On the isometric path partition problem
图的等距路覆盖（划分）问题是寻找覆盖（划分）图的顶点集的等距路的最小集合。图的等距路覆盖（划分）数是图的最小等距路覆盖（划分）的基数。证明了一般图上的等距路划分问题和$k\geq 3$的等距$k$ -路划分问题是NP-完全的。Fisher和\cite{FiFi01}证明了$(r\times r)$维网格的等距路径覆盖数为$\lceil 2r/3\rceil$ .证明了当$r \geq s(s-1)$时，$(r\times s)$维网格的等距路径覆盖（划分）数为$s$.证明了当$r$为偶数时，$(r\times r)$维环面的等距路径覆盖（划分）数为$r$;当$r$为奇数时，等距路径覆盖（划分）数为$r$或$r+1$.证明了$r$维Benes网络的等距路径覆盖（划分）数为$2^r$ .此外，我们提供了部分解决方案的等距路径覆盖（分区）问题的圆柱和多维网格。
2018-08-26 math.CO
Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions
本文证明了集合$[n+1]$的12312-避免划分和12321-避免划分与半长$n$的Schröder路一一对应，在偶数水平上没有峰.因此，12312-避免（分别）的精确枚举。12321-避免）分区根据块的数量可以减少到枚举某些施罗德路径根据峰的数量。此外，我们还得到了不可约12312-避免（分别为12321-避免）分区，这是密切相关的斜戴克路径。
2009-03-09 math.CO
Ramsey-type results for path covers and path partitions. II. Digraphs
最近，作者给出了图的路覆盖/划分数的Ramsey型结果。本文以有向图为研究对象，继续研究了有向图的禁止结构与路径覆盖/划分数之间的关系。设$D$是弱连通有向图. $D$的子有向图的一族$\mathcal{P}$称为{ \it路径覆盖}（分别为如果\it（相应地，$\dot\bigcup _{P\in \mathcal{P}}V(P)=V(D)$），并且$\mathcal{P}$的每个元素都是有向路。路径分区）由$D$（分别地，${\rm pp}(D)$）。在本文中，我们发现禁戒结构的条件，确保我们${\rm pc}(D)$（或${\rm pp}(D)$）是有界的常数。
2021-11-29 math.CO
Ramsey-type results for path covers and path partitions
$G$的子图族$\mathcal{P}$称为{ \it路径覆盖}（分别为如果\it（相应地，$\dot\bigcup _{P\in \mathcal{P}}V(P)=V(G)$），并且$\mathcal{P}$的每个元素都是一条路径。$G$的路径分区）由${\rm pc}(G)$（分别地，${\rm pp}(G)$）。本文给出了保证${\rm pc}(G)$（或${\rm pp}(G)$）有界的禁止子图条件.我们的主要结果引入了一个新的Ramsey型问题。
2021-10-30 math.CO
The $(s,s+d,\dots,s+pd)$-core partitions and the rational Motzkin paths
在本文中，我们提出了一个关于$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分的$(s+d,d)$ -算盘，并建立了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分与$(s+d,-d)$型有理Motzkin路之间的双射.这一结果不仅给出了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心分区的格点路径解释，而且用闭公式计算了它们。此外，我们列举了具有$k$角的$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区和自共轭$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区。
2020-02-04 math.CO
On the path partition number of 6-regular graphs
图$G$的路径划分（也称为线性森林）是一组顶点不相交的路径，它们一起包含$G$的所有顶点。在这种情况下，孤立顶点被视为路径。路划分猜想指出，每个$n$ -顶点$d$ -正则图都有一个至多包含$\frac{n}{d+1}$路的路划分.对所有的$d<6$都证明了该猜想。证明了对$d=6$的猜想.
2019-11-19 cs.DM math.CO
Pairs of Noncrossing Free Dyck Paths and Noncrossing Partitions
利用划分间的双射和摇摆表，建立了长度为$2n$的无交叉自由Dyck路对与$[2n+1]$的无交叉划分与$n+1$块之间的对应关系.利用Labelle合并算法，得到了由不相交的自由Dyck路对构造的Dyck路的一个特征，即在奇数位置上的向上步数.
2008-07-27 math.CO
Unique path partitions: Characterization and Congruences
本文给出了唯一路径划分的完整分类，并研究了枚举此类划分的函数的同余性质。
2012-09-03 math.CO math.NT
Some combinatorics related to central binomial coefficients: Grand-Dyck paths, coloured noncrossing partitions and signed pattern avoiding permutations
我们给出了某些整数序列的参数的Grand-Dyck路径和有色不相交划分的一些解释，我们发现了一些新的双射有关Grand-Dyck路径和符号模式避免置换。接下来，我们转移一个自然的分配格结构的Grand-Dyck路径的有色非交叉分区和签署的模式，避免置换，从而显示，特别是，它是同构的结构诱导的（强）Bruhat秩序上的某一组签署的模式，避免置换。
2008-06-05 math.CO
Noncrossing Linked Partitions and Large (3,2)-Motzkin Paths
在自由概率论的某些变换的研究中，出现了非交叉链接划分。我们探讨非交叉链接分区和彩色Motzkin路径之间的连接。（3，2）-Motzkin路径可以被视为彩色Motzkin路径，因为有三种类型的水平阶和两种类型的向下阶。大（3，2）-Motzkin路径被定义为在x轴上仅存在两种类型的水平步长的（3，2）-Motzkin路径。我们建立了[n +1]的非交叉连通划分集与长度为n的大（3，2）-Motzkin路集之间的一一对应。在这种情况下，我们得到了一个简单的解释之间的著名关系的大和小施罗德数。
2010-09-01 math.CO
Bijections on two variations of noncrossing partitions
我们发现了2-距离非交叉划分、12312-避免划分、3-Motzkin路径、UH-free Schr{<$}der路径和在偶数高度没有峰的Schr{<$}der路径上的双射.我们还给出了2-距离非交叉划分和12312-避免划分之间的直接双射。
2011-08-29 math.CO
Paths and partitions: combinatorial descriptions of the parafermionic states
Z_k亚费米子共形场论，尽管其模代数相对复杂，但为研究态基及其不同组合表示提供了最简单的背景。已知有三个基地。经典的一个是由字符串的基本parafermionic运营商的序列的模式是在对应的限制分区与部分在距离k-1不同至少2。另一个基是用k-1个不同的仿费米子场的有序模来表示的，这与所谓的多重划分相对应。这两种类型的分区都有一个自然（Bressoud）路径表示。最后，第三个基础上，制定不同的路径，继承了有限的固体对固体模型的Andrews-Baxter-Forrester的解决方案。本文的目的是在一个统一的和教学性的论述中，回顾Z_k副费米模型的这四种不同的态的组合表示。本文的第一部分介绍了不同的道路和分区和他们的双射关系;它是纯粹的组合，自包含和基本的;它可以独立于共形场论的应用程序阅读。第二部分将这种组合分析与Z_k亚费米子理论的态基联系起来。通过对仿费米子模型的典型实例的详细分析，为更复杂理论的组合研究奠定了一定的基础。事实上，正如我们在结尾处简要指出的那样，Bressoud和Andrews-Baxter-Forrester路径的广义版本都自然地出现在对极小模型的描述中。
2009-06-12 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
A note on 2-distant noncrossing partitions and weighted Motzkin paths
我们证明了Drake和Kim的一个猜想：$\{1,2,...,n\}$的$2$ -远距离非交叉划分的个数等于长度为$n$的Motzkin路的权之和，其中Motzkin路的权是包含斐波那契数的某些分数的乘积.我们给出了猜想的两种证明：一种是利用连分数，另一种是组合证明。
2010-11-02 math.CO
Self-conjugate $(s,s+d,\dots,s+pd)$-core partitions and free rational Motzkin paths
如果一个分区同时是所有$i=1,2,\dots,p$的$s_i$-核心，则该分区称为$(s_1,s_2,\dots,s_p)$ -核心分区.同时核心分区已积极研究在各个方向。特别是，研究人员关心的性质，这样的分区时，序列的$s_i$是一个算术级数。本文对$p\geq 2$和相对素正整数$s$和$d$，提出了自共轭分拆的$(s+d,d;a)$ -算盘，并在适当的条件下建立了自共轭$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核分拆集与自由有理Motzkin路集之间的一个双射.对于$p=2,3$，我们给出了自共轭$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核划分的个数和具有$m$角的自共轭$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核划分的个数的计算公式.
2020-04-11 math.CO
Partitions with constrained ranks and lattice paths
在本文中，我们研究的划分，其连续的行列属于一个给定的集合。我们枚举这样的分区，同时跟踪部分的数量，最大的部分，Durfee正方形的边和Durfee矩形的高度。我们还得到了Andrews和Bressoud的一个结果的一个新的双射证明：对于$\ell\ge0$，$N$的所有秩至少为$1-\ell$的分区数等于$N$的没有部分等于$\ell+1$的分区数，这使得我们可以通过上述统计量来改进它。结合Foata的第二个基本变换的话与格林和Kleitman的映射子集，解释在格路径，我们得到枚举公式的分区，其连续的行列满足一定的限制，如有界的一个常数。
2022-11-16 math.CO
The Path Partition Conjecture is True and its Validity Yields Upper Bounds for Detour Chromatic Number and Star Chromatic Number
图$G$的迂回顺序，记为$τ(G)$，是$G$中最长路径的顺序。$V(G)$的分区$(A, B)$使得$τ(\langle A \rangle) \leq a$和$τ(\langle B \rangle) \leq b$被称为$G$的$(a, b)$ -分区。一个图$G$称为$τ$ -可分图，如果$G$对每对正整数$(a, b)$都有一个$(a, b)$ -可分图，使得$a + b = τ(G)$ .著名的路径划分猜想指出，每个图都是$τ$ -可划分的。在\cite{df07}中Dunber和Frick证明了如果每个2-连通图都是$τ$ -可分的，那么每个图都是$τ$ -可分的。本文证明了2-连通图是PDMATHAMT-可分图。因此，我们的结果肯定地解决了路径划分猜想。我们证明了以下两个定理作为路划分猜想有效性的推论。{ \bf定理1：}对每个图$G$，$χ_s(G) \leq τ(G)$，其中$χ_s(G)$是图$G$的星色数.图$G$的$n^{th}$迂回色数，记作$χ_n(G)$，是给$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得没有阶数大于$n$的路是单色的。这些色数是由Chartrand，Gellar和Hedetniemi引入的\cite{cg68}作为点色数$χ(G)$的推广。{ \bf定理2：}对每个图$G$和每个$n \geq 1$，有$χ_n(G) \leq \left\…
2014-09-15 math.CO
On the path partition of graphs
设$G$是阶为$n$的图. $G$的最大和最小度分别用$Δ$和$δ$表示。图$G$的\emph{path partition number} $μ(G)$是划分$G$的顶点所需的最小路径数。Magnant，Wang和Yuan证明了$μ(G)\leq \max \left \{ \frac{n}{δ+1}, \frac{\left( Δ-δ\right) n}{\left( Δ+δ\right) }\right \} .$在本工作中，我们对这一猜想给出了肯定的回答，对于$ Δ\geq 2 δ$ . \medskip \end{abstract}
2022-12-24 cs.DM math.CO
Congruences modulo powers of $2$ for the number of unique path partitions
我们计算了$n$（如Olsson定义的）的唯一路径划分的数目的模16的同余类，从而推广了Bessenrodt，Olsson和Sellers [Ann. Combin. 13（2013），591-602]。
2016-04-18 math.CO math.NT
Monochromatic loose path partitions in k-uniform hypergraphs
Gyárfás和Sárközy的一个猜想说，在完全$k$ -一致超图$K_n^k$的边的每个$2$ -染色中，存在两条不相交的不同颜色的单色松散路，使得它们覆盖除至多$k-2$顶点之外的所有顶点。证明了该猜想的一个较弱形式，即用$2k-5$代替$k-2$，从而该猜想对$k=3$成立.本文的主要结果表明，该猜想对所有的$k\ge 3$都成立.
2016-11-10 math.CO
Bijections between colored compositions, Dyck paths, and polygon partitions
该研究通过识别并装饰合成、Dyck 路径与凸多边形剖分中的构建块，构造了保持部分且支持彩色情形的双射，从而统一刻画三类组合对象。
2024-03-07 math.CO
Rank complement of rational Dyck paths and conjugation of $(m,n)$-core partitions
给定一对互质的正整数$(m,n)$，有理卡塔兰数$\frac{1}{m+n} \binom{m+n}{m,n}$计数两个组合对象：有理$(m,n)$ -Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，从不低于对角线; $(m,n)$ -核心是没有钩子长度等于$m$或$n$的分区。安德森建立了$(m,n)$ -Dyck路径和$(m,n)$ -核心之间的双射。我们定义了一个新的转换，称为秩补，合理的Dyck路径。我们表明，秩补对应于共轭的$(m,n)$ -核心下安德森的双射。这导致：i）一种新的方法来表征$n$ -核心; ii）一个简单的方法来计算的自共轭$(m,n)$ -核心的数量; iii）证明的两个组合和公式的等价性，一个在理性$(m,n)$ -Dyck路径和其他$(m,n)$ -核心，合理的加泰罗尼亚多项式。
2015-04-21 math.CO
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
2006-10-06 math.CO
Some Connections Between Restricted Dyck Paths, Polyominoes, and Non-Crossing Partitions
本文定义了受限d-Dyck路径，揭示了其与[n]的非交叉划分及多联骨牌子族之间的联系，并提供了生成函数来计算这些组合对象的特征。
2023-08-03 math.CO
A Gray path on binary partitions
正整数$n$的二进制划分是$n$的划分，其中每个部分的大小为2的幂。本文首先在$n$的二元划分集上构造一个Gray序列。这是每个$n$（或所有$n$）的二进制分区集合的排序，使得相邻分区通过一个小的初等变换集合中的一个而不同;这里允许的变换是将$2^k+2^k$替换为$2^{k+1}$，反之亦然（或添加新的+1）。接下来，我们给出了一个纯粹的本地条件，以找到这个序列中任何分区的后继者;规则是如此简单，连续的转换可以在恒定的时间内执行。最后给出了如何直接计算$k$与序列中第$k$项之间的双射。这回答了Donald Knuth在《计算机编程的艺术》第7.2.1节中提出的一个问题。
2009-07-22 math.CO
On self-conjugate $(s, s+1,\ldots, s+k)$-core partitions
同时核心分区已经被广泛研究，因为安德森的工作枚举的$(s,t)$核心分区。Amdeberhan和Leven证明了$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核心分区的数目等于$(s, k)$ -Dyck路径的数目。本文证明了自共轭$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核划分与对称$(s, k)$ -Dyck路的个数相等，从而证实了Cho，Huh和Sohn的一个猜想.
2019-05-02 math.CO
Humps for Dyck and for Motzkin paths
我们计算的总数量的驼峰在戴克和Motzkin路径，我们给标准的杨表格所涉及的数字的解释。然后观察到有趣的现象，驼峰计算改变分区在一个带的分区在一个钩。
2010-02-24 math.CO
Cycle partitions of regular graphs
Magnant和Martin证明了$d$ -正则图$G$在$n$顶点上的顶点集可以被划分为$n / (d+1)$路（存在一个简单的构造表明这个界是最好的）.我们证明了这个猜想时$d = Ω(n)$，改进了韩，谁表明，在这个范围内几乎所有的$G$顶点可以覆盖的$n / (d+1) + 1$顶点不相交的道路。事实上，我们的证明给出了一个分区的$V(G)$到循环。我们还证明了，如果$d = Ω(n)$和$G$是二部图，那么$V(G)$可以划分成$n / (2d)$路（这个界是紧的二部图）。
2020-09-11 math.CO
Counting self-conjugate (s,s+1,s+2)-core partitions
我们关心的是计数自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核心分区。长度为$n$的Motzkin路径是从$(0,0)$到$(n,0)$的路径，其保持在$x$轴上方，并且由上$U=(1,1)$、下$D=(1,-1)$和平坦$F=(1,0)$台阶组成。我们说一条长度为$n$的Motzkin路是对称的，如果它关于线$x=n/2$的反射是它自己。本文证明了自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核的个数等于长度为$s$的对称Motzkin路的个数，并给出了这个个数的一个封闭公式.
2019-04-04 math.CO
Superlinear Lower Bounds for Monochromatic Path Partitions
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文以超线性形式否定Gyárfás的单色路径划分猜想，证明足够大r时r边染色完全图需至少(1-o(1))rloglogr个单色路径，其构造还扩展到平衡二分图场景，否定了Pokrovskiy的相关猜想。
2026-08-18 math.CO
Combinatorics on bounded free Motzkin paths and its applications
在本文中，我们构造了一个双射从一组有界自由Motzkin路到一组有界Motzkin前缀，诱导双射从一组有界自由Dyck路到一组有界Dyck前缀。我们还给出了一组有界无角Motzkin路与一组$t$ -核划分之间的双射，以及一组有界无角对称Motzkin路与一组自共轭$t$ -核划分之间的双射.作为应用，我们得到了具有固定角点数的普通和自共轭$t$ -核划分数的显式公式。
2022-05-31 math.CO
Generalized Frobenius partitions, Motzkin paths, and Jacobi forms
我们展示了如何安德鲁斯的生成函数的广义Frobenius分区可以理解的理论Eichler和Zagier作为特定系数的某些Jacobi形式。这种重新导致一个递归的过程，产生明确的公式广义Frobenius分区生成函数的无限$q$产品。特别是，我们表明，我们的结果的具体例子很容易重新建立以前已知的公式，我们描述了新的同余式，无论是authorical和证明，在其他情况下。Jacobi形式的模结构表明，形式的系数的\emph{all}是感兴趣的。我们给出了这些“同伴系列”的组合定义，并通过Motzkin路径的计数来探索它们的组合学。
2022-03-29 math.CO math.NT
Well-partitioned chordal graphs: obstruction set and disjoint paths
我们引入了一个新的弦图的子类，广义分裂图，我们称之为良好的分区弦图。分裂图是允许将顶点集划分为可以以星型结构排列的团的图，其叶子的大小为1。良好划分的弦图是这个概念在以下两个方面的推广。首先，分区中的团可以按树结构排列，其次，每个团具有任意大小。我们提供了一个良好的分区弦图的禁止诱导子图的特征，并给出了一个多项式时间算法，给定任何图，要么找到一个障碍，或输出的顶点集的一个分区，断言该图是良好的分区弦。我们证明了这个图形类的算法使用表明，两个变种的问题，找到成对的不相交的路径之间的K给定的顶点对是在FPT参数化K划分弦图，而弦图，这些问题只知道在XP。从另一端，我们观察到，有问题是多项式时间可解的分裂图，但成为NP-完全划分弦图。
2020-02-25 cs.DM cs.DS math.CO
Lattice paths and the Rogers--Ramanujan--Gordon type theorems with parity considerations
本文通过三类单位步格路径与 Rogers–Ramanujan–Gordon 型分拆之间的双射，将 Andrews 的奇偶性分拆定理对应到格路径，并获得新结论。
2024-01-28 math.CO
Multi-cores, posets, and lattice paths
钩在（对称群的）表示论中很突出，它们在数论中也发挥了作用（通过与拉马努金同余相关的曲柄）。正整数$n$的划分具有杨氏图表示。对于图中的每个单元，有一个称为钩长度的相关统计，如果图中没有数字$t$，则分区称为$t$ -核心。如果分区既是$s$-核心又是$t$ -核心，则该分区是$(s,t)$-核心。自从Anderson在$(s,t)$核上的工作以来，这个话题受到了越来越多的关注。本文将讨论扩展到多核。更准确地说，我们探索$(s,s+1,\dots,s+k)$ -核心分区的精神，最近由斯坦利和Zanello。事实上，我们的结果利用三个组合对象之间的连接：多核，偏序集和格路径（与一个新的一般化的戴克路径）。其他结果和图表分散在整个文件。例如，其中一个陈述暗示了双素数$(s,s+2)$ -核心分区的奇怪对称性。
2015-07-13 math.CO
Gibbs partitions and lattice paths
本文研究 Gibbs 划分模型（组合方案）在一种新分量权重条件下的行为，发现凝聚现象产生唯一巨分量，并证明非最大分量尺寸的点过程极限，应用于随机游走、格路、瓮模型等。
2025-09-26 math.CO
Local colourings and monochromatic partitions in complete bipartite graphs
证明了对平衡完全二部图$K_{n,n}$的边的任意$2$ -局部着色，其顶点最多可被~ $3$不相交的单色路覆盖.并且，我们可以用$O(r^2)$不相交的单色圈覆盖任何完全或平衡完全二部$r$ -局部着色图的几乎所有顶点。我们还几乎精确地确定了路径的$2$ -局部二分Ramsey数：每一个$2$ -局部着色的边$K_{n,n}$包含一个单色路径上的$n$顶点。
2016-09-12 math.CO
Gaussian Asymptotics of Jack Measures on Partitions from Weighted Enumeration of Ribbon Paths
在本文中，我们确定了两个渐近结果的杰克措施的分区，模型定义的两个专门化的杰克多项式提出的Borodin-Olshanski在[欧洲J。26.6（2005）：795-834]。假设这两个专业化是相同的，我们得到的极限形状和高斯波动的各向异性配置文件的这些随机分区在三个渐近制度相关的发散，固定和消失的值的杰克参数。要做到这一点，我们介绍了一个推广的Motzkin路径，我们称之为“带状路径”，显示一般杰克措施，某些联合累积量的加权和连接带状路径上的$n$网站与$n-1+g$配对，并得出我们的两个结果从贡献的$(n,g)=(1,0)$和$(2,0)$，分别。我们的分析利用Nazarov-Sklyanin的杰克多项式的谱理论。作为结果，我们给出了Schur测度，Plancherel测度和Jack-Plancherel测度的几个结果的新的证明。此外，我们与我们的带状路径的加权和的带状图的地图上的非定向的真实的表面最近推出的Chapuy-Dolphiga的加权和。
2021-09-25 math.CO math.PR
Combinatorics of Triangular Partitions
本文的目的是发展与我们称之为\emph{triangular partitions}的结构相关的组合学。如arXiv：2102.07931中所介绍的，对于任何给定的正实数$r$和$s$，这些分区的单元是位于连接点$(r,0)$和$(0,s)$的线下方的那些分区。经典的概念，如代克路径和停车功能，自然是广义的考虑一组分区包括在一个给定的三角分区。我们的一个显著结果是，三角剖分的Young格的限制有一个平面Hasse图，具有许多好的性质。因此，我们可以推广的“第一次返回”的递归，枚举经典的戴克道路，枚举的所有分区包含在一个固定的三角一个。
2022-03-29 math.CO
Isometric and induced path partitions: a new upper bound and a characterization of some extremal graphs
Charles University（查理大学）；Indian Institute of Technology Dharwad（印度理工学院达瓦德分校）；Universidad de Chile（智利大学）
研究图的等距路径划分数和导出路径划分数，证明连通图满足\(\text{indpp}(G) \leq \text{ipp}(G) \leq |V(G)| - \nu(G)\)，并刻画了达到上界的极值图的结构特征。
2026-07-21 math.CO
Polynomials, meanders, and paths in the lattice of noncrossing partitions
对任何n次无二重根的多项式f，都有一个相关的调和代数曲线族C（f），它们在圆上展开，最多有n-1个奇异纤维。本文研究了C（f）在一般情况下的组合拓扑，即恰有n-1个奇异纤维.在这种情况下，C（f）的拓扑由集合{0，1，.，2n-1}具有某些额外的性质。我们证明有2（2n）^{n-2}个这样的n-元组，并且它们都是由C（f）的拓扑对某个多项式f产生的。
2007-09-27 math.CO
Optimal Path Partitions in Subcubic and Almost-subcubic Graphs
University of Warsaw（华沙大学）；Centrum Wiskunde & Informatica（数学与计算机科学中心）
研究子立方和近子立方图中边划分的最优路径问题，提出固定参数可解算法及多项式时间解法。
2026-02-13 cs.DM cs.DS math.CO
Multi-grounded partitions and character formulas
我们介绍了一个新的推广分区，多接地分区，有关的基态路径索引的主导权的李代数。我们利用这些特征将仿射型Kac-Moody代数的不可约最高权模的特征标表示为多基划分的生成函数。这概括了我们以前的文件，其中只有不可约的最高权模块与恒定的基态路径被认为是所有的基态路径的方法。作为应用，我们计算了仿射李代数$A_{2n}^{(2)}(n\geq 2)$，$D_{n+1}^{(2)}(n\geq 2)$，$A_{2n-1}^{(1)}(n\geq 3)$，$B_{n}^{(1)}(n\geq 3)$，$D_{n}^{(1)}(n\geq 4)$的水平$1$模的特征.
2021-03-08 math.CO math.QA math.RT
The Path Partition Conjecture and 3-(quasi-)Transitive Digraphs
Jadavpur University（贾达普大学）；University of Victoria（维多利亚大学）
本文针对3-传递和3-拟传递有向图，引入半无环有向图概念刻画其结构，并将路划分猜想的成立范围推广至扩展半无环有向图类。
2026-10-14 cs.DM math.CO
Osculating Paths and Oscillating Tableaux
研究了一类密切格路的组合学，得到了它与振荡表的关系。更具体地说，所考虑的路径分别在正方形网格中的矩形的下边界和右边界上具有固定的起点和终点，每条路径只能向右或向上采取单位步长，并且允许两条不同的路径共享网格点，但不交叉或共享网格边缘。这样的路径对应于具有适当边界条件的统计力学的六顶点模型的配置，并且它们包括对应于交替符号矩阵及其各种子类的情况。参考矩形的点，没有或两个路径分别作为空位或密切通过，主要关注的情况是具有固定数量$l$的空位和密切的路径元组。然后示出存在将每个这样的路径元组$P$映射到对$(t,η)$的自然双射，其中$η$是长度为$l$的振荡表（即，从空分区开始的$l+1$分区序列，其中连续分区的Young图相差一个正方形），并且$t$是$l$弱递增正整数的特定相容序列。此外，$P$的每个空位或密切对应于$η$中的一个分区，该分区的杨氏图是通过分别添加或删除一个正方形从其前身的杨氏图中获得的。这些双射导致枚举公式密切的道路涉及金额振荡tableaux。
2007-04-19 math.CO
Extended Path Partition Conjecture for Semicomplete and Acyclic Compositions
设$D$是一个有向图，$λ(D)$表示$D$的最长路上的顶点数。对于$D$的一对顶点不相交的导出子有向图$A$和$B$，我们说$(A,B)$是$D$的一个划分，如果$V(A)\cup V(B)=V(D).$路划分猜想（PPC）指出，对于每个有向图$D$和每个整数$q$，其中$1\leq q\leqλ(D)-1$，存在$D$的一个划分$(A,B)$使得$λ(A)\leq q$和$λ(B)\leqλ(D)-q.$令$T$是具有顶点集$\{u_1,\dots, u_t\}$的有向图并且对于每个$i\in [t]$，设$H_i$是顶点集为$\{u_{i,j_i}\colon\, j_i\in [n_i]\}$有向图。$T$和$H_1,\ldots, H_t$的{ \em合成} $Q=T[H_1,\dots , H_t]$是一个顶点集$\{u_{i,j_i}\colon\, i\in [t], j_i\in [n_i]\}$和弧集$$A(Q)=\cup^t_{i=1}A(H_i)\cup \{u_{i,j_i}u_{p,q_p}\colon\, u_iu_p\in A(T), j_i\in [n_i], q_p\in [n_p]\}.$$的有向图。我们说$Q$是无圈的{（分别是半完全的）}，如果$T$是无圈的{（分别是半完全的）}。本文利用Bang-Jensen，Nielsen和Yeo（20…
2021-11-18 cs.DM math.CO
Untrodden pathways in the theory of the restricted partition function $p(n, N)$
我们得到一个有限的模拟最近推广的身份在拉马努金的笔记本。微分它关于一个参数导致一个结果，其极限情况下给出了一个有限的模拟安德鲁斯著名的身份$\textup{spt}(n)$。后者促使我们扩展理论的限制分拆函数$p(n, N)$，即分区的数量$n$与最大部分小于或等于$N$，通过获得有限的类似物的秩和曲柄向量分区以及秩和曲柄时刻。作为对有限模拟函数$\textup{spt}(n, N)$恒等式的应用，我们证明了有限二阶矩与曲柄矩之间的一个不等式.所获得的其他结果包括有限的类似物最近的身份Garvan，身份有关$d(n, N)$和lpt $(n, N)$，即有限的类似物的除数和最大部分的功能，分别和有限的模拟贝克-陈省身定理。我们还推测之间的不等式有限类似物的$k^{\textup{th}}$秩和曲柄力矩。
2018-12-04 math.CO math.NT
Overpartitions, lattice paths and Rogers-Ramanujan identities
我们扩展分区理论工作的安德鲁斯，Bressoud和伯奇overpartitions，定义的概念，连续的行列，广义Durfee平方和广义格路径，然后将这些overpartitions定义的多重条件的部分。这导致了许多新的划分和过度划分的身份，并提供了一个统一的一些著名的身份的罗杰斯-拉马努金类型。其中包括Gordon对Rogers-Ramanujan恒等式的推广，Andrews对Göllnitz-Gordon恒等式的推广，以及Lovejoy的"Gordon's overpartitions定理。"
2006-12-22 math.CO
A bijection between symmetric plane partitions and quasi transpose complementary plane partitions
Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo（东京大学大学院数学系研究科）
本文提出一种双射，将对称平面划分与准转置互补平面划分联系起来，并解决了一个35年的开放问题。
2026-01-05 math.CO
More bijective Catalan combinatorics on permutations and on signed permutations
在本文中，我们构造双射之间的Dyck路径，非交叉分区，和231-避免的排列，发送Dyck路径上的面积统计的反转数的非交叉分区和231-避免的排列。这种双射有一个额外的性质，它同时发送Dyck路径上的主索引到非交叉分区和231-避免排列上的主索引和逆主索引之和。此外，我们提供了推广这些建设的签署置换组。
2013-10-25 math.CO
Smith Normal Form of a Multivariate Matrix Associated with Partitions
审议E. R. Berlekamp领导Carlitz，Roselle和Scoville给出了行列式~1的某些矩阵的元素在格路方面的组合解释。在这里，我们推广了这一结果，通过细化的矩阵元素是多元多项式，并确定不仅是行列式，而且史密斯标准形的这些矩阵。先验的史密斯形式不需要存在，但它的存在遵循显式计算。用分划而不是格路来表述我们的结果会更方便。
2014-04-18 math.CO
Convex p-partitions of bipartite graphs
图G的顶点集X是凸的，如果它包含X的顶点间最短路上的所有顶点。我们证明了对固定的p，所有的划分为p个凸集的二部图的顶点集可以在多项式时间内找到。
2015-09-16 math.CO
A bijection between permutation matrices and descending plane partitions without special parts, which respects the quadruplet of statistics considered by Behrend, Di Francesco and Zinn--Justin
本文给出了置换矩阵和降平面划分之间的一个双射，它尊重Behrend，Di Francesco和Zinn-Justin所考虑的四重统计量.这种双射涉及置换的反转字和作为非相交格路族的下降平面划分的“通常”表示。
2018-09-07 math.CO
Parameterized complexity of isometric path partition: treewidth and diameter
本文证明等距路径划分问题在树宽参数化下是W[1]-难的，并给出运行时间为n^{O(tw)}的动态规划算法，同时基于Randomized-ETH排除显著更快算法的可能性。
2025-09-22 cs.DM cs.DS math.CO
