Strings from linear recurrences and permutations: a Gray code
每个正递增整数序列$\{a_n\}_{n\geq 0}$可以作为一个计数系统，通过合适的系数串来表示每个非负整数。我们分析了$k$ -广义Fibonacci序列导致二进制字符串避免$1^k$的情况。我们证明了长度为$n$的字符串的集合% $F_n^{(k)}$和$S_{n+1}(321,312,23\ldots(k+1)1)$的排列的集合之间的双射。最后，基于这些字符串的一个已知的格雷码，我们定义了一个格雷码的$S_{n+1}(321,312,23\ldots(k+1)1)$，其中两个连续的排列相差一个相邻的换位。
2022-04-21 math.CO
New upper bounds on binary linear codes and a $\mathbb Z_4$-code with a better-than-linear Gray image
本研究利用整数线性规划与查表法证明特定参数二元线性码不存在，验证了扩展对偶化Kerdock码$\u0125{\u2113}^*_{6}$的Gray像性能优于所有同参数二元线性码，扩充了相关$\u2124_4$-码列表。
2016-03-16 cs.IT math.CO math.IT
Gray codes for Fibonacci q-decreasing words
一个$n$长度的二进制字是$q$ -递减的，$q\geq 1$，如果它的每个长度最大因子的形式$0^a1^b$满足$a=0$或$q\cdot a > b$ .我们建设性地证明了这些字与二进制字是双射的，没有出现$1^{q+1}$，因此它们是由$(q+1)$ -广义Fibonacci数枚举的.我们给出了一些计数结果，并揭示了相似之处$q$减少字和二进制字没有出现的$1^{q+1}$在频率方面的$1$位。本文的第二部分给出了$q$ -递减字按字典顺序的一个有效的穷举生成算法，证明了对任意$q\geq 1$，都存在3-Gray码，并说明了如何得到这类Gray码的生成算法。此外，我们给出了一个更具限制性的1-格雷码的$1$ -减少字的建设，这特别解决了一个猜想，最近提出的互连网络的背景下，由Eeciolu和Irši。
2021-12-06 cs.DM math.CO
On $Z_{2^k}$-Dual Binary Codes
介绍了Gray映射的一种新的推广。新的推广$Φ: Z_{2^k}^n \to Z_{2}^{2^{k-1}n}$与已知的广义Gray映射$ϕ$的联系是：如果我们取两个对偶线性$Z_{2^k}$ -码，并利用Gray映射的推广$ϕ$和$Φ$从它们构造二元码，则所得到的二元码的权枚举数将满足MacWilliams恒等式.描述了一类$Z_{2^k}$ -线性Hadamard码和一类共$Z_{2^k}$ -线性扩展1-完美码，其中共$Z_{2^k}$ -线性是指借助于新的广义Gray映射，可以从线性$Z_{2^k}$ -码得到码.关键词：Gray映射，Hadamard码，MacWilliams恒等式，完美码，$Z_{2^k}$ -线性
2009-10-05 cs.IT math.CO math.IT
A Gray Code for cross-bifix-free sets
无交叉双缀词集是一个集合，其中任何词的任何长度的前缀都不是集合中任何其他词的后缀。Chee { \it et al.}在2013年的一个恒定的最优因素。我们提出了一个\emph{trace partitioned}格雷码这些交叉bifix自由集和CAT算法产生它。
2014-01-19 cs.DM cs.IT math.CO
A perimeter analogue of Franklin's identity and an inequality related to the parity of parts
Michigan Technological University（密歇根理工大学）
本文通过生成函数与渐近分析，证明了关于分拆周长不等式的两个猜想，并建立了与无峰Motzkin路径的联系。
2026-09-16 math.CO math.NT
Improved Constructions of Skew-Tolerant Gray Codes
本文研究斜容错格雷码，提出了首个渐近非零的码构造（实现指数级改进）及线性时间编解码算法，并将定义扩展至非二进制字母表，为所有基m≥3提供了完整的m元斜容错格雷码构造。
2024-11-12 cs.DM cs.IT math.CO
A Proof of a Conjecture on Fixed Perimeter Partitions
Tezpur University（特普尔大学）
本文证实了Gray等人提出的对所有n≥9成立的奇偶偏差不等式的固定周长类似猜想，该猜想源于分拆理论的固定周长相关研究。
2026-08-20 math.CO math.NT
Fibonacci-like sequences for variants of the tower of Hanoi, and corresponding graphs and gray codes
我们以一种非常自然的方式修改了经典的汉诺塔问题的规则，得到了解决问题的最优算法中所涉及的Fibonacci序列，并展示了这种变体的一些好的性质。特别地，我们从这个Hanoi-Fibonacci塔中推导出了一个不含因子11的二进制字集上的类格雷码，它具有一些有趣的性质，并由此得到了Hanoi-Fibonacci塔的迭代算法.这种算法涉及斐波那契替换。最后，我们简要地将研究扩展到一些自然的概括。
2022-06-07 cs.DM math.CO math.NT
Palindrome Partitions and the Calkin-Wilf Tree
本文研究二进制序列为回文的整数划分，给出其生成函数与高效生成方法，并证明除n=3或n+1为素数外均存在非平凡回文划分，还构造了带Klein四元群作用的划分分支图。
2024-07-02 math.CO
Binary linear codes via 4D discrete Ihara-Selberg function
我们表示的重量计数器的每个二进制线性码，特别是伊辛分拆函数的任意有限图，作为一个正式的无穷乘积。Feynman和Sherman在20世纪60年代初对可平面图的Ising分拆函数的特殊情况也得到了类似的结果。乘积表达式是理解Ising分拆函数的对数的重要一步，对于一般的图，特别是对于立方3D晶格。
2016-09-19 math.CO
Isoperimetric Sequences for Infinite Complete Binary Trees, Meta-Fibonacci Sequences and Signed Almost Binary Partitions
在本文中，我们展示了三个看似无关的概念之间的联系。(1)所有叶子都在同一层的无限二叉树中的离散等周问题$ {\mathcal T}_{\infty}$：第$n$条边的等周数$δ(n)$被定义为$\min_{|S|=n, S \subset V({\mathcal T}_{\infty})} |(S,\bar{S})|$，其中$(S,\bar{S})$是由$S$定义的割中的边的集合. (2)带符号的几乎二进制分割：这是硬币兑换问题的特殊情况，硬币从集合${\pm (2^d - 1): $ d $ is a positive integer}$中抽取。兴趣的数量是$τ(n)$，最低数量的硬币需要作出改变的$n$美分。(3)某些亚斐波那契序列：Tanny序列由$T(n)=T(n{-}1{-}T(n{-}1))+T(n{-}2{-}T(n{-}2))$定义，Conolly序列由$C(n)=C(n{-}C(n{-}1))+C(n{-}1{-}C(n{-}2))$定义，其中初始条件为$T(1) = C(1) = T(2) = C(2) = 1$。这些是众所周知的"元斐波那契"序列。联系这三个在一起的主要结果如下：$$ δ(n) = τ(n) = n+ 2 + 2 \min_{1 \le k \le n} (C(k) - T(n-k) - k).$$除此之外，我们证明了其他几个结果，带来了上述三…
2012-10-01 math.CO
Planar binary trees, noncrossing partitions and the operator-valued S-transform
本文通过平面二叉树与非交叉划分的双射，在算子值框架下重新证明了Voiculescu S-变换的扭曲乘性性质。
2024-10-20 math.CO math.PR
Circuit-partition of infinite matroids
本文为Komjáth等人关于有限匹配可扩展拟阵环划分的紧致性定理提供了简短证明，并推广了Thomassen猜想，证明了有限二元有向拟阵划分为有向环的充要条件。
2025-09-16 math.CO
Enumeration of Odd-Dimensional Partitions modulo 4
本文通过计算当n的二进制展开中无连续1或二进制数字和为2时，模4余1和余3的维数分拆的个数，细化了Macdonald和McKay的结果。
2026-05-24 math.CO
Transposition diameter on circular binary strings
本文研究了循环二进制字符串上的转置距离，通过分析转置对字符串的划分性质，给出了转置距离的上下界，并最终确定了转置直径的充分必要条件。
2017-01-13 math.CO
Binary nullity, Euler circuits and interlace polynomials
Cohn和Lempel [J. Combin. Theory Ser.A13（1972），83-89]给出了一个等式，它将2-in，2-out有向图的有向圈划分中的圈数与相关矩阵的GF（2）-零性联系起来。这个等式实质上等价于2-进2-出有向图的有向圈划分与交错图的顶点零交错多项式之间的关系。我们提出了一个扩展的Cohn-Lempel等式，描述任意电路分区（无向）4-正则图。扩展的等式结合了纽结理论中的拓扑结果，它意味着如果H是通过在某些顶点附加环而从交织图中获得的，则顶点空交织多项式$q_{N}(H)$本质上是相关4-正则图的某些电路分区的生成函数。
2009-12-31 math.CO
On transitive uniform partitions of F^n into binary Hamming codes
本文研究了Galois域$GF(2)$上维数为$n$的向量空间$F^n$到汉明码陪集的传递性均匀划分.将$F^n$划分为长度为$n$的汉明码$H_0,H_1,\ldots,H_n$的陪集的划分$P^n= \{H_0,H_1+e_1,\ldots,H_n+e_n\}$被称为是均匀的，如果任何两个码$H_i$和$H_j$的交集，$i,j\in \{0,1,\ldots,n \}$是常数，这里$e_i$是权重为$1$的$F^n$中的二进制向量，在第$i$个坐标位置中为1。对任意的$n=2^m-1$，$m>4$，我们找到了一类非等价的$2$ -传递均匀分拆，把$F^n$划分为Hamming码的陪集.
2019-04-02 cs.DM math.CO
Congruence properties of binary partition functions
设A是包含0的自然数的有限子集，f（n）表示以$\sum e_j2^j$的形式写n的方法的数目，其中$\e_j \in A$。证明了存在可计算T = T（A），使得序列（f（n）mod 2）是周期的，周期为T.这个问题的变化和概括也进行了讨论。
2011-02-25 math.CO math.NT
Universal Cycles for Weak Orders
泛圈是德布鲁因圈和格雷码的推广，它们最初由Chung，Diaconis和Graham在1990年引入。它们已经被许多作者开发，用于各种组合对象，如字符串，子集，排列，分区，向量空间和设计。通用循环的一个推广，它要求连续的单词几乎完全重叠，是s-重叠循环，它放松了这样的约束。在本文中，我们研究弱序，这是关系是传递和完整的。我们证明了存在的普遍和s-重叠周期的弱订单，以及固定的高度和/或重量弱订单，并适用于周期的有序分区的结果。
2013-06-25 cs.DM math.CO
Beyond Log-Supermodularity: Lower Bounds and the Bethe Partition Function
最近的一个结果表明，Bethe配分函数总是下界的二进制，对数超模图模型的真正的配分函数。我们证明，这些结果可以扩展到其他有趣的类的图形模型，不一定是二进制或对数超模：铁磁Potts模型与均匀的外部场及其推广和特殊类的加权图同态问题。
2013-09-26 cs.DM math.CO
The computational complexity of calculating partition functions of optimal medians with Hamming distance
本文证明了用Hamming距离计算二进制串的最优中值的配分函数对于多个权函数是P-完全的.当权重函数是阶乘函数时的情况在生物信息学中有应用。在这种情况下，配分函数在生物信息学的几种模型下计算星树上最简约的进化情景。将所得结果推广到二叉树，并证明了在任意二叉树上，在生物序列的替换模型和基因组重排的单切割或连接模型下，计算最简约进化方案也是P-完全的.
2017-01-13 cs.CC cs.DS math.CO
Brauer and partition diagram models for phylogenetic trees and forests
我们引入了系统发育树和布劳尔图之间的对应关系，其灵感来自Diaconis和Holmes（1998）描述的二叉树和匹配之间的联系。这种对应关系在系统发育树的集合上产生了一系列的半群结构，并开辟了许多应用前景。此外，我们延长Diaconis-Holmes对应从二元树到非二元树和森林，例如，所有森林的集合是双射与有限集的分区集。
2022-04-20 math.CO math.CT q-bio.PE
Values of binary partition function represented by a sum of three squares
令$m$是正整数，并且$b_{m}(n)$是$n$的分区的数量，其中部分是2的幂，其中每个部分可以采用$m$颜色。我们证明了如果$m=2^{k}-1$，则存在整数$n$的自然密度，使得$b_{m}(n)$不能表示为三个平方和，并且对于$k=1, 2$等于$1/12$，对于$k\geq 3$等于$1/6$.特别地，对于$m=1$，方程$b_{1}(n)=x^2+y^2+z^2$具有整数解当且仅当$n$不具有$2^{2k+2}(8s+2t_{s}+3)+i$的形式，因为$i=0, 1$和$k, s$是非负整数，并且其中$t_{n}$是Prouhet-Thue-Morse序列中的第$n$项。对方程$b_{2^k-1}(n)=x^2+y^2+z^2$的$n$解也得到了类似的特征。
2022-11-29 math.CO math.NT
On some 2-binomial coefficients of binary words: geometrical interpretation, partitions of integers, and fair words
本文研究二元词的2-二项式系数，给出几何解释，证明等价类图与整数分拆格同构，并证明关于公平词的一个猜想。
2025-10-08 cs.DM math.CO
Methods for Counting and Enumerating Set Partitions
University of California Berkeley（加州大学伯克利分校）；Unatech GmbH（Unatech有限公司）
本文提出了一种用于集合划分问题的算法基准测试方法，推荐Djokic等人提出的算法用于实际应用。
2026-10-06 cs.DM cs.DS cs.SE
Ergodic Theory Meets Polarization. I: An Ergodic Theory for Binary Operations
极化理论中的一个悬而未决的问题是确定在Arıkan风格结构中使用时总是导致极化（在一般多级意义上）的二元运算。本文通过给出一个二元运算极化的充要条件，解决了这个问题。本文的第一部分介绍了我们将在第二部分中用来描述极化操作的数学框架。我们定义了一致性保持，不可约，遍历和强遍历操作，我们研究了它们的性质。引入了稳定分拆和稳定分拆的剩余的概念。我们证明了一个遍历操作是强遍历的当且仅当它的所有稳定分区是自己的残留物。我们还研究了二元运算的积及其稳定分区的结构。证明了一个二元运算序列的乘积是强遍历的当且仅当序列中的所有运算都是强遍历的。在本文的第二部分，我们提供了一个极化理论的基础上，我们在这一部分发展的二元运算遍历论。
2016-10-04 cs.IT math.CO math.IT
On the binary codes with parameters of triply-shortened 1-perfect codes
研究了参数接近1-完全码参数的二元码的性质。任意二进制$(n=2^m-3, 2^{n-m-1}, 4)$码$C$，即，具有三倍缩短的扩展汉明码参数的代码是将$n$立方体公平划分为六个单元的单元。任意二进制$(n=2^m-4, 2^{n-m}, 3)$代码$D$，即，具有三进制缩短汉明码的参数的码是来自六个单元的公平族（但不是分区）的单元。作为推论，码$C$和$D$是完全半正则的;即，这种码的权重分布仅取决于最小和最大码字权重以及码参数。此外，如果$D$是自补的，那么它是完全正则的。作为一个中间结果，我们证明，在距离分布方面，一个一般的标准划分的顶点的图（从相当一般的一类图，包括距离正则图）是公平的。关键词：1-完全码; Triling-shortened 1-完全码;公平划分;完全着色;重量分布;距离分布
2011-03-31 cs.IT math.CO math.IT
The Bethe Partition Function of Log-supermodular Graphical Models
Sudderth、Wainwright和Willsky已经证明，Bethe近似对应于一个有吸引力的成对二进制图模型上的置信传播算法的任何不动点，提供了真实配分函数的下界。在这项工作中，我们解决了这个猜想的肯定证明，任何图形模型与二进制变量的潜在功能（不一定成对）都是对数超模，贝特分区函数总是下界的真正的分区函数。这一结果的证明来自于“四个函数”定理的一个新的变体，它可能是独立的。
2012-04-16 cs.DM math-ph math.CO
