Multiplicative $p$-adic metric Diophantine approximation on manifolds and dichotomy of exponents
本文研究了流形上的$p$ -adic丢番图逼近，特别是仿射子空间上的乘法丢番图逼近和解析$p$ -adic流形上的丢番图二分法.
2019-11-02 math.DS math.NT
Asymptotic Diophantine approximation: The multiplicative case
设$α$和$β$是无理实数，而$0<\F<1/30$ .证明了满足$\|qα\|\cdot\|qβ\|<\F$的正整数$q\leq Q$个数的精确估计.如果我们选择$\F$作为$Q$的函数，则当$Q$变大时，我们得到渐近性，只要$\F Q$在$(α,β)$的（乘法）丢番图类型方面增长足够快，例如，如果$(α,β)$是Littlewood猜想反例，那么我们只需要$\F Q$趋于无穷大。我们的结果产生了一个新的上界的乘积的倒数的和的分数部分，并揭示了一些光最近的问题Lê和Vaaler。
2016-03-20 math.NT
Fully Inhomogeneous Multiplicative Diophantine Approximation of Badly Approximable Numbers
本文对垂直线上的一对完全可逼近的数建立了一个强形式的Littlewood猜想.我们还证明了一个统一的断言，这种性质，概括了一个强有力的形式的结果海恩斯，詹森和克里斯滕森。最后，我们建立了一个类似的结果，涉及不均匀的严重逼近的数字，取得进展的问题所提出的Pollington，Velani，Zafiropoulos和佐林。
2021-03-12 math.NT
Sums of reciprocals of fractional parts and multiplicative Diophantine approximation
本文有两个相互关联的主要目标。首先我们研究和\[ S_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n\|nα-γ\|}~~~\text{and}~~~ R_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{\|nα-γ\|}\,, \]其中$α$和$γ$是实参数，$\|\cdot\|$是到最近整数的距离。我们的定理改进了W. M. Schmidt和其他人，并且是（直到常数）最好的可能。与上述总和有关，我们还得到了\[ \{1\le n\le N:\|nα-γ\|<\varepsilon\} \, , \]的基数的上界和下界，对所有足够大的$N$和所有足够小的$\varepsilon$都有效。这第一股的工作是出于应用乘法丢番图逼近，这也被认为是。特别地，我们在$\mathbb{R}^2$中得到了纤维上乘法同时丢番图逼近的完全Khintchine型结果。分歧的结果是第一次，它代表了一种尝试，发展的概念，普遍性的乘法设置。
2017-04-02 math.NT
Multiplicative structure of shifted multiplicative subgroups and its applications to Diophantine tuples
Universität Basel（巴塞尔大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Institute for Basic Science（基础科学研究院）
研究移位乘法子群的乘法结构及其与加性组合学和丢番图方程理论的联系，提出新的结果，包括改进的上界和对Sárközy猜想的进展。
2025-02-12 math.NT
Higher-rank Bohr sets and multiplicative diophantine approximation
加拉格尔定理是对几乎所有实数的元组都成立的利特尔伍德猜想的一个加强和扩展。我们提供了一种纤维细化，解决了Beresnevich，Haynes和Velani在2015年提出的问题。然而，这只在飞机上知道，因为以前的方法严重依赖于连分数理论。在丢番图逼近的背景下，利用约化的连续极小值代替连分数，发展了任意秩玻尔集的结构理论。此外，我们将理论和结果推广到非均匀背景。为了处理这种不齐性，我们采用丢番图转移不等式代替三距离定理。
2018-10-09 math.NT
Decidability of multiplicative matrix equations and related Diophantine problems
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
本文研究了代数数域上乘法矩阵方程的可判定性，通过有效方法分析丢番图问题，提出了解的大小和数量的显式界，并探讨了对称矩阵系统的相关计数问题。
2025-06-04 math.NT
Multiplicative Diophantine Approximation on Planar Lines with Restricted Denominators
Department of Mathematics and Statistics, University of Nevada, Reno（内华达大学里诺分校数学与统计系）
本文研究了平面直线上具有限制分母的乘法丢番图逼近问题，推导了收敛条件并给出了Hausdorff维度的上界。
2026-02-26 math.NT
Simultaneous and multiplicative Diophantine approximation on missing-digit fractals
本文研究缺失数字分形上的丢番图逼近度量理论，建立了欣钦定理和加拉格尔定理的类比及非齐次推广。
2025-08-06 math.DS math.NT
Rational Points in Hyperbolic Regions and Multiplicative Diophantine Approximation on Manifolds
University of Warwick（华威大学）；University of Wisconsin（威斯康星大学）；University of Bonn（波恩大学）；Chongqing University（重庆大学）
该研究解决了非退化流形和仿射子空间的乘法丢番图逼近收敛理论问题，改进了相关强极值性结果。
2026-02-11 math.CA math.NT
There is no analogue to Jarník's relation for twisted Diophantine approximmation
贾尼克的关系是在维度$2$的公式$\hatλ + \frac{1}{\hatω} = 1$连接两个均匀指数。如何将这一方程推广到高维或乘法情形是一个有待解决的问题。在本文中，我们考虑一个扭曲的情况下，经典和乘法之间的一个，我们表明，没有类似的雅尼克的关系举行。
2017-07-10 math.NT
Non-Salem sets in multiplicative Diophantine approximation
本文回答了Cai-Hambrook的问题，计算了乘法ψ-良逼近集的傅里叶维数，并证明对τ>1，集合M_2^×(q↦q^{-τ})是非Salem的。
2024-09-19 math.NT
Central Limit Theorems in Multiplicative Diophantine Approximation
Chalmers（查尔摩斯理工大学）；University of Michigan（密歇根大学）；University of Zürich（苏黎世大学）
本文研究了乘法丢番图逼近问题中的整数解数量，通过分析同质空间上的测度相关性及Siegel变换估计，证明了计数函数在分布上收敛于正态分布。
2026-01-20 math.DS math.NT math.PR
Diophantine approximation with arithmetic functions, I
本文证明了一个强的同时丢番图逼近定理，它适用于加法函数和乘性函数的值，只要这两类函数在素数上具有一定的正则性。
2008-05-19 math.NT
The dispersion of dilated lacunary sequences, with applications in multiplicative Diophantine approximation
本文研究 Hadamard 空隙序列膨胀集模 1 的最大间隙，证明存在膨胀因子使间隙阶至多为 (log N)/N，且对几乎所有的膨胀因子该阶至多为 (log N)^{2+ε}/N，并由此改进乘法丢番图逼近中 Littlewood 问题非齐次版本的上界。
2024-06-28 math.NT
Hausdorff measure and Fourier dimensions of limsup sets arising in weighted and multiplicative Diophantine approximation
Shantou University（汕头大学）
本文研究了加权和乘法Diophantine逼近中出现的limsup集的Lebesgue测度、Hausdorff测度和Fourier维度，提供了零-全律判定准则，并确定了这些集的精确Fourier维度。
2026-04-15 math.NT
On the metric theory of multiplicative Diophantine approximation
1962年，加拉格尔证明了一个高维版本的欣钦定理的丢番图逼近。Gallagher定理指出，对于任何非增逼近函数$ψ:\mathbb{N}\to (0,1/2)$，如果$\sum_{q=1}^{\infty} ψ(q)\log q=\infty$和$γ=γ'=0$满足以下条件，则以下集合\[ \{(x,y)\in [0,1]^2: \|qx-γ\|\|qy-γ'\|<ψ(q) \text{ infinitely often}\} \]具有完全的勒贝格测度。最近，Chow和Technau证明了上述结果的完全非齐次版本（对$γ,γ'$没有限制）。本文证明了一个关于广义乘性丢番图逼近的Erdens-Vaaler型结果。一路上，通过不同的方法，我们证明了一个稍微弱版本的Chow-Technau定理的条件，至少有一个$γ,γ'$不是刘维。我们还推广了Chow-Technau关于Liouville纤维的非均匀Gallagher定理的结果。
2022-03-02 math.DS math.NT
Bohr sets and multiplicative diophantine approximation
在二维空间中，加拉格尔定理是对几乎所有实数对都成立的利特尔伍德猜想的加强。我们证明了一个非均匀纤维版本的加拉格尔定理，锐化和无条件最近获得的结果有条件的Beresnevich，海恩斯和Velani。我们的想法是找到大的广义等差数列内的非齐次玻尔集，延长建设给予陶。这种精确的结构使我们能够通过数的几何来验证Duffin-Schaeffer定理对手头问题的假设。
2017-03-21 math.CO math.NT
A note on weighted simultaneous Diophantine approximation on manifolds
在本文中，我们对Beresnevich，Levesley和Ward（2021）关于流形上的加权同时丢番图逼近的最近结果进行了改进。
2021-03-11 math.NT
Diophantine Exponents of Affine Subspaces: The Simultaneous Approximation Case
我们应用齐性空间上流的非发散估计来计算$\R^n$的仿射子空间及其非退化子流形的丢番图指数。
2008-09-01 math.NT
Restricted simultaneous Diophantine approximation
研究了在一定素性限制下$\mathbb{R}^d$中直线上的丢番图逼近问题。
2016-06-07 math.NT
Multiplicative Diophantine approximation with restricted denominators
本文研究了带限制分母的乘性丢番图逼近问题，完全确定了满足特定不等式无限次的点集的Hausdorff维数，并基于Hausdorff测度的一般收敛性结果得出结论。
2024-09-27 math.NT
Simultaneous two-dimensional best Diophantine approximations in the Euclidean norm
证明了二维最佳丢番图逼近关于欧氏范数的增长指数的一个新的下界。
2010-02-13 math.NT
Submanifold-genericity of $\mathbb{R}^d$-actions and uniform multiplicative Diophantine approximation
本文为$\mathbb{R}^d$-作用证明了涉及膨胀子流形平均的新遍历定理，给出有效混合假设下的误差项定量估计，并据此研究了实系数矩阵的乘性Dirichlet可改进性，证明了几乎所有矩阵的一致逼近性，提出了Littlewood猜想的强化问题。
2025-04-03 math.DS math.NT
Best Simultaneous Diophantine Approximations under a Constraint on the Denominator
我们研究了Jurkat提出的在分母上有约束条件下的最佳同时丢番图逼近问题。新的较低的估计最优逼近常数的临界行列式的适当的恒星机构。工具是由具有较小分母的有理数对有理数的同时丢番图逼近的结果。最后，将近似结果应用于整数向量的分解。
2005-10-19 math.NT
Best simultaneous Diophantine approximations for some pairs of algebraic numbers
本文计算了不满足性质（F）的三次Pisot数对的最佳丢番图逼近序列。
2021-09-19 math.NT
Geometry of Diophantine exponents
本综述探讨了丢番图指数及其满足的关系，介绍了经典丢番图指数、带权与乘性类似物及格的指数，并重点关注转换原理。
2023-08-02 math.NT
An inequality for Diophantine exponents in the case of simultaneous approximation
本文在同时逼近的情形下证明了一个关于个别丢番图指数和一致丢番图指数的不等式。这个不等式比Jarnik的更好的一致指数的小值。
2010-09-06 math.NT
Littlewood and Duffin--Schaeffer-type problems in diophantine approximation
该研究在丢番图逼近领域，建立了Gallagher定理的完全非齐次版本、丢番图纤维细化结果及Liouville纤维的尖锐阈值，还证明了一类非单调逼近函数下Duffin–Schaeffer猜想的非齐次版本。
2023-08-24 math.NT
A note on the quality of simultaneous Diophantine approximations obtained by the LLL algorithm
本文针对LLL算法所得联立丢番图逼近的质量问题，对Bosma和Smeets的相关结果作出了显著改进。
2023-10-02 math.NT
Effective equidistribution for multiplicative Diophantine approximation on lines
本文通过证明 SL(3,R)/SL(3,Z) 中幂幺轨道的有效等分布，将 Littlewood 猜想在直线上几乎处处加强了两个对数因子，并利用对偶 Bohr 集理论改进 Kleinbock 的收敛结果及齐性空间对数律。
2023-12-02 math.DS math.NT
Finding simultaneous Diophantine approximations with prescribed quality
我们给出了一个算法，找到一个序列的近似Dirichlet系数的范围内的常数只取决于尺寸。该算法使用LLL算法进行格基约简。我们提出了一个版本的算法，运行在多项式时间的输入。
2010-01-25 math.NT
On the simultaneous Diophantine equations m.(x_1^k+....+x_{t_1}^k)=n.(y_1^k+....+y_{t_2}^k); k=1,3
本文求解了联立丢番图方程m。（x_1^k+....+ x_{t_1}（k）=n。（y_1^k+....+ y_{t_2} ^k）; k= 1，3，其中t_1，t_2>3，m，n是固定的任意互素正整数。这是通过选择两个适当的平凡参数解，并获得无穷多个非平凡参数解。并给出了一些例子，特别是丢番图系统A^k+B^k+C^k=D^k+ E ^4; k= 1，3。
2017-05-03 math.NT
Simultaneous p-adic Diophantine approximation
本文的目的是发展有理数到$p$ -进数的加权丢番图逼近理论。首先，我们建立了Khintchine定理，Duffin-Schaeffer定理和Jarník-Besicovitch定理在$p$ -adic情形下的“加权”同时丢番图逼近的完全类似。其次，我们得到了$p$ -adic流形上加权同时可逼近点的豪斯多夫维数的一个下界。这对非常一般的曲线和流形类是有效的，并且对逼近的指数有自然约束。在我们的证明中使用的关键工具是质量转移原理，包括其最近的扩展由于王和吴，和本文建立的加权$p$ -adic近似的零一律。
2021-07-06 math.NT
Liminf Sets in Simultaneous Diophantine Approximation
设Q是正整数的无限集合。用W（Q）表示由实数的n元组组成的集合，该集合可被Q中的无穷多个带补元的有理数同时τ-良好逼近，但只能被Q的补元中的无穷多个带补元的有理数同时τ-良好逼近。当τ> 2 + 1/n时，计算了liminf集W（Q）的豪斯多夫维数.一个p-adic模拟的问题也进行了研究。
2013-08-17 math.NT
Exact Diophantine approximation$\colon$ the simultaneous case in $\mathbb{R}^{2}$
该研究填补了Fregoli关于$\mathbb{R}^{2}$中精确逼近阶集合豪斯多夫维数研究的空白，完善了联立情形下精确丢番图逼近的相关理论。
2024-11-27 math.NT
On estimating the constant of simultaneous Diophantine approximation
本文研究最佳丢番图逼近的常数估计问题。改进了$ n = 5 $和$ n = 6 $的下界$ C_n $估计。第一章概述了最佳丢番图逼近的常数估计的历史。在第二章中给出了导致$ C_n $估计的数值实验的方法和结果。第三章主要讨论了一些函数的估计，并在第四章中利用这些函数证明了$ C_n $对$ 3 \leq n \leq 6 $的估计。
2019-04-09 math.NT
On the Littlewood conjecture in simultaneous Diophantine approximation
对于任意给定的具有有界部分幂元的实数$α$，我们构造了许多具有有界部分幂元的实数$β$，其中对$(α, β)$满足Littlewood猜想的强形式.我们的证明是初等的，并依赖于连分数的基本理论。
2005-11-28 math.NT
Simultaneous Diophantine approximation with a divisibility condition
本文研究了 ${\bf R}^2$ 中与连分数类似的联立有理逼近序列，证明在添加可除性条件后，先前关于 Littlewood 猜想的相关结果依然成立。
2024-02-13 math.NT
On simultaneous diophantine approximations to $ζ(2)$ and $ζ(3)$
我们提出了一个超几何结构的有理逼近$ζ(2)$和$ζ(3)$，它允许一个同时证明每个zeta值的不合理性，以及估计从下面的某些线性型在1，$ζ(2)$和$ζ(3)$与合理的系数。引入了（同时）丢番图指数的概念，形式化了这些特定线性型的算术结构。最后，这个新的概念的性质进行了研究，并与经典的非理性指数和它的推广最近给出的S。菲施勒
2014-05-17 math.NT
On the Solutions of the Diophantine Equation $x^n + y^n = z^n$ In the Finite Fields $\mathbb{Z}_p$
设$p$是素数，$\mathbb{Z}_p$是$p$阶的有限域，$\mathbb{Z}^{*}_{p}$是它的乘法循环群.本文考虑了具有$1 \leq n \leq \frac{p - 1}{2}$的丢番图方程$x^n + y^n = z^n$.本文的主要目的是在有限域$\mathbb{Z}_p$中给出指数$n$与素$p$之间的最优条件或关系，以判定具有$1 \leq n \leq p -1 $的丢番图方程$x^n + y^n = z^n$非平凡解的存在性.
2020-01-09 math.NT
A note on three problems in metric Diophantine approximation
Hausdorff测度和维数在丢番图逼近理论中的应用可以追溯到20世纪20年代的Jarnik和Besicovitch关于好逼近点和坏逼近点的定理。在本文中，我们考虑三个非齐次问题，进一步发展这些经典的结果。首先，我们得到了平面上乘法可逼近点集的一个Jarnik型定理。这豪斯多夫措施声明并没有减少加拉格尔的勒贝格测度声明，因为人们可能会期望，是新的，即使在同质设置。其次，我们建立了一个Jarnik型定理的乘法逼近点集的非退化平面曲线。这就完成了平面曲线的豪斯多夫理论。最后证明了平面上同时非齐次（i，j）-差逼近点集是满维的。这个证明背后的基本哲学还有其他的应用，例如建立施密特猜想的非齐次版本。平面结果的高维类似物也进行了讨论。
2013-09-10 math.NT
Upper bounds for the uniform simultaneous Diophantine exponents
给出了超越数$ξ\in\mathbb{R}$的一致同时丢番图指数$\widehatλ_n(ξ)$的几个上界.最重要的一个关系是当$k$基本上小于$n$时，$\widehatλ_n(ξ)$和普通的同时指数$ω_k(ξ)$。特别地，在具有适当选择的$ω_k(ξ)=k$的一般情况下，$\widehatλ_n(ξ)$的上限变得与$\frac{3}{2n} + O(n^{-2})$一样小，这基本上优于$\frac{2}{n} + O(n^{-2})$的当前已知的最佳无条件界限。对于$n$的偶数值，我们还改进了$\widehatλ_n(ξ)$的一个无条件上界.
2021-07-23 math.NT
Exponents for three-dimensional simultaneous Diophantine approximations
令$Θ= (θ_1,θ_2,θ_3)\in \mathbb{R}^3$。假设$1,θ_1,θ_2,θ_3$在$\mathbb{Z}$上线性无关。对于丢番图指数$$ α(Θ) = \sup \{γ>0:\,\,\, \limsup_{t\to +\infty} t^γψ_Θ(t) <+\infty \} ,$$ $$β(Θ) = \sup \{γ>0:\,\,\, \liminf_{t\to +\infty} t^γψ_Θ(t) <+\infty\} $$，我们证明了$$ β(Θ) \ge {1/2} ({α(Θ)}/{1-α(Θ)} +\sqrt{{α(Θ)}/{1-α(Θ)})^2 +{4α(Θ)}/{1-α(Θ)}}) α(Θ) $$
2010-12-08 math.NT
Successive Minima and Best Simultaneous Diophantine Approximations
研究了向量$α\in{\mathbb R}^n$由格$Λ\subset {\mathbb R}^n$的有理向量的最佳逼近问题，其中格的公分母是有界的。为此，我们引入了连续的最小值的周期晶格结构，并扩展了一些经典的结果，从数的几何到这种结构。这导致界的最佳逼近问题，推广和改进以前的结果。
2005-03-17 math.NT
On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt's conjecture
对于任何具有$i+j =1$的$i,j \ge 0$，令$\bad(i,j)$表示点$(x,y) \in \R^2$的集合，其中对于所有$ q \in \N $，$ \max \{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j} \} > c/q $。这里，$c = c(x,y)$是正常数。我们的主要结果意味着，任何有限的交集，这样的集有全维数。这解决了Wolfgang M. Schmidt在同时丢番图逼近理论中的应用。
2010-03-10 math.NT
Simultaneous diophantine approximation for a restricted class of pairs of real numbers
该研究针对一类受限制的不可逼近数对$(α,β)$，通过利用系数依赖其丢番图性质的三次方程根的局部化方法及连分数收敛分母性质，证明了Littlewood猜想对这类数对成立。
2025-04-19 math.NT
Simultaneous Diophantine Approximation in Function Fields
关于正特征域上的丢番图逼近已有丰富的结果（见综述文献[13，25]），但关于同时逼近的信息却很少。本文发展了一种正特征数的\geometry技巧，从而将同时逼近的一些经典结果推广到函数域的情形.更精确地说，我们用具有一个公分母的有理函数来逼近一个有限的洛朗级数集。特别地，我们得到的下界结果可以看作是关于n次代数函数的Liouville{ Mahler}定理的一个高维版本.作为应用，我们研究了二元二次型，并确定了二次代数函数的精确逼近常数。最后，我们给出了两个使用连分数的例子。
2017-11-10 math.NT
Vertical shift and simultaneous Diophantine approximation on polynomial curves
研究了当τ大于P（X）的次数时，P（X）+ α定义的曲线上的τ同时可逼近点集的豪斯多夫维数，其中P（X）是一个整系数多项式，α在R中.这提供了第一个结果有关的计算的豪斯多夫维数的一组很好的逼近点躺在一条曲线，这不是由一个多项式的整数系数。结果的证明还包括研究了有理逼近的分子和子之间有某种同余约束关系时的丢番图逼近问题。
2013-05-11 math.NT
The Duffin-Schaeffer Conjecture for multiplicative Diophantine approximation
本文证明了乘法丢番图逼近的Duffin-Schaeffer型结果，去除了单调性假设，给出了无穷多个逼近成立的充要条件，解决了Beresnevich、Haynes和Velani的猜想。
2024-03-17 math.NT
An equivalence principle between polynomial and simultaneous Diophantine approximation
我们表明，马勒的分类实数$ζ$相对于增长的序列$(w_{n}(ζ))_{n\geq 1}$是等价地诱导由某些自然假设的衰变的序列$(λ_{n}(ζ))_{n\geq 1}$有关的同时有理逼近。从而，我们得到了一个更清晰的图像，同时逼近的逐次幂的实数一般。马勒分类的另一个变种关于一致逼近的代数数也示出。我们的方法有几个应用到经典指数的丢番图逼近和度量理论。我们推导出估计的豪斯多夫维数的Veronese曲线上的可逼近向量和完善的最佳已知的上限为指数$\widehatλ_{n}(ζ)$甚至$n\geq 4$。
2017-12-19 math.NT
Unconventional height functions in simultaneous Diophantine approximation
同时丢番图逼近涉及通过点$\mathbf r\in\mathbb Q^d$来逼近点$\mathbf x\in\mathbb R^d$，着眼于共同最小化量$\|\mathbf x - \mathbf r\|$和$H(\mathbf r)$。这里$H(\mathbf r)$是有理点$\mathbf r$的所谓“标准高度”。在本文中，作者问：什么变化，如果我们取代标准的高度函数由一个不同的？事实证明，这种变化导致了与经典理论的巨大差异，并需要开发新的方法。我们讨论了三个非标准高度函数的例子，计算了它们的无理指数，并给出了更精确的结果。还提供了一份开放式问题清单。
2016-04-13 math.NT
Multiplicative zero-one laws and metric number theory
我们发展了经典的丢番图逼近理论，而不假设单调性或凸性。一个完整的“乘法”零一律建立类似于“同时”零一定律的卡塞尔和加拉格尔。因此，我们能够建立类似的Duffin-Schaeffer定理内的乘法设置。关键要素是相当简单但却通用的“交叉重叠原则”。简而言之，它使我们能够将0 - 1定律“提升”到更高的维度。
2013-09-10 math.NT
A uniform metrical theorem in multiplicative Diophantine approximation
本文研究了勒贝格通用二维实数对的乘性丢番图逼近问题，给出了满足特定增长条件下相关小值乘积数量的渐近公式。
2023-11-20 math.DS math.NT
