Higher discriminants of polynomials
Sh. Shakirov
我们提出了一种方法来构造系统的多项式方程，定义子流形的退化二元形式的任意退化程度。称这些方程组为“高级判别式”是合适的。
We propose a method for constructing systems of polynomial equations that define submanifolds of degenerate binary forms of an arbitrary degeneracy degree. It is appropriate to call these systems of equations "higher discriminants".
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Initial Newton polynomial of the discriminant
设$(f,g)\colon (\mathbb{C}^2,0)\longrightarrow (\mathbb{C}^2,0)$是具有孤立零点的全纯映射.我们表明，其判别式的初始牛顿多项式的确定，直到重新调用变量，由理想$(f)$和$(g)$。
Discriminant method for the homological monodromy of tame polynomials
构造了一种计算复多项式同调单值性的有效算法。作为应用，我们证明了数域上拓扑不等价的共轭多项式的存在性
On facets of the Newton polytope for the discriminant of the polynomial system
利用热带方法研究了Laurent多项式系统判别式的牛顿多面体的法向。我们使用的组合建设提出的Dickenstein，Feichtner和Sturmfels的热带化的代数品种承认参数化的线性映射，然后由单项式映射。
A computational approach to the discriminant of homogeneous polynomials
本文研究了两种特殊情况下齐次多项式的判别式：单个齐次多项式和n-1个n元齐次多项式集合。在这两种情况下，判别式定义在一个大类的系数环的结果。许多形式的属性和计算规则提供和几何解释的判别式的一般系数环，通常是一个域。
The tropical discriminant of a polynomial map on a plane
多项式映射的判别式是仿射几何和奇点理论的核心问题。表征它的标准方法依赖于通常无效的消除技术。本文讨论了定义在一个域上的二维环面上的多项式映射。本文提出了一种计算由具有给定支集的一般多项式所确定的映射的判别式的热带曲线的组合方法。我们的结果使人们能够计算牛顿多面体的判别复多项式映射在平面上。
Discriminants of Symmetric Polynomials
一个齐次多项式S（x_1，...，x_n）具有判别式D_{n|r}（S），当且仅当方程组dS/dx_i = 0有非平凡解.本文给出了对称（在x_1，...，x_n）n >= r个变量的r次齐次多项式。这个公式是免费的除法，从计算的角度来看是非常有效的：即使对于n ~ 20，借助这个公式的符号计算机计算也需要几秒钟。我们详细地计算了r = 2，3，4的情况，这在实际应用中可能是重要的.我们还考虑了完全反对称多项式的情况。
The Newton Polytope of the Morse Discriminant of a Univariate Polynomial
本文在给定支撑集$A.$的一元多项式空间中计算Morse判别式的Newton多面体$\mathcal M_A$，即建立了Morse一元热带多项式的所有组合类型的集合与$\mathcal M_A.$的顶点之间的满射
Plane mixed discriminants and toric jacobians
多项式代数提供了一个标准的方法来处理几何建模中的几个问题。一个关键的工具是判别式的一元多项式，或良好的约束系统的多项式方程，它表示存在的重根。我们专注于二元多项式，并建立了一个原始的公式，涉及两个二元劳伦多项式的混合判别式与固定的支持，与这些多项式和他们的环面雅可比矩阵的稀疏结果。这使我们能够获得一个新的证明的二度的混合判别式，以及建立multipicativity公式时产生的一个多项式可以分解。
Plane Curves With Minimal Discriminant
给出了特征为零的代数闭域上K[x，y]中可分多项式f关于y的判别式次数的下界.根据下界中的不变量，给出了具有最小判别式的多项式的几何特征，并在许多情况下给出了所有这类多项式的显式构造.特别地，我们证明了具有最小判别式的不可约首一多项式与坐标多项式重合。通过研究非一元多项式或可约多项式的GL 2（K[x]）-轨道，并在其Newton多面体上建立一些组合约束，我们得到了类似的部分结果.我们的结果表明，一些自然扩张的嵌入线定理的Abhyankar-Moh和Nagata-Coolidge问题的情况下，单尖曲线的P1 × P1。
Bracket Polynomial Expression of Discriminant-Resultants as SL2-invariant
我们给出了一个括号多项式之间的判别式和结果的二元形式对的中间项的表达式。作为括号多项式的应用，我们给出了动力系统理论中中间项代数无关性的代数证明。
Discriminants and Nonnegative Polynomials
对于R^n中的半代数集K，设P_d（K）是R^n中次数至多为d的多项式的锥，这些多项式在K上是非负的。本文研究了它的边界几何。当K=R^n且d为偶数时，证明了它的边界位于由单个多项式判别式定义的不可约超曲面上.当K是实代数簇时，我们证明了P_d（K）位于由多个多项式的判别式所定义的超曲面上。当K是一般半代数集时，我们证明了P_d（K）位于由判别方程定义的超曲面的并上。给出了这些超曲面的度和判别式的显式公式。我们还证明了P_d（K）一般不存在对数多项式型障碍，但存在对数半代数型障碍。示出了一些说明性示例。
Components of discriminants for systems of equations and irreducibility of determinants
本文研究了平方多项式系统判别式的成分及其不可约性，解决了Esterov猜想，并基于多项体理论分析了三种判别式的维度和次数。
Iterated and mixed discriminants
我们考虑了支持在不动点配置上的Laurent多项式系统。在非亏损的情况下，封闭的轨迹的系数给出一个非退化的重根的系统是由一个多项式定义的混合判别式。我们定义了一个相关的多项式称为多元迭代判别式，推广了经典的Schäfli超行列式方法。这种迭代判别式更容易计算，我们证明了它总是整除的混合判别式。我们表明，切线交点可以通过迭代计算，当且仅当相应的对偶品种的奇异轨迹有足够高的余维。我们还研究了Segre-Veronese簇和平面光滑多边形的格点对应的点配置的迭代判别式与混合判别式的等价性。
Explicit factors of some iterated resultants and discriminants
本文分析了将一元结式迭代构造法应用于多元多项式的结果。我们认为输入多项式作为一个给定的程度的通用多项式，并表现出明确的分解成不可约因素的几个建设涉及两次迭代的单变量结果和判别式的整数通用环的系数的条目多项式。涉及从两个到四个通用多项式和结果或判别式在其变量之一的情况下进行处理。利用一元结式和判别式的基本性质以及对多项式次数的归纳，得到了不可约因子的分解。因此，每一个不可约因子都可以根据某个多元结果来单独和显式地计算。用这种方法，我们也得到了直接推论柯林斯和麦卡勒姆的一些结果，对应于多项式的情况下，其系数本身是通用的多项式在其他变量。最后给出了一个多项式迭代判别式的代数因式分解的几何解释。
Discriminant, vertex and general type of a family of polynomials
本文利用Katz提出的方法，给出了对偶平面曲线极限的形式表示。作为应用，我们给出了计算$C(0)$在$C(t)$单参数平面曲线族中的顶点的公式，并证明了这些顶点只依赖于该族的第一个$τ$项，其中$τ$是$C(t)$的一般类型.
The Entropic Discriminant
熵判别式是与矩阵相关联的非负多项式。它出现在从统计和线性规划到奇点理论和代数几何的各种背景中。它描述实超平面排列的极映射的复分支轨迹，当定义线性规划的解析中心的方程有复二重根时，它为零。我们研究的熵判别几何，我们表示其程度的特征多项式的基本拟阵。倒易线性空间的奇异性起着关键作用。在corank-one的情况下，熵判别式允许从对称矩阵的特征多项式的判别式导出的平方和表示。
Mixed Discriminants
n元n罗朗多项式的混合判别式是系数中的不可约多项式，当两个根重合时，该多项式为零。凯莱技巧将混合判别式表示为A-判别式。我们证明了混合判别式的度是一个混合Grassmannian的Plucker坐标中的分段线性函数。对于平面曲线的情形，给出了一个显式的次数公式。
New Multiplier Sequences via Discriminant Amoebae
在他们1914年的经典论文中，Polya和Schur引入并刻画了两种类型的对角作用于R[x]的单项式基的线性算子，发送实根多项式（分别为：所有非零根都具有相同符号的多项式）到实根多项式。受Gelfand，Kapranov和Zelevinsky发现的变形虫和判别式的基本性质的启发，我们引入了两个新的自然类多项式，并描述了保留这些新类的对角算子。在我们的描述中，一个令人愉快的情况是，这些类有一个简单的明确的描述，其中之一与对数凹序列的类相吻合。
How tangents solve algebraic equations, or a remarkable geometry of discriminant varieties
令$\mathcal D_{d,k}$表示在一个变量中的次数$d$多项式的判别簇，其至少一个根的重数为$\geq k$。我们证明了切锥$\mathcal D_{d,k}$跨度$\mathcal D_{d,k-1}$，从而揭示了这些品种的极端规则的性质。$\mathcal D_{d,k-1}$中$\mathcal D_{d,k}$的仿射切空间网的组合学直接与相关多项式的根重数相关。事实上，求解多项式方程$P(z) = 0$结果等价于找到通过给定点$P(z)\in \mathcal D_{d,1} \approx \A^d$的超平面，该超平面与判别超曲面$\mathcal D_{d,2}$相切。我们还连接的几何维埃特映射$\mathcal V_d: \A^d_{root} \to \A^d_{coef}$，由初等对称多项式，切线的判别品种$\{\mathcal D_{d,k}\}$。各种$d$ -分区$\{μ\}$提供了通过$\mathcal D_{d,k}$的$\A^d_{coef}$分层的细化$\{\mathcal D_μ^\circ\}$.我们的主要结果定理7.1描述了一元多项式的整除性和与各层相切的空间族$\{\mathcal D_μ^\circ\}$之间的复杂关系。
The tropical discriminant in positive characteristic
研究了由正特征域上的赋值定义的热带超曲面的奇点。给出了一种计算正特征和p-adic情形下热带超曲面的奇点集的方法。该计算被应用于确定具有固定二重根的次数为$n$和特征$p$的一元多项式的热带线性空间的所有最大锥以及具有独立于特征的二重根的$0$的所有热带多项式的扇。我们还计算，由纯热带的手段，顶点，边和2-面的牛顿多面体的判别式的次数$p$在特征$p$的多项式。
Higher discriminants and the topology of algebraic maps
我们表明，贝蒂上同调在一个适当的家庭复杂的代数簇的方式是由某些“更高的判别式”的基础。这些判别式是根据横截性条件定义的，在光滑簇之间的态射的情况下，可以通过切空间计算来检查。它们在以下两个意义上控制上同调的变化：（1）IC层沿射影映射的前推的任何被加数的支集都是高阶判别式的一个分量，（2）常数函数的真前推的特征圈的任何分量都是高阶判别式的一个分量的余正规簇。这同样适用于家庭的惠特尼分层，但比惠特尼分层更高的判别式要少得多。例如，在希钦纤维化的情况下，更高判别式的分层恰好给出了Ngo引入的δ分层。
Discriminants, symmetrized graph monomials, and sums of squares
受J.J.Sylvester在1878年提出的二元形式不变理论的启发，对于每个可能有重边但没有环的图，给出了它的对称化图单项式，它是原图的顶点标号中的多项式。在20世纪，这个结构被几位作者研究过。我们提出的问题，哪些图这个多项式是一个非负的响应。平方和。这个问题是由F. Sottile和E. Mukhin关于一元多项式导数的判别式，以及P.和A.对称化图单项非负但不是平方和的4边图的Lax。我们提出了详细的信息对称图单项式的图与四个和六个边缘，通过计算机计算。
Correlators in the theory of Integral Discriminants
本文提出了一种利用微分算子计算积分判别论中不变相关函数的方法，并探讨其与超可积现象的联系。
Irreducibility of determinants, and Esterov's conjecture on $\mathscr{A}$-discriminants
本文研究行列式在方阵空间中的不可约性，解决Esterov关于$\mathscr{A}$-判别式的猜想，并推动对判别式组件和余维数的深入描述。
Division theorems for the rational cohomology of some discriminant complements
本文的主要目的是证明$\mathbb{C} P^n$中给定多阶光滑完全交的“方程空间”的混合Hodge多项式可被群$\mathrm{GL}_{n+1}(\mathbb{C})$的混合Hodge多项式整除，其商是相应商空间的混合Hodge多项式.作为证明方法的副产品，我们得到了任意给定维数和次数的光滑射影超曲面的自同构群的阶可除的表达式
A note on the discriminant
设$F(X,Y)=Y^d+a_1(X)Y^{d-1}+...+a_d(X)$是以$n+1$为变量$(X,Y)=(X_1,...,X_n,Y)$的多项式，其系数在代数闭域K中。假设判别式$D(X)=\disc_Y F(X,Y)$非零，我们研究$P\in K^n$的阶数$\ord_P D$。作为应用，我们得到了超曲面F=0非奇异的一个判别准则.
Extremal Real Algebraic Geometry and A-Discriminants
我们提出了一个新的，简单得多的家庭的反例Kushnirenko的猜想。一路上，我们说明了一个计算机辅助的方法来寻找稀疏多项式系统最大的许多实根，从而揭示了最佳的上界的性质，在真正的fewnomial理论。我们使用一个强大的最近公式的A-判别，并给出新的界限的拓扑结构的某些A-判别品种。后一结果的一个结果是由稀疏多项式方程定义的某些实代数集的拓扑型的数目的一个新的上界，例如，在某些实代数曲面族中可达到的光滑拓扑型的数目。
A new determinantal formula for the classical discriminant
根据Bezout，Sylvester，Cayley等人的几个经典结果，n次多项式的经典判别式D_n可以表示为矩阵的行列式，矩阵的元素在f的系数中是简单得多的多项式。然而，在经典文献中出现的所有关于D_n的行列式公式在其相关矩阵的上核同构为相关多项式环上的模的意义下是等价的。这就引出了一个问题：是否存在与经典公式不等价的公式，并且在与1 × 1矩阵（D_n）具有相同的上核的意义下不是平凡的。在本文中，我们构造了一个显式的非经典公式：首先由Arnol'd和Givental研究的开放燕尾的表示矩阵。我们研究了这个公式的性质，并与经典公式的性质进行了对比。
Matrix Factorizations of the discriminant of $S_n$
考虑对称群$S_n$充当多项式环$k[x_1, \ldots, x_n]$上的反射群，其中$k$是使得Char $(k)$不整除$n!$的域。我们使用Higher Specht多项式来构造此群作用的判别式的矩阵因式分解：这些矩阵因式分解由$n$的分区索引，并尊重共不变代数分解为同构分量。与这些矩阵分解相关联的最大Cohen-Macaulay模产生了判别式的非交换分解，并且它们对应于$S_n$的非平凡不可约表示。我们所有的构造都在Macaulay 2中实现，我们提供了几个例子。我们还讨论了这些结果的推广到$S_n$的Young子群。
Tolerants
本文研究了多项式容忍量的性质，证明其有理性，并提出一个猜想性的不稳定庞加莱-霍普夫公式，同时指出容忍量与判别量在反向不变性上的差异。
Copositivity, discriminants and nonseparable signed supports
建立稀疏洛朗多项式判别式与余正性的联系，考虑符号多项式及其符号支撑，给出判断余正性的准则，在不可分条件下证明交点唯一，还表明具有不可分符号支撑的余正多项式可分解，推广已有性质。
Hyperdeterminants from the $E_8$ Discriminant
本文通过投影 $E_8$ 伴随轨道对偶多项式，获得格拉斯曼流形 $Gr(3,9)$ 和 $Gr(4,8)$ 判别式的表达式，并由此推导出 $3\ imes 3\ imes 3$ 和 $2\ imes 2\ imes 2\ imes 2$ 超行列式。
Viro's patchworking and the signed reduced A-discriminant
本文研究实代数几何中超曲面同痕类型的计算，利用Viro拼接法，通过带符号支撑的组合条件证明所有同痕类型可由拼接获得，并揭示带符号约化A-判别式的简单结构。
Higher discriminants of vector bundles and Schur functors
本文证明了局部自由层对数 Chern 特征的闭式公式，利用表示论与 Casimir 元素，并应用于构造超 Kähler 流形上的斜率多重稳定模丛。
Fundamental Groups of Spaces of Smooth Projective Hypersurfaces
研究了在P^n中定义d次超曲面的多项式的射影空间PSym^d C^{n+1}中判别式的补.以下的想法Zagliki，我们能够给出一个介绍的基本群的判别补概括了众所周知的介绍情况下n=1，即球形辫群的d股。特别是我们的论点收益的判别多项式的几何分析所提出的贝西斯和借鉴的结果和方法，从以前的工作，作者解决一个类似的问题，为任何Brieskorn范奇性展开。
Distance to the discriminant
我们将研究代数超曲面上的实单位球$\mathcal S^{n-1}$由一个齐次多项式的次数为d在n个变量的观点，很少利用，欧几里德几何使用Bubereri的标量积和规范。这种观点主要存在于关于随机超曲面\cite{ShubSmale93, GayetWelschinger14}拓扑的著作中。我们的第一个结果（引理\ref{distgen}页\pageref{distgen}）是一个公式的距离$\dist(P,Δ)$的多项式的{ \em真正的判别式} $Δ$，即一组多项式与一个真正的奇异性的领域。这个公式是给任何距离来自标量积的向量空间的多项式。然后，我们集中讨论了Bézeri标量积及其显著性质。例如，我们建立了一个组合公式的两个产品的线性形式（引理\ref{scalarlinear}页\pageref{scalarlinear}），它允许给一个（新的？）用正交群的合成证明Bjereri范数的不变性。这些属性产生一个简单的公式距离定理\ref{bombineqdist}页\pageref{bombineqdist}从中我们推导出以下不等式：$$\dist(P, Δ) \leq \min_{x \hbox{ critical point of } P \hbox{ on } \mathcal S^{n-1}} |P(x)|$$定义\ref{maindef}页\pageref{maind…
On characteristic forms of positive vector bundles, mixed discriminants and pushforward identities
本文证明Nakano和对偶Nakano正向量丛的Schur多项式在微分形式下为正，并通过混合判别式的正性建立Griffiths正向量丛的Schur多项式弱正性，提供Fulton-Lazarsfeld不等式的微分几何版本。
Computing Elimination Ideals and Discriminants of Likelihood Equations
我们开发了一个概率算法计算消除理想的似然方程，这是更大的模型，比直接计算Groebner基地或插值方法中提出的第一作者以前的工作更有效。理论结果表明，数据变量之和出现在消去理想的生成多项式的大多数系数中，从而提高了算法的效率。此外，利用判别式的牛顿多面体的已知结构，我们还可以有效地推导出消去理想的判别式。例如，我们的方法可以计算3 × 3矩阵模型和一个Jukes-Cantor模型的判别式（分别为30 GB和8 GB的文本文件）。
Discriminant of system of equations
在一个代数方程的系数中，什么多项式应该被称为它的判别式？我们证明了一系列事实，这些事实提供了一个可能的答案。让我们称一个系统为典型的，如果同胚类型的解决方案集不改变，因为我们扰动其（非零）系数。所有非典型方程组的集合是所有k个n元方程组的空间中的超曲面，其单项式包含在k个给定的有限集合中。这个超曲面B包含所有具有奇异解的系统，这个层通常被称为判别式，并且它的分量的余维还没有被完全理解（例如，双缺陷环面品种没有分类），所以B的维数的纯度看起来有点令人惊讶。我们从一个类似的热带纯度的事实推断出来。超曲面B的分量B_i中的一般方程组与典型方程组的区别在于其解集的欧拉示性数。把这些欧拉示性数的差看作B_i的重数，把B化为一个有效因子，其方程我们称之为欧拉判别式，理由如下。首先，它恰好在具有奇异解的系统处（可能在无穷远处）消失。其次，尽管它的拓扑定义，有一个简单的线性代数公式，它的牛顿多面体的正公式。第三，它插值了许多经典对象（稀疏结式、A-行列式、变形判别式），并继承了它们的许多优良性质。这使得我们的结果专门为一般多项式映射：支配多项式映射的分支集，其组件是一般的线性组合的100多个单项式，总是一个超曲面，和一般的非典型纤维，这样的地图不同于一个典型的欧拉示性数。
Primes in the denominators of Igusa Class Polynomials
本说明的目的是建议一个类似的属2曲线的一部分格罗斯和Zagier的工作椭圆曲线。实验上，对于CM为四次CM域K的亏格为2的曲线，似乎除Igusa类多项式的判别式的子的素数都具有以下性质：1）它们以d为界，d是K的判别式的绝对值; 2）它们除d-x^2，对于某个整数x，其平方小于d。第3节给出了一个稍强的条件。这类素数是亏格2曲线的坏约化素数和亏格2曲线的雅可比矩阵的超奇约化素数。
Newton polyhedra of discriminants of projections
对于系数依赖于参数的多项式方程组，其判别式的牛顿多面体根据系数的牛顿多面体来计算。这导致一个明确的公式（涉及混合纤维多面体和欧拉障碍的复曲面品种）在未混合的情况下，建议某些开放的问题，一般，并概括了一些类似的已知结果。本文的论证是基于一个混合纤维体的支撑函数公式，这也为混合纤维体的存在提供了一个新的证明。
Classifying real polynomial pencils
设$\bP^n$是二元实系数齐次多项式$n$的空间。标准判别式$\D_{n+1}\subset \bP^n$是根据多个实零点的数量和重数进行Whitney分层的。一个实多项式束，即一条线$L\subset \bP^n$，如果它与$\D_{n+1}$横向相交，则称为泛型。非属笔形成格拉斯曼判别式$\D_{2,n+1}\subset \gtn$，其中$\gtn$是$\bP^n$中的线的格拉斯曼数。我们列举了$\bP^n$中所有一般线的集合$\widetilde \gtn=\gtn\setminus \D_{2,n+1}$的连通分支，并将此主题与夏威夷猜想以及Obreschkoff和Hermite-Biehler的经典定理联系起来。
Landau Discriminants
在量子场论中，散射振幅作为散射粒子的能量和动量的函数，具有复杂的分析性质。在微扰论中，它们的奇异性由一组非线性多项式方程（称为朗道方程）控制，每个费曼图都是如此。相关的费曼积分的奇异轨迹是精确的朗道判别式的概念，它的特点时，朗道方程承认一个解决方案。为了计算这个判别式，我们提出了从经典的消除理论的方法，以及同伦连续的基础上的数值算法。这些方法使我们能够计算多达3个循环的各种费曼图的朗道判别式，这在以前是无法实现的。例如，包络图的朗道判别式是运动学不变量的三维空间中的45度可约曲面。我们研究了Landau判别式的几何性质，如不可约性、维数和度。特别是，我们发现简单的例子中，朗道判别余维大于一。此外，我们描述了一个数值程序，用于确定哪些部分的朗道判别式位于物理区域。为了研究Landau方程的退化极限和Landau判别式的阶的界，我们引入了Landau多面体并研究了它们的小平面结构。最后，我们提供了一个有效的数值算法的基础上连接到代数统计的主积分的数量的计算。本工作中使用的算法在开放源代码Julia包Landau.jl中实现，可在https://mathrepo.mis.mpg.de/Landau/上获得。
Machine learning the real discriminant locus
多项式方程的参数化系统出现在科学和工程中的许多应用中，其真实解描述例如动力系统的平衡、满足设计约束的链接以及计算机视觉中的场景重建。由于不同的参数值可以有不同数量的真实解决方案，参数空间被分解成区域，其边界形成真正的判别轨迹。本文将定位真实判别轨迹视为机器学习中的监督分类问题，其目标是确定参数空间上的分类边界，类别是真实解决方案的数量。对于多维参数空间，本文提出了一种新的采样方法，仔细的参数空间的采样。在每一个样本点，同伦延拓被用来获得相应的多项式系统的实解的数目。使用包括最近邻和深度学习的机器学习技术来有效地近似真实判别轨迹。学习实判别轨迹的一个应用是开发一种实同伦方法，它只跟踪实解路径，而不像传统方法跟踪所有复解路径。算例表明，该方法可以有效地近似复杂的解决方案边界，如所产生的平衡的仓本模型。
On defectivity of families of full-dimensional point configurations
点构形族的混合判别式可以看作是一个Laurent多项式的$A$ -判别式到一族Laurent多项式的推广。推广亏度的概念，如果一个点构形族的混合判别式是平凡的，则称它是亏的。利用Furukawa和Ito最近提出的一个判别准则，在所有点构形都是全维的情况下，给出了一族亏格的一个必要条件.这暗示了Cattani、Cueto、Dickenstein、Di Rocco和Sturmfels的猜想：当且仅当其元素的凸包的混合体积为$1$时，$\mathbb{Z}^n$中的一族$n$全维配置是有缺陷的。
Arctic curves of periodic dimer models and generalized discriminants
本文通过构造高亏格黎曼曲面上亚纯微分的广义判别式，计算了具有双重准周期权重结构的阿兹特克钻石及部分六边形模型的北极曲线代数方程，并确定了曲线代数次数与冻结、光滑区域数量的关系。
Sheaf theoretic classifications of pairs of square matrices over arbitrary fields
我们给出了域上具有非零判别多项式的方阵对的线性轨道的分类，并给出了关于射影线的闭子概形的附加数据。我们的结果是有效的，在一个统一的方式在任意领域，包括那些特征2。这项工作是基于第一作者以前的工作theta特征的超曲面。作为应用，我们给出了特殊线性群下具有固定判别多项式的对称矩阵对轨道的参数化，推广了Wood和Bhargava-Gross-Wang的一些结果.
Numeric certified algorithm for the topology of resultant and discriminant curves
设$\mathcal C$是由两个多项式（分别为多项式的判别式）。在几何上，这样的曲线是表面$P(x,y,z)=Q(x,y,z)=0$（相应地，$P(x,y,z)=\frac{\partial P}{\partial z}(x,y,z)=0$），一般来说，它的奇点是节点（分别是节点和普通尖点）。现有的数值算法只计算光滑曲线的拓扑结构，而不能证明奇异曲线的拓扑结构。主要的挑战是找到实用的数值准则，保证存在性和唯一性的一个给定的盒子$B$内的奇点，同时确保$B$不包含任何闭环的$\mathcal{C}$。我们解决这个问题，首先提供了一个平方放气系统，基于subresultants，可以用来证明数字是否$B$包含一个独特的奇点$p$或没有。然后引入一个基于区间算术的数值自适应分离准则，保证$B$中的$\mathcal C$的拓扑与$p$上的局部拓扑同胚.我们的算法实现和实验表明，他们的效率相比，最先进的符号或同伦的方法。
Robustness Verification of Polynomial Neural Networks
本文通过度量代数几何方法研究神经网络的鲁棒性验证，针对多项式神经网络，通过计算到代数决策边界距离来认证鲁棒半径，并引入参数判别来检测ED度下降的参数值，最终通过实验展示决策边界具有更小的ED度。
First Steps in Algorithmic Fewnomial Theory
Fewnomial理论开始明确的界限-仅在数量的变量和单项条款-对一些实根系统的多项式方程。在这里，我们采取下一个逻辑步骤调查相应的存在性问题：让FEAS_R表示的问题，决定是否一个给定的系统的多元多项式方程的整数系数有一个实根或没有。当m大到足以使FEAS_R成为NP-难时，我们描述了一个相变，当限制输入由一个具有正好m个单项项的n变量多项式组成时：m<=n+2（对于任何固定的n）的多项式时间和m<=n+n^{n}（对于n变化和任何固定的n>0）的NP-难。由于FEAS_R与A-判别式之间的重要联系，我们研究了一类新的A-判别式，它们的符号可以在多项式时间内确定。（A-判别式包含所有已知的结式作为特例，后者是算法代数几何的核心。从丢番图逼近中得到的贝克定理是一个重要的工具。在此过程中，我们还得到了新的定量界限的实零集的n-变量（n+2）-诺姆。
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