On tight projective designs
Yuri I. Lyubich
证明了在FP^n中的所有紧设计中，除了RP ^1外，只有CP ^1中的5-设计有无理角集，其中F是R，C，H（四元数）.这是第一个和最后一个不可约幂等元在相应的Bose-Mesner代数中的相等秩的唯一情况。
It is shown that among all tight designs in FP^n, where F is R, C, or H (quaternions), other than RP^1, only 5-designs in CP^1 have irrational angle set. This is the only case of equal ranks of the first and the last irreducible idempotent in the corresponding Bose-Mesner algebra.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Given a finite subset of a sphere or projective space, known as a design, we can compute the strength and angle set of that design. When the strength and angle set meet certain bounds, the design is called tight. Hoggar sought to prove that, aside from certain known cases, the angle sets of tight projective designs must be rational. Lyubich found a counter-example and provided a repair for Hoggar's proof but excluded the exceptional octonion projective cases. This note extends Lyubich's repair of Hoggar's proof to the remaining projective cases and extends the proof to all spherical cases. It …
Nearly tight weighted 2-designs in complex projective spaces of every dimension
利用稠密Sidon集构造小型加权射影2-设计，在Zauner猜想上取得定量进展。
In addition to the vertices of the regular hexagon and icosahedron, there are precisely two strictly projective tight 5-designs: one constructed from the short vectors of the Leech lattice and the other corresponding to a generalized hexagon structure in the octonion projective plane. This paper describes a new connection between these two strictly projective tight 5-designs -- a common construction using octonions. Certain octonion involutionary matrices act on a three-dimensional octonion vector space to produce the first 5-design and these same matrices act on the octonion projective plane …
We study tight projective 2-designs in three different settings. In the complex setting, Zauner's conjecture predicts the existence of a tight projective 2-design in every dimension. Pandey, Paulsen, Prakash, and Rahaman recently proposed an approach to make quantitative progress on this conjecture in terms of the entanglement breaking rank of a certain quantum channel. We show that this quantity is equal to the size of the smallest weighted projective 2-design. Next, in the finite field setting, we introduce a notion of projective 2-designs, we characterize when such projective 2-designs are …
The two strictly projective tight 5-designs are the lines spanned by the short vectors of the Leech lattice and a set of points in the octonion projective plane that define a generalized hexagon of order (2,8). A previous paper introduced a common construction that can generate these two tight 5-designs. This paper describes the same construction in terms of octonion arithmetic. An octonion integer construction of the Leech lattice is described using properties of the octonion integers taken modulo 2. The Leech lattice automorphism group is constructed from octonion reflections. The common con…
Abelian and Dihedral equiangular tight frames of redundancy $2$
本文研究射影酉表示下的群框架，证明多数参数下阿贝尔群等角紧框架仅能为真正射影的，刻画了二面体紧框架与等角紧框架，关联斜Hadamard矩阵并分类了小参数正则二面体等角紧框架。
It is shown that a simple graph which is embeddable in the real projective plane is minimally 3-rigid if and only if it is (3,6)-tight. Moreover the topologically uncontractible embedded graphs of this type are constructible from one of 8 embedded graphs by a sequence of vertex splitting moves. In particular the characterisation of minimal 3-rigidity holds for a triangulated Mobius strip.
Maximal (120,8)-arcs in projective planes of order 16 and related designs
计算了已知的16阶射影平面中由极大（120，8）-弧产生的所有2-（120，8，1）设计的分解和相容分解的极大集.它示出，这些设计中的每一个是嵌入在一个独特的方式在一个射影平面的顺序为16。
On resolvable Steiner 2-designs and maximal arcs in projective planes
证明了可分解Steiner 2- $(v,k,1)$设计可嵌入为$(v-k)/(k-1)$阶射影平面中的极大弧的组合特征，并推广了Andries Brouwer \cite{Br}的一个猜想.
Lower bounds for projective designs, cubature formulas and related isometric embeddings
本文将Yudin球面设计的下界推广到域K上的射影空间上的容积公式，其中K可以是R，C或H（四元数域），从而推广到l_2到l_p中的等距嵌入，其中p是偶数.对于大p和其他一些情况，这基本上比以前已知的那些更好。
In this article, we study symmetric $(v, k, λ)$ designs admitting a flag-transitive and point-primitive automorphism group $G$ whose socle is $PSU_{4}(q)$. We prove that there exist eight non-isomorphic such designs for which $λ\in\{3,6,18\}$ and $G$ is either $PSU_{4}(2)$, or $PSU_{4}(2):2$.
Experimental Results of the Search for Unitals in Projective Planes of Order 25
本文给出了作者编制的一个程序的结果，该程序求出了已知的193个25阶射影平面的么正。有几个平面我们还没有找到任何单位。对于大多数平面，已经找到了一个或多个单位。对于给定平面，所找到的么正量彼此不同构。有几个么正同构于另一个平面的么正。A t -（v; k、λ）设计D是一个点集X和X的k个子集的族B，称为块，其性质是每t个点恰好包含在λ个块中。t = 2的设计称为区组设计。如果点和区组的作用可以改变，并且所得到的构型仍然是区组设计，则区组设计是对称的。一个n阶射影平面是一个对称的2-设计，其中v = n ~ 2 + n + 1，k = n + 1，λ = 1。这种设计的块被称为线。n = q 2阶射影平面中的单位元是q 3 + 1个点的集合U，这些点与一个或q + 1个点中的每条线相交。在n = 25阶的射影平面的情形中，我们有：q = 5，射影平面是2 -（651; 26; 1）设计，单位元是q ~ 3 + 1 = 53+ 1 = 126点的子集，每条直线与子集中的1或6点相交
A new Euclidean tight 6-design
给出了$\mathbb R^{22}$中欧氏紧6-设计的一个新例子.
I give an elementary proof that a quasi-symmetric design without repeated blocks on $v$ points has at most $v\choose2$ blocks, with equality if and only if it is a tight $4$-design.
On the strong non-rigidity of certain tight Euclidean designs
研究了欧氏$t$ -设计的非刚性性，即研究了欧氏设计（特别是某些紧欧氏设计）在保持欧氏$t$ -设计的性质的情况下可以变形.我们证明了某些紧欧氏$t$ -设计是非刚性的，并且实际上满足一种更强的非刚性形式，我们称之为强非刚性。这表明对于某些参数存在大量的非同构紧欧氏$t$ -设计，这似乎是以前没有注意到的。我们还包括紧欧氏$2$ -设计的完整分类。
We complete the classification of tight $4$-designs in Hamming association schemes $H(n,q)$, i.e., that of tight orthogonal arrays of strength $4$, which had been open since a result by Noda (1979). To do so, we construct an association scheme attached to a tight $4$-design in $H(n,q)$ and analyze its triple intersection numbers to conclude the non-existence in all open cases.
On Projective Planes of Order 16 Associated with 1-rotational 2-(52, 4, 1) Designs
本研究借助MAGMA软件分析22个非同构1-旋转2-(52,4,1)设计在16阶射影平面4次极大弧中的可嵌入性，发现仅1个可嵌入Desarguesian平面PG(2,16)。
On the existence of tight relative 2-designs on binary Hamming association schemes
众所周知，在“欧几里德t-设计vs.球形t-设计”和“二进制汉明结合方案中的相对t-设计vs.组合t-设计”之间存在密切的类比。在本文中，我们要证明，在后一种情况下，我们可以在多大程度上发展一个类似的理论，模仿理论在前一个。我们首先证明了权函数在p壳上的紧相对t-设计的每个壳上都是常数，这类Q-多项式结合方案包括Hamming结合方案。在2个同心球（壳）上的欧氏t-设计理论中，已知相干构型的结构是自然附着的。然而，似乎很难在一般情况下证明这一说法。在组合2-设计中的紧2-设计的情况下，存在大量紧2-设计，即，对称2-设计，而对于e不小于2，几乎没有紧的2 e-设计。因此，作为一个出发点，我们集中我们的研究紧相关2-设计的存在性问题，特别是在2壳，二元Hamming结合计划H（n，2）。证明了H（n，2）中2壳上的每一个紧相对2-设计都具有凝聚位形结构。我们确定了所有可能的参数的相干配置连接到这样的紧密相对2-设计，n最多为30。此外，对于它们中的每一个，我们确定是否存在这样一个紧密的相对2-设计或没有，通过构造它们从对称2-设计或Hadamard矩阵，或理论上表明不存在。特别地，我们证明了当n同余于6（mod 8）时，存在这样的紧相关2-设计，其权函数不是常数.这些是具有非恒定重量的第一个例子。
Tight 9-designs on two concentric spheres
本文的主要目的是证明$\mathbb R^n$中2个同心球面上的紧欧氏9-设计不存在，如果$n\geq 3.$，这反过来又意味着$\mathbb R^n$中任何球对称积分的9次最小容积公式（在Cools和Schmid意义下）不存在，如果$n\geq 3.$，
Classification of tight $2s$-designs with $s \geq 2$
本文证明了自1970年代以来的猜想：除已知的对称2-设计及两个Witt设计外，不存在其他非平凡的紧致2s-设计，通过参数分析和素数间隙估计分别得到上下界。
Nonexistence Results for Tight Block Designs
回想一下，组合$2s$ -设计允许其块数的经典下界$b \ge \binom{v}{s}$，并且满足此界的设计称为紧设计。Bannai的一个长期存在的结果是，对于每个固定的$s \ge 5$，只存在1000个非平凡的紧$2s$ -设计，尽管没有给出对“1000个”的具体理解。在这里，我们使用近似多项式零点的史密斯界来量化这种渐近不存在性。然后，我们概述并采用计算机搜索剩余的参数集，以建立（如预期的），实际上没有这样的设计$5 \le s \le 9$，虽然同样的分析原则上可以扩展到更大的$s$。此外，我们得到强的必要条件存在的困难情况下$s=4$。
In this paper we consider binary linear codes spanned by incidence matrices of Steiner 2-designs associated with maximal arcs in projective planes of even order, and their dual codes. Upper and lower bounds on the 2-rank of the incidence matrices are derived. A lower bound on the minimum distance of the dual codes is proved, and it is shown that the bound is achieved if and only if the related maximal arc contains a hyperoval of the plane. The binary linear codes of length 52 spanned by the incidence matrices of 2-$(52,4,1)$ designs associated with previously known and some newly found maximal…
In this article, we study symmetric $(v, k, λ)$ designs admitting a flag-transitive and point-primitive automorphism group $G$ whose socle is a projective special unitary group of dimension at most five. We, in particular, determine all such possible parameters $(v, k, λ)$ and show that there exist eight non-isomorphic of such designs for which $λ\in\{3,6,12, 16, 18\}$ and $G$ is $PSU_{3}(3)$, $PSU_{3}(3):2$, $PSU_{4}(2)$ or $PSU_{4}(2):2$.
Euclidean designs and coherent configurations
球面$t$ -设计的概念是由Delsarte-Goethals-Seidel（1977）提出的，它是单位球面的有限子集。Euclidean $t$ -设计的概念，它是Neumaier-Seidel（1988）的球形设计的两步推广，在这个意义上它是欧几里得空间的有限加权子集。我们首先回顾这两个概念，以及紧密$t$设计的概念，即，其基数达到自然下界的那个。我们感兴趣的是$t$ -设计（球形或欧几里德），这是紧或接近紧。正如Delsarte-Goethals-Seidel（1977）所熟知的，在研究球形$t$ -设计，特别是紧设计或接近紧设计时，结合方案起着重要的作用。本文的主要目的是表明，在研究欧几里德$t$ -设计，特别是那些无论是紧或接近紧，相干配置发挥重要作用。这里，相干构形是由D. G. Higman提出的结合方案是通过公理化一般的、不一定是传递的置换群的性质而得到的，其方法与公理化传递的置换群的性质而得到的结合方案相同。本文的主要目的是证明满足一定条件的欧氏$t$ -设计给出相干组态的结构。在此基础上，研究了在一定的附加条件下两个同心球面上欧氏4-设计的分类问题。
Designs related through projective and Hopf maps
本文通过射影和霍普夫映射构造球面上的t-设计，扩展了König和Kuperberg在复数情况下的研究，并验证了Okuda在广义霍普夫设置中的复数情况。
Complex spherical designs and codes
Delsarte、Goethals和Seidel已经证明，当设计的强度与其作为码的度相比很高时，实球面设计和实复射影设计会产生结合方案。相比之下，复杂单位球的设计仍然相对未被研究，尽管它们在许多应用中很重要。在本文中，我们开发的概念，一个复杂的球形设计，并显示有多少这样的设计进行的结构的关联方案。与实球面设计和实复射影设计相比，这些结合方案是非对称的。
Tight relative $t$-designs on two shells in hypercubes, and Hahn and Hermite polynomials
本文研究超立方体两层壳上的紧相对$t$-设计，利用Terwilliger代数证明其诱导双纤维相干构型且对应Hahn多项式仅具整数单零点，结合Hahn到Hermite多项式的极限零点分析，佐证大$t$时此类非平凡设计稀少。
Optimal Data Distribution for Big-Data All-to-All Comparison using Finite Projective and Affine Planes
本文利用射影平面、仿射平面和平衡不完全区组设计，为大数据全对全比较问题设计数据分布与计算调度方案，实现最小数据复制并平衡集群计算负载。
Putatively optimal projective spherical designs with little apparent symmetry
该研究提出了几乎无对称性的推测最优投影球面设计的新显式实例与构建技术，通过数值研究明确了最优投影实球面设计的实代数簇的单点或无限族性质。
On tight Euclidean $6$-designs: an experimental result
一个有限集合$X \seq \RR^n$与一个权重函数$w : X \longrightarrow \RR_{>0}$被称为$\RR^n$中的\emph{Euclidean $t$-design}（由$p$同心球支持），如果以下条件成立：\[ \sum_{i=1}^p \frac{w(X_i)}{|S_i|}\int_{S_i} f(\boldsymbol x)dσ_i(\boldsymbol x) =\sum_{\boldsymbol x \in X}w(\boldsymbol x) f(\boldsymbol x), \]对于任何次数至多为$t$的多项式$f(\boldsymbol x) \in \mbox{Pol}(\RR^n)$。这里，$S_i \seq \RR^n$是半径为$r_i \geq 0,$ $X_i=X \cap S_i,$的球体，$σ_i(\boldsymbol x)$是$S_i$上的$O(n)$不变测度，使得$|S_i|=r_i^{n-1}|S^{n-1}|$，其中$|S_i|$是$S_i$的表面积，$|S^{n-1}|$是$\RR^n$中单位球体的表面积。最近Bajnok（2006）对任意的$t$和$p.$构造了平面上的紧欧氏$t$ -设计（$n=2$）。本文证明了对于$t=6$和$p=2,$，Bajnok构造的紧欧氏$6$ -设计是$\RR^n$中唯一的…
Weighted complex projective 2-designs from bases: optimal state determination by orthogonal measurements
本文介绍了由标准正交基族的并构造加权复2-设计的问题。如果相同基的元素之间的权重保持不变，那么这样的设计可以被解释为相互无偏基的完整集合的推广，当设计由d+1个维度d的基组成时是等价的。我们表明，为了量子态确定的目的，这些设计指定了一个最佳的正交测量的集合。使用高度非线性函数的阿贝尔群，我们构造明确的例子从d+2正交基只要d+1是一个素数的权力，涵盖尺寸d=6，10，和12，例如，没有完整的相互无偏基地迄今为止被发现。
Relative t-designs in binary Hamming association scheme H(n,2)
二元Hamming结合方案H（n，2）中的相对t-设计等价于加权正则t-方式平衡设计，即，允许不同大小的块和块上的权函数的某些组合T设计。本文研究了H（n，2）中的相对t-设计，重点讨论了Fisher型不等式和紧相对t-设计的存在性。我们主要考虑两个壳上的相对t-设计。证明了如果两个壳上的相对t-设计的每个壳上的权函数是常数，则每个壳上的子集一定是组合（t-1）-设计。这是一个推广的结果Kageyama谁证明了这一点下较强的假设，即权函数是恒定的整个块集。利用这一点，我们定义了奇数t的紧相对t-设计，并对H（n，2）中紧相对t-设计的可能参数进行了强限制。我们得到了一个新的紧相关t-设计族，这是以前没有注意到的。我们将给出n ≤ 100的这类相对3-设计的可行参数列表，然后讨论这类紧相对3-设计的存在性和不存在性。本文还讨论了H（n，2）中n ≥ 50的两壳紧相关4-设计的可行参数。在这项研究中，我们提出了经典设计理论的主题，如对称2-设计（特别是2-（4u-1，2u-1，u-1）Hadamard设计）和Driessen的结果不存在某些3-设计的连接。我们相信5.2节中的问题1和问题2为研究H（n，2）中的相对t-设计开辟了一条新的途径。最后，我们列出了几个开放的问题，我们的文件。
Existence and nonexistence of spherical $5$-designs of minimal type
本文研究极小类型球面5-设计的存在性与性质，证明紧球面5-设计为极小类型的充要条件及相关ETF构造条件，给出其不存在的算术条件，并推导对极球面4-距离5-设计为极小类型的必要条件。
On tight spherical designs
设X是一个n维紧t-设计，开例为t=5或t=7。使用二次型的算术理论对X生成的格进行研究，可以排除n的无穷多个值。
Let PG$(\mathbb{F}_q^v)$ be the $(v-1)$-dimensional projective space over $\mathbb{F}_q$ and let $Γ$ be a simple graph of order ${q^k-1\over q-1}$ for some $k$. A 2$-(v,Γ,λ)$ design over $\mathbb{F}_q$ is a collection $\cal B$ of graphs (\textit{blocks}) isomorphic to $Γ$ with the following properties: the vertex set of every block is a subspace of PG$(\mathbb{F}_q^v)$; every two distinct points of PG$(\mathbb{F}_q^v)$ are adjacent in exactly $λ$ blocks. This new definition covers, in particular, the well known concept of a 2$-(v,k,λ)$ design over $\mathbb{F}_q$ corresponding to the case that …
Balancedly splittable orthogonal designs and equiangular tight frames
本文提出平衡可拆分的正交设计及其递归构造，并据此构造出实数、复数和四元数上达到Delsarte-Goethals-Seidel上界的等角紧框架。
A tight single-change covering design with block size 6
研究是否存在块大小大于5的紧密单变化覆盖设计，通过可满足性搜索给出v = 26且k = 6的设计，回答了相关会议问题，还介绍了搜索情况及v = 21时的负面结果。
On $3$-designs from $PGL(2,q)$
本文研究了群 $PGL(2,q)$ 在射影直线上的 $3$-传递作用，推导了由特定本原元生成的区组轨道所构成的 $3$-设计的参数。
We give an inequality on the packing of vectors/lines in quaternionic Hilbert space $\Hd$, which generalises those of Sidelnikov and Welch for unit vectors in $\Rd$ and $\Cd$. This has a parameter $t$, and depends only on the vectors up to projective unitary equivalence. The sequences of vectors in ${\mathbb{F}}^d={\mathbb{R}}^d,{\mathbb{C}}^d,{\mathbb{H}}^d$ that give equality, which we call spherical $(t,t)$-designs, are seen to satisfy a cubature rule on the unit sphere in ${\mathbb{F}}^d$ for a suitable polynomial space $\Hom_{\Fd}(t,t)$. Using this, we show that the projective spherical $…
Codes and designs in multivariate $Q$-polynomial association schemes
本文在Bannai等人(2025)的新框架下，推广了Delsarte论文(1973)中关于给定度数的码和给定强度的设计的基本界，给出了码和设计大小的上界，并刻画了达到这些界的码和设计，同时给出了Lee距离、混合水平正交阵列等应用。
An equiangular tight frame (ETF) is a type of optimal packing of lines in a real or complex Hilbert space. In the complex case, the existence of an ETF of a given size remains an open problem in many cases. In this paper, we observe that many of the known constructions of ETFs are of one of two types. We further provide a new method for combining a given ETF of one of these two types with an appropriate group divisible design (GDD) in order to produce a larger ETF of the same type. By applying this method to known families of ETFs and GDDs, we obtain several new infinite families of ETFs. The …
Constructing spherical designs using tight $t$-fusion frames
本文提出利用紧 $t$-融合框架构造球面设计的方法，并给出了显式构造等权重紧 $2$-融合框架的方案。
The unique extremal threemodular lattice of rank 26, the generalized hexagon $(2,8)$, and the tight Cayley-plane $5$-design
本文通过调和 theta 恒等式和 Niemeier 构造，从秩26格重构广义六边形(2,8)，证明其唯一性，并利用射影3-设计第三矩证明紧致Cayley平面5-设计的几何唯一性，最终确定自同构群为 ^3D_4(2):3。
Arithmetic Nonexistence Conditions for Tight Spherical $5$-Designs
本文针对偶数$m$的维度$(2m+1)^2-2$中的紧球面$5$-设计，提出了两个算术不存在性准则，结合格矩恒等式、有限高斯和及模$3$行列式计算，覆盖了先前准则未涵盖的参数。
More on spherical designs of harmonic index $t$
单位球面$S^{n-1} \subseteq \mathbb{R}^n$上的有限子集$Y$称为调和指标$t$的球面设计，如果满足下列条件：对所有次数为$t$的实齐次调和多项式$f(x_1,\ldots,x_n)$，有$\sum_{\mathbf{x}\in Y}f(\mathbf{x})=0$.对于$\mathbb{N} = \{1,2,\cdots \}$的子集$T$，如果所有次数为$k$且$k\in T$的实齐次调和多项式$f(x_1,\ldots,x_n)$满足$\sum_{\mathbf{x}\in Y}f(\mathbf{x})=0$，则有限子集$Y\subset S^{n-1}$称为调和指数$T,$的球面设计.本文首先研究了调和指标$t$（或调和指标$T$）的球面设计的尺寸的Fisher型下界。我们还研究了调和指数$t$或指数$T$的“紧”球面设计。这里的“紧”意味着$Y$的大小达到了这个Fisher型不等式的下界。调和指数$t$的紧球面设计的分类问题由Bannai-Okuda-Tagami（2015）开始，案例$t = 4$由Okuda-Yu（2015+）完成。本文证明了调和指标为6和8的紧球面设计的分类（不存在性），以及调和指标为$2e$的紧球面设计对一般$e\geq 3$的渐近不存在性.我们还研究了调和指标$T$的紧球面设计的存在性问题，特别是对于某些$T$，包括…
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