Systolic volume and minimal entropy of aspherical manifolds
Stephane Sabourau
建立了一类包含非球面流形的流形的等收缩不等式。特别地，我们首先将非球面流形的收缩体积与它们的最小熵联系起来，然后与它们的基本群的代数熵联系起来。
We establish isosystolic inequalities for a class of manifolds which includes the aspherical manifolds. In particular, we relate the systolic volume of aspherical manifolds first to their minimal entropy, then to the algebraic entropy of their fundamental groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The systolic constant of orientable Bieberbach 3-manifolds
一个紧致流形称为比伯巴赫，如果它带有平坦的黎曼度量。Bieberbach流形是非球面的，因此它们的收缩比在黎曼度量集上的上确界是有限的。格罗莫夫研究了非环面的$3$维可定向Bieberbach流形的紧致的最优收缩比，证明了它不能用平坦度量来实现.我们还强调了一个度量，我们构建的一种类型的这样的流形（$C_2$），它具有有趣的几何性质：它是极值在其共形类和收缩实现了“非常多”测地线。
Systolic volume of homology classes
给定一个可表示群的整数同调类，收缩期容积量化了这个类的几何实现有多紧。在本文中，我们研究了这个数值不变量的各个方面，表明它是一个复杂的和强大的工具，调查拓扑性质的同调类的可表示群。
Homological invariance for asymptotic invariants and systolic inequalities
证明了流形的收缩常数、最小熵和球面体积仅依赖于其基本类在泛覆盖分类映射下的象。此外，我们还计算了具有二阶基本群的流形的收缩常数（模为实射影空间上的值），并导出了最小熵与收缩常数之间的一个不等式。
Bounding volume by systoles of 3-manifolds
本文证明了不可定向n维流形的一个新的收缩容积下界，它包含稳定的1-收缩和余维1收缩，系数在Z_2中。作为应用，我们证明了Lusternik-Schnirelmann范畴与收缩范畴在三维不可定向闭流形上是一致的，推广了我们在可定向情形下的结果.最后证明了收缩范畴的同伦不变性。
On manifolds satisfying stable systolic inequalities
我们证明了，对于封闭的可定向流形的$k$维稳定收缩承认一个度量无关的体积界当且仅当有上同调类的程度$k$，产生上同调的顶级。此外，它证明了，在不可定向的情况下，这样一个界不存在稳定的systoles的尺寸至少为2。此外，我们证明了稳定的收缩常数只取决于图像的基本类在一个合适的Eilenberg-Mac巷空间。因此，稳定的$k$ -收缩常数完全由$k$ -维上同调的多线性相交形式确定。
A local systolic inequality and Gromov's filling area conjecture
本文讨论了围绕Gromov填充区猜想的一些问题。其旨在表明无法实现任何容积$< 2 π$充盈，并表明局部收缩不平等，这意味着总容积的先验估计值较低。这两个断言的证明，其中第二个是错误的，遭受了计算错误。
Amenable covers, volume and L2-Betti numbers of aspherical manifolds
我们提供了一个证明之间的不平等的体积和L2-贝蒂数的非球面流形格罗莫夫概述了一个战略的基础上的一般思想的Connes。该策略的实现涉及到测量等价关系，R-单纯复形的Gaboriau的L2-贝蒂数理论，以及可测群论的其他主题。进一步证明了L2-贝蒂数的消灭定理，推广了Cheeger和Gromov的一个经典结果.作为推论之一，我们得到了一个间隙定理，当非球面流形的极小体积足够小时，该定理意味着非球面流形的L2-贝蒂数为零。
Non-aspherical ends and nonpositive curvature
我们得到了一个封闭的连通流形B的拓扑限制，B的边界（可能非紧）的内部V承认一个完整的黎曼度量的非正截面曲率的流形。如果G表示B的基本群，则一个示例结果是B必须是非球面的且不可压缩的，如果下列之一为真：（1）V具有有限体积且G是虚拟幂零的，（2）G是虚拟幂零的且没有真的无挠子，（3）G同构于实秩> 1的一致不可约格。
Optimal systolic inequalities on Finsler Mobius bands
我们证明最佳收缩不等式Finsler莫比乌斯带的收缩期和高度的莫比乌斯带的福尔摩斯-汤普森体积。我们还建立了一个最佳的收缩不平等芬斯勒克莱因瓶的革命，我们猜想，以保持真实的任意芬斯勒度量。给出了Mobius带和克莱因瓶上的极值度量族.
Embolic volume and Betti numbers
本文给出了紧流形的栓塞体积与贝蒂数之间的关系的一个新结果。结果是对Durumeric以前工作的改进。证明是基于Gromov的方法出现在收缩几何。
Systolic freedom of loop space
给定一对整数m和n，使得1 < m < n，证明了每个n维流形都有任意小总体积的度量，并且具有如下性质：每个小于单位m-体积的m维子流形必同调挠.这一结果不同于一对互补维数的情形，对于互补维数，直接的尺规作图法起作用，并给出完全一般性的类似定理。在本文中，我们使用沙利文的望远镜模型的合理化空间观察收缩自由。
Covering Trick and Embolic Volume
根据Berger栓塞不等式定义了紧凑型支管的栓塞体积。在本文中，我们展示了栓塞体积与第一个贝蒂数相关的结果。证明依赖于Gromov在收缩几何中的覆盖论证。伯杰称这种方法为掩护伎俩。本文对掩护技巧进行了深入的研究和探讨。
Volume entropy semi-norm
我们在实同调中引入了体积熵半范数，并证明了它满足类似于单纯体积的函子性质。对M. Gromov，我们证明了体积熵半范数在每一个维度上都等价于单纯体积半范数。我们还建立了一个粗略的最佳上界收缩容积的倍数的任何同调类。
Systolic inequalities for S1-invariant contact forms in dimension three
该研究在切触几何领域，针对欧拉数非零的Seifert丛，证明了适用于所有底层圆周作用不变切触形式的通用收缩不等式，即用切触体积一致上界闭Reeb轨道的最短周期。
An optimal Loewner-type systolic inequality and harmonic one-forms of constant norm
给出了闭黎曼流形X上一个新的最优收缩不等式，它推广了包括C.洛纳我们用X的Abel-Jacobi映射A_X的几何刻划了边界相等的情形。对于一个极值度量，映射A_X是一个具有极小纤维的黎曼浸入到一个平坦环面上。我们用A.- M. Bergé和J. Martinet。给定一个闭流形X，它允许一个浸入F到它的Jacobi环面T^{b_1（X）}，我们构造X上所有实现不等式中的相等的度量。虽然可以在F的纤维上选择任意固定体积的度量，但水平空间是使用J. Moser构造体积保持流的多参数版本来选择的。
Combinatorial systolic inequalities
我们建立各种经典的收缩不等式的组合版本。对于闭光滑流形的光滑三角剖分，包含在$1$ -骨架中的同伦非平凡回路中的最小边数给出了一个称为组合收缩的整数。三角剖分中的顶维单形的数量给出了另一个称为组合体积的整数。证明了一类光滑流形对所有黎曼度量满足收缩不等式当且仅当它对所有光滑三角剖分满足相应的组合收缩不等式.一路上，我们表明，任何封闭的黎曼流形有一个光滑的三角形，“记得”几何的黎曼度量，反过来说，每一个光滑的三角形产生黎曼度量编码的组合的三角形。我们给出了这些结果的一些应用。
Contact forms with large systolic ratio in dimension three
闭三元流形上的切触形式的收缩比是闭Reeb轨道的最短周期的平方与切触体积的商。我们证明了任意闭三元流形上的每一个可共定向的切触结构都是由具有任意大收缩比的接触形式定义的。这表明Finsler几何和黎曼几何中的许多收缩不等式不是纯粹的接触拓扑现象。
Systolic inequalities and Massey products in simply-connected manifolds
我们证明了上同调环H^*（X）中非平凡Massey积的存在性对流形X的黎曼几何施加了整体约束.也就是说，我们表现出一个适当的收缩不等式，与这样的产品。这推广了与Y. Rudyak，在X有单位贝蒂数的情况下，实现了M的下一步.求与非平凡Massey乘积有关的几何不等式的Gromov程序。该不等式是一个体积下界，并通过一个合适的等周商依赖于度量。证明依赖于W.一对对偶格的连续极小值的Banaszczyk上界。这样的上界被应用于X的同调和上同调的整格。应用这种上界来获得体积下界的可能性首先在与V.Bangert的联合工作中被利用。后者的工作推导出收缩不等式从非平凡的杯产品的关系，其作用在这里发挥的梅西产品。
Volume of Riemannian manifolds, geometric inequalities, and homotopy theory
我们概述了目前的知识状态收缩型几何不等式，并证明了新的结果，包括收缩自由度在4维。也就是说，每一个紧致的、可定向的、光滑的4-流形X允许任意小体积的度量，使得每一个小于单位面积的可定向的浸入曲面在X中必然是零同调的。
Complexity of PL-manifolds
我们将Matveev关于3-流形的复杂性推广到任意维数的PL紧流形，并研究了它的性质。流形的复杂度是指在一个简单的脊中顶点的最小数目。我们研究了这个量如何在最常见的拓扑操作（处理添加，有限覆盖，钻孔和手术的领域，产品，连接的总和）和它的关系与一些几何不变量（格罗莫夫规范，球形体积，体积熵，收缩常数）。复杂性区分了一些同伦等价流形，并且在所有闭非球面流形上（特别是在具有非正截面曲率的流形上）是正的。对于任何给定的复杂性，都有许多闭双曲流形。另一方面，存在许多复杂性为零的闭4-流形（没有3-柄的流形，2-流形体的对偶，无穷多个奇异K3曲面，具有任意基本群的辛流形）。
Stable systolic inequalities and cohomology products
流形的上同调环中的乘法关系对流形的稳定系统施加约束。给定一个紧致的黎曼流形（X，g），它的实同调H_*（X，R）自然地被赋予稳定范数.简单地说，如果h \in H_k（X，R），则h的稳定范数是表示h的实圈的黎曼k-体积的下确界。稳定k-收缩是H_k（X，R）中整类格的非零元上的稳定范数的最小值。依赖于由于W而得到的数的几何的结果。Banaszczyk等人的工作，以及M. Gromov和J. Hebda，我们证明了稳定收缩乘积的度量无关不等式，其中乘积可以和X的实杯长一样长.
A local systolic-diastolic inequality in contact and symplectic geometry
设$Σ$是连通闭三元流形，$t_Σ$是$H_1(Σ;\mathbb Z)$的挠子群的阶.对于$Σ$上的接触形式$α$，用$\mathrm{Volume}(α)$表示$α$的接触体积，用$T_{\min}(α)$和$T_{\max}(α)$分别表示$α$的Reeb流的素周期轨道的最小周期和最大周期.如果$α$的Reeb流在$Σ$上生成一个自由的$S^1$ -action，我们说$α$是Zoll。我们证明了$Σ$上的每个Zoll接触形式$α_*$在接触形式空间中允许一个$C^3$ -邻居$\mathcal U$，使得\[ t_ΣT_{\min}(α)^2\leq \mathrm{Volume}(α)\leq t_ΣT_{\max}(α)^2,\qquad \forall\,α\in\mathcal U, \]和任何等式成立当且仅当$α$是Zoll。我们把上面的图推广到任意奇维$Σ$上的奇辛形式$Ω$。我们定义了$Ω$的体积，它概括了Hamilton函数的接触体积和Calabi不变量，以及$Ω$的封闭特征的作用，它概括了周期Reeb轨道的周期和Hamilton同态不动点的作用。我们说$Ω$是Zoll，如果它的特征是自由$S^1$ -作用在$Σ$上的轨道。证明了Zoll奇辛形式的体积和作用量满足一定的多项式方程。这建立了奇辛形式的推测局部收缩-舒张不等式的等式情况，我们在某些情况下建立了该…
Cohomological dimension, self-linking, and systolic geometry
给定一个闭流形M，我们证明了收缩积的长度的（n+d）/2的上界可以构成M的总体积的无曲率的下界，在M的精神下. Gromov收缩不等式这里n是M的维数，而d是它的基本群的上同调维数。我们应用这个上界来表明，在4-流形的情况下，Lusternik-Schnirelmann范畴是这样的长度的上界。进一步证明了b_1（M）=2的流形M上的一个收缩不等式，在其Abel-Jacobi映射到2-环面的典型纤维存在非平凡自联结类的情况下.
Fundamental groups of aspherical manifolds and maps of non-zero degree
我们定义了一类新的不可约群，称为非无穷指数可由乘积表示的群或非IIPP群。本文证明了具有非IIPP的基本群的非球面流形不允许由直积产生非零次映射。这扩展了以前的结果Kotschick和Loeh，提供了新的类非球面流形-超越那些非正弯曲的预测格罗莫夫-不承认地图的非零次从直积。一个例子是非球面几何4-流形允许一个非零次映射来自一个直积当且仅当它本身是一个虚积。这完成了Hillman产品几何形状的表征。一路上，我们证明了对某些群体的性质IIPP是一个标准的约化。这特别意味着相应的非球面流形的单纯体积的消失。证明了具有可约基本群的非球面流形总是允许由直积产生非零次映射。
Contact forms with large systolic ratio in arbitrary dimensions
如果（2n+1）维闭切触流形上的切触形式包含闭Reeb轨道，则其收缩比定义为Reeb轨道最短周期的n+1次方与切触体积的商.证明了闭切触流形上的每一个可共定向的切触结构都存在一个具有任意大收缩比的切触形式。这一陈述将Abbondandolo等人最近的结果从三维推广到更高维。我们推广了Abbondandolo et.通过将作者所研究的Hamilton圆盘映射推广到任意维的辛球上，将Hamilton圆盘映射推广到任意维的辛球上。该塞子是一个映射环面，它配备了一个特殊的接触形式，这样，如果Reeb流在给定的接触流形的“大”部分上导致一个圆丛，人们就可以用它来修改给定的接触形式。插入插头会吸走接触体积，而最小周期保持不变。遵循Abbondandolo等人的思想，利用Giroux的Liouville开书理论，证明了任何可共定向的切触结构都是由一个接触形式定义的，该接触形式适合于通过插入插塞来修改.
Isometries, rigidity, and universal covers
我们对所有闭的非球面黎曼流形M进行了分类，M的万有覆盖具有不离散等距群。一个例子应用是定理，任何这样的M字双曲基本群必须等距到一个负弯曲，局部对称流形。另一个应用是所有可收缩的黎曼流形的分类覆盖紧和（非紧的，完整的）有限体积流形。也有应用到霍普夫猜想，一个新的证明Kazhdan猜想（弗兰克尔定理）在复杂的几何等思想的证明来自李理论，同调理论的变换群，调和映射，和大规模的几何。非非球面的情况下，也给出了一个扩展。
Volume and macroscopic scalar curvature
我们证明了以下三个猜想的宏观表兄弟：1）在数量曲率下界存在的情况下，黎曼流形的单纯体积的几何上界; 2）有理本质流形不允许度量具有正的数量曲率的猜想; 3）在数量曲率下界存在的情况下，非球面黎曼流形的$L^2$贝蒂数的几何上界.宏观表兄弟是通过用泛覆盖中的$1$ -球的体积的上界代替下数量曲率界而得到的陈述。
Stable complexity and simplicial volume of manifolds
设闭流形M的复杂度是M的三角剖分中的最小单形数。这样一个量对于有限覆盖来说显然是次乘法的，并且通过取M的所有有限覆盖上的下确界，用覆盖度归一化，我们可以将其提升为乘法不变量，这是Milnor和Thurston已经考虑过的一个示性数，他们称之为M的“稳定复杂度”。本文研究了M的稳定复杂度与Gromov单纯体积之间的关系||M||.这是直接表明，||M||小于或等于M的稳定复杂度，自然会问这两个量在具有剩余有限基本群的非球面流形上是否重合。我们证明并不总是这样：存在一个常数C_n<1使得||M||对于维数至少为4的任何双曲流形M，第三方面的问题一般来说仍然是开放的。我们证明了稳定复杂度等于||M||对于任何非球面不可约3-流形M，其JSJ分解由Seifert片和/或双曲片组成，可与8字形纽结补叠加。如果一个特定的三维版本的Escheriche preis猜想是真的，那么这个等式对所有闭双曲三维流形都成立。
Systolic inequalities for K3 surfaces via stability conditions
本文引入Bridgeland稳定性条件的范畴收缩与范畴体积概念，证明任意射影K3曲面上存在仅依赖Picard群秩与判别式的常数C，使收缩平方不超过C倍体积，推广了二维环面经典收缩不等式并讨论其在辛几何中的应用。
On a problem of Hopf for circle bundles over aspherical manifolds with hyperbolic fundamental groups
本文完全刻画了具有双曲基本群的闭可定向非球面流形上圆丛的绝对度大于一的自映射存在性，证明其等价于丛虚拟平凡，并由此验证了Hopf问题的强版本，同时构造了关于映射度单调的新数值不变量。
Systolic inequalities for metric surfaces via filling minimality
研究与亏格为1的环面或实射影平面同胚的长度空间的最优收缩不等式，通过分析万有覆盖渐近体积增长等方法，推广了黎曼和芬斯勒曲面的经典结果，证明依赖相关理论并基于前人工作。
Filling inequalities do not depend on topology
Gromov的泛填充不等式将黎曼流形的填充半径和填充体积与它的体积联系起来。本文的主要结果是，在维数至少为3时，填充不等式中的最佳常数只依赖于维数和可定向性，而不依赖于流形本身。这与最优收缩不等式的类似情况形成对比，后者确实依赖于流形。
Sur la géométrie systolique des variétés de Bieberbach
紧致非单连通黎曼流形的收缩是不可收缩闭曲线的最小长度;收缩比是商$(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$。它的上确界在所有黎曼度量的集合上，已知对于一大类流形是有限的，包括$K(π,1)$。研究了紧致三维不可定向Bieberbach流形的最优收缩比，证明了它不能用平坦度量来实现。
Contact geometry and isosystolic inequalities
在收缩几何中一个长期存在的问题是，在体积等于标准度量但不等距于标准度量的实射影空间上的黎曼度量是否一定带有长度小于π的周期测地线。收缩几何的接触几何重新表述和使用规范的扰动理论，使我们能够解决这个问题的参数版本。也就是说，我们证明了，如果g_s是正则度量的光滑保体积变形，并且在s=0时，变形不与平凡变形的所有阶相切（即，对于某些同位素（_s），变形为_s^* g_0形式，则度量g_s的最短周期测地线的长度在s=0处达到π作为严格的局部极大值。这一结果仍然适用于复杂的和四元数的射影空间以及凯莱平面。此外，同样的技术可以应用于显示Zoll Finsler流形是收缩期容积的唯一光滑临界点。
Sharp systolic inequalities for Kähler manifolds
本文研究了具有正标量曲率度量的二维系数不变量的紧系数不等式，包括紧Kähler流形的2-系数和球面2-系数，以及一般spin^c流形及其积上的稳定2-系数。这些界限在复射影空间配备Fubini-Study度量时达到等号，并进一步细化Fano流形以区分复二次曲面、三次曲面和四次曲面。此外，还获得了允许Kähler度量总标量曲率非负的流形的代数特征化，从而证明了Gromov的Kähler度量有理本质性猜想。最后，证明了在一般本质性条件下spin^c流形的稳定2-系数和Kähler流形的Gromov宽度、体积和更高稳定系数的统一界限。
Systolic freedom of orientable manifolds
在1972年，Marcel Berger定义了度量不变量，它描述了黎曼流形的k维同调的“大小”。这个不变量后来被称为k维代数。他问，根据1949年C.洛纳我们构造度量，灵感来自M。Gromov的1993年的例子，它给出了一个否定的答案大类的流形，为产品的systoles在一对互补的层面。一个障碍（限制k模4），以构建进一步的例子，我们的方法似乎驻留在真正的Bott周期的自由部分。该构造发生在一个合适的k维子流形的分裂邻域中，该子流形的连通分量（理性地）生成该流形的k维同调群。有界几何（与coarea不等式相结合）意味着k收缩期的下限，而在该邻域中支持的校准提供了互补维度收缩期的下限。在4维中，一切都简化为S^2 × S^2的情形。
Complete quaternionic Kähler manifolds with finite volume ends
我们构造了具有有限体积端点的完备四元数Kähler流形的例子，这些流形不是局部齐次的。这些流形是非球面的，其基本群是半单群中的格与海森堡群中的格的半直积的无限循环扩张。它们的泛覆盖是非紧型对称空间的上齐性变形。
Ends of finite volume, nonpositively curved manifolds
研究了具有有界非正截面曲率的完备有限体积$n$ -流形$M$. Gromov的一个经典定理说，如果这样的$M$具有负曲率，那么它同胚于带边界的紧致流形的内部，我们将此边界记为$\partial M$。如果是$n\geq 3$，我们证明了边界$\widetilde{\partial M}$的泛覆盖和边界$\partial\widetilde M$的$π_1M$ -覆盖有消失的$(n-2)$ -维同调.对于$n=4$，第一个恢复了Nguyen Phan的结果，即边界$\partial M$的每个分量都是非球面的。对于任何$n\geq 3$，第二个意味着第一群上同调群与群环系数$H^1(Bπ_1M;\mathbb Zπ_1M)=0$的消失。结果是$π_1M$是不可自由分解的。这些结果推广到有界非正曲率流形$M$，如果我们假设$M$同胚于一个有边界的紧致流形的内部。我们的方法是一种形式的“同调崩溃”的有限体积流形的有界非正曲率的结束。这篇论文受到了Nguyen Phan早期尚未发表的作品的影响。
Gromov's Simplicial Volume Vanishing Conjecture for Positive Scalar Curvature
本文在基本群满足一种自然弱化的快速衰减性质的条件下，证明了Gromov猜想：任何允许正标量曲率度量的闭流形具有消失的单纯体积。
Rigidity theorems for the area widths of Riemannian manifolds
本文证明了紧致Riemannian流形体积谱的刚性定理，包括二维射影平面度量由体积谱决定、三维球面Zoll度量由面积宽度刻画，并建立了三维射影空间的锐利面积systolic不等式。
Calabi-Yau type theorem for complete manifolds with nonnegative scalar curvature
本文利用次线性体积增长流形中弱平均凹边界区域的存在性，证明了非负数量曲率完备流形的 Calabi-Yau 型定理，并应用于证明正数量曲率完备可缩 3-流形同胚于 R^3。
Balanced metrics, Zoll deformations and isosystolic inequalities in $\mathbb{C}P^n$
本文研究复射影空间在齐性度量和平衡度量下的周长行为，证明齐性度量最大化周长，凯勒度量局部最小化周长，并应用积分几何技术分析Zoll-like变形的周长特性。
On Isosystolic Inequalities for T^n, RP^n, and M^3
若闭光滑n-流形M有一个有限复盖，其Z/2 Z-上同调具有最大杯长，则对M上的任意黎曼度量g，我们证明了收缩Sys（M，g）与黎曼流形（M，g）的体积Sys（M，g）之间存在如下的等收缩不等式：Sys（M，g）^n \leq n！（M，g）.该不等式可以看作是Burago和Hebda关于闭本质曲面的不等式的推广，也可以看作是Guth关于Z/2 Z-上同调具有最大杯长的闭n-流形的不等式的改进。我们也建立了同样的不等式的背景下，可能非紧流形下类似的上同调条件。这个不等式适用于（i）T^n和所有其他紧致欧几里得空间形式，（ii）RP^n和包括庞加莱十二面体空间在内的许多其他球面空间型，以及（iii）包括所有闭非球面三维流形在内的大多数闭本质三维流形。
Isosystolic inequalities for optical hypersurfaces
我们探讨了一个自然的推广收缩几何芬斯勒度量和光学超曲面，特别强调其关系的马勒猜想和数的几何。特别是，我们表明，如果一个光学超曲面的接触类型的余切丛的2维环面包围体积$V$，那么它携带的周期性特征，其作用是最多$\sqrt{V/3}$。这个结果是从闵可夫斯基格点定理的一个有趣的对偶版本推导出来的：如果原点是平面凸体内部的唯一整数点，则其对偶体的面积至少为3/2。
Minimal Submanifolds and Waists of Locally Symmetric Spaces
本文研究局部对称空间的高维扩张，证明八元数双曲流形余二维极小子流形的线性体积下界及腰不等式，并推广得到低维映射纤维的基本群增长与 $SL_n(\mathbb{R})$ 格的性质 $FA_{\lfloor n/8\rfloor-1}$。
Macroscopic band width inequalities
受Gromov关于"度量不等式与标量曲率"的工作的启发，我们建立了$(V=M\times[0,1],g)$形式的黎曼带的带宽不等式，其中$M^{n-1}$是一个闭流形.引入了一类新的可定向流形，我们称之为填充可扩流形，并证明了：如果$M$是填充可扩流形，且$(V,g)$的泛覆盖中所有单位球的体积小于一个常数$\frac{1}{2}\varepsilon_n$，则$width(V,g)\leq1$.证明了如果闭可定向流形是可扩张的或非球面的，则它是充满可扩张的。进一步证明了闭可定向流形是否填充可扩，仅取决于其基本类在泛覆盖分类映射下的象。
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