数论中的几个问题I:圆问题
Some Problems in Number Theory I: The Circle Problem
摘要:
本文研究圆上格点的个数。
英文摘要:
This paper concerns the number of lattice points in a circle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Some Problems in Number Theory I: The Circle Problem
Sylvain E. Cappell, Julius L. Shaneson
本文研究圆上格点的个数。
This paper concerns the number of lattice points in a circle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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Fibonacci numbers and Ford circles
福特圈,斐波那契数和黄金分割率之间的有趣的连接显示。也就是说,福特圆的某些切点是共圈的,并且涉及斐波那契数。它们形成四个圆,在与黄金分割率相关的点处切割x轴。
Some experiments with integral Apollonian circle packings
有界Apollonian圆填充(ACP)是通过在四个相互相切的圆的三角形间隙中重复内接圆来构造的,其中一个圆与其他三个圆内切。如果原始的四个圆具有整数曲率,则包装中的所有圆也将具有整数曲率。在\cite{ll}中,Sarnak证明了在一个本原积分ACP中有无穷多个原曲率圆和无穷多对原曲率相切圆。在本文中,我们给出了一个启发式的数值数据支持的数量的圆的素数曲率小于$x$,和"接吻素数",或{\it对}的数量的素数曲率小于$x$的圆的原始积分ACP。我们还提供了实验证据,对一个本地到全球的原则,在一个原始的积分ACP的曲率。
Cubic hypersurfaces and a version of the circle method for number fields
对数域K/Q发展了Hardy-Littlewood圆方法的一个版本,并证明了当K上的非奇异射影三次超曲面的维数至少为8时,它们总有一个K-有理点.
The Kloosterman circle method and weighted representation numbers of quadratic forms
本文发展了一种带凸函数的Kloosterman圆法,为非奇异整二次型的加权表示数提供显式常数的渐近公式,并探讨其在Kleinian球堆积强局部-全局原理证明中的潜在应用。
Apollonian Circle Packings: Number Theory
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在这样的填充中,每个圆都可能具有整数曲率半径,我们称这样的填充为{ \em积分阿波罗圆填充}。本文研究了这类填充中出现的整数曲率集的数论性质。填充中的四个相切圆的每个笛卡尔四元组给出{ \em笛卡尔方程}的整数解,该方程与四个相互相切的圆的曲率半径相关:$2 (x^2 + y^2 + z^2 + w^2) - (x + y + z + w)^2 = 0.$每个完整的阿波罗圆填充由满足笛卡尔方程的整数的某个{ \em根四元组}分类,并且对应于填充中出现的特定四元组圆。我们确定的根四倍体的大小低于$T$的数量的渐近。我们研究的整数出现在一个给定的整数包装,并确定同余限制,有时适用。最后,我们提出的证据表明,出现在一个完整的阿波罗圆包装的整数曲率半径的集合具有正密度,实际上代表了所有足够大的整数不排除的同余条件。在一系列的同伴论文“阿波罗圆填充:几何和群论”,我们调查了各种群论性质的这些配置,以及各种扩展到更高的维度和其他空间,如双曲空间。
On Some Variants of the Gauss Circle Problem
高斯圆问题是关于求圆内格点个数关于圆半径的渐近性。点的数量非常接近圆的面积的启发式是令人惊讶的准确。在这项工作中,我们描述了两个变种的高斯圆问题,表现出类似的特点。第一种变体涉及$\text{GL}(2)$尖点形式的傅里叶系数的和。这些和的行为非常类似于高斯圆问题中的误差项。引入了一类系数为尖点形式的傅里叶系数的部分和的平方的狄利克雷级数.我们研究了这些狄利克雷级数的亚纯性质,并利用这些级数对这些傅里叶系数的和的大小的均方给出了新的观点。第二个变量涉及的有界尺寸的单单双曲面上的格点的数量。这个问题非常类似于计算各种维度的球体内的格点数量,除了位于双曲面上的额外约束。事实证明,这个问题等价于估计形状$\sum r_d(n^2 + h)$的和,其中$r_d(m)$是$m$表示为$d$平方和的数量。我们证明了改进的平滑和尖锐的估计,这些款项的二阶矩,产生改进的估计的格点的数量。
On the Gauss circle problem over smooth numbers
本文研究平滑数上高斯圆问题的渐进行为,通过分析r(n)的加权求和,揭示了特定范围内的渐近公式。
Apollonian Circle Packings: Number Theory II. Spherical and Hyperbolic Packings
阿波罗圆填充是通过重复地用更多的相切圆填充相互相切的圆之间的空隙而产生的。在欧几里得空间中,这样的填充中的每个圆都有可能具有整数曲率半径,我们称这样的填充为积分阿波罗圆填充。有无穷多个不同的积分填料;这些研究的文件\cite{GLMWY21}。球面和双曲空间中也存在积分圆填充,只要使用适当的曲率定义(参见\cite{LMW02}),并且同样存在无限数量的不同积分填充。本文研究这类填充的数论性质。这相当于研究不定四元二次型$Q_{\sD}(w, x, y, z)= 2(w^2+x^2 +y^2 + z^2) - (w+x+y+z)^2$的积分自同构群的特定子群$\sA$的轨道。这个子群称为阿波罗群,作用于整数解$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$。本文给出了作用于$Q_{\sD}(w, x, y, z)=k$整数解的$\sA$轨道的一个约化理论,该理论对所有整数$k$都有效.它还分类轨道的所有$k \equiv 0 \pmod{4}$在额外的参数$n$和一个辅助类组(取决于$n$和$k$),并研究在给定的轨道上的整数同余条件。
Uniform distribution of Galois conjugates and beta-conjugates of a Parry number near the unit circle and dichotomy of Perron numbers
在Solomyak集合中,在单位圆附近,一个帕里数$β$的伽罗瓦共轭和β-共轭的并集的集中和均匀分布是通过Erdens-Turán方法以及Mittette和Amoroso对该方法的改进来表征的,该方法应用于与Rényi $β$ -单位展开$d_β(1)= 0.t_1 t_2 ...$相关的解析函数$f_β(z) = -1 + \sum_{i \geq 1} t_i z^i$。Mittette的差异函数需要$β$的Parry多项式的因式分解的知识。这一个被调查使用定理的Cassels,Dobrowolski,Pinner和Vaaler,Smyth,Schinzel在分圆,互惠非分圆和非互惠因素。一个上界的Meclette的差异功能,其中所产生的β共轭的$β$是根的分圆因素是联系在一起的黎曼假设,以下阿莫罗索。根据Bilu定理,对Parry数共轭在单位圆附近的集中现象给出了一个等分布极限定理.帕里数是佩龙数。开放问题的非帕里Perron数的背景下提到的存在的非唯一因子分解的元素数字段到不可约Perron数(林德)。
Estimations of the number of solutions of algebraic Diophantine equations with natural coefficients using the circle method of Hardy-Littlewood
本文讨论了如何用Hardy和Littlewood提出的循环法估计自然系数代数丢番图方程的解的个数。本文考虑代数丢番图方程$c_1x_1^{k_1}+c_2x_2^{k_2}+...+c_sx_s^{k_s}=n$解的个数的估计。当所有系数和$n$都是自然数时,作者找到了该方程解的个数作为值$n$的函数的渐近估计.本文对结果进行了分析,表明这些估计具有较高的精度。
Prime and thickened prime components in Apollonian circle packings
受Sarnak问题启发,本文在Apollonian圆填充中引入了素数分量与加厚素数分量的概念,研究了曲率的剩余类、圆数量及素数分量数量,并计算分析了曲率高达约$10^{13}$的示例分量。
Factors of almost squares and lattice points on circles
本文考虑了Erdos和Rosenfeld的一个猜想和Ruzsa的一个猜想,当数是几乎平方时.用同样的方法,我们考虑一个圆的格点靠近x轴具有特殊的半径。
Apollonian circle packings: Dynamics and Number theory
我们给出了一个概述的各种计数问题的阿波罗圈包装,这原来是有关的问题,在动力学和数论薄群体。这篇调查文章是我为2013年秋季在京都RIMS举行的第13次高木讲座准备的讲义的扩展版本。
Distribution of complex algebraic numbers on the unit circle
对于$-π\leqβ_1<β_2\leqπ$,用$Φ_{β_1,β_2}(Q)$表示单位圆上的代数数,参数为$[β_1,β_2]$,次数为$2m$,椭圆高度至多为$Q$。我们证明了\[ Φ_{β_1,β_2}(Q)=Q^{m+1}\int\limits_{β_1}^{β_2}{p(t)}\,{\rm d}t+O\left(Q^m\,\log Q\right),\quad Q\to\infty, \],其中$p(t)$与某个随机三角多项式的根的密度有一个常数因子一致。这个密度是使用Edelman-Kostlan公式明确计算的。
Lattice points on circles, squares in arithmetic progressions and sumsets of squares
鲁丁指出,在长度为N的等差数列中,平方数永远不会超过c N^(1/2)。出于这一令人惊讶的困难问题,我们制定了20多个apturtures在调和分析,解析数论,算术几何,离散几何和添加剂组合(一些旧的和一些新的),其中每一个,如果真的,将阐明鲁丁的猜想。
Integer Sequences from Circle Divisions in Rational Billiards
本文研究有理圆形台球,通过轨迹对圆内区域的分割推导每次反射后区域数的一般公式,并在特定角度条件下揭示该整数序列与 Gauss 等差数列的关系。
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