有理函数，并概述了一个算法，产生的生成函数。
2011-03-16 math.CO
Lots of Aperiodic Sets of Tiles
非周期性平铺-一种复杂的全局几何结构形式，通过局部可检查，恒定时间匹配规则-长期以来一直与广泛的物理，信息理论和基础应用密切相关，但其研究和使用一直受到缺乏容易生成的例子的阻碍。通过易于推广的，强大的技术来控制层次结构，我们增加了目录的明确建设的非周期性的瓷砖集数百倍，在很多，很容易组装和配置从原子子集的211瓷砖，强制执行25,380不同的“多米诺骨牌”替代瓷砖系统。其中，我们注意到三个非周期的，非唯一的分解替代平铺系统。
2017-09-20 math.CO
Nonperiodic tilings related to Stern's diatomic series and based on tiles decorated with elements of $\mathbb{F}_p$
本文给出了与Stern双原子序列有关的置换镶嵌的构造和各种性质，这些置换镶嵌是基于对某些奇素数$p$用$\mathbb{F}_p$的元素装饰的镶嵌.这些替代镶嵌在某种意义上是加性的，这将在后面阐明，并导致一维和二维的新的非周期性镶嵌。
2023-01-15 math.CO math.NT
Fragmenting any Parallelepiped into a Signed Tiling
本文将平行六面体分割为带符号铺砌的构造从非负条件推广到任意情形，通过引入负体积铺块并证明净覆盖数为1，建立了带符号铺砌的自然定义。
2024-06-05 math.CO
An Erdős-Ko-Rado Theorem for Tilings
研究长度为集合 Λ 的瓷砖铺砌 1×n 棋盘时，相交族的最大大小，证明当 1∈Λ 时，最大值由所有在某一端包含固定单格瓷砖的铺砌构成。
2026-06-04 math.CO
Tiling Lattices with Sublattices, I
我们使用Fourier方法证明了如果$n > 1$平移$Z^d$瓦片$Z^d$的子格，并且所有的子格都是等差数列的笛卡儿积，那么其中两个瓦片必须相互平移.这是Mirsky-Newman定理的多维推广。
2010-06-03 math.CO
Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile
本文构造了仅用两块瓦片或一块非交换瓦片在ZFC中不可判定的平移铺砌实例，证明了其非周期性，并揭示了少量瓦片编码任意铺砌问题的能力。
2024-02-13 math.CO math.LO
Tiling with punctured intervals
Gruslys，Leader和Tan证明了对于某些$d$，$\mathbb{Z}^n$的任何有限子集都是$\mathbb{Z}^d$.第一个非平凡的情况是打孔区间，它由区间$\{-k,\ldots,k\} \subset \mathbb{Z}$和它的中点删除：他们表明，这瓷砖$\mathbb{Z}^d$为$d = 2k^2$，他们问是否需要的维数趋于无穷大与$k$。在本说明中，我们回答这个问题：我们表明，也许令人惊讶的是，每个打孔间隔瓷砖$\mathbb{Z}^4$。
2018-05-08 math.CO
Non-side-to-side tilings of the sphere by congruent triangles with any irrational angle
本文开发新工具，对球面上由具有任意无理角的全等三角形构成的非边对边铺砌进行分类，得出三类铺砌，并概述有理角情形的分类方案。
2025-05-22 math.CO
Tilings of the Sphere by Congruent Pentagons III: Edge Combination $a^5$
全等等边五边形正好有八个边到边的球体镶嵌：三个五边形细分镶嵌有12、24、60个瓦片;四个地球地图镶嵌有16、20、24、24个瓦片;一个翻转修改的地球地图镶嵌有20个瓦片。
2021-06-28 math.CO math.MG
A new simple family of non-periodic tilings with square tiles
Moscow State University（莫斯科国立大学）；HSE University（高等经济大学）；Yandex
提出一种新的正方形非周期铺砌族，与等腰直角三角形铺砌族相互局部可导，通过简单局部规则定义，非周期性证明简洁，并与经典椅子铺砌关联。
2026-10-09 math.CO math.LO
Signed shape tilings of squares
设T是笛卡尔平面上的一个瓦片，它由许多矩形组成，矩形的角有有理坐标，矩形的边平行于坐标轴。本文给出了正方形可由多个与T形状相同的\Q加权瓦片倾斜的充要条件，以及正方形可由多个与T形状相同的\Z加权瓦片倾斜的充要条件。我们使用的主要工具是F的一个变体。W. Barnes的砖块堆积的代数理论，它将平铺问题转化为交换代数中的问题。
1999-03-09 math.CO
Undecidability of Translational Tiling with 2 Polycubes
Gyeonggi Science High School（京畿科学高中）
该研究证明2个多立方体的平移铺砌ℤ³是不可判定的，提出用连通多立方体模拟不连通多立方体的技术，并将其扩展到n≥3的高维整数格点集。
2026-08-11 math.CO
A rigidity property of ribbon L-shaped n-ominoes and generalizations
设n为大于或等于4的偶数，T_n为带状L形n-角点集。本文利用T_n研究了正方形格上区域的平铺问题。我们的主要结果显示了一个显著的刚性性质：第一象限被T_n平铺是可能的当且仅当它简化为一个由2 × n和n × 2矩形平铺。一个应用是对所有可以被T_n平铺的矩形的分类：一个矩形可以被T_n平铺当且仅当它的两边都是偶数并且至少有一边可以被n整除。另一个应用是存在的局部移动性质的一个无限族的集合的瓷砖：T_n具有局部移动性质的类矩形区域关于局部移动互换平铺的n × n正方形由n/2垂直矩形，平铺的n/2水平矩形，每个垂直/水平矩形被覆盖的两个带状L形的n-ominoes。我们表明，这些结果是无效的任何n奇数。如果我们在T_n上增加一个额外的2 × 2的正方形，那么瓷砖的矩形图案仍然存在。当且仅当一个矩形的两边都是偶数时，它才能被较大的一组瓦片平铺。相比之下，将额外的偶数×奇数或奇数×奇数矩形添加到上述瓦片集合中的一个允许不遵守矩形图案的第一象限的瓦片化。
2014-06-03 math.CO
A lonely weak tile
本文回顾弱拼贴概念，通过构造集合T的例子回答相关问题：T能弱拼贴补集但既非谱集也非真拼贴，补充了弱拼贴与谱集、真拼贴关系的研究。
2024-12-03 math.CO
Some 2-adic conjectures concerning polyomino tilings of Aztec diamonds
本文研究不同骨牌集合铺砌阶为$n$的阿兹特克钻石的方式数，并关注该计数函数在模2的幂下的特殊规律。
2024-07-04 math.CO
Periodicity and decidability of translational tilings by rational polygonal sets
本文研究了 $\mathbb R^2$ 中多边形集的周期性铺砌猜想，证明了顶点为有理数的多边形铺块满足该猜想，得出其铺砌具有可判定性，且任意平移铺砌均为弱周期性。
2024-09-24 math.CO
Tilings of $\mathbb Z$ with multisets of distances
本文研究整数集 Z 上由给定距离多重集决定的铺砌问题，提出一个允许任意多个不同距离取值的充分条件，推广了此前仅适用于 2 或 3 个不同距离的已知结果。
2024-04-01 math.CO
Random Domino Tilings and the Arctic Circle Theorem
研究多米诺铺砌的阿兹特丁字形区域，证明当n足够大时，中心区域形状接近半径为n/√2的完美圆，采用粒子系统理论方法。
2026-04-07 math.CO
Double Tiles
本研究针对两种铺砌均属方格类的双铺砌多边形问题，先对多联骨牌给出所有双铺砌形状的明确描述，再推广至一般多边形，核心是通过迭代有限变换得到分形状多联骨牌及其特定形变。
2025-02-21 math.CO
Hypercubic Self-Tilings
1946年，Fine和Niven提出了E724问题，要求证明每个超立方体都可以由任何数量的大于某个值的超立方体瓦片拼接。这只需要基本的数论，但是找到最小的这个数的问题要复杂得多。对于正方形来说，这是已知的5，而立方体是47。没有其他值是已知的。本文将超曲面的界从808提高到733。
2019-10-14 math.CO
NP-completeness of Tiling Finite Simply Connected Regions with a Fixed Set of Wang Tiles
该研究证明用23个Wang瓦片的固定集平铺有限单连通区域是NP完全问题，还推导出111个矩形的对应问题为NP完全，减少了所需瓦片数，改进了前人结果。
2024-09-18 cs.CC math.CO math.MG
New Combinatorial Interpretations of the Fibonacci Numbers Squared, Golden Rectangle Numbers, and Jacobsthal Numbers Using Two Types of Tile
我们考虑$n$ -板（大小为$n\times1$的板）的平铺，其具有单位宽度的正方形和$(1,1)$ -栅栏瓦片. $(1,1)$栅栏瓦片由两个单位宽度的正方形子瓦片组成，子瓦片由单位宽度的间隙隔开。我们表明，使用单位宽度的正方形和$(1,1)$栅栏瓷砖瓷砖的$n$板的方式的数量是等于一个斐波那契数的平方时，$n$是偶数和黄金矩形数（两个连续的斐波那契数的产品）时，$n$是奇数。我们还表明，使用$n$，如广场和栅栏瓷砖的板的平铺数是一个Jacobsthal数。使用组合技术，我们证明身份涉及费波纳契和Jacobsthal数的总和在一个简单的方式。其中一些身份似乎是新的。我们还构造并获得了一个已知的Pascal三角形（沿一侧有交替的1和0），其第$(n,k)$条目是使用$n$瓦片（其中$k$是栅栏瓦片）的平铺数的身份。在这个三角形和类似的$n$板的镶嵌三角形之间有一个简单的关系。三角形和Riordan阵列之间的连接也被证明。借助三角形，我们将斐波那契数的平方、黄金矩形数和雅各布斯塔尔数表示为两个二项式系数乘积的双重和。
2020-10-04 math.CO
Tiling the plane with hexagons: improved separations for $k$-colourings
自1950年以来，常识是，可以将七种颜色分配给具有单位直径单元的无限蜂窝的瓦片，使得相同颜色的两个瓦片之间的距离不小于$d(7)=\frac{\sqrt{7}}{2}$。许多作者描述了使用$k>7$颜色的平铺，给出了$d(k)$的相应值，但通常不知道这些是否是给定$k$的最大可能。在这里，对于许多$k$，我们描述了具有比以前报道的更大的$d(k)$值的平铺。
2022-06-25 math.CO
The Coven-Meyerowitz tiling conditions for 3 odd prime factors
众所周知，如果有限集$A\subset\mathbb{Z}$通过平移来平铺整数，则平移集合必须是周期性的，使得平铺等价于有限循环群的因子分解$A\oplus B=\mathbb{Z}_M$。我们感兴趣的是刻画所有有限集$A\subset\mathbb{Z}$，有这个属性。Coven和Meyerowitz（1998）提出了条件（T1），（T2），这些条件是$A$平铺的充分条件，并且当$A$的基数最多有两个不同的素因子时是必要的。他们还证明了（T1）适用于所有有限瓦片，无论大小。不知道是否（T2）必须为所有的平铺没有限制的数量的素因子的$|A|$。证明了Coven-Meyerowitz平铺条件（T2）对周期为$M=(p_ip_jp_k)^2$的所有整数平铺都成立，其中$p_i,p_j,p_k$是不同的奇素数.该证明还提供了一个分类的所有这些瓷砖。
2022-10-31 math.CO
On enumeration and entropy of ribbon tilings
本文研究带状平铺的每块熵，给出一般区域上界，证明矩形区域渐近熵存在并界于对数函数之间，精确计算两类特殊区域的熵。
2023-05-10 math.CO math.PR
Ribbon Tilings and Multidimensional Height Functions
我们固定$n$，并假设二维网格中由$(x,y)$索引的正方形具有颜色$c$，如果$x+y \equiv c \pmod{n}$。一个$n$阶的{ \it带状图块}是一个连接的多角形图块，每种颜色正好包含一个正方形。证明了单连通区域$R$的序$n$带状镶嵌集与满足一定差分限制的从$R$到$\mathbb Z^{n}$的顶点的{ \it高度函数}集一一对应.它也与某个部分定向图的无圈定向集一一对应。使用这些事实，我们描述了一个线性（在该地区的$R$）算法，用于确定是否$R$可以平铺带状瓷砖的顺序$n$，并产生这样的平铺时存在。我们还解决了一个猜想的帕克表明，任何一对顺序- $n$带状平铺的$R$可以连接一个序列的本地替换移动。我们的一些结果是2阶带状拼贴（又名）已知结果的概括多米诺骨牌）。我们还讨论了应用程序的多维高度函数更广泛的一类polyomino平铺问题。
2001-12-07 math-ph math.CO math.MP
Ribbon tiling and character formula for periplectic Lie superalgebras
本文给出了周子李超代数$\mathfrak{p}(n)$的有限维不可约表示的特征标的一个组合公式。不可约模$L(μ)$的特征标由厚Kac模或薄Kac模的特征标$Δ(λ)$或$\nabla(λ)$的无消去交替和给出，使得存在斜Young图$λ/μ$的带状平铺。
2021-08-21 math.CO math.RT
Signed tilings by ribbon L n-ominoes, n even, via Groebner bases
令$\mathcal{T}_n$为某个$n\ge 4$偶数的带状$L$形状的$n$ -ominoes的集合，令$\mathcal{T}_n^+$为带有额外$2\times 2$正方形的$\mathcal{T}_n$.本文利用$\mathcal{T}_n$和$\mathcal{T}_n^+$研究了矩形的符号镶嵌问题。我们证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n$当且仅当矩形的两边都是偶数，其中之一是可分的$n$，或如果一边是奇数，另一边是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们还证明了一个矩形有符号平铺$\mathcal{T}_n^+, n\ge 6$偶数，当且仅当矩形的两边都是偶数，或如果一侧是奇数和另一侧是可分的$n\left (\frac{n}{2}-2\right ).$我们的证明是基于展览的显式Gröbner基地的理想所产生的多项式相关联的平铺集。特别是，我们表明，\emph{ V.~Nitica, Every tiling of the first quadrant by ribbon $L$ $n$-ominoes follows the rectangular pattern. Open Journal of Discrete Mathematics, {\em 5}, (2015) 11--25,}中的一些定期平铺结果不…
2016-02-29 math.AC math.CO
Fault-Free Tileability of Rectangles, Cylinders, Tori, and Möbius Strips with Dominoes
我们周围到处都是瓦片，我们的好奇心吸引我们去研究它们的特性。瓷砖是一种在木板上排列棋子的方式，这样就没有未覆盖的空间，也没有被一个以上瓷砖覆盖的空间。特别是，我们研究了无故障平铺板与多米诺骨牌。为了无故障，与瓷砖相交的每条线也必须与至少一个瓷砖的内部相交。无故障矩形板已经得到了很好的研究，但我们看看板是圆柱体，环面，和默比乌斯带。使用多米诺骨牌，我们研究各种形状的董事会，看看如何瓷砖的变化。我们得到了圆柱、圆环和默比乌斯带的完整结果。
2019-12-10 math.CO math.HO
Periodicity and decidability of tilings of $\mathbb{Z}^{2}$
我们证明了任何有限集$F\subset {\mathbb{Z}^2}$，瓷砖${\mathbb{Z}^2}$的翻译也承认一个周期性的瓷砖。因此，问题是否一个给定的有限集$F$瓦片${\mathbb{Z}^2}$是可判定的。
2016-02-18 math.CO math.DS
Forcing nonperiodic tilings with one tile using a seed
本文探讨“爱因斯坦问题”的弱化形式，通过使用种子瓦片强制非周期平铺，并列举与讨论匹配规则的类型。
2021-10-19 math.CO math.MG
Undecidability of Translational Tiling of the Plane with Four Tiles
本文研究平面平移平铺的不可判定性，将所需多联骨牌数量从5个降至4个，证明了用4个不连通多联骨牌进行平面平移平铺不可判定。
2025-06-24 cs.CG math.CO math.MG
The Phase Transition for Dyadic Tilings
一个n阶的并元瓦片是通过水平或垂直切割从单位正方形通过n个连续二等分获得的任何矩形。令每个n阶的二元图块以概率p可用，独立于其他图块。我们证明，对于p足够接近1，存在一组成对不相交的可用瓦片，其并集是单位平方，当n->无穷大时概率趋于1，正如Joel Spencer在1999年所证明的那样。特别地，我们证明了，如果p=7/8，这样的平铺存在的概率至少为1-（3/4）^n。这个证明涉及到一个令人惊讶的微妙的计数参数，用于防止平铺的不可用的瓷砖集。
2012-07-20 math.CO math.PR
Undecidability of Translational Tiling of the Plane with Orthogonally Convex Polyominoes
针对仅由几何形状决定的平面平移铺砌问题，本文摆脱以往极凹铺砌块构造，证明用一组 7 个正交凸多联骨牌铺砌平面仍不可判定。
2025-06-15 cs.CG math.CO math.MG
An aperiodic tile with edge-to-edge orientational matching rules
我们提出了一个单一的，连接的瓷砖，可以瓷砖的平面，但只有非周期性的。瓷砖是六边形的，边缘有标记，这对相邻瓷砖如何在边缘相遇施加了简单的规则。这些规则中的第一个是标准匹配规则，即某些装饰在边缘之间匹配。第二个条件是一种新型的匹配规则，仅当特定方向的某些装饰被赋予相反的电荷时，该规则才允许瓷砖满足。这迫使瓷砖形成三角形的层次结构，遵循Socolar-Taylor瓷砖的中心思想。然而，新的边到边定向匹配规则以一种非常不同的方式强制这种结构，这使得非周期性的证明令人惊讶地简单。我们表明，船体的所有平铺满足我们的规则是唯一遍历，几乎所有的平铺在船体属于一个最小的核心所产生的替代平铺。识别平铺是彼此的电荷翻转，这些平铺被证明具有纯点动力学谱和一个规则的模型集结构。
2021-10-18 math.CO math.DS math.MG
Undecidability of Translational Tiling of the 3-dimensional Space with a Set of 6 Polycubes
本文证明了用6个多立方体集合对三维整数格进行平移平铺的不可判定性，扩展了已知的二维结果，并推进了该领域的研究。
2024-08-05 cs.CC math.CO math.MG
A Local Characterization of Combinatorial Multihedrality in Tilings
欧氏d-空间上局部有限的由凸多胞体拼接而成的曲面称为组合多面体，如果其组合自同构群在曲面上的轨道数只有1/2。本文描述了一个局部特征的组合多面体镶嵌的中心冠。这推广了在早期的论文中建立的单型拼接的局部定理，该定理描述了组合瓦片传递性的情况。
2008-09-12 math.CO math.MG
Tiling Problems on Baumslag-Solitar groups
我们给出了Baumslag-Solitar群的弱非周期瓦片集，并证明了多米诺问题在这些群上是不可判定的。我们的建设的一个后果是存在一个递归瓦上的Baumslag-Solitar群。
2013-09-05 cs.DM math.CO
Undecidability of tiling the plane with a fixed number of Wang bars
Government Data Management Center of Fengxian District（奉贤区政府数据管理中心）
本文证明了使用29个Wang条铺满平面的问题是不可判定的，并进一步推导出颜色缺失25的Wang瓷砖集的铺砌问题同样不可判定。
2024-04-06 cs.CC math.CO math.MG
Undecidability of Translational Tiling with Three Tiles
本文证明用三个连通平铺块对4维空间进行平移平铺是不可判定的，为固定维度下单调平铺不可判定猜想提供了新证据。
2024-12-14 cs.CC cs.CG math.CO
