拟范畴与Segal空间

A Model for the Higher Category of Higher Categories

We use fibrations of complete Segal spaces to construct four complete Segal spaces: Reedy fibrant simplicial spaces, Segal spaces, complete Segal spaces, and spaces. Moreover, we show each one comes with a universal fibration that classifies Reedy left fibrations, Segal coCartesian fibrations, coCartesian fibrations and left fibrations and prove these are representable fibrations. Finally, we use equivalences between quasi-categories and complete Segal spaces to present analogous constructions using fibrations of quasi-categories.

Twisted arrow categories, operads and Segal conditions

We introduce twisted arrow categories of operads and of algebras over operads. Up to equivalence of categories, the simplex category $Δ$, Segal's category $Γ$, Connes cyclic category $Λ$, Moerdijk-Weiss dendroidal category $Ω$, and categories similar to graphical categories of Hackney-Robertson-Yau are twisted arrow categories of symmetric or cyclic operads. Twisted arrow categories of operads admit Segal presheaves and 2-Segal presheaves, or decomposition spaces. Twisted arrow category of an operad $P$ is the $(\infty, 1)$-localization of the corresponding category $Ω/P$ by the boundary prese…

Operadic范畴与2-Segal集合

Operadic categories and 2-Segal sets

本文研究了2-Segal集合的边向细分，利用其与满足blow-up公理的一元operadic范畴的对应关系，将边向细分解释为相应operadic范畴添加纤维包含映射后的扩张。

单纯幺半群与Segal范畴

Simplicial monoids and Segal categories

许多研究已经做了结构等价于拓扑或单纯群。在本文中，我们考虑单纯幺半群。特别是，我们表明，通常的模型范畴结构的范畴上的单纯幺半群是奎伦等价于一个适当的模型范畴结构的范畴上的单纯空间与一个单一的点在零度。在该第二模型结构中，所述约束对象是简化的Segal类别。然后，我们将证明推广到具有固定对象集的单纯范畴与具有零度固定集合的西格尔范畴。

Quasi-Categories vs. Segal Spaces: Cartesian Edition

We prove that four different ways of defining Cartesian fibrations and the Cartesian model structure are all Quillen equivalent: On marked simplicial sets, on bisimplicial spaces, on bisimplicial sets, on marked simplicial spaces. The main way to prove these equivalences is by using the Quillen equivalences between quasi-categories and complete Segal spaces as defined by Joyal-Tierney and the straightening construction due to Lurie.

Segal K-理论通过Waldhausen范畴

Segal K-theory factors through Waldhausen categories

本文通过构造Waldhausen范畴Γ(C)，证明Segal K理论可通过Waldhausen范畴因子化，并展示连通谱可通过Waldhausen K理论获得。

树型Segal空间与无穷运算

Dendroidal Segal spaces and infinity-operads

我们引入了完备Segal空间和Segal范畴的概念的树状类似物，并构造了两个适当的模型范畴，其中每个概念对应于被证明的性质。我们证明了这两个模型范畴是Quillen等价的，并证明了这两个模型范畴是Quillen等价的。通过切片的monoidal单位对象在这些模型类别中，我们得到的直接推论Joyal的准范畴，Rezk的完整Segal空间，和Segal类别之间的已知的比较结果。

在带点稳定双Segal空间中识别CGW范畴

Recognizing CGW categories among pointed stable double Segal spaces

研究CGW范畴与带点稳定双Segal空间的关系，表明CGW范畴可视为带点稳定双Segal空间，通过双范畴分类图构造来识别二者，为代数K理论提供了新视角。

Segal浓缩型I类

Segal Enriched Categories I

我们发展了一个关于（更高）范畴M的丰富范畴理论，该范畴M配备了称为同伦等价的态射类W。我们称之为Segal M_W -范畴。我们的动机是推广的概念“上同伦幺半群”在一个幺半范畴范畴M，介绍了Leinster。所采用的形式主义是对经典Segal范畴的推广，并将丰富范畴理论推广到双范畴上。特别是我们有一个线性版本的西格尔类别不存在至今。我们在本文中的目标是提出理论，并提供一些例子。应用程序是为将来保留的。

On the Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories

We axiomatise the theory of $(\infty,n)$-categories. We prove that the space of theories of $(\infty,n)$-categories is a $B(\mathbb{Z}/2)^n$. We prove that Rezk's complete Segal $Θ_n$-spaces, Simpson and Tamsamani's Segal $n$-categories, the first author's $n$-fold complete Segal spaces, Kan and the first author's $n$-relative categories, and complete Segal space objects in any model of $(\infty,n-1)$-categories all satisfy our axioms. Consequently, these theories are all equivalent in a manner that is unique up to the action of $(\mathbb{Z}/2)^n$.

$\mathcal{S}$ -范畴，$\mathcal{S}$ -广群，Segal范畴和拟范畴

$\mathcal{S}$-categories, $\mathcal{S}$-groupoids, Segal categories and quasicategories

这些笔记是为我2003年6月底和7月初在哈根以及2003年9月在加那利群岛的拉古尼亚大学的一系列演讲准备的。他们的目的是（i）重新审视一些旧的材料抽象同伦和单纯丰富的范畴，这似乎是在今天的复苏的兴趣在该地区，并试图查看它在一个新的光，或者也许从新的方向;（ii）介绍西格尔类别和其他各种工具所使用的尼斯图卢兹集团的抽象同伦理论家和链接到一些旧的想法;（iii）介绍Joyal的准范畴，并说明该理论如何与Boardman和Vogt，Dwyer和Kan以及Cordier和Porter的一些旧思想联系起来;最后，向自己和读者提出许多问题。

识别半Segel空间映射的同伦纤维

Identifying the homotopy fiber of a map of semi-Segal spaces

本文针对半Segel空间映射证明了Quillen定理版本，构造了双半单纯分解，并将该映射的同伦纤维表示为特定半单纯空间的几何实现。

构型范畴的表示

Presentations of configuration categories

该研究将流形的构型范畴通过神经构造视为Segal空间，证明了当流形为紧流形内部时，经适当截断的无序构型范畴可作为完全Segal空间具有有限表示。

关于 Segal 空间的伸直化

On straightening for Segal spaces

本文给出 Grothendieck–Lurie 伸直-非伸直对应的新证明，并将其推广到任意高维范畴，基于双范畴间纤维化的组合结果归纳构造伸直化。

Lax图和浓缩

Lax Diagrams and Enrichment

在给定的对称monoidal模型范畴M上引入一类新的弱富集范畴，称为Co-Segal范畴。它们的定义来自古典（丰富的）西格尔范畴的哲学。我们研究了他们的同伦理论，给出了一个模型结构。引入这些结构的动机之一是有一个更高的线性范畴的Segal类方法的替代定义。

已标记的高阶范畴

Flagged higher categories

引入了\emph{flagged $(\infty,n)$-categories}，证明了它们等价于Joyal范畴${\mathbfΘ}_n$上的Segal层.因此，标记的$(\infty,n)$类别提供了Segal层的模型无关公式。这一结果推广了空间中的$n$ -广群对象是有效的这一说法，正如我们所解释的那样。一路上，我们建立了一个有用的表达式，这样的Segal层的univalent完成。最后，我们猜想一个特征的标记$(\infty,n)$ -范畴的堆栈上的$(\infty,n)$-范畴，满足下降的colimit图，不产生可逆的$i$ -态射的任何$i$。

等变不完全无限环空间的Segal模型

Segal models for equivariant incomplete infinite loop spaces

本研究借助等变$\Gamma$-空间为不完全论域上的等变无限环空间建模，明确论域、转移系统与Segal条件的关联，刻画等变$\Gamma$-空间的等价形式，最终构建出赋范置换范畴的Segal $K$-理论。

2-Segal spaces as invertible infinity-operads

We exhibit the simplex category $Δ$ and Segal's category $Γ$ as $\infty$-categorical localizations of the dendroidal categories $Ω_π$ and $Ω$ introduced by Moerdijk and Weiss. As an application we obtain an equivalence of $\infty$-categories between invertible $\infty$-operads and the $2$-Segal spaces of Dyckerhoff and Kapranov. Finally, we describe a cyclic version of the dendroidal category and explain how it $\infty$-localizes to Connes's cyclic category $Λ$.

On the equivalence between $Θ_{n}$-spaces and iterated Segal spaces

We give a new proof of the equivalence between two of the main models for $(\infty,n)$-categories, namely the $n$-fold Segal spaces of Barwick and the $Θ_{n}$-spaces of Rezk, by proving that these are algebras for the same monad on the $\infty$-category of $n$-globular spaces. The proof works for a broad class of $\infty$-categories that includes all $\infty$-topoi.

dagger (∞,1)-范畴的模型 III：万有带标记 dagger (∞,1)-范畴与酉完备 dagger Segal 动画

Models for dagger $(\infty,1)$-categories III: Univalent flagged dagger $(\infty,1)$-categories and unitarily complete dagger Segal anima

该文将 dagger 模型的 (∞,1)-范畴与万有带标记 dagger (∞,1)-范畴等同，构造伴随对证明其等价性，将万有性对应酉完备性，还等同了万有化与酉完备化。

Cartesian Fibrations of Complete Segal Spaces

Cartesian fibrations were originally defined by Lurie in the context of quasi-categories and are commonly used in $(\infty,1)$-category theory to study presheaves valued in $(\infty,1)$-categories. In this work we define and study fibrations modeling presheaves valued in simplicial spaces and their localizations. This includes defining a model structure for these fibrations and giving effective tools to recognize its fibrations and weak equivalences. This in particular gives us a new method to construct Cartesian fibrations via complete Segal spaces. In addition to that, it allows us to define…

拟范畴的退化

Degeneracies in quasi-categories

在本文中，我们证明了具有弱Kan条件的半单纯集允许单纯结构，只要任何对象允许幂等自等价。此外，单纯结构的任何两种选择都会产生等价的拟范畴。该方法是纯组合的，并扩展到其他类别的半单纯对象，特别是满足西格尔条件的半单纯空间（半西格尔空间）。

等变完备Segal空间

Equivariant complete Segal spaces

本文给出了等变$(\infty, 1)$ -范畴的一个模型。本文将Shimakawa关于等变$Γ$ -空间的一种方法推广到单纯空间的情形。然后，我们调整Rezk的Segal和完整性条件，以适应这种设置。

弱丰富范畴-范畴丰富faibles

Weak enriched categories - Categories enrichies faibles

本文证明了弱充实范畴存在闭模型范畴结构的一个定理。它首先要求弱充实范畴的定义和弱充实范畴的等价，使得这些定义恢复了一些已有的高阶弱范畴的概念，例如Segal范畴，Tamsamani n-范畴和严格n-范畴。为了证明我们的定理，我们阐述了一个理论的计划细胞添加以下的方法的小对象参数一拉奎伦。最后，我们证明了我们的定理恢复了Segal范畴的情况。这最后一个结果需要Segal广群和拓扑空间之间的一个基本广群-几何实现附接。

高阶范畴的Segal型模型

Segal-type models of higher categories

高阶范畴理论是一个非常活跃的研究领域，它的迅速发展是由于它渗透到各种科学领域。它的影响力延伸到关键的数学学科，特别是同伦理论，代数几何和代数，数学物理，包括在逻辑，计算机科学和超越的重要应用。高阶范畴提供了一种统一的语言，其最大的优势在于它能够在不同的领域之间架起桥梁，并发现新的应用程序。在这个基础性的工作中，我们介绍了一种新的方法来高阶范畴。它建立在迭代内部范畴理论的基础上，这是最简单的可能的更高范畴结构之一，通过采用一个新颖而非常简单的“弱球性”假设，并证明由此产生的模型提供了一个完全通用的弱n-范畴理论。后者是最复杂的高级结构之一，对应用至关重要。我们表明，这种新的模型的“弱球状n重范畴”是适当的等价于研究模型的弱n-范畴由于Tamsamani和辛普森。

拟2-Segal集

Quasi-2-Segal sets

本文定义单纯集中的拟2-Segal集，构造其模型结构并与完全2-Segal空间 Quillen 等价，同时给出路径空间与逐边细分判据。

完备Segal空间的Yoneda引理

Yoneda lemma for complete Segal spaces

本文用完备Segal空间的语言给出了无穷范畴的Yoneda引理的一个完备证明。

有理$(\infty, 1)$-范畴的模型

Models for rational $(\infty, 1)$-categories

本研究引入有理$(\infty, 1)$-范畴的概念，提出有理完全Segal空间与有理Segal范畴两种模型，并证明二者等价，为有理高阶同伦理论提供新的范畴化模型框架。

（\infty，1）-范畴的研究

A survey of (\infty, 1)-categories

本文给出了所谓的（\infty，1）-范畴的不同定义之间的比较。（\infty，1）-范畴被认为是n-态射都可逆的\infty -范畴的模型。从同伦理论的观点来看，它们也是同伦理论中的同伦理论的模型。这四种不同的结构都是等价的，它们是单纯范畴、西格尔范畴、完备西格尔空间和拟范畴。

$(\infty, n)$ -类别、II的模型比较

Comparison of models for $(\infty, n)$-categories, II

本文完成了$Θ_{n+1}$ -空间的模型范畴与在$Θ_n$ -空间中富集的小范畴的模型范畴之间的一系列显式Quillen等价。这里给出的Quillen等价连接了$Θ_n$ -空间中的Segal范畴对象、$Θ_n$ -空间中的完备Segal对象和$Θ_{n+1}$ -空间。

Homotopy-coherent algebra via Segal conditions

Many homotopy-coherent algebraic structures can be described by Segal-type limit conditions determined by an "algebraic pattern", bywhich we mean an $\infty$-category equipped with a factorization system and a collection of "elementary" objects. Examples of structures that occur as such "Segal $\mathcal{O}$-spaces" for an algebraic pattern $\mathcal{O}$ include $\infty$-categories, $(\infty,n)$-categories, $\infty$-operads, $\infty$-properads, and algebras for an $\infty$-operad in spaces. In the first part of this paper we set up a general frameworkn for algebraic patterns and their Segal obj…

2-西格尔天体与瓦尔德豪森构造

2-Segal objects and the Waldhausen construction

在以前的论文中，我们表明，离散版本的$S_\bullet$ -建设给出了一个等价的范畴之间的单位2-Segal集和增广稳定的双重范畴。在这里，我们推广这一结果同伦设置，通过显示，有一个Quillen等价之间的一个模型类别为unital 2-Segal对象和一个模型类别为增广稳定的双Segal对象，这是由一个$S_\bullet$ -建设。我们表明，这种等价适合在离散的情况下，并简要讨论它如何包括其他已知的$S_\bullet$ -结构的结果。

2-西格尔集和瓦尔德豪森构造

2-Segal sets and the Waldhausen construction

由Dyckerhoff-Kapranov和Gálvez-Carrillo-Kock-Tonks的结果可知，Waldhausen S.结构具有单一的2-Segal结构。在这里，我们证明了一定的S.-函子定义了增广稳定双范畴范畴和单位2-Segal集范畴之间的等价性。反向等价明确描述的路径结构。我们说明了等价的部分幺半群，配边范畴与属约束和图余代数的已知例子。

Substitudes, Bousfield localization, higher braided operads, and Baez-Dolan stabilization

This short note reports on joint work with Michael Batanin towards a general machine for proving Baez-Dolan Stabilization Theorems for various models of higher categories, based on substitudes, Bousfield localization, and homotopical Beck-Chevalley squares. I provide a road map to our recent papers, and include new results proving Baez-Dolan Stabilization Theorems for Tamsamani weak $n$-categories, higher Segal categories, Ara's $n$-quasi-categories, and cartesian models of Segal and complete Segal objects due to Bergner and Rezk. I also attempt to clarify the connection to higher braided oper…

Univalence and completeness of Segal objects

Univalence, originally a type theoretical notion at the heart of Voevodsky's Univalent Foundations Program, has found general importance as a higher categorical property that characterizes descent and hence classifying maps in $(\infty,1)$-categories. Completeness is a property of Segal spaces introduced by Rezk that characterizes those Segal spaces which are $(\infty,1)$-categories. In this paper, first, we make rigorous an analogy between univalence and completeness that has found various informal expressions in the higher categorical research community to date, and second, study its ramific…

dagger $(\infty,1)$-范畴的模型 II：dagger 完备 Segal 空间与 Joyal--Tierney 等价

Models for dagger $(\infty,1)$-categories II: Dagger complete Segal spaces and the Joyal--Tierney equivalence

本文为dagger (∞,1)-范畴发展单纯空间模型，构造酉完备dagger Segal空间模型结构，并证明Joyal--Tierney等价的dagger类比，建立dagger Bergner、Joyal与Rezk模型间的Quillen等价链。

Topological categories related to Fredholm operators: I. Classifying spaces

In 1970s Segal outlined proofs of two theorems relating spaces of Fredholm and self-adjoint Fredholm operators with Quillen's constructions used to define higher algebraic K-theory. In the present paper we provide detailed proofs of these theorems of Segal (different from the ones outlined by Segal) and then transplant some further ideas of Quillen to the real of Fredholm and self-adjoint Fredholm operators. The main results may be considered as partial analogues of the equivalence of Quillen's two definition of higher algebraic K-theory. Along the way we relate spaces of Fredholm and self-adj…

用超覆盖局部化无穷范畴

Localizing infinity-categories with hypercovers

给定一个具有弱等价集且在拉回下稳定的$\infty$ -范畴，我们证明了相应局部化的映射空间可以描述为跨度的$\infty$ -范畴的群完备化.此外，我们展示了如何这些$\infty$ -类别的跨度是映射对象的$(\infty, 2)$ -类别，从而产生一个Segal空间模型的本地化后，Kan的替代。

双重范畴的双重 $(\infty,1)$-范畴神经

A double $(\infty,1)$-categorical nerve for double categories

本文构造双重范畴到双重 $(\infty,1)$-范畴的神经，证明其右 Quillen 且同伦全忠实，并沿嵌入限制得到 Lack 模型结构的右诱导关系。

添加逆图II：可逆同伦理论是空间

Adding inverses to diagrams II: Invertible homotopy theories are spaces

在以前的工作中，我们表明，有适当的模型范畴结构的范畴上的单纯范畴和范畴上的Segal precategories，它们是Quillen等价于彼此和Rezk的完整Segal空间模型结构的范畴上的单纯空间。在这里，我们表明，这些结果仍然保持，如果我们改为使用广群或“可逆”的情况下。也就是说，我们表明，模型结构的范畴的单纯广群，西格尔pregroupoid，可逆单纯空间都是奎伦等价于彼此和标准模型结构的范畴的空间。我们证明了这一结果使用两种不同的方法可逆完全Segal空间和Segal广群胚。

Segal Topoi and Natural Phenomena: Universality of Physical Laws

J. Lurie proved in Higher Topos Theory that for $K$ a simplicial set, $\mathcal{C}$ a simplicial category, $f: \mathfrak{C}[K] \rightarrow \mathcal{C}^{\text{op}}$ an equivalence of simplicial categories, we have a Quillen equivalence $(\text{Set}^+_Δ)_{/K} \rightleftarrows (\text{Set}^+_Δ)^{\mathcal{C}}$. We prove a partial converse to this theorem at the level of Segal categories, namely that if $L(\text{Set}^+_Δ)_{/K}$ is isomorphic to $L(\text{Set}^+_Δ)^{\mathcal{C}}$ in Ho(SePC), then $L \mathfrak{C}[K]^{\text{op}}$ and $L\mathcal{C}$ are equivalent as Segal pre-categories relative to Seg…

Monoidal Pull-Push I: Cocartesian Fibrations and Categories of Spans

We develop a basic theory of cocartesian fibrations between Segal spaces (in line with that of arxiv:2102.05190), and use it to provide a proof of a theorem of Barwick (the main result of arxiv:1404.0108). Note: This work was originally the author's master's thesis, submitted 21.09.2020.

广义operad的Segal条件

Segal conditions for generalized operads

本文介绍Moerdijk--Weiss dendroidal sets的推广，通过图范畴预层的Segal条件识别广义operad，并利用左Kan延拓实现自由/遗忘伴随，涉及同伦相干版本。

2-Segal空间的一个∞-范畴

An $\infty$-Category of 2-Segal Spaces

该研究引入2-Segal对象间的跨度与双相对2-Segal对象概念，建立其与跨度中代数、双模对象的∞-范畴等价，可应用于K理论并构造Hall代数的同伦相容表示。

Rectification of enriched infinity-categories

We prove a rectification theorem for enriched infinity-categories: If V is a nice monoidal model category, we show that the homotopy theory of infinity-categories enriched in V is equivalent to the familiar homotopy theory of categories strictly enriched in V. It follows, for example, that infinity-categories enriched in spectra or chain complexes are equivalent to spectral categories and dg-categories. A similar method gives a comparison result for enriched Segal categories, which implies that the homotopy theories of n-categories and (infinity,n)-categories defined by iterated infinity-categ…

平方K理论与2-Segal空间

Squares K-theory and 2-Segal spaces

本文定义了平方范畴的S_\ullet构造，引入了捕捉S_\ullet构造建模K理论空间所需性质的'原Waldhausen'范畴，探讨了何时平方范畴的S_\ullet构造产生2-Segal空间，并证明在满足特定稳定性条件时成立。

循环多胞形、orientals 与对应：高阶 Segal 空间的若干方面

Cyclic polytopes, orientals, and correspondences: some aspects of higher Segal spaces

本文探讨循环多胞形、orientals 与高阶对应之间的联系，回顾代数 K-理论实例，并将高阶 Segal 空间刻画为高阶对应范畴中的 lax monadic 结构。

部分模型范畴及其单纯神经

Partial model categories and their simplicial nerves

在本注记中，我们考虑部分模型范畴，我们的意思是相对范畴，满足一个削弱版本的模型范畴公理只涉及弱等价。更准确地说，部分模型范畴将是一个相对范畴，它具有六分之二的性质，并允许一个3-箭头演算。然后，我们表明，查尔斯Rezk的结果，从单纯模型类别通过采取Reedy的替代其单纯神经的单纯空间是一个完整的Segal空间也适用于这些部分模型类别。我们还注意到，相反，每一个完整的西格尔空间是里德相当于单纯神经的部分模型范畴，实际上是同伦满子范畴的一类图的单纯集。

相对范畴：同伦理论的另一个模型

Relative categories: Another model for the homotopy theory of homotopy theories

我们提升查尔斯Rezk的完整Segal空间模型结构的范畴上的单纯空间的Quillen等价的范畴上的相对范畴。

树型集与单纯运算

Dendroidal sets and simplicial operads

建立了Segal算子同伦理论与单纯算子同伦理论之间的一个Quillen等价关系，由此导出了从单纯算子模型范畴到树状集范畴上无穷算子模型范畴结构的同伦凝聚神经函子是一个右Quillen等价.通过对monoidal单位的切片，给出了Bergner证明的Segal范畴与单纯范畴之间的Quillen等价性，以及A. Joyal和J. Lurie。我们还解释了这个理论如何适用于通常的概念operad（即与一个单一的颜色）的范畴内的空间。

A Quillen adjunction between globular and complicial approaches to $(\infty,n)$-categories

We prove the compatibility between the suspension construction and the complicial nerve of $ω$-categories. As a motivating application, we produce a Quillen pair between the models of $(\infty,n)$-categories given by Rezk's complete Segal $Θ_n$-spaces and Verity's $n$-complicial sets.

模型范畴的同伦余极限

Homotopy colimits of model categories

在已有的模型范畴同伦极限定义的基础上，给出了模型范畴同伦余极限的定义。使用完整的西格尔空间模型同伦理论，我们验证了这个定义对应的模型范畴理论的定义在该设置。

论格雷姆·西格尔的工作

On the work of Graeme Segal

本文是作者为格雷姆·西格尔获2026年国际数学家大会陈省身奖章撰写的颂词，介绍其在范畴分类空间、Gamma-空间及Wick旋转量子场论公理体系等方面的部分研究工作。

布朗范畴与双范畴

Brown categories and bicategories

在布朗范畴的凝聚对象，有一个模型的映射空间的吊床本地化方面的Z字形长度为2。在本文中，我们将展示如何将这些空间组装成一个Segal类别，模型的布朗类别的无限范畴本地化。