A Franklin Type Involution for Squares
我们发现一个对合作为一个组合证明拉马努金的部分θ身份。基于这个对合，我们得到一个富兰克林型对合平方的意义上，经典的富兰克林对合提供了一个组合的解释欧拉的五边形数定理。这富兰克林型对合可以被认为是一个解决问题所提出的关于奇偶性的数目分区的n到不同的部分与最小的一部分是奇数。使用我们的对合的加权形式，我们给出了一个组合证明的加权分割定理来自阿拉迪从拉马努金的部分θ身份。这回答了Berndt、Kim和Yee的一个问题。此外，通过一个不同的权重分配，我们发现组合解释的另一个分割定理来自Alladi从部分θ身份安德鲁斯。在此基础上，我们得到了一个基于Andrews恒等式的划分定理，并通过一定的权分配给出了对合的组合证明。我们的划分定理的一个特殊化是与安德鲁斯的一个恒等式有关的，该恒等式涉及划分为不同的非负部分，其中最小的部分是偶数。最后，我们给出了一个更一般的形式，我们的划分定理，在返回对应于一个推广的安德鲁斯的身份。
2009-11-26 math.CO math.NT
On partitions of integers with restrictions involving squares
本文研究了正整数的带平方限制的分拆问题。我们主要建立了以下两个结果（Sun在2013年提出）：（i）每个正整数$n$都可以写为$n=x+y+z$ with $x,y,z$正整数使得$x^2+y^2+z^2$是正方形，除非$n$具有形式$n=2^{a}3^{b}$或$2^{a}7$ with $a$和$b$非负整数. (ii)具有$n\not=11,14,17$的每个整数$n>7$可以被写为具有$x,y,z$正整数的$n=x+y+2z$，使得$x^2+y^2+2z^2$是正方形。
2021-05-26 math.NT
Congruences on Square-Classes for the Partition Function
我们大大提高了小野和Ahlan-Ono的工作频繁出现的Ramanujan型同余的分拆函数，并证明，Ramanujan型同余发生在家庭所管辖的平方类。因此，我们首次阐明了一个典型的家庭的一致性发现的阿特金-奥布赖恩。我们的研究结果是基于一个新的框架，利用现有的结果积分模型的模曲线通过表示有限的连续性的$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$或$\mathrm{Mp}_1(\mathbb{Z})$。这个框架适用于所有弱全纯模形式的同余。
2019-11-12 math.NT
On partitions into squares of distinct integers whose reciprocals sum to 1
本文研究将整数分拆为不同正整数平方且倒数之和为1的问题，证明了8542是最大的不可分拆整数，从而确定了Graham猜想中分拆存在性的精确界限。
2018-04-23 cs.DM math.NT
Totally positive elements with $m$ partitions exist in almost all real quadratic fields
Charles University（查理大学）
本文证明几乎在所有实二次域中都存在具有任意固定 $m$ 种划分的全正元素，并给出相关范数上界及恰好两种表示情形的完整刻画，进而完成 $1 \leq m \leq 7$ 的域搜索。
2025-11-10 math.NT
Constructing All Magic Squares of Order Three
我们发现，通过应用麦克马洪的分区分析，所有的幻方的三阶，旋转和反射，是两种类型，每一个产生的三个基本元素。这一事实的组合证明。
2004-09-24 math.CO math.NT
Partitions with Durfee triangles of fixed size
本文研究具有固定大小 Durfee 三角形的整数分拆计数，确定其与 Durfee 平方情形形式相似的有理生成函数，并给出 R_k(n) 的主导渐近。
2025-07-25 math.CO math.NT
On Graphical Partitions with Restricted Parts
研究受限图划分的概率，通过Durfee平方建立上界，并证明概率趋于零，结合Nash-Williams条件、乘法方法和Edgeworth展开。
2026-09-29 math.CO math.NT
Multiplicity of Laplacian eigenvalues that can be represented by sum of two squares using number theory
该研究借助数论证明了二维椭圆 PDE 中关于两平方和型 Laplacian 特征值任意指定奇偶重数的猜想，并给出构造公式。
2025-03-18 math.AP math.NT
Sums of squares in $S$-integers
在全实数域上，我们刻画了$S$ -整数环（通过反转一个有理整数$m$得到），使得它们的全正元素都表示为平方和.我们进一步得到部分答案的问题：当所有的全正代数整数，可整除的$m$表示为平方和？
2020-09-25 math.NT
On the integer partitions recursive structure
Stowers Institute for Medical Research（Stowers医学研究所）
本文通过Sylvester波的递归性质，揭示了整数划分的结构特征。
2026-03-06 math.NT
An Explicit Formula for Restricted Partition Function through Bernoulli Polynomials
导出了正整数${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（Sylvester波）的显式表达式.这些公式表示为高阶周期系数伯努利多项式的有限和形式。
2004-06-30 math.NT
On the expected L2-discrepancy of stratified samples from parallel lines
本文研究由平行线等体积分割单位正方形生成的分层样本的期望L2差异，发现其比同数量随机点的差异小2倍，并猜想此为最优。
2024-01-01 math.NT
Computational results on sums of a prime with squares or cubes
Brigham Young University（杨百翰大学）
本文通过计算验证了素数加两个平方数或立方数的表示猜想，证明了特定范围内所有整数均可表示，并利用椭圆曲线整点方法实现。
2026-09-18 math.NT
On squares of sums of three cubes
我们证明，几乎每个正整数都可以表示为四个整数的平方和，这些整数表示为三个正立方体的和。
2020-10-27 math.NT
Restricted Partition Functions as Bernoulli and Euler Polynomials of Higher Order
导出了正整数集合${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（称为{ \em Sylvester波}）的显式表达式.这些公式表示在一个形式的有限和伯努利和欧拉多项式的高阶周期系数。建立了Sylvester波的一种新的递归关系。讨论了有限群的代数独立齐次多项式不变量的计数问题。
2003-05-16 math.NT
Representing positive integers as a sum of a squarefree number and a small prime
证明了不等于$1$，$2$，$3$，$6$，$11$，$30$，$155$，$247$的正整数$n$都可以表示为一个无平方数与一个不超过$\sqrt{n}$的素数之和.
2023-01-29 math.NT
Representing numbers as the sum of squares and powers in the ring $\mathbb{Z}_n$
对于一般正整数$n$，我们研究了在$\mathbb{Z}_n$中将数字表示为两个平方和。利用这些信息，我们作出了一些正整数密度，可以表示为两个平方和的$2$在$\mathbb{N}$的权力。
2017-09-23 math.NT
Squarefree smooth numbers and Euclidean prime generators
我们表明，对于每个素数p > 7，每一个剩余模p可以表示一个squarefree数最大的素因子在最多p。我们给出了两个应用程序递归素生成类似于一个欧几里德用来证明素数的无限。
2017-04-10 math.NT
On an equation with prime numbers close to squares
设$[\, \cdot\,]$为地板函数。本文证明了当$1<c<37/36$，则每一个足够大的正整数$N$都可以表示为\begin{equation*} N=[p^c_1]+[p^c_2]+[p^c_3]\,, \end{equation*}的形式，其中$p_1,p_2,p_3$是接近平方的素数.
2019-10-10 math.NT
Sums of three squares in Q(sqrt(3)), and in Q(sqrt(17))
利用Hilbert模形式的Shimura提升映射，研究了全正整数在$\mathbf{Q}(\sqrt{3})$和$\mathbf{Q}(\sqrt{17})$中表示为三个整数平方和的个数.我们显示以下结果。在$\mathbf{Q}(\sqrt{3})$的情况下，当且仅当$b$是偶数时，全正整数$a+b\sqrt{3}$被表示为三个整数平方的和。在$\mathbf{Q}(\sqrt{17})$的情况下，全正整数表示为三个整数平方和，当且仅当它不是具有$μ\equiv7\pmod{π_{2}^{3}}$的$π_{2}^{2e}π_{2}'^{2e'}μ$或$μ\equiv7\pmod{π_{2}'^{3}}$的形式，其中$π_{2},π_{2}'$是具有$2=π_{2}π_{2}'$的素元素。在$\mathbf{Q}(\sqrt{3})$和$\mathbf{Q}(\sqrt{17})$两种情形下，都得到了与高斯三平方定理相似的结果，并作为其应用，给出了它们的全虚扩张类数表.
2020-04-20 math.NT
Multiplicative functions additive on partitions of $2k$ nonzero squares
Indian Institute of Science Education and Research (IISER) Berhampur（印度科学教育研究所贝尔哈普尔分校）
研究满足特定加法条件的积性函数，证明对于 $k=3,4$ 且 $f(2)\neq 0$ 时函数为恒等函数，对于 $k\ge 5$ 则要么是恒等函数要么在大于 $2k+21$ 时为零。
2026-06-28 math.NT
Intervals between numbers that are sums of two squares
在本文中，我们改进的矩估计的差距，可以表示为两个整数的平方和的数字。本文考虑一类Bessel函数和，证明了其加权均值的上界.该界限提供了所有$γ\leq 2$的间隙的$γ$阶矩的估计。
2018-07-13 math.NT
Sums of four squares of primes
令$E(N)$表示正整数$n \le N$的个数，其中$n \equiv 4 \pmod{24}$不能表示为四个素数的平方和。我们建立了$E(N)\ll N^{11/32}$，从而改进了Harman和第一作者的早期结果，其中指数$7/20$代替了$11/32$。
2015-03-05 math.NT
Gaps between quadratic forms
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
研究二次型x²+xy+y²与两平方和之间的整数空隙，通过证明存在常数H_a>0，使得在短区间内有大量满足条件的整数，扩展了Estermann的经典结果。
2025-05-29 math.NT
A Hardy-Ramanujan-Rademacher-type formula for $(r,s)$-regular partitions
令$p_{r,s}(n)$表示将正整数$n$划分为不包含$r$或$s$的倍数的部分的数目，其中$r>1$和$s>1$是无平方、互素的整数。我们使用经典的方法得到了$p_{r,s}(n)$的Hardy-Ramanujan-Rademacher型无穷级数。
2019-01-05 math.NT
Sums of primes and squares of primes in short intervals
令$\mathbf H_2$表示偶数集合$n \not\equiv 1 \pmod 3$。我们证明了当$H \ge X^{0.33}$，几乎所有的整数$n \in \mathbf H_2$，$X < n \le X + H$都可以表示为一个素数与一个素数的平方之和.我们也证明了一个类似的结果，三个平方和的素数。
2007-12-30 math.NT
On Waring-Goldbach problem for one square and seventeen fifth powers of primes
本文证明每个充分大的偶数可表示为一个素数平方与十七个素数五次幂之和，改进了Brüdern和Kawada的先前结果。
2024-02-05 math.NT
Quadratic forms with a strong regularity property on the representations of squares
一个（正定非经典积分）二次型称为强$s$ -正则的，如果它满足关于整数平方表示数的强正则性质.本文证明了：对于任意整数$k \ge 2$，若强$s$ -正则二次型的秩为$k$，则它们所表示的非零平方的最小值是固定的，则它们的等距类只有1000个.
2019-09-04 math.NT
On a quadratic Waring's problem with congruence conditions
对于每个正整数$n$，令$g_Δ(n)$是最小正整数$g$，使得可以由奇平方和表示的$n$变量中的每个完全二次多项式由至多$g$奇平方和表示。本文通过研究整二次型的平方和在一定的同余条件下的表示来分析$g_Δ(n)$。我们证明了$g_Δ(n)$的增长最多是$\sqrt{n}$的指数，这是最好的已知上界的$g$ -不变量的原始二次华林问题。我们还确定每个小于或等于$4$的正整数的$g_Δ(n)$的精确值。
2019-10-17 math.NT
On sums of unequal powers of primes and powers of 2
本文证明了充分大的偶数可表示为素数平方、立方、四次方及2的幂之和，且至少5.313%的奇数可表示为素数平方、立方与四次方之和，改进了R. Zhang的结果。
2023-12-11 math.NT
A density theorem for prime squares
该论文证明在素数集合具有足够大相对下密度时，每个充分大的同余类整数可表示为该集合中固定个数素数平方之和。
2025-03-01 math.NT
On Linnik's conjecture: sums of squares and microsquares
我们证明了几乎所有不能被4整除的自然数n和不能全等于7模8的自然数n都可以表示为三个平方的和，其中一个平方是不大于（log n）^{1+e}的整数的平方（任何e>0）。这回答了猜想林尼克几乎所有的自然数，并锐化的结论布尔甘，鲁德尼克和Sarnak关于最近邻距离之间的正规化积分点的领域。
2013-02-06 math.NT
Semiclassical analysis of distinct square partitions
我们研究了整数$n$分成不同平方和的分区数$P(n)$，并导出了函数$P(n)$的积分表示。利用半经典和量子统计方法，我们确定了它的渐近平均部分$P_{as}(n)$，导出了对已知的首阶表达式[M. Tran { \it et al.}，安。物理学\（纽约）{ \bf 311}，204（2004）]，其产生到精确$P(n)$的平均值的更快收敛。从$P(n)$的傅立叶谱中，我们得到了这样的启示：整数的最小勾股$(m,p,q)$与$m^2+p^2=q^2$的整数值频率在$P(n)$的振荡中起着重要的作用.最后我们用半经典周期轨道理论[M. Brack和R. K. Bhaduri：{ \it Semiclassical Physics}（Bolder，Westview Press，2003）]。一个半经典的轨迹公式推导出精确再现的精确$δP(n)$ $n > \sim 500$使用10对“轨道”。对于$n > \sim 4000$，只有频率为4和5的两对轨道--属于最低的毕达哥拉斯三元组（3，4，5）--是相关的，并在振荡中产生突出的拍频模式。对于$n > \sim 100,000$，拍频逐渐消失，振荡仅由一对频率为4的轨道给出。
2018-11-11 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
