Learning convex regularizers satisfying the variational source condition for inverse problems
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Erlangen-Nuremberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
变分正则化是近几十年来成像反问题中最成功的重建方法之一。随着近年来深度学习的出现和惊人的成功，大量的研究已经进入变分环境中正则化子的数据驱动建模。我们的工作扩展了最近提出的一种方法，称为对抗凸正则化（ACR），该方法试图通过对抗训练来学习数据驱动的凸正则化，试图将数据的力量与经典的凸正则化理论相结合。具体来说，我们在训练过程中利用变分源条件（SC）来强制地面实况图像最小化与学习的凸正则化子对应的变分损失。这是通过向ACR训练目标添加适当的惩罚项来实现的。由此产生的正则化器（缩写为ACR-SC）与ACR的性能相当，但与ACR不同的是，它具有定量的收敛速度估计。
2021-10-24 cs.LG eess.IV
On the convergence of mirror descent beyond stochastic convex programming
Stanford University（斯坦福大学）；Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）
在本文中，我们研究了一类随机最优化问题的镜像下降的收敛性，这些问题不一定是凸的（甚至是拟凸的），我们称之为变分相干的。由于标准技术的“遍历平均”提供没有实际的好处以外的凸规划，我们直接专注于算法的最后生成的样本（其“最后一个”），我们表明，它收敛的概率$1$，如果根本的问题是一致的。我们进一步考虑了一个局部版本的变分相干，它确保随机镜像下降（SMD）的局部收敛的高概率。这些结果表明（准）凸性对于收敛到全局极小值并不是必需的，从而为非凸随机最优化的前景做出了贡献：相反，变分相干性（一个弱得多的要求）就足够了。最后，在上述基础上，我们揭示了一个关于SMD收敛速度的有趣见解：在具有尖锐极小值的问题（如一般线性规划或凹极小化问题）中，SMD在有限步数（a.s.）中达到极小点，即使存在持续的梯度噪声。这一结果是对比现有的黑盒收敛速度估计，只有渐近。
2018-07-16 cs.LG math.OC
Variational Convexity of Functions and Variational Sufficiency in Optimization
本文致力于研究，刻画和应用的变分凸性的功能，该属性已被最近介绍的Rockafellar连同其强对应。首先，我们证明了这些变分性质的扩展实值函数是等价的，分别是，传统的（局部）凸性和强凸性的Moreau包络。然后，我们得到了新的特征的变分凸性和变分强凸性的一般功能通过其二阶次微分（广义Hessians），这是次梯度映射的余导数。我们还研究了这些概念与局部极小和倾斜稳定局部极小的关系。所得结果用于表征复合优化中变分和强变分充分性的相关概念，并应用于非线性规划。
2023-01-27 math.OC
Parameter-free Stochastic Optimization of Variationally Coherent Functions
Boston University（波士顿大学）
我们设计和分析了一个算法的一个大类函数的一阶随机最优化的$\mathbb{R}^d$。特别地，我们考虑的\emph{variationally coherent}功能，可以是凸的或非凸的。我们的算法在变分相干函数上的迭代几乎必然收敛到全局极小点$\boldsymbol{x}^*$。此外，在$T$迭代之后，具有相同超参数的非常相同的算法保证凸函数上的期望次优性间隙对于任何$ε>0$都由$\widetilde{O}(\|\boldsymbol{x}^* - \boldsymbol{x}_0\| T^{-1/2+ε})$限定。它是第一个同时实现这两个属性的算法。此外，凸函数的速率基本上与无参数算法的性能相匹配。我们的算法是Follow The Regularized Leader算法的一个实例，并增加了使用\emph{rescaled gradients}和时变线性正则化器的扭曲。
2021-01-30 cs.LG math.OC stat.ML
A convex dual formulation for a large class of non-convex models in variational optimization
这个简短的通信开发了一个凸对偶变分公式的变分优化模型的一大类。结果是通过泛函分析、凸分析和对偶理论的基本工具建立的。主要的对偶原理是作为一个应用程序开发的金-朗道型系统在超导在没有磁场。
2022-03-30 math.OC
Variational Geometric Approach to Generalized Differential and Fenchel Conjugate Calculi in Convex Analysis
本文发展了局部凸拓扑空间和巴拿赫空间中凸对象的变分分析的几何方法。除了用这种方法导出凸微积分的新结果外，我们还综述了一些已知的成果，并给出了它们基于发展的几何变分格式的统一和简化的证明。
2017-05-10 math.OC
Convex KKM maps, monotone operators and Minty variational inequalities
已知对于凸集，KKM条件等价于有限交性质。我们利用这个等价性得到了单调算子在凸KKM映射和Minty变分不等式解的存在性方面的一个刻画。后一个结果提供了一个相反的种子定理的明蒂。
2015-03-21 math.OC
A convex dual variational formulation for non-convex optimization applied to a non-linear model of plates
本文发展了适用于板的非线性Kirchhoff-Love模型的对偶原理。结果是通过凸分析，泛函分析，变分法和对偶理论的标准工具。主要的对偶原理涉及一个凸（实际上凹）的对偶变分公式和相关的新的最优性条件的模型问题。最后，在最后一节中，我们发展了弹性力学中类似模型的整体存在性结果。
2021-09-04 math.OC
Analytic Center Cutting Plane Methods for Variational Inequalities over Convex Bodies
解析中心割平面法是一种基于解析中心计算的迭代算法。本文提出了一些求解区域为有界或无界凸体的拟单调或伪单调变分不等式的解析中心割平面法。
2017-10-31 math.OC
A Universal Algorithm for Variational Inequalities Adaptive to Smoothness and Noise
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；ENS（巴黎高等师范学院）；PSL Research University（巴黎文理研究大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
我们考虑变分不等式来自单调算子，设置，包括凸极小化和凹凸鞍点问题。我们假设访问潜在的噪声无偏值的单调算子和评估收敛通过一个兼容的间隙函数，对应于标准的最优性标准，在上述子情况。我们提出了一个通用的算法，这些不等式的基础上的Prox-Prox算法。具体地说，我们的算法同时实现了最佳速率的平滑/非平滑，和噪声/无噪声设置。这是在没有任何先验知识的情况下完成的，并且在任意范数和相容Bregman分歧的一般设置中。对于凸极小化和凸凹鞍点问题，这导致新的自适应算法。我们的方法依赖于一个新的但简单的自适应选择的步长，这可以被看作是适当的扩展AdaGrad处理约束问题。
2019-02-05 cs.LG math.OC stat.ML
Variational convexity: new characterizations, calculus rules, and applications
University of Vienna（维也纳大学）
本文提出变分凸函数的新刻画（通过近端包络和图），研究保持变分凸性的运算（非线性/线性复合、求和、近端平均），并将其应用于非线性规划问题，得到确保局部极小点而非仅驻点的新条件。
2026-06-24 math.OC
Variational Convexity of Functions in Banach Spaces
本文首次研究Banach空间上扩充实值函数的变分凸性，结合几何泛函分析、变分分析与广义微分工具开展分析，填补了无限维空间中该方向的研究空白。
2023-08-27 math.OC
On the Polyak convexity principle and its application to variational analysis
根据B.T. Polyak是希尔伯特空间之间的映射，它是围绕正则点的$C^{1,1}$，它将以该点为中心的球带到凸集，只要球的半径足够小。本文将这一结果推广到定义在一致凸巴拿赫空间的某个子类上的映射。这使得一个扩展到这样的设置一个变分原理的约束最优化问题，已经观察到在有限维，建立一个凸的行为，适当的本地化。进一步变的后果进行了探讨。
2013-03-29 math.OC
On second-order variational analysis of variational convexity of prox-regular functions
本文研究了prox-regular函数的变分凸性，去除了次微分连续性假设，通过修改广义导数定义使其与$f$-attentive收敛兼容，给出了二阶特征及精确界公式，并探讨了变分强凸性、倾斜稳定局部极小值与次梯度映射截断的强度量正则性之间的关系。
2025-02-03 math.OC
On relationships between vector variational inequalities and optimization problems using convexificators on Hadamard manifold
本文在 Hadamard 流形上推广凸化子概念，推导中值定理与有界凸化子的单调性及刻画，并研究基于凸化子的向量变分不等式与向量优化问题，给出 Stampacchia 和 Minty 型部分向量变分不等式下的充要条件。
2024-05-24 math.OC
Dual variational formulations for a large class of non-convex models in the calculus of variations
本文发展了变分优化中一大类模型的对偶变分公式。结果是通过泛函分析、凸分析和对偶理论的基本工具建立的。主要的对偶原理是作为一个应用程序开发的金-朗道型系统在超导在没有磁场。在第一部分的最后一节中，我们开发了新的一般对偶凸变分公式，更具体地说，对偶公式具有一个大的凸区域周围的临界点，适用于非凸优化的一个大类模型在物理和工程。最后，在最后一节中，我们给出了应用于Ginzburg-Landau型方程的广义直线法的一些数值结果。
2022-10-02 math.OC
Nash Equilibrium and Minimax Theorems via Variational Tools of Convex Analysis
本文利用凸最小化最优性条件、Schauder和Kakutani不动点定理及广义微分工具，证明了Hilbert空间和局部凸拓扑向量空间中Nash均衡的存在性，并扩展了von Neumann的minimax定理。
2024-08-26 math.OC
Interval Valued Vector Variational Inequalities and Vector Optimization Problems via Convexificators
本文研究了区间值向量最优化问题$(IVOP)$，利用凸性假设和$(IVOP)$的LU-有效解，得到了它们与Minty型和Stampacchia型区间向量变分不等式$(IVVI)$之间的关系.进一步，我们考虑了Minty型和Stampacchia型的$(IVVI)$的弱形式，并找到了Minty型和Stampacchia型的$(IVVI)$的弱形式与$(IVOP)$的弱LU-有效解之间的关系.所得结果推广和改进了文献中已有的一些结果.
2023-02-23 math.OC
A Numerical Approach to the Estimation of the Solutions of some Variational Problems with Convexity Costraints
本文给出了一种算法来逼近变分问题的解，其中容许函数的集合由凸函数组成。这种数值方法背后的主要动机是在委托代理框架内估计逆向选择问题的解决方案。产品线设计、最优税收、结构化衍生品设计等问题都可以通过这些模型进行研究。我们开发了一种方法来估计他们的最优定价时间表。
2008-03-06 math.OC
On duality principles for non-convex variational models applied to a Ginzburg-Landau type equation
本文发展了一个对偶原理，它适用于一大类变分问题。首先，我们将结果应用到Ginzburg-Landau型模型。在第二步中，我们开发了另一个二元原理和相关的原始二元变分公式，这种方法包括保证原始和二元公式之间零二元差距的最优性条件。我们强调，在这两种情况下，得到的对偶变分公式有大的区域的临界点的问题。
2018-01-17 math.OC
Duality of convex relaxations for constrained variational problems
我们证明了弱对偶最近两个凸松弛法之间的约束变分问题，其中的目标是一个积分泛函的最优值的边界。第一种方法，由Valmorbida等人提出（IEEE自动化学报）。Control 61（6）：1649--1654，2016），用在充分光滑函数上的凸程序代替变分问题，服从逐点非负约束。第二种方法由Korda等人讨论（arXiv：1804.07565v1 [math.OC]），将变分问题松弛为缩放概率测度上的凸规划。我们还证明了这些无穷维凸规划之间的对偶性是强的，这意味着它们的最优值重合，当变分问题中的容许函数的范围和梯度被约束到有界集。对于多项式数据的变分问题，每个凸松弛的最优值可以通过求解有限维半定规划的弱对偶族来逼近。这些都是强对偶标准约束规格条件下，无论是否强对偶持有无限维水平。因此，这两种松弛方法对于计算的目的是等效的。
2019-06-28 math.AP math.OC
A primal dual formulation through a proximal approach for non-convex variational optimization
本文开发了一个原始对偶制定的原始近似方法适用于一个大类的非凸模型的变分法。通过标准工具的泛函分析，凸分析和对偶理论的结果，并施加到Ginzburg-Landau型模型。最后，在最后两节中，我们给出了模型的最优性条件和另一个对偶原理。
2021-07-25 math.OC
Capra-Convexity, Convex Factorization and Variational Formulations for the l0 Pseudonorm
所谓的l0基数函数（cardinality function）计算一个向量的非零分量的数量。在本文中，我们通过所谓的Capra（沿着原始射线的常数）共轭来分析l0范数，其中潜在的源范数和它的对偶范数都是正交严格单调的（我们正式引入的概念，包括lp范数，但对于极端的）。我们得到三个主要结果。首先，证明了l0凸函数等于它的Capra-双共轭函数，即是一个Capra-凸函数.其次，我们推导出一个意想不到的结果，我们称之为凸因子分解：l0的凸因子在源范数的单位球面上与一个适当的凸下连续函数重合。第三，我们利用我们正式引入的广义top-k对偶~范数和k-支撑对偶~范数，建立了l0阶的变分形式。
2021-08-06 math.OC
Non-coercive radially symmetric variational problems: Existence, symmetry and convexity of minimizers
证明了一类变分问题径向对称解的存在性和Euler-Lagrange必要条件的有效性，使得变分学的直接法和间接法都不适用.通过对具有相同极小元的泛函进行ad-hoc超线性扰动，我们得到了解的存在性和定性性质。
2019-04-23 math.OC
A primal dual variational formulation suitable for a large class of non-convex problems in optimization
在这篇文章中，我们开发了一个新的原始对偶变分公式适用于一个大类的非凸变分问题。这些结果是通过凸分析、对偶理论、勒让德变换概念以及原始变量和对偶变量之间的关系等基本工具得到的。这里的新颖之处在于，对偶公式也是为原始变量建立的，但是具有关于临界点的大的域区域。最后，我们正式证明了在局部极值的情况下，原始和对偶公式之间没有对偶间隙。
2019-09-03 math.OC
Level proximal subdifferential, variational convexity, and pointwise quadratic approximation
Chongqing Normal University（重庆师范大学）；University of British Columbia Okanagan（不列颠哥伦比亚大学奥肯那根分校）
本文研究了水平近似子微分的系统性质，通过局部强非扩张性或局部相对单调性刻画变分凸性，并用于分析近端梯度法的局部收敛性，同时探讨了水平近似子微分的存在性、单值性和积分性，量化了函数的点wise二次近似特性。
2026-04-21 math.OC
Automating the formulation and resolution of convex variational problems: applications from image processing to computational mechanics
凸变分问题出现在从图像处理到流体和固体力学的许多领域中。有趣的应用通常涉及非光滑项，这需要精心设计的优化算法来解决。本手稿介绍了Python包称为fenics_optim建立在FeNiCS有限元软件之上，使自动化的制定和解决各种凸变分问题。制定这样的问题依赖于FEniCS领域特定的语言和表示的凸函数，特别是非光滑的，在圆锥规划框架。相应的最优化问题的离散公式取决于FEniCS提供的有限元离散化能力，而它们的数值解由边界点求解器Mosek执行。通过各种说明性的例子，我们表明，凸优化问题可以制定使用只有几行代码，离散化在一个非常简单的方式，并非常有效地解决。
2019-11-29 math.OC
A convex variational model for learning convolutional image atoms from incomplete data
介绍了一种用于从损坏和/或不完整数据中学习卷积图像原子的变分模型，并在函数空间和数值上进行了分析。基于提升和松弛策略，所提出的方法是凸的，并允许在一般的逆问题上下文中同时进行图像重建和原子学习。此外，出于提高数值性能的动机，本文的分析和实验中还包括半凸变体。对于这两种设置，基本的分析特性，特别是允许，以确保反问题的适定性和稳定性的结果证明在一个连续的设置。利用凸性，全局最优解进一步计算的应用程序与不完整，噪声和模糊的数据和数值结果显示。
2018-12-07 math.OC
A variational approach to stable principal component pursuit
我们引入了一个新的稳定的主成分追踪（SPCP）的凸公式分解成低秩和稀疏表示的噪声信号。对于我们的SPCP公式的数值解，我们首先开发了一个凸变分框架，然后用拟牛顿法加速它。我们表明，通过合成和真实的数据实验，我们的方法提供了优势，在可扩展性和实用的参数选择的经典SPCP配方。
2014-06-04 math.OC stat.ML
On Well-Structured Convex-Concave Saddle Point Problems and Variational Inequalities with Monotone Operators
LJK, Université Grenoble Alpes（洛朗施瓦茨数学与计算机科学实验室，格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；ISyE, Georgia Institute of Technology（工业与系统工程学院，佐治亚理工学院）
本文提出K-conic表示法，将凸-凹鞍点问题和变分不等式转化为锥问题，从而扩展了CVX的应用范围。
2026-06-23 math.OC
An approximation scheme for variational inequalities with convex and coercive Hamiltonians
对一类Hamilton函数为凸强制的半线性变分不等式提出了一个逼近格式。该方案是一个自然扩张以前的分裂计划提出的梁，Zariphopoulou和作者的半线性抛物型偏微分方程。我们建立了该方案的收敛性，并通过获得其误差界来确定其收敛速度。利用Krylov的振动系数技术和Barles-Jakobsen的最优切换近似得到了该界，其中的关键一步是引入一个变量切换系统。
2018-10-20 cs.NA math.NA math.OC
Revisited convexity notions for $L^\infty$ variational problems
本文系统研究 $L^\infty$ 变分问题中与弱*下半连续性和幂律逼近相关的凸性概念，旨在为后续研究奠定理论基础。
2023-09-18 math.AP math.OC
Characterizations of Variational Convexity and Tilt Stability via Quadratic Bundles
本文借助二次束和 Moreau 包络的二次可微性，刻画无次微分连续性的 prox-正则函数的变分 s-凸性与倾斜稳定性。
2025-01-08 math.OC
Outer Approximation Methods for Solving Variational Inequalities Defined over the Solution Set of a Split Convex Feasibility Problem
研究了闭凸集$S$上强单调Lipschitz连续算子$F$所支配的变分不等式.假设$S=C\cap A^{-1}(Q)$是一个（多集）分裂凸可行性问题的非空解集，其中$C$和$Q$分别是两个实Hilbert空间$\mathcal H_1$和$\mathcal H_2$的闭凸子集，作用于它们之间的算子$A$是线性的.我们考虑的梯度投影法的修改，其主要思想是在每一步的度量投影到$S$由另一个度量投影到包含$S$的半空间。我们提出了三种变体的方法来构建上述半空间，采用多重集和分裂结构的集合$S$。对于分裂部分，我们使用Landweber变换。
2019-08-20 math.OC
A study of convex convex-composite functions via infimal convolution with applications
本文给出了有限维空间中凸-凸复合函数的完全共轭性和次微分。我们的方法，基于无穷卷积和锥凸性，是简单的，并产生所需的结果下一个可验证的斯莱特型条件下，放松单调性和没有下半连续性假设的功能在玩。我们的研究结果的多功能性说明了一系列的应用程序在优化和矩阵分析，包括圆锥规划，矩阵分数，变分革兰氏，谱函数。
2019-08-21 math.OC
Inexact Relative Smoothness and Strong Convexity for Optimization and Variational Inequalities by Inexact Model
在本文中，我们提出了一个通用的算法框架，一阶方法在广义优化，包括极小化问题，鞍点问题，和变分不等式。该框架允许获得许多已知方法作为特例，该列表包括加速梯度法、复合最优化方法、水平集方法、Bregman邻近方法。该框架的思想是基于构建一个不精确的模型的主要问题组件，即目标函数在优化或操作员在变分不等式。除了再现已知的结果，我们的框架允许构建新的方法，我们通过构建一个通用的条件梯度法和一个通用的方法与复合结构的变分不等式说明。该方法适用于光滑和非光滑问题，具有最佳的复杂性，而无需先验知识的问题的光滑性。作为我们的一般框架的一个特殊情况下，我们引入相对光滑的运营商，并提出了一个算法的变分不等式（VI）与这样的运营商。我们还推广了我们的框架相对强凸目标和强单调变分不等式。本文是[arXiv：1902.00990]的扩展和更新版本。特别地，我们对最优化和变分不等式增加了一个相对强凸性的推广。
2021-12-19 math.OC
Convex Variational Image Restoration with Histogram Priors
我们提出了一种新的变分图像恢复方法（例如，去噪、修补、标记），其使得能够用基于直方图的先验强制解接近某个给定的经验测量来补充已建立的变分方法。通过最小化一个单一的目标函数，该方法同时利用两个完全不同的信息源进行恢复：空间上下文的一些平滑度和非空间统计方面的新的先验利用Wasserstein距离之间的概率测度。我们研究的功能提升技术与两个不同的放松的直方图先验的组合，并得出一个联合凸变分方法。数学等价的两个松弛建立和最优性的情况下举行了讨论。此外，我们提出了一个有效的算法方案的数值处理所提出的模型。使用基本的基于全变分的去噪方法作为案例研究的实验证明了我们新的正则化方法。
2013-07-17 cs.CV math.OC
Variational Analysis of Convexly Generated Spectral Max Functions
谱横坐标是矩阵特征值的最大实部，谱半径是最大模。两者都是谱极大值函数的例子-矩阵谱上的实值函数的最大值。这些映射出现在动力系统的控制和镇定中。2001年，Burke和Overton刻画了谱横坐标的正则次微分，并证明了当所有活动特征值都是非减损的时，谱横坐标在Clarke意义下是次微分正则的。在本文中，我们开发了新的技术，以获得这些结果的更一般的类凸生成的谱极大值函数。特别地，我们将Burke-Overton次微分正则性结果推广到这个类。这些技术使我们能够获得新的变分结果的谱半径。
2016-11-07 math.OC
A variational approach to stochastic minimization of convex functionals
最小化凸积分泛函的随机方法，由Robbins和Monro在20世纪50年代早期发起，依赖于梯度（或次梯度，如果函数不光滑）的评估并在相应的方向上移动。相比之下，我们使用变分技术导致隐式随机最小化方法，最近出现在几个不同的背景下。这种方法是可取的，只要底层空间不具有可微结构，而且它表现出更好的稳定性，这使得它更可取，甚至在线性空间。我们的结果制定在局部紧Hadamard空间，但他们是新的，即使在欧几里得空间，主要的新颖性是更一般的增长条件的功能。我们验证了我们的收敛性定理的假设是满足在几个经典的极小化问题。
2016-05-11 math.OC
Variational problems on classes of convex domains
本文证明了定义在R^N的一个有界集D内的一类凸区域上的泛函的极小元的存在性。给出了一些应用，特别是证明了二阶和四阶非常系数微分算子以及依赖于椭圆型方程解的积分泛函的特征值在这类区域上可以极小化.这一结果的另一个应用与著名的牛顿最小阻力问题有关。在一般情况下，所有的结果，我们将开发的椭圆算子的任何偶数阶大于0。
2007-03-25 math.OC
Decomposition Techniques for Bilinear Saddle Point Problems and Variational Inequalities with Affine Monotone Operators on Domains Given by Linear Minimization Oracles
求解大型凸凹鞍点问题和单调算子的变分不等式的一阶方法大多数都是近似算法，在每次迭代时都需要极小化问题区域X上的一个线性型与一个强凸函数之和。为了使这样的算法实用，X应该是近似友好的--允许一个强凸函数，容易使线性扰动最小化。作为一个副产品，X允许一个计算成本低的线性最小化Oracle（LMO），能够最小化X个线性型。然而，在一些重要的情况下，廉价的LMO确实是可用的，但是X不是邻近友好的，这促使搜索仅基于LMO的算法。对于光滑凸极小化问题，存在一种经典的基于线性最优的算法--条件梯度算法。与此相反，我们已知的其他问题的凸结构（非光滑凸最小化，凹凸鞍点问题，甚至作为简单的双线性，和变分不等式与单调算子，甚至作为简单的仿射）的基于LMO的技术是相当新的，并利用共同的方法基于Fenchel型表示的相关目标/向量场。本文的目标是开发一种替代的（似乎更简单）基于LMO的分解技术的双线性鞍点问题和变分不等式与仿射单调算子。
2015-10-02 math.OC
A convex variational principle for the necessary conditions of classical optimal control
本文提出生成凸变分原理族的方案，其欧拉-拉格朗日方程对应ODE系统最优控制必要条件，应用于二次-二次调节器问题得显式泛函并证极小值存在，可无需非线性求解含时变强迫的线性二次调节器问题，为凸优化解非线性控制提供路径。
2025-06-11 cs.SY eess.SY math.DS
On General Duality Principles for Non-Convex Variational Optimization with Applications to the Ginzburg-Landau System in Superconductivity
本文发展了变分法中适用于非凸模型的对偶原理。这里开发的结果被应用到Ginzburg-Landau型方程。对于第一和第二对偶原理，通过一个最优性准则开发的对偶配方，我们定性地分类的原始和对偶泛函的临界点的问题。我们正式证明了在局部极值的情况下，原始和对偶公式之间没有对偶间隙。最后，在最后一节中，我们给出了复Ginzburg-Landau超导系统在磁场和磁势存在下的整体存在性结果，对偶原理和相应的最优性条件.
2018-10-10 math.OC
Occupation measure relaxations in variational problems: the role of convexity
这项工作解决了占领措施放松变分问题，这是一个无限维线性规划放松服从数值逼近的半定最优化问题的层次。我们解决这个问题的等价性放松到原来的问题。我们的主要结果为这种等价性提供了充分条件。这些条件，围绕凸性的数据，是简单的，适用于非常一般的设置，可以是任意尺寸，并可能包括逐点和积分约束，从而大大加强现有的结果。我们的条件也扩展到最优控制问题。此外，我们演示了如何将这些结果可以应用在非凸设置，表明占领措施放松至少是一样强的凸化使用凸包络，在这样做，我们证明了一定的削弱占领措施放松是等同于凸包络。这开辟了道路的应用程序的占领措施松弛的凸包络松弛的情况下，已知是相当于原来的问题，其中包括问题的磁性和弹性。
2023-03-04 math.OC
On variational problems related to steepest descent curves and self dual convex sets on the sphere
设$\mathcal{C}$是$\rn$中半球的紧凸子集族$S$，且$S$包含其对偶$S^*;$，设$u\in S^*$，设$ \inf \big\{Φ(S,u), S \in \mathcal{C}, \, u\in S^* \big\} $。证明了$ Φ$的极小是边界上有$ u $的等宽集$ π/2 $.对于$n=3$可以说得更多：最小集是球面上的一个三角形。前一个问题涉及到一个寻找最大长度的最速下降曲线的拟凸函数，满足适当的约束。对于$ n=2 $，让我们参考\cite{Manselli-Pucci}。这里，对$ n\geq 3$得到了完全不同的结果。
2016-03-04 math.OC
Variational properties of the abstract subdifferential operator
本文研究抽象次微分，获得加法与复合规则，证明其在合理条件下为极大抽象单调算子，并给出反例说明抽象凸集分离定理不成立。
2024-04-05 math.OC
A non-convex variational problem appearing in a large deformation elasticity problem
研究了在实际应用中（如弹性大变形问题）出现的非光滑非凸变分问题的全局极值的一个结果，并与D.Y. Gao和R.W.奥格登所用的工具是基本的，所得结果改进和纠正了最近的一个类似结果，更准确地说，是上述作者的论文“大变形弹性问题的封闭解、极值和非光滑准则”中的定理4。
2012-02-16 math.OC
A $\operatorname{prox}$-Based Semi-Smooth Newton Method for Convex Variational Problems
University of Freiburg（弗赖堡大学）；George Mason University（乔治梅森大学）；Technical University of Berlin（柏林工业大学）
提出一种基于近端算子的半光滑牛顿法，适用于有限元离散的广泛非光滑凸变分问题，具有全局适定性和局部超线性收敛性。
2026-06-25 math.OC
Convex variational methods for multiclass data segmentation on graphs
基于图的变分方法最近已被证明是非常有竞争力的各种分类问题的高维数据，但本质上是难以处理的优化的角度来看。本文提出了一个凸松弛的一组特定的基于图的多类数据分割问题，具有区域同质性条款，监督信息和/或某些约束或惩罚条款的类大小。具体应用包括高维数据的半监督分类和非结构化3D点云的无监督分割。理论分析表明，凸松弛密切接近原来的NP难问题，这些观察也证实了实验。一个有效的基于对偶的算法，处理所有的约束条件的标签功能隐式。半监督分类的实验表明，一贯更高的精度比相关的本地最小化方法，相当当训练数据不均匀分布在数据集。在三个基准数据集上，其准确性与广泛的其他已建立的方法相比也具有很强的竞争力。实验上的三维点云采集的激光雷达在室外场景中，表明场景可以准确地分割成对象类，如植被，地平面和人造结构。
2017-02-16 math.OC
On D.Y. Gao and R.W. Ogden's paper "Multiple solutions to non-convex variational problems with implications for phase transitions and numerical computation"
本文证明了D.Y. Gao和R.W. Ogden关于相变问题的全局极小和局部极值的理论是错误的。我们的目标是通过提供一个彻底的分析背景和结果的问题和反例。
2011-01-18 math.OC
On the resolution of misspecified convex optimization and monotone variational inequality problems
我们考虑一个错误指定的最优化问题，需要最小化一个函数f（x;q*）在一个封闭的凸集X，其中q* 是一个未知的参数向量，可以通过一个并行学习过程中学习。在此背景下，我们研究了耦合格式的发展，当k趋于无穷大时，生成迭代{x_k，q_k}，然后{x_k}收敛于x*，f（x;q*）在X上的极小元，{q_k}收敛于q*。在本文的第一部分中，我们考虑在函数f的各种凸性假设下，f是光滑或非光滑的问题的解。此外，还提供了速率语句来量化学习过程导致的速率下降。在第二部分中，我们考虑了错误指定的单调变分不等式问题的解与更多的一般均衡问题以及错误指定约束条件的可能性。首先给出了一个常步长的错定外梯度格式，并证明了它的渐近收敛。该方案依赖于问题参数（如Lipschitz常数），并导致我们提出一个错误指定的迭代Tikhonov正则化的变体。数值支持渐近和速率声明。
2015-04-15 math.OC
Dual Smoothing and Level Set Techniques for Variational Matrix Decomposition
University of Washington（华盛顿大学）；University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
我们专注于强大的主成分分析（RPCA）的问题，并审查了一系列的旧的和新的凸公式的问题及其变种。然后，我们回顾对偶平滑和水平集技术在凸优化，提出了一些新的理论结果，并应用于RPCA问题的技术。在最后一节中，我们展示了一系列模拟和现实问题的数值实验。
2016-03-01 cs.CV math.OC stat.ML
Nonmonotone Spectral Analysis for Variational Inclusions
本文提出一种结合谱方法与非单调线搜索的谱次梯度算法，用于求解变分包含问题，以加速收敛并逃离非凸优化中的局部极小值。
2025-01-05 math.OC
Extended Lorentz cones and variational inequalities on cylinders
给出了一个变分不等式的解关于其自然映射对应的Picard迭代的锥单调收敛的条件。其中一个条件是在变分不等式定义中闭凸集上投影的保序性。如果闭凸集是一个圆柱，而圆锥是一个扩展的洛伦兹圆锥，那么这个条件可以放弃，因为它是自动满足的。所得结果进一步推广到无界箱约束变分不等式。对于这种情况下的一个数值例子。
2015-03-20 math.OC
