On the Polyak convexity principle and its application to variational analysis
根据B.T. Polyak是希尔伯特空间之间的映射，它是围绕正则点的$C^{1,1}$，它将以该点为中心的球带到凸集，只要球的半径足够小。本文将这一结果推广到定义在一致凸巴拿赫空间的某个子类上的映射。这使得一个扩展到这样的设置一个变分原理的约束最优化问题，已经观察到在有限维，建立一个凸的行为，适当的本地化。进一步变的后果进行了探讨。
2013-03-29 math.OC
On second-order variational analysis of variational convexity of prox-regular functions
本文研究了prox-regular函数的变分凸性，去除了次微分连续性假设，通过修改广义导数定义使其与$f$-attentive收敛兼容，给出了二阶特征及精确界公式，并探讨了变分强凸性、倾斜稳定局部极小值与次梯度映射截断的强度量正则性之间的关系。
2025-02-03 math.OC
On relationships between vector variational inequalities and optimization problems using convexificators on Hadamard manifold
本文在 Hadamard 流形上推广凸化子概念，推导中值定理与有界凸化子的单调性及刻画，并研究基于凸化子的向量变分不等式与向量优化问题，给出 Stampacchia 和 Minty 型部分向量变分不等式下的充要条件。
2024-05-24 math.OC
Dual variational formulations for a large class of non-convex models in the calculus of variations
本文发展了变分优化中一大类模型的对偶变分公式。结果是通过泛函分析、凸分析和对偶理论的基本工具建立的。主要的对偶原理是作为一个应用程序开发的金-朗道型系统在超导在没有磁场。在第一部分的最后一节中，我们开发了新的一般对偶凸变分公式，更具体地说，对偶公式具有一个大的凸区域周围的临界点，适用于非凸优化的一个大类模型在物理和工程。最后，在最后一节中，我们给出了应用于Ginzburg-Landau型方程的广义直线法的一些数值结果。
2022-10-02 math.OC
Nash Equilibrium and Minimax Theorems via Variational Tools of Convex Analysis
本文利用凸最小化最优性条件、Schauder和Kakutani不动点定理及广义微分工具，证明了Hilbert空间和局部凸拓扑向量空间中Nash均衡的存在性，并扩展了von Neumann的minimax定理。
2024-08-26 math.OC
Interval Valued Vector Variational Inequalities and Vector Optimization Problems via Convexificators
本文研究了区间值向量最优化问题$(IVOP)$，利用凸性假设和$(IVOP)$的LU-有效解，得到了它们与Minty型和Stampacchia型区间向量变分不等式$(IVVI)$之间的关系.进一步，我们考虑了Minty型和Stampacchia型的$(IVVI)$的弱形式，并找到了Minty型和Stampacchia型的$(IVVI)$的弱形式与$(IVOP)$的弱LU-有效解之间的关系.所得结果推广和改进了文献中已有的一些结果.
2023-02-23 math.OC
A Numerical Approach to the Estimation of the Solutions of some Variational Problems with Convexity Costraints
本文给出了一种算法来逼近变分问题的解，其中容许函数的集合由凸函数组成。这种数值方法背后的主要动机是在委托代理框架内估计逆向选择问题的解决方案。产品线设计、最优税收、结构化衍生品设计等问题都可以通过这些模型进行研究。我们开发了一种方法来估计他们的最优定价时间表。
2008-03-06 math.OC
On duality principles for non-convex variational models applied to a Ginzburg-Landau type equation
本文发展了一个对偶原理，它适用于一大类变分问题。首先，我们将结果应用到Ginzburg-Landau型模型。在第二步中，我们开发了另一个二元原理和相关的原始二元变分公式，这种方法包括保证原始和二元公式之间零二元差距的最优性条件。我们强调，在这两种情况下，得到的对偶变分公式有大的区域的临界点的问题。
2018-01-17 math.OC
A primal dual formulation through a proximal approach for non-convex variational optimization
本文开发了一个原始对偶制定的原始近似方法适用于一个大类的非凸模型的变分法。通过标准工具的泛函分析，凸分析和对偶理论的结果，并施加到Ginzburg-Landau型模型。最后，在最后两节中，我们给出了模型的最优性条件和另一个对偶原理。
2021-07-25 math.OC
Capra-Convexity, Convex Factorization and Variational Formulations for the l0 Pseudonorm
所谓的l0基数函数（cardinality function）计算一个向量的非零分量的数量。在本文中，我们通过所谓的Capra（沿着原始射线的常数）共轭来分析l0范数，其中潜在的源范数和它的对偶范数都是正交严格单调的（我们正式引入的概念，包括lp范数，但对于极端的）。我们得到三个主要结果。首先，证明了l0凸函数等于它的Capra-双共轭函数，即是一个Capra-凸函数.其次，我们推导出一个意想不到的结果，我们称之为凸因子分解：l0的凸因子在源范数的单位球面上与一个适当的凸下连续函数重合。第三，我们利用我们正式引入的广义top-k对偶~范数和k-支撑对偶~范数，建立了l0阶的变分形式。
2021-08-06 math.OC
Non-coercive radially symmetric variational problems: Existence, symmetry and convexity of minimizers
证明了一类变分问题径向对称解的存在性和Euler-Lagrange必要条件的有效性，使得变分学的直接法和间接法都不适用.通过对具有相同极小元的泛函进行ad-hoc超线性扰动，我们得到了解的存在性和定性性质。
2019-04-23 math.OC
A primal dual variational formulation suitable for a large class of non-convex problems in optimization
在这篇文章中，我们开发了一个新的原始对偶变分公式适用于一个大类的非凸变分问题。这些结果是通过凸分析、对偶理论、勒让德变换概念以及原始变量和对偶变量之间的关系等基本工具得到的。这里的新颖之处在于，对偶公式也是为原始变量建立的，但是具有关于临界点的大的域区域。最后，我们正式证明了在局部极值的情况下，原始和对偶公式之间没有对偶间隙。
2019-09-03 math.OC
Automating the formulation and resolution of convex variational problems: applications from image processing to computational mechanics
凸变分问题出现在从图像处理到流体和固体力学的许多领域中。有趣的应用通常涉及非光滑项，这需要精心设计的优化算法来解决。本手稿介绍了Python包称为fenics_optim建立在FeNiCS有限元软件之上，使自动化的制定和解决各种凸变分问题。制定这样的问题依赖于FEniCS领域特定的语言和表示的凸函数，特别是非光滑的，在圆锥规划框架。相应的最优化问题的离散公式取决于FEniCS提供的有限元离散化能力，而它们的数值解由边界点求解器Mosek执行。通过各种说明性的例子，我们表明，凸优化问题可以制定使用只有几行代码，离散化在一个非常简单的方式，并非常有效地解决。
2019-11-29 math.OC
A convex variational model for learning convolutional image atoms from incomplete data
介绍了一种用于从损坏和/或不完整数据中学习卷积图像原子的变分模型，并在函数空间和数值上进行了分析。基于提升和松弛策略，所提出的方法是凸的，并允许在一般的逆问题上下文中同时进行图像重建和原子学习。此外，出于提高数值性能的动机，本文的分析和实验中还包括半凸变体。对于这两种设置，基本的分析特性，特别是允许，以确保反问题的适定性和稳定性的结果证明在一个连续的设置。利用凸性，全局最优解进一步计算的应用程序与不完整，噪声和模糊的数据和数值结果显示。
2018-12-07 math.OC
On Well-Structured Convex-Concave Saddle Point Problems and Variational Inequalities with Monotone Operators
LJK, Université Grenoble Alpes（洛朗施瓦茨数学与计算机科学实验室，格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；ISyE, Georgia Institute of Technology（工业与系统工程学院，佐治亚理工学院）
本文提出K-conic表示法，将凸-凹鞍点问题和变分不等式转化为锥问题，从而扩展了CVX的应用范围。
2026-06-23 math.OC
Outer Approximation Methods for Solving Variational Inequalities Defined over the Solution Set of a Split Convex Feasibility Problem
研究了闭凸集$S$上强单调Lipschitz连续算子$F$所支配的变分不等式.假设$S=C\cap A^{-1}(Q)$是一个（多集）分裂凸可行性问题的非空解集，其中$C$和$Q$分别是两个实Hilbert空间$\mathcal H_1$和$\mathcal H_2$的闭凸子集，作用于它们之间的算子$A$是线性的.我们考虑的梯度投影法的修改，其主要思想是在每一步的度量投影到$S$由另一个度量投影到包含$S$的半空间。我们提出了三种变体的方法来构建上述半空间，采用多重集和分裂结构的集合$S$。对于分裂部分，我们使用Landweber变换。
2019-08-20 math.OC
Inexact Relative Smoothness and Strong Convexity for Optimization and Variational Inequalities by Inexact Model
在本文中，我们提出了一个通用的算法框架，一阶方法在广义优化，包括极小化问题，鞍点问题，和变分不等式。该框架允许获得许多已知方法作为特例，该列表包括加速梯度法、复合最优化方法、水平集方法、Bregman邻近方法。该框架的思想是基于构建一个不精确的模型的主要问题组件，即目标函数在优化或操作员在变分不等式。除了再现已知的结果，我们的框架允许构建新的方法，我们通过构建一个通用的条件梯度法和一个通用的方法与复合结构的变分不等式说明。该方法适用于光滑和非光滑问题，具有最佳的复杂性，而无需先验知识的问题的光滑性。作为我们的一般框架的一个特殊情况下，我们引入相对光滑的运营商，并提出了一个算法的变分不等式（VI）与这样的运营商。我们还推广了我们的框架相对强凸目标和强单调变分不等式。本文是[arXiv：1902.00990]的扩展和更新版本。特别地，我们对最优化和变分不等式增加了一个相对强凸性的推广。
2021-12-19 math.OC
A variational approach to stochastic minimization of convex functionals
最小化凸积分泛函的随机方法，由Robbins和Monro在20世纪50年代早期发起，依赖于梯度（或次梯度，如果函数不光滑）的评估并在相应的方向上移动。相比之下，我们使用变分技术导致隐式随机最小化方法，最近出现在几个不同的背景下。这种方法是可取的，只要底层空间不具有可微结构，而且它表现出更好的稳定性，这使得它更可取，甚至在线性空间。我们的结果制定在局部紧Hadamard空间，但他们是新的，即使在欧几里得空间，主要的新颖性是更一般的增长条件的功能。我们验证了我们的收敛性定理的假设是满足在几个经典的极小化问题。
2016-05-11 math.OC
Decomposition Techniques for Bilinear Saddle Point Problems and Variational Inequalities with Affine Monotone Operators on Domains Given by Linear Minimization Oracles
求解大型凸凹鞍点问题和单调算子的变分不等式的一阶方法大多数都是近似算法，在每次迭代时都需要极小化问题区域X上的一个线性型与一个强凸函数之和。为了使这样的算法实用，X应该是近似友好的--允许一个强凸函数，容易使线性扰动最小化。作为一个副产品，X允许一个计算成本低的线性最小化Oracle（LMO），能够最小化X个线性型。然而，在一些重要的情况下，廉价的LMO确实是可用的，但是X不是邻近友好的，这促使搜索仅基于LMO的算法。对于光滑凸极小化问题，存在一种经典的基于线性最优的算法--条件梯度算法。与此相反，我们已知的其他问题的凸结构（非光滑凸最小化，凹凸鞍点问题，甚至作为简单的双线性，和变分不等式与单调算子，甚至作为简单的仿射）的基于LMO的技术是相当新的，并利用共同的方法基于Fenchel型表示的相关目标/向量场。本文的目标是开发一种替代的（似乎更简单）基于LMO的分解技术的双线性鞍点问题和变分不等式与仿射单调算子。
2015-10-02 math.OC
On General Duality Principles for Non-Convex Variational Optimization with Applications to the Ginzburg-Landau System in Superconductivity
本文发展了变分法中适用于非凸模型的对偶原理。这里开发的结果被应用到Ginzburg-Landau型方程。对于第一和第二对偶原理，通过一个最优性准则开发的对偶配方，我们定性地分类的原始和对偶泛函的临界点的问题。我们正式证明了在局部极值的情况下，原始和对偶公式之间没有对偶间隙。最后，在最后一节中，我们给出了复Ginzburg-Landau超导系统在磁场和磁势存在下的整体存在性结果，对偶原理和相应的最优性条件.
2018-10-10 math.OC
Occupation measure relaxations in variational problems: the role of convexity
这项工作解决了占领措施放松变分问题，这是一个无限维线性规划放松服从数值逼近的半定最优化问题的层次。我们解决这个问题的等价性放松到原来的问题。我们的主要结果为这种等价性提供了充分条件。这些条件，围绕凸性的数据，是简单的，适用于非常一般的设置，可以是任意尺寸，并可能包括逐点和积分约束，从而大大加强现有的结果。我们的条件也扩展到最优控制问题。此外，我们演示了如何将这些结果可以应用在非凸设置，表明占领措施放松至少是一样强的凸化使用凸包络，在这样做，我们证明了一定的削弱占领措施放松是等同于凸包络。这开辟了道路的应用程序的占领措施松弛的凸包络松弛的情况下，已知是相当于原来的问题，其中包括问题的磁性和弹性。
2023-03-04 math.OC
On variational problems related to steepest descent curves and self dual convex sets on the sphere
设$\mathcal{C}$是$\rn$中半球的紧凸子集族$S$，且$S$包含其对偶$S^*;$，设$u\in S^*$，设$ \inf \big\{Φ(S,u), S \in \mathcal{C}, \, u\in S^* \big\} $。证明了$ Φ$的极小是边界上有$ u $的等宽集$ π/2 $.对于$n=3$可以说得更多：最小集是球面上的一个三角形。前一个问题涉及到一个寻找最大长度的最速下降曲线的拟凸函数，满足适当的约束。对于$ n=2 $，让我们参考\cite{Manselli-Pucci}。这里，对$ n\geq 3$得到了完全不同的结果。
2016-03-04 math.OC
Duality of convex relaxations for constrained variational problems
我们证明了弱对偶最近两个凸松弛法之间的约束变分问题，其中的目标是一个积分泛函的最优值的边界。第一种方法，由Valmorbida等人提出（IEEE自动化学报）。Control 61（6）：1649--1654，2016），用在充分光滑函数上的凸程序代替变分问题，服从逐点非负约束。第二种方法由Korda等人讨论（arXiv：1804.07565v1 [math.OC]），将变分问题松弛为缩放概率测度上的凸规划。我们还证明了这些无穷维凸规划之间的对偶性是强的，这意味着它们的最优值重合，当变分问题中的容许函数的范围和梯度被约束到有界集。对于多项式数据的变分问题，每个凸松弛的最优值可以通过求解有限维半定规划的弱对偶族来逼近。这些都是强对偶标准约束规格条件下，无论是否强对偶持有无限维水平。因此，这两种松弛方法对于计算的目的是等效的。
2019-06-28 math.AP math.OC
Variational properties of the abstract subdifferential operator
本文研究抽象次微分，获得加法与复合规则，证明其在合理条件下为极大抽象单调算子，并给出反例说明抽象凸集分离定理不成立。
2024-04-05 math.OC
A non-convex variational problem appearing in a large deformation elasticity problem
研究了在实际应用中（如弹性大变形问题）出现的非光滑非凸变分问题的全局极值的一个结果，并与D.Y. Gao和R.W.奥格登所用的工具是基本的，所得结果改进和纠正了最近的一个类似结果，更准确地说，是上述作者的论文“大变形弹性问题的封闭解、极值和非光滑准则”中的定理4。
2012-02-16 math.OC
A $\operatorname{prox}$-Based Semi-Smooth Newton Method for Convex Variational Problems
University of Freiburg（弗赖堡大学）；George Mason University（乔治梅森大学）；Technical University of Berlin（柏林工业大学）
提出一种基于近端算子的半光滑牛顿法，适用于有限元离散的广泛非光滑凸变分问题，具有全局适定性和局部超线性收敛性。
2026-06-25 math.OC
Convex variational methods for multiclass data segmentation on graphs
基于图的变分方法最近已被证明是非常有竞争力的各种分类问题的高维数据，但本质上是难以处理的优化的角度来看。本文提出了一个凸松弛的一组特定的基于图的多类数据分割问题，具有区域同质性条款，监督信息和/或某些约束或惩罚条款的类大小。具体应用包括高维数据的半监督分类和非结构化3D点云的无监督分割。理论分析表明，凸松弛密切接近原来的NP难问题，这些观察也证实了实验。一个有效的基于对偶的算法，处理所有的约束条件的标签功能隐式。半监督分类的实验表明，一贯更高的精度比相关的本地最小化方法，相当当训练数据不均匀分布在数据集。在三个基准数据集上，其准确性与广泛的其他已建立的方法相比也具有很强的竞争力。实验上的三维点云采集的激光雷达在室外场景中，表明场景可以准确地分割成对象类，如植被，地平面和人造结构。
2017-02-16 math.OC
On D.Y. Gao and R.W. Ogden's paper "Multiple solutions to non-convex variational problems with implications for phase transitions and numerical computation"
本文证明了D.Y. Gao和R.W. Ogden关于相变问题的全局极小和局部极值的理论是错误的。我们的目标是通过提供一个彻底的分析背景和结果的问题和反例。
2011-01-18 math.OC
On the resolution of misspecified convex optimization and monotone variational inequality problems
我们考虑一个错误指定的最优化问题，需要最小化一个函数f（x;q*）在一个封闭的凸集X，其中q* 是一个未知的参数向量，可以通过一个并行学习过程中学习。在此背景下，我们研究了耦合格式的发展，当k趋于无穷大时，生成迭代{x_k，q_k}，然后{x_k}收敛于x*，f（x;q*）在X上的极小元，{q_k}收敛于q*。在本文的第一部分中，我们考虑在函数f的各种凸性假设下，f是光滑或非光滑的问题的解。此外，还提供了速率语句来量化学习过程导致的速率下降。在第二部分中，我们考虑了错误指定的单调变分不等式问题的解与更多的一般均衡问题以及错误指定约束条件的可能性。首先给出了一个常步长的错定外梯度格式，并证明了它的渐近收敛。该方案依赖于问题参数（如Lipschitz常数），并导致我们提出一个错误指定的迭代Tikhonov正则化的变体。数值支持渐近和速率声明。
2015-04-15 math.OC
Nonmonotone Spectral Analysis for Variational Inclusions
本文提出一种结合谱方法与非单调线搜索的谱次梯度算法，用于求解变分包含问题，以加速收敛并逃离非凸优化中的局部极小值。
2025-01-05 math.OC
Extended Lorentz cones and variational inequalities on cylinders
给出了一个变分不等式的解关于其自然映射对应的Picard迭代的锥单调收敛的条件。其中一个条件是在变分不等式定义中闭凸集上投影的保序性。如果闭凸集是一个圆柱，而圆锥是一个扩展的洛伦兹圆锥，那么这个条件可以放弃，因为它是自动满足的。所得结果进一步推广到无界箱约束变分不等式。对于这种情况下的一个数值例子。
2015-03-20 math.OC
A non-convex variational model for joint polyenergetic CT reconstruction, sensor denoising and material decomposition
计算机断层扫描（CT）广泛用于工程和医学中，用于对物体、患者或动物的内部进行成像。如果所采用的X射线源是单能的，则图像重建实质上意味着射线变换的反演。然而，典型的X射线源是多能的（即，发射多个波长，每个波长具有不同的衰减行为），并且忽略这一事实可能导致诸如射束硬化的伪影。在某些设置中的另一个困难是出现两种不同类型的噪声，即探测器上的光子计数效应和例如由CCD相机产生的电子噪声。我们提出了一种新的变分图像重建模型，同时考虑到噪声类型和多能源，而且分解成不同的材料，根据其不同的衰减行为的重建。除了对模型进行详细的数学分析外，还提出了相应的迭代算法，并进行了收敛性分析。体模数据的数值重建说明了该方法的可行性。
2022-06-06 math.OC
Generalized differentiation of piecewise linear functions in second-order variational analysis
本文致力于一个全面的二阶研究一类显着的凸扩展实值函数，这是非常重要的非线性和变分分析的许多方面，特别是那些有关的优化和稳定性。这类函数由有限维空间上可能具有无穷大值的下半连续函数组成，它们被标记为分段线性函数，并且可以通过它们的上图的凸性来等价地描述。本文计算了任意凸分段线性函数的二阶次微分（广义Hessians），以及相应的几何对象，完全根据它们的初始值.所得到的公式使我们，特别是，证明一个新的确切的（平等型）二阶和规则，这样的功能在一般的非光滑设置。
2015-07-19 math.OC
On the solution of stochastic optimization and variational problems in imperfect information regimes
我们考虑了随机凸优化问题$\mathbb{E}[f(x;θ^*,ξ)]$在闭凸集$X$上的解，其中$θ^*$不可用，而$ξ$是一个适当定义的随机变量.相反，$θ^*$可以通过学习问题的解来获得，该学习问题需要在闭凸集$Θ$上最小化$θ$中的度量$\mathbb{E}[g(θ;η)]$。传统的方法是顺序或直接变分方法。在前者的情况下，这需要以下步骤：（i）获得学习问题的解，即$θ^*$;以及（ii）获得由$θ^*$参数化的相关计算问题的解。这些途径证明难以采用，特别是因为学习过程必须立即终止，因此，在大规模的情况下，顺序方法往往会因错误而被破坏。另一方面，变分的方法要求的问题可能是一个可能的非单调随机变分不等式问题在$(x,θ)$空间，但有没有已知的一阶随机逼近计划目前可用于解决这个问题。为了解决缺乏收敛有效的计划，我们提出了一个耦合的随机逼近计划，同时解决了计算和学习问题。所得到的计划被证明是配备了几乎必然的收敛性能的政权时，功能$f$是强凸的，以及仅仅是凸的。
2015-06-30 math.OC
Convexification of classes of mixed-integer sets with L$^\natural$-convexity
Université de Montréal（蒙特利尔大学）；Northwestern University（西北大学）
基于L$^\natural$-凸性，研究混合整数集的凸化问题，提出线性不等式和凸包描述，揭示混合整数结构中的隐藏L$^\natural$-凸性。
2026-09-10 math.OC
Revisited convexity notions for $L^\infty$ variational problems
本文系统研究 $L^\infty$ 变分问题中与弱*下半连续性和幂律逼近相关的凸性概念，旨在为后续研究奠定理论基础。
2023-09-18 math.AP math.OC
Applications of the KKM property to coincidence theorems, equilibrium problems, minimax inequalities and variational relation problems
在本文中，我们建立了重合的情况下，当对应的值是不凸的结果。为了做到这一点，我们定义了一种新的类型的对应，即适当的准凸状。进一步，我们应用所得定理解决平衡问题，并建立一个极大极小不等式。在文章的最后一部分，我们研究了广义向量变分关系问题解的存在性。我们的分析是基于KKM原理的应用。在新的假设条件下建立了解的存在性定理，改进了一些文献的结果。
2016-05-10 math.OC
Convex Variational Image Restoration with Histogram Priors
我们提出了一种新的变分图像恢复方法（例如，去噪、修补、标记），其使得能够用基于直方图的先验强制解接近某个给定的经验测量来补充已建立的变分方法。通过最小化一个单一的目标函数，该方法同时利用两个完全不同的信息源进行恢复：空间上下文的一些平滑度和非空间统计方面的新的先验利用Wasserstein距离之间的概率测度。我们研究的功能提升技术与两个不同的放松的直方图先验的组合，并得出一个联合凸变分方法。数学等价的两个松弛建立和最优性的情况下举行了讨论。此外，我们提出了一个有效的算法方案的数值处理所提出的模型。使用基本的基于全变分的去噪方法作为案例研究的实验证明了我们新的正则化方法。
2013-07-17 cs.CV math.OC
Sensitivity analysis of variational inequalities via twice epi-differentiability and proto-differentiability of the proximity operator
本文研究Hilbert空间中参数化第二类非线性变分不等式的灵敏度分析。目前的工作的挑战是考虑到扰动的所有数据的问题。这就需要在所涉及的算子和函数的广义一阶和二阶微分的定义中进行特殊的调整。确切地说，我们扩展了R.T. Rockafellar，分别证明了参数化下半连续凸函数及其次微分的两次上可微性和两次原可微性。这两个概念之间的联系与Attouch定理和本文介绍的收敛支撑超平面的新概念有关。利用已有的工具，我们得到了参数化变分不等式的广义邻近算子的原导数的精确公式，并证明了相应解关于参数的可微性.此外，该导数是一个新的变分不等式的解决方案，涉及半和两次epi-derivatives的数据。给出了一个应用于涉及两个凸函数（其中一个是光滑的）之和的参数化凸优化问题。详细讨论了带不等式约束的光滑凸优化问题。这种方法在文献中似乎是新的，并在非线性最优化的理论和计算问题上打开了几个视角。
2018-02-25 math.OC
Relations between nonsmooth vector variational inequalities and nonsmooth vector optimization problems on Hadamard manifold in terms of bifunction
本文在Hadamard流形上利用双函数定义广义测地凸性，证明非光滑向量变分不等式解的唯一性及表征性质，并揭示非光滑向量优化问题与两类变分不等式解之间的关系。
2024-05-24 math.OC
Tensor methods for strongly convex strongly concave saddle point problems and strongly monotone variational inequalities
本文提出了求解$μ$ -强凸-强凹鞍点问题的三种$p$-阶张量方法。第一种方法是基于目标的$p$阶光滑性的假设，并且它实现了$O \left( \left( \frac{L_p R^{p - 1}}μ \right)^\frac{2}{p + 1} \log \frac{μR^2}{\varepsilon_G} \right)$的收敛速度，其中$R$是到解的初始距离的估计，并且$\varepsilon_G$是在对偶间隙方面的误差。在附加的假设下的第一和第二阶光滑的目标，我们连接的第一种方法与局部超线性收敛算法，并开发了第二种方法的复杂性$O \left( \left( \frac{L_p R^{p - 1}}μ \right)^\frac{2}{p + 1}\log \frac{L_2 R \max \left\{ 1, \frac{L_1}μ \right\}}μ + \log \frac{\log \frac{L_1^3}{2 μ^2 \varepsilon_G}}{\log \frac{L_1 L_2}{μ^2}} \right)$。第三种方法是第二种方法的修改版本，并且它使用$\tilde O \left( \left( \frac{L_p R^p}{\varepsilon_\nabla} \right)^\frac{2}{p + 1} \right)$ oracle调用来…
2021-04-13 math.OC
Solving Variational Inequalities with Monotone Operators on Domains Given by Linear Minimization Oracles
求解大规模凸-凹鞍点问题的标准算法，或者更一般地说，求解单调算子变分不等式的标准算法，都是近似型算法，在每次迭代时都需要计算一个n-映射，即在问题的定义域$X$上最小化一个线性型和特定的凸距离生成函数之和。在实现近似算法时，作为标准要求的逆映射的相对计算简单性清楚地暗示了为$X$配备能够在$X$线性型上最小化的相对计算上便宜的线性最小化Oracle（LMO）的可能性。然而，有一个便宜的LMO确实是可用的，但在那里没有近端设置与易于计算的映射是已知的重要情况。这一事实激发了我们的目标，在本文中，这是发展技术，解决变分不等式与单调算子的区域上的线性极小化神谕。我们开发的技术可以被看作是在[5]中提出的非光滑凸最小化方法在LMO表示的域上的一个实质性的扩展。
2014-06-23 math.OC
Variational Analysis of Proximal Compositions and Integral Proximal Mixtures
本文系统分析近端复合与积分近端混合两种凸性保持构造的参数化变分性质，涵盖凸性、共轭、可微性、包络、极小元及渐近行为，并讨论近端期望特例。
2026-10-27 math.OC
An approximation scheme for variational inequalities with convex and coercive Hamiltonians
对一类Hamilton函数为凸强制的半线性变分不等式提出了一个逼近格式。该方案是一个自然扩张以前的分裂计划提出的梁，Zariphopoulou和作者的半线性抛物型偏微分方程。我们建立了该方案的收敛性，并通过获得其误差界来确定其收敛速度。利用Krylov的振动系数技术和Barles-Jakobsen的最优切换近似得到了该界，其中的关键一步是引入一个变量切换系统。
2018-10-20 cs.NA math.NA math.OC
Splitting forward-backward penalty scheme for constrained variational problems
本文研究了求解变分不等式\begin{equation*} A x +\nabla Φ(x)+ N_C (x) \ni 0 \end{equation*}的一种前后分裂算法，其中$H$是实Hilbert空间，$A: H\rightrightarrows H$是极大单调算子，$Φ: H\to\mathbb{R}$是光滑凸函数，$N_C$是闭凸集$C\subset H$的外法锥.约束集$C$表示为两个凸惩罚函数$Ψ_1:H\to\mathbb{R}$和$Ψ_2: H\to\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$的最小值集的交集。函数$Ψ_1$是光滑的，函数$Ψ_2$是适当的和下连续的。给定趋于无穷大的惩罚参数序列$(β_n)$和正时间步长序列$(λ_n)$，算法$$ \left\{\begin{array}{rcl} x_1 & \in & H,\\ x_{n+1} & = & (I+λ_n A+λ_nβ_n\partialΨ_2)^{-1}(x_n-λ_n\nablaΦ(x_n)-λ_nβ_n\nablaΨ_1(x_n)),\ n\geq 1. \end{array}\right. $$在平滑部分上执行前向步骤，在其它部分上执行后向步骤。在适当的假设下，我们得到序列$(x_n)$弱遍历收敛到变分不等式的解。当$A$是强单调的或$Φ$是强凸的时，收敛是强的。当$A$是一个…
2014-08-05 math.OC
On circumcentered direct methods for monotone variational inequality problems
Universidade Federal de Santa Catarina（圣卡塔琳娜联邦大学）；Northern Illinois University（北伊利诺伊大学）；Fundação Getúlio Vargas（热图利奥·瓦加斯基金会）；Instituto de Matemática Pura e Aplicada（纯数学与应用数学研究所）
本文提出两种基于圆心加速的直接方法，用于高效求解涉及参数单调和单调算子的变分不等式问题，实验表明其在计算效率上有显著优势。
2026-02-08 math.OC
Higher-order methods for convex-concave min-max optimization and monotone variational inequalities
Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田工业大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
我们提供了改进的收敛速度的约束凸-凹极小-极大问题和单调变分不等式高阶光滑。在最小-最大设置的$p^{th}$阶导数是Lipschitz连续的，我们给出了一个算法高阶Prox，实现了迭代复杂度为$O(1/T^{\frac{p+1}{2}})$时，获得了一个Oracle的查找一个不动点的$p^{th}$阶方程。我们对弱单调变分不等式问题给出了类似的速率。对于$p>2$，我们的结果改进了Nemirovski [2004]的一阶镜像Prox方法和Monteiro和Svaiter [2012]的二阶方法的迭代复杂度。我们进一步实例化我们的整个算法在无约束的$p=2$的情况下。
2020-07-09 cs.LG math.OC stat.ML
Variational Gram Functions: Convex Analysis and Optimization
University of Washington（华盛顿大学）；Microsoft Research（微软研究院）
我们提出了一类新的凸罚函数，称为\emph{variational Gram functions}（VGF），它可以促进向量空间中一组向量之间的成对关系，如正交性。这些函数可以作为正则化的凸优化问题所产生的分层分类，多任务学习，估计向量与不相交的支持，以及其他应用。研究了VGF的凸性，给出了VGF的凸共轭、次微分和邻近算子的有效刻画。我们讨论有效的优化算法正则化损失最小化问题的损失承认一个共同的，但简单的，变分表示和正则化是一个VGF。这些算法享有一个简单的核技巧，一个有效的线搜索，以及计算上的优势，一阶方法的基础上的次微分或邻近的地图。我们还建立了这类学习问题的一般表示定理。最后，一个层次分类问题的数值实验，以证明VGF和相关的优化算法的有效性。
2017-04-12 cs.LG math.OC stat.ML
A convex variational principle for the necessary conditions of classical optimal control
本文提出生成凸变分原理族的方案，其欧拉-拉格朗日方程对应ODE系统最优控制必要条件，应用于二次-二次调节器问题得显式泛函并证极小值存在，可无需非线性求解含时变强迫的线性二次调节器问题，为凸优化解非线性控制提供路径。
2025-06-11 cs.SY eess.SY math.DS
A variational approach to stable principal component pursuit
我们引入了一个新的稳定的主成分追踪（SPCP）的凸公式分解成低秩和稀疏表示的噪声信号。对于我们的SPCP公式的数值解，我们首先开发了一个凸变分框架，然后用拟牛顿法加速它。我们表明，通过合成和真实的数据实验，我们的方法提供了优势，在可扩展性和实用的参数选择的经典SPCP配方。
2014-06-04 math.OC stat.ML
A Proximal Decomposition Method for Solving Convex Variational Inverse Problems
UPMC Université Paris 06（巴黎第六大学）；Laboratoire Jacques-Louis Lions – UMR 7598（雅克-路易·利翁斯实验室）；Université Paris-Est（巴黎东大学）；Institut Gaspard Monge and UMR CNRS 8049（加斯帕尔·蒙日研究所）
提出一种用于Hilbert空间中多个凸函数和最小化问题的近端分解算法，可处理任意数量的非光滑函数，并证明其收敛性，在信号与图像处理中展示数值应用。
2009-06-23 cs.NA math.NA math.OC
Solving Monotone Variational Inequalities with Best Response Dynamics
该研究利用最优响应动力学求解紧凸集上的单调变分不等式，验证了其在博弈论场景下收敛到纳什均衡的特性，推广了带凸约束的群体博弈，并分析了方法对时变扰动的鲁棒性。
2024-09-16 cs.SY eess.SY math.OC
A Universal Algorithm for Variational Inequalities Adaptive to Smoothness and Noise
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；ENS（巴黎高等师范学院）；PSL Research University（巴黎文理研究大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
我们考虑变分不等式来自单调算子，设置，包括凸极小化和凹凸鞍点问题。我们假设访问潜在的噪声无偏值的单调算子和评估收敛通过一个兼容的间隙函数，对应于标准的最优性标准，在上述子情况。我们提出了一个通用的算法，这些不等式的基础上的Prox-Prox算法。具体地说，我们的算法同时实现了最佳速率的平滑/非平滑，和噪声/无噪声设置。这是在没有任何先验知识的情况下完成的，并且在任意范数和相容Bregman分歧的一般设置中。对于凸极小化和凸凹鞍点问题，这导致新的自适应算法。我们的方法依赖于一个新的但简单的自适应选择的步长，这可以被看作是适当的扩展AdaGrad处理约束问题。
2019-02-05 cs.LG math.OC stat.ML
A Unified Variational Design of Predictive Mirror Descent in Convex Games under Stochastic Feedback
New York University（纽约大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文通过构造带辅助记忆状态的随机镜像微分博弈，提出预测反馈的变分路径，导出一般镜像几何中的双通道预测镜像动力学，并在局部镜像正则性、局部Bregman增长条件和有界布朗扩散下，建立了有限时域局部终端时间界的期望和高概率保证，以及局部化邻域的退出概率估计，为稳定均衡附近的最后迭代性能提供了统一的变分构造和局部随机保证。
2026-06-01 cs.GT math.OC
