Graphs that are quasi-isometric to graphs with bounded treewidth
本文刻画了拟等距于有界树宽图的图，证明其等价于具有含有限数量有界直径球的树分解的图，扩展了Berger和Seymour的结果，并刻画了拟等距于有界路径宽、线宽图的图，还应用结果证明三类图拟等距于有界树宽图。
2025-08-20 math.CO
An alternative characterisation of graphs quasi-isometric to graphs of bounded treewidth
Monash University（莫纳什大学）
本文提出了一种新的方法，通过划分和商图的树宽来刻画准等距于有限树宽图的结构，与已有方法形成互补。
2025-12-26 math.CO
Isometric Hamming embeddings of weighted graphs
从一个图$G$的顶点集到另一个图$H$的映射$α: V(G) \to V(H)$是等距嵌入，如果$G$中任意两个顶点之间的最短路径距离等于它们在$H$中的像之间的距离.在这里，我们考虑的等距嵌入的加权图$G$到未加权的汉明图，称为汉明嵌入，当$G$满足的性质，每一个边缘是它的端点之间的最短路径。使用笛卡尔积分解的$G$称为其伪因子分解，我们表明，每一个汉明嵌入的$G$可以划分为汉明嵌入的每个不可约的伪因子图的$G$，我们称之为它的典型分区。这意味着$G$允许汉明嵌入当且仅当它的每个不可约伪因子是汉明可嵌入的。这一结果扩展了以前的工作，未加权图，表明一个未加权图允许汉明嵌入当且仅当每个不可约伪因子是一个完全图。当图$G$具有非平凡伪因子时，确定$G$是否具有汉明嵌入可以简化为检查两个或更多个较小图的可嵌入性。
2021-12-20 cs.DM math.CO
Minimal Isometric Embeddings of Graphs into Cayley Graphs of Finite Abelian Groups
University of Ngaoundéré（恩加武德雷大学）；Laboratory of Energy, Signal, Imaging and Automation (LESIA)（能源、信号、成像与自动化实验室）
研究有限连通图等距嵌入有限阿贝尔群凯莱图的情况，引入对合边关系\((\varphi)\)等，通过商标记定理给出核心方法，证明相关结论，给出如三角形、彼得森图等工作示例及维度界等贡献。
2026-07-10 math.CO
Minimal Isometric Embeddings of Graphs into Abelian Groups: Theory, Algorithms, and Applications to Signal Processing over Networks
The University of Ngaoundere（恩冈德雷大学）；National School of Agro-Industrial Sciences（国立农工科学院）
提出将任意连通图等距嵌入阿贝尔群Cayley图的通用框架，通过边关系与上同调商标记定理实现，并应用于图信号处理的傅里叶分析。
2026-06-28 math.CO
Covering graphs by isometric trees
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Institute of Informatics, University of Warsaw（华沙大学信息学研究所）；Theoretical Computer Science Department, Faculty of Mathematics and Computer Science and Doctoral School of Exact and Natural Sciences, Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学学院理论计算机科学系及精确与自然科学博士学院）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）
本文通过构造反例研究等距子图边覆盖问题，证明存在树宽任意大的图可被四棵树等距边覆盖，从而否定了相关性质可传递的若干猜想。
2026-09-21 math.CO
Revisiting path-type covering and partitioning problems
覆盖问题是图论的基础。在图论中有几种类型的覆盖问题，如用星覆盖顶点集（控制问题），用团覆盖顶点集（团覆盖问题），用独立集覆盖顶点集（着色问题），用路或圈覆盖顶点集。一个类似的概念，即划分问题也同样重要。近年来，由于图论在工程和科学中的广泛应用，使得图论的研究得到了空前的发展。路的覆盖与划分问题本身已经产生了相当数量的文献。对这些问题的研究正在向多个方向扩展，研究论文的数量正在爆炸式增长。现在是时候简化和统一不同类型的覆盖和划分问题的文献。本文考虑的问题有路径覆盖问题、诱导路径覆盖问题、等距路径覆盖问题、路径划分问题、诱导路径划分问题和等距路径划分问题。本文对这些问题的研究进展进行了综述，对相关文献进行了分类，并对相关概念之间的相互关系进行了关联。
2018-07-25 math.CO math.HO
Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions
本文证明了集合$[n+1]$的12312-避免划分和12321-避免划分与半长$n$的Schröder路一一对应，在偶数水平上没有峰.因此，12312-避免（分别）的精确枚举。12321-避免）分区根据块的数量可以减少到枚举某些施罗德路径根据峰的数量。此外，我们还得到了不可约12312-避免（分别为12321-避免）分区，这是密切相关的斜戴克路径。
2009-03-09 math.CO
Ramsey-type results for path covers and path partitions. II. Digraphs
最近，作者给出了图的路覆盖/划分数的Ramsey型结果。本文以有向图为研究对象，继续研究了有向图的禁止结构与路径覆盖/划分数之间的关系。设$D$是弱连通有向图. $D$的子有向图的一族$\mathcal{P}$称为{ \it路径覆盖}（分别为如果\it（相应地，$\dot\bigcup _{P\in \mathcal{P}}V(P)=V(D)$），并且$\mathcal{P}$的每个元素都是有向路。路径分区）由$D$（分别地，${\rm pp}(D)$）。在本文中，我们发现禁戒结构的条件，确保我们${\rm pc}(D)$（或${\rm pp}(D)$）是有界的常数。
2021-11-29 math.CO
Ramsey-type results for path covers and path partitions
$G$的子图族$\mathcal{P}$称为{ \it路径覆盖}（分别为如果\it（相应地，$\dot\bigcup _{P\in \mathcal{P}}V(P)=V(G)$），并且$\mathcal{P}$的每个元素都是一条路径。$G$的路径分区）由${\rm pc}(G)$（分别地，${\rm pp}(G)$）。本文给出了保证${\rm pc}(G)$（或${\rm pp}(G)$）有界的禁止子图条件.我们的主要结果引入了一个新的Ramsey型问题。
2021-10-30 math.CO
The $(s,s+d,\dots,s+pd)$-core partitions and the rational Motzkin paths
在本文中，我们提出了一个关于$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分的$(s+d,d)$ -算盘，并建立了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分与$(s+d,-d)$型有理Motzkin路之间的双射.这一结果不仅给出了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心分区的格点路径解释，而且用闭公式计算了它们。此外，我们列举了具有$k$角的$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区和自共轭$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区。
2020-02-04 math.CO
Convex and isometric domination of (weak) dominating pair graphs
图$G$中的顶点集$D$是控制集，如果$G$的每个不在$D$中的顶点在$D$中都有邻居。$G$中的一组顶点$D$是凸的（分别是等距的），如果$D$中任意两个顶点之间的所有最短路径中的所有顶点（分别是最短路径之一中的所有顶点）位于$D$中。本文从算法的角度考虑了求最小凸控制（等距控制）集的问题。对于弱控制对图类（即~图的控制对是一对顶点$x,y\in V(G)$，使得$x$和$y$之间的任意路径的顶点形成一个控制集），我们提出了一个有效的算法来寻找这样的图的最小等距控制集.另一方面，我们证明了即使限制到弱控制对图也是弦图，判定是否存在以给定的任意正整数为界的凸控制集的问题也是NP-完全的。通过进一步将图类限制为弦控制对图（即~弦图，其中每个连通的诱导子图具有控制对），我们能够找到确定这种图的凸控制集的最小尺寸的多项式时间算法。
2017-04-27 cs.DM math.CO
Isometric copies of directed trees in orientations of graphs
对于每个$n\in\mathbb N$，我们构造一个有限图$G$，使得$G$的每个定向$\vec G$包含$n$顶点上任何定向树的等距副本，并计算$G$的最小可能基数.另一方面，我们证明了每个图$G$都有一个不含直径为无穷大的有向$ω$ -路的定向。
2017-03-10 math.CO math.MG
Pairs of Noncrossing Free Dyck Paths and Noncrossing Partitions
利用划分间的双射和摇摆表，建立了长度为$2n$的无交叉自由Dyck路对与$[2n+1]$的无交叉划分与$n+1$块之间的对应关系.利用Labelle合并算法，得到了由不相交的自由Dyck路对构造的Dyck路的一个特征，即在奇数位置上的向上步数.
2008-07-27 math.CO
Some combinatorics related to central binomial coefficients: Grand-Dyck paths, coloured noncrossing partitions and signed pattern avoiding permutations
我们给出了某些整数序列的参数的Grand-Dyck路径和有色不相交划分的一些解释，我们发现了一些新的双射有关Grand-Dyck路径和符号模式避免置换。接下来，我们转移一个自然的分配格结构的Grand-Dyck路径的有色非交叉分区和签署的模式，避免置换，从而显示，特别是，它是同构的结构诱导的（强）Bruhat秩序上的某一组签署的模式，避免置换。
2008-06-05 math.CO
Noncrossing Linked Partitions and Large (3,2)-Motzkin Paths
在自由概率论的某些变换的研究中，出现了非交叉链接划分。我们探讨非交叉链接分区和彩色Motzkin路径之间的连接。（3，2）-Motzkin路径可以被视为彩色Motzkin路径，因为有三种类型的水平阶和两种类型的向下阶。大（3，2）-Motzkin路径被定义为在x轴上仅存在两种类型的水平步长的（3，2）-Motzkin路径。我们建立了[n +1]的非交叉连通划分集与长度为n的大（3，2）-Motzkin路集之间的一一对应。在这种情况下，我们得到了一个简单的解释之间的著名关系的大和小施罗德数。
2010-09-01 math.CO
Bijections on two variations of noncrossing partitions
我们发现了2-距离非交叉划分、12312-避免划分、3-Motzkin路径、UH-free Schr{<$}der路径和在偶数高度没有峰的Schr{<$}der路径上的双射.我们还给出了2-距离非交叉划分和12312-避免划分之间的直接双射。
2011-08-29 math.CO
Edge-partitioning 3-edge-connected graphs into paths
证明了对任意l，存在d_l使得任意最小度为d_l的3-边连通图都能被边划分为长度为l的路（只要它的边数能被l整除）.这改善了断言24-边连通性和高最小度提供这样的划分的结果。这是最好的可能性，因为3-边连接不能被2-边连通度取代。
2019-07-26 math.CO
A note on 2-distant noncrossing partitions and weighted Motzkin paths
我们证明了Drake和Kim的一个猜想：$\{1,2,...,n\}$的$2$ -远距离非交叉划分的个数等于长度为$n$的Motzkin路的权之和，其中Motzkin路的权是包含斐波那契数的某些分数的乘积.我们给出了猜想的两种证明：一种是利用连分数，另一种是组合证明。
2010-11-02 math.CO
Partitioning edge-coloured infinite complete bipartite graphs into monochromatic paths
1978年，理查德·拉多证明了每一个可数无限阶的边着色完全图都可以划分成不同颜色的单色路。他问这是否仍然适用于不可数完全图和概念的\emph{generalised paths}。在2016年，Daniel Soukup对此做出了肯定的回答，并证明了类似的结果应该适用于具有相同无限基数的双划分类的完全二部图，即每个用$r$颜色边着色的图都可以划分为$2r-1$单色广义路径，每个颜色最多使用两次。本文对Soukup猜想给出了肯定的回答。
2018-08-29 math.CO
Self-conjugate $(s,s+d,\dots,s+pd)$-core partitions and free rational Motzkin paths
如果一个分区同时是所有$i=1,2,\dots,p$的$s_i$-核心，则该分区称为$(s_1,s_2,\dots,s_p)$ -核心分区.同时核心分区已积极研究在各个方向。特别是，研究人员关心的性质，这样的分区时，序列的$s_i$是一个算术级数。本文对$p\geq 2$和相对素正整数$s$和$d$，提出了自共轭分拆的$(s+d,d;a)$ -算盘，并在适当的条件下建立了自共轭$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核分拆集与自由有理Motzkin路集之间的一个双射.对于$p=2,3$，我们给出了自共轭$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核划分的个数和具有$m$角的自共轭$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核划分的个数的计算公式.
2020-04-11 math.CO
Partitions with constrained ranks and lattice paths
在本文中，我们研究的划分，其连续的行列属于一个给定的集合。我们枚举这样的分区，同时跟踪部分的数量，最大的部分，Durfee正方形的边和Durfee矩形的高度。我们还得到了Andrews和Bressoud的一个结果的一个新的双射证明：对于$\ell\ge0$，$N$的所有秩至少为$1-\ell$的分区数等于$N$的没有部分等于$\ell+1$的分区数，这使得我们可以通过上述统计量来改进它。结合Foata的第二个基本变换的话与格林和Kleitman的映射子集，解释在格路径，我们得到枚举公式的分区，其连续的行列满足一定的限制，如有界的一个常数。
2022-11-16 math.CO
The Path Partition Conjecture is True and its Validity Yields Upper Bounds for Detour Chromatic Number and Star Chromatic Number
图$G$的迂回顺序，记为$τ(G)$，是$G$中最长路径的顺序。$V(G)$的分区$(A, B)$使得$τ(\langle A \rangle) \leq a$和$τ(\langle B \rangle) \leq b$被称为$G$的$(a, b)$ -分区。一个图$G$称为$τ$ -可分图，如果$G$对每对正整数$(a, b)$都有一个$(a, b)$ -可分图，使得$a + b = τ(G)$ .著名的路径划分猜想指出，每个图都是$τ$ -可划分的。在\cite{df07}中Dunber和Frick证明了如果每个2-连通图都是$τ$ -可分的，那么每个图都是$τ$ -可分的。本文证明了2-连通图是PDMATHAMT-可分图。因此，我们的结果肯定地解决了路径划分猜想。我们证明了以下两个定理作为路划分猜想有效性的推论。{ \bf定理1：}对每个图$G$，$χ_s(G) \leq τ(G)$，其中$χ_s(G)$是图$G$的星色数.图$G$的$n^{th}$迂回色数，记作$χ_n(G)$，是给$G$的顶点着色所需的最小颜色数，使得没有阶数大于$n$的路是单色的。这些色数是由Chartrand，Gellar和Hedetniemi引入的\cite{cg68}作为点色数$χ(G)$的推广。{ \bf定理2：}对每个图$G$和每个$n \geq 1$，有$χ_n(G) \leq \left\…
2014-09-15 math.CO
Edge-partitioning a graph into paths: beyond the Barát-Thomassen conjecture
Barát-Barrassen猜想断言存在一个函数$f$，使得对于每一个具有$t$边的固定树$T$，每一个$f(t)$-边连通且其边数可被$t$整除的图都有一个将其边划分为$T$的副本的划分。这已经被证明的情况下，路径的长度$2^k$的Bassen，最近被证明是真实的所有路径的Botler，Mota，Oshiro和Wakabayashi。本文的目的是在较弱的假设下给出路径情形的另一种证明：即证明存在一个函数$f$，使得每一个最小度的$24$-边连通图$f(t)$，只要$t$整除边数，就有一个边划分成长度为$t$的路径.我们还表明，$24$可以下降到$4$时，图是欧拉。
2016-06-30 math.CO
Partitioning planar graphs without 4-cycles and 6-cycles into a forest and a disjoint union of paths
本文证明了不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可划分为两个集合，其中一个集合导出森林，另一个集合导出最大度至多为$2$的森林（等价于路的不交并）.注意，我们可以将森林的顶点集划分为两个独立的集合。然而，一对独立的集合组合可能不会导致森林。因此，我们的结果推广了Wang和Xu（2013）的结果，即不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可以划分为三个集合，其中一个集合导出最大度为2的图，其余两个是独立的集合.
2022-03-12 math.CO
Isometric Cycles and a Generalization of Moore Graphs
该研究通过图的赤道长度、围长和最小度给出图阶数的下界，定义并刻画了达到下界的类Moore极图的结构性质，还推导了无C4图的相关阶数界并提出相关猜想。
2024-07-15 cs.DM math.CO
Monochromatic loose path partitions in k-uniform hypergraphs
Gyárfás和Sárközy的一个猜想说，在完全$k$ -一致超图$K_n^k$的边的每个$2$ -染色中，存在两条不相交的不同颜色的单色松散路，使得它们覆盖除至多$k-2$顶点之外的所有顶点。证明了该猜想的一个较弱形式，即用$2k-5$代替$k-2$，从而该猜想对$k=3$成立.本文的主要结果表明，该猜想对所有的$k\ge 3$都成立.
2016-11-10 math.CO
Metric properties of incomparability graphs with an emphasis on paths
我们描述了一些度量性质的不可比图。研究偏序集的不可比图中诱导或等距无限路的存在性问题。证明了如果偏序集的不可比图是连通的且具有无穷直径，则它包含无穷诱导路，并且如果度至少为$3$的顶点集的直径是无穷的，则该图包含一个诱导子图作为一个梳形图或一个风筝图.
2022-02-18 math.CO
Additive Quasi-isometry via rooted graph partitions and layering partition
University of Leeds（利兹大学）；Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）
本文证明：若两图强等距路径复杂度有界且存在良好根化的有界划分，则存在树宽不超过目标的图，使源图与其有加性拟等距，并解决开放问题。
2026-09-30 cs.DM math.CO
Bijections between colored compositions, Dyck paths, and polygon partitions
该研究通过识别并装饰合成、Dyck 路径与凸多边形剖分中的构建块，构造了保持部分且支持彩色情形的双射，从而统一刻画三类组合对象。
2024-03-07 math.CO
Guarding isometric subgraphs and Cops and Robber in planar graphs
本文引入子图中宽阴影概念刻画所有1-可保护图，并证明在最多两名警察同时移动的限制下3名警察可在任何平面图中捕获强盗，从而证明了Yang的猜想并加强了Aigner和Fromme的经典结果。
2024-06-03 cs.DM math.CO
Rank complement of rational Dyck paths and conjugation of $(m,n)$-core partitions
给定一对互质的正整数$(m,n)$，有理卡塔兰数$\frac{1}{m+n} \binom{m+n}{m,n}$计数两个组合对象：有理$(m,n)$ -Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，从不低于对角线; $(m,n)$ -核心是没有钩子长度等于$m$或$n$的分区。安德森建立了$(m,n)$ -Dyck路径和$(m,n)$ -核心之间的双射。我们定义了一个新的转换，称为秩补，合理的Dyck路径。我们表明，秩补对应于共轭的$(m,n)$ -核心下安德森的双射。这导致：i）一种新的方法来表征$n$ -核心; ii）一个简单的方法来计算的自共轭$(m,n)$ -核心的数量; iii）证明的两个组合和公式的等价性，一个在理性$(m,n)$ -Dyck路径和其他$(m,n)$ -核心，合理的加泰罗尼亚多项式。
2015-04-21 math.CO
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
2006-10-06 math.CO
Monochromatic paths in $2$-edge coloured graphs and hypergraphs
我们回答了Gyárfás和Sárközy在2013年提出的一个问题，证明了每一个2-边色完全3-一致超图都可以划分成两条不同颜色的单色紧路。我们还给出了划分任意2-边色完全r-部r-一致超图所需紧路数的一个下界。最后，我们证明了任何2-边着色的完全二部图都有一个划分为不同颜色的单色圈和单色路，除非着色是分裂着色。
2023-01-25 math.CO
Some Connections Between Restricted Dyck Paths, Polyominoes, and Non-Crossing Partitions
本文定义了受限d-Dyck路径，揭示了其与[n]的非交叉划分及多联骨牌子族之间的联系，并提供了生成函数来计算这些组合对象的特征。
2023-08-03 math.CO
A polynomial bound on the pathwidth of graphs edge-coverable by $k$ shortest paths
University of Lille, CNRS, Centrale Lille, UMR 9189 CRIStAL（里尔大学、法国国家科学研究中心、中央理工-里尔学院、CRIStAL实验室）；Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, INSA Lyon, LIRIS, UMR 5205（里昂第一大学、法国国家科学研究中心、里昂国立应用科学学院、LIRIS实验室）；Faculty of Mathematics and Computer Science, Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学学院）；IRIF, Université Paris Cité（巴黎西岱大学IRIF研究所）；LaBRI, Université de Bordeaux（波尔多大学LaBRI实验室）
本文改进了可由k条最短路径覆盖的图的路径宽度上界，证明其为O(k^4)，并给出k≤3时的紧界及树宽的进一步结论。
2026-02-26 cs.DM math.CO
A Gray path on binary partitions
正整数$n$的二进制划分是$n$的划分，其中每个部分的大小为2的幂。本文首先在$n$的二元划分集上构造一个Gray序列。这是每个$n$（或所有$n$）的二进制分区集合的排序，使得相邻分区通过一个小的初等变换集合中的一个而不同;这里允许的变换是将$2^k+2^k$替换为$2^{k+1}$，反之亦然（或添加新的+1）。接下来，我们给出了一个纯粹的本地条件，以找到这个序列中任何分区的后继者;规则是如此简单，连续的转换可以在恒定的时间内执行。最后给出了如何直接计算$k$与序列中第$k$项之间的双射。这回答了Donald Knuth在《计算机编程的艺术》第7.2.1节中提出的一个问题。
2009-07-22 math.CO
Paired 2-disjoint path covers of Bcube under the partitioned edge fault model
College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）；Academy for Advanced Interdisciplinary Studies, Nankai University（南开大学前沿交叉科学研究院）；Institute of Information and Decision Sciences, National Taipei University of Business（台北商业大学信息与决策科学研究所）
本文研究了在分区边故障模型下BCube的容错配对2不相交路径覆盖问题，证明了在大量边故障情况下BCube仍能保持配对2-DPC的鲁棒性。
2026-02-18 math.CO
On self-conjugate $(s, s+1,\ldots, s+k)$-core partitions
同时核心分区已经被广泛研究，因为安德森的工作枚举的$(s,t)$核心分区。Amdeberhan和Leven证明了$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核心分区的数目等于$(s, k)$ -Dyck路径的数目。本文证明了自共轭$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核划分与对称$(s, k)$ -Dyck路的个数相等，从而证实了Cho，Huh和Sohn的一个猜想.
2019-05-02 math.CO
Humps for Dyck and for Motzkin paths
我们计算的总数量的驼峰在戴克和Motzkin路径，我们给标准的杨表格所涉及的数字的解释。然后观察到有趣的现象，驼峰计算改变分区在一个带的分区在一个钩。
2010-02-24 math.CO
Cycle partitions of regular graphs
Magnant和Martin证明了$d$ -正则图$G$在$n$顶点上的顶点集可以被划分为$n / (d+1)$路（存在一个简单的构造表明这个界是最好的）.我们证明了这个猜想时$d = Ω(n)$，改进了韩，谁表明，在这个范围内几乎所有的$G$顶点可以覆盖的$n / (d+1) + 1$顶点不相交的道路。事实上，我们的证明给出了一个分区的$V(G)$到循环。我们还证明了，如果$d = Ω(n)$和$G$是二部图，那么$V(G)$可以划分成$n / (2d)$路（这个界是紧的二部图）。
2020-09-11 math.CO
Counting self-conjugate (s,s+1,s+2)-core partitions
我们关心的是计数自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核心分区。长度为$n$的Motzkin路径是从$(0,0)$到$(n,0)$的路径，其保持在$x$轴上方，并且由上$U=(1,1)$、下$D=(1,-1)$和平坦$F=(1,0)$台阶组成。我们说一条长度为$n$的Motzkin路是对称的，如果它关于线$x=n/2$的反射是它自己。本文证明了自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核的个数等于长度为$s$的对称Motzkin路的个数，并给出了这个个数的一个封闭公式.
2019-04-04 math.CO
On the path partition number of 6-regular graphs
图$G$的路径划分（也称为线性森林）是一组顶点不相交的路径，它们一起包含$G$的所有顶点。在这种情况下，孤立顶点被视为路径。路划分猜想指出，每个$n$ -顶点$d$ -正则图都有一个至多包含$\frac{n}{d+1}$路的路划分.对所有的$d<6$都证明了该猜想。证明了对$d=6$的猜想.
2019-11-19 cs.DM math.CO
Superlinear Lower Bounds for Monochromatic Path Partitions
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文以超线性形式否定Gyárfás的单色路径划分猜想，证明足够大r时r边染色完全图需至少(1-o(1))rloglogr个单色路径，其构造还扩展到平衡二分图场景，否定了Pokrovskiy的相关猜想。
2026-08-18 math.CO
Combinatorics on bounded free Motzkin paths and its applications
在本文中，我们构造了一个双射从一组有界自由Motzkin路到一组有界Motzkin前缀，诱导双射从一组有界自由Dyck路到一组有界Dyck前缀。我们还给出了一组有界无角Motzkin路与一组$t$ -核划分之间的双射，以及一组有界无角对称Motzkin路与一组自共轭$t$ -核划分之间的双射.作为应用，我们得到了具有固定角点数的普通和自共轭$t$ -核划分数的显式公式。
2022-05-31 math.CO
Unique path partitions: Characterization and Congruences
本文给出了唯一路径划分的完整分类，并研究了枚举此类划分的函数的同余性质。
2012-09-03 math.CO math.NT
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Calculating Ramsey numbers by partitioning coloured graphs
本文证明了关于分块着色完全图的一个新结果，并利用它精确地确定了某些Ramsey数。我们证明的划分定理是：当k至少为1时，在一个完全图的边着色为红色和蓝色的图中，有可能用k条不相交的红色路覆盖所有的顶点，并且有可能用一个不相交的蓝色平衡完全（k+1）-部图覆盖所有的顶点。当着色为红色连通时，我们证明了一个更强的结果--有可能用k条红色路覆盖所有顶点，并且有可能得到一个蓝色平衡的完全（k+2）-部图。利用这些结果，我们确定的Ramsey数的一条路上的n个顶点，与平衡的完全k-部图，在每一个部分有m个顶点，当m-1是可除的n-1。这推广了Erdos的一个结果，他证明了m=1的情况。我们还确定了Ramsey数的路径上的n个顶点与权力的路径上的n个顶点。这解决了Allen、Brightwell和Skokan的一个猜想。
2013-09-16 math.CO
Lattice paths and the Rogers--Ramanujan--Gordon type theorems with parity considerations
本文通过三类单位步格路径与 Rogers–Ramanujan–Gordon 型分拆之间的双射，将 Andrews 的奇偶性分拆定理对应到格路径，并获得新结论。
2024-01-28 math.CO
Multi-cores, posets, and lattice paths
钩在（对称群的）表示论中很突出，它们在数论中也发挥了作用（通过与拉马努金同余相关的曲柄）。正整数$n$的划分具有杨氏图表示。对于图中的每个单元，有一个称为钩长度的相关统计，如果图中没有数字$t$，则分区称为$t$ -核心。如果分区既是$s$-核心又是$t$ -核心，则该分区是$(s,t)$-核心。自从Anderson在$(s,t)$核上的工作以来，这个话题受到了越来越多的关注。本文将讨论扩展到多核。更准确地说，我们探索$(s,s+1,\dots,s+k)$ -核心分区的精神，最近由斯坦利和Zanello。事实上，我们的结果利用三个组合对象之间的连接：多核，偏序集和格路径（与一个新的一般化的戴克路径）。其他结果和图表分散在整个文件。例如，其中一个陈述暗示了双素数$(s,s+2)$ -核心分区的奇怪对称性。
2015-07-13 math.CO
Partitioning edge-coloured complete graphs into monochromatic cycles and paths
Erdés、Gyárfás和Pyber的一个猜想说，在一个具有r种颜色的完全图的任何边着色中，有可能用r个顶点不相交的单色圈覆盖所有顶点。到目前为止，这个猜想只在r = 2时被证明。在本文中，我们表明，事实上，这个猜想是假的所有r > 2。与此相反，我们表明，在任何边着色的完全图与三种颜色，它是可能的，覆盖所有的顶点与三个顶点不相交的单色路，证明了一个特殊情况下的猜想，由于Gyárfás。作为一个中间结果，我们表明，在任何边着色的颜色红色和蓝色的完全图，它是可能的，覆盖所有的顶点与红色的道路，和一个不相交的蓝色平衡完全二部图。
2012-05-24 math.CO
Gibbs partitions and lattice paths
本文研究 Gibbs 划分模型（组合方案）在一种新分量权重条件下的行为，发现凝聚现象产生唯一巨分量，并证明非最大分量尺寸的点过程极限，应用于随机游走、格路、瓮模型等。
2025-09-26 math.CO
Local colourings and monochromatic partitions in complete bipartite graphs
证明了对平衡完全二部图$K_{n,n}$的边的任意$2$ -局部着色，其顶点最多可被~ $3$不相交的单色路覆盖.并且，我们可以用$O(r^2)$不相交的单色圈覆盖任何完全或平衡完全二部$r$ -局部着色图的几乎所有顶点。我们还几乎精确地确定了路径的$2$ -局部二分Ramsey数：每一个$2$ -局部着色的边$K_{n,n}$包含一个单色路径上的$n$顶点。
2016-09-12 math.CO
Combinatorics of Triangular Partitions
本文的目的是发展与我们称之为\emph{triangular partitions}的结构相关的组合学。如arXiv：2102.07931中所介绍的，对于任何给定的正实数$r$和$s$，这些分区的单元是位于连接点$(r,0)$和$(0,s)$的线下方的那些分区。经典的概念，如代克路径和停车功能，自然是广义的考虑一组分区包括在一个给定的三角分区。我们的一个显著结果是，三角剖分的Young格的限制有一个平面Hasse图，具有许多好的性质。因此，我们可以推广的“第一次返回”的递归，枚举经典的戴克道路，枚举的所有分区包含在一个固定的三角一个。
2022-03-29 math.CO
