周期和稳定性

奇圈的Ramsey数的新上界

New upper bound for multicolor Ramsey number of odd cycles

令$r_k(C_{2m+1})$为长度为$2m+1$的奇数圈$C_{2m+1}$的$k$ -色拉姆齐数.它表明，对于每个固定的$m\ge2$，\[r_k(C_{2m+1})<c^{k}\sqrt{k!}\]的所有足够大的$k$，其中$c=c(m)>0$是一个常数。这改进了Bondy和Erdwords的一个旧结果（Ramsey numbers for cycles in graphs，J. Combin.理论系列B 14（1973）46-54）。

2018-10-24math.CO

关于一对环的尺寸拉姆齐数

On size Ramsey numbers for a pair of cycles

本文证明了一对环的尺寸拉姆齐数存在线性上界，并研究了受限尺寸拉姆齐数。

2023-08-31math.CO

圈的广义Petersen图的反Ramsey问题

Anti-Ramsey problems in the generalized Petersen graphs for cycles

反拉姆齐数$Ar(G,H)$是在没有$H$的彩虹拷贝的情况下，$G$的边着色中的最大颜色数。本文确定了广义Petersen图$P_{n,k}$中的反Ramsey数，其中$C_d$是圈，$1\leq k\leq \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$和$5\le d \le 6$ .给出了求反Ramsey数的上界或下界的算法。

2021-10-05math.CO

长偶数圈对恒星的Ramsey数

The Ramsey number of a long even cycle versus a star

当$\ell$和$n=O(\ell^{10/9})$较大时，我们找到了Ramsey数$R(C_{2\ell},K_{1,n})$的精确值。我们的结果与Turán数$ex(N, C_{2\ell})$的行为密切相关，对于偶数圈，其长度随$N$快速增长。

2020-10-20math.CO

四圈对轮的平面Ramsey数

Planar Ramsey Numbers of Four Cycles Versus Wheels

对于两个给定的图$G$和$H$，平面Ramsey数$PR(G,H)$是最小整数$n$，使得$n$顶点上的每个可平面图$F$或者包含$G$的副本，或者其补图包含$H$的副本。本文首先刻画了无$C_4$平面图的一些结构性质，然后确定了无$C_4$平面图的所有平面Ramsey数$PR(C_4, W_n)$，对于$n\ge 3$ .

2013-04-24math.CO

奇圈的阈值Ramsey重数

Threshold Ramsey multiplicity for odd cycles

图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小$n$。阈值Ramsey多重性$m(H)$则是在$K_{r(H)}$的所有双边缘着色上取得的$H$的单色拷贝的最小数目。这一概念的研究最早是由Harary和Prins在近50年前提出的。在另一篇论文中，作者证明了存在一个正的常数$c$，使得具有$k$顶点的路径或甚至圈的阈值Ramsey重数至少为$(ck)^k$，这紧到$c$的值。在这里，使用不同的方法，我们表明，同样的结果也适用于奇数圈与$k$顶点。

2021-09-20math.CO

奇圈的多色Ramsey数

Multicolour Ramsey Numbers of Odd Cycles

证明了对任意正整数$r$，存在一个整数$k$和$K_{2^{k}+1}$的边的$k$ -着色，且不存在长度小于$r$的单色奇循环.这使得Erdés和Graham的一个问题的进展，并回答了Chung的一个问题。我们使用这些着色给新的下界$k$ -彩色拉姆齐数的奇循环，并证明，所有奇$r$和所有$k$足够大，存在一个常数$ε= ε(r) > 0$，使$R_{k}(C_{r}) > (r-1)(2+ε)^{k-1}$。

2017-01-16math.CO

八圈的Gallai-Ramsey数

Gallai-Ramsey number of an 8-cycle

给定图$G$和$H$以及正整数$k$，Gallai-Ramsey数$gr_{k}(G : H)$是最小整数$N$，使得对于任何整数$n \geq N$，$K_{n}$的每个$k$ -边着色包含$G$的彩虹副本或$H$的单色副本。这些数字最近已被研究的情况下，当$G = K_{3}$，其中仍然只有几个精确的数字是已知的所有$k$。在本文中，我们推广了已知的精确Gallai-Ramsey数，包括$H = C_{8}$的所有$k$。

2019-05-18math.CO

偶数圈的度Ramsey数

Degree Ramsey numbers for even cycles

令$H\xrightarrow{s} G$表示$E(H)$的任何$s$ -着色包含单色$G$。图$G$的度Ramsey数，记为$R_Δ(G, s)$，为$\min \{Δ(H): H \xrightarrow{s} G \}$。我们考虑度Ramsey数$G$是一个固定的甚至循环。Kinnersley、Milans和West证明了$R_Δ(C_{2k},s) \geq 2s$，Kang和Perarnau证明了$R_Δ(C_4, s) = Θ(s^2)$。我们的主要结果是$R_Δ(C_6, s) = Θ(s^{3/2})$和$R_Δ(C_{10}, s) = Θ(s^{5/4})$。此外，我们大大提高了一般$k$的$R_Δ(C_{2k}, s)$的下限。

2016-10-03math.CO

奇环-完全Ramsey数的多项式改进

A polynomial improvement for the odd cycle-complete Ramsey numbers

Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)（巴西国家纯粹与应用数学研究所）；King’s College London, Department of Mathematics（伦敦国王学院）

本文改进了奇环-完全Ramsey数的下界，通过多项式因子提升，揭示了对于固定奇数ℓ>7，当k趋近于无穷时，Ramsey数的渐进行为。

2026-05-01math.CO

两组圈的广义Ramsey数

Generalised Ramsey numbers for two sets of cycles

我们确定了两个循环集$Γ_1$和$Γ_2$的几个广义Ramsey数，特别地，所有广义Ramsey数$R(Γ_1,Γ_2)$使得$Γ_1$或$Γ_2$包含长度至多为$6$的循环，或者每个集合中的最短循环是偶数.这概括了Erdés，Faudree，Rosta，Rousseau和Schelp从20世纪70年代开始的先前结果。值得注意的是，在一个集合中包括$C_3$和$C_4$两者与仅包括$C_4$几乎没有区别。此外，我们给出了一般情况下的一个猜想。我们还描述了许多$(Γ_1,Γ_2)$ -避免图，包括大多数$(Γ_1,Γ_2)$ -关键图的完整特征，即，$(Γ_1,Γ_2)$ --在$R(Γ_1,Γ_2)-1$顶点上的避免图，使得$Γ_1$或$Γ_2$包含长度至多为$5$的圈。对于长度$4$，这是Wu，Sun和Radziszowski最近结果的简单推广，其中$|Γ_1|=|Γ_2|=1$。对于长度$3$和$5$，我们的结果是新的，即使在这种特殊情况下。关键词：广义Ramsey数，临界图，圈，圈集

2016-05-13math.CO

3-一致松弛路和松弛圈的Ramsey数

Ramsey numbers of 3-uniform loose paths and loose cycles

哈克塞尔等[ %P. Haxell，T. Luczak，Y. Peng，V. Rödl，A. % Rucibrski，M. Simonovits，J. Skokan，超图圈的Ramsey数I，J. Combin。Theory，Ser. A，113（2006），67 - 83]证明了$2n$顶点上的3-一致松弛圈的2-色Ramsey数是渐近的$\frac{5n}{2}$.他们的证明是基于正则引理的方法。在这里，不使用这种方法，我们推广了他们的结果，通过确定的确切值的2色Ramsey数涉及松散的道路和圈的3-一致超图。更准确地说，我们证明了，对于每个$n\geq m\geq 3$，$R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{P}^3_m)=R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{C}^3_m)=R(\mathcal{C}^3_n,\mathcal{C}^3_m)+1=2n+\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor$和$n>m\geq3$，$R(\mathcal{P}^3_m,\mathcal{C}^3_n)=2n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor$。这些给出了一个积极的回答问题的Gyárfás和Raeisi [拉姆齐数松散的三角形和四边形在超图，电子。19（2012），#R30]。

2012-11-25math.CO

哈密顿圈的奇拉姆齐数

Odd-Ramsey numbers of Hamilton cycles

Department of Mathematics, National Taiwan University（台湾大学数学系）；Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合与优化系）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学与技术研究所）

本文研究哈密顿圈的奇拉姆齐数，通过有限域构造和奇偶切换组合框架证明其渐近阶为$\Theta(\sqrt{n})$，并初步探讨Dirac图中该类奇拉姆齐数的性质。

2025-11-13math.CO

奇圈的Gallai-Ramsey数

Gallai-Ramsey numbers of odd cycles

给定两个图$G$和$H$以及一个正整数$k$，用$gr_{k}(G : H)$表示的$k$ -色Gallai-Ramsey数是最小整数$N$，使得对于所有$n \geq N$，$K_{n}$的边的每个$k$ -着色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝。我们证明了对于所有的$k \geq 1$和$\ell \geq 3$，都有$gr_{k} (K_{3} : C_{2\ell + 1}) = \ell \cdot 2^{k} + 1$.

2021-06-20math.CO

路与偶圈的多色Ramsey数

Multicolour Ramsey numbers of paths and even cycles

证明了路和偶圈的多色Ramsey数的新的上界.众所周知，$(k-1)n+o(n)\leq R_k(P_n)\leq R_k(C_n)\leq kn+o(n)$ .上界最近改进了Sárközy谁表明，$R_k(C_n)\leq\left(k-\frac{k}{16k^3+1}\right)n+o(n)$。在这里，我们展示了$R_k(C_n) \leq (k-\frac14)n +o(n)$，通过绝对常数获得线性项系数的第一次改进。

2017-02-23math.CO

$P_3$与循环的受限大小Ramsey数

Restricted size Ramsey number for $P_3$ versus cycles

设$F$、$G$和$H$是简单图。我们称之为$F \rightarrow (G, H)$，如果对于$F$的边的每个$2$ -着色，存在$F$中的单色$G$或$H$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为$r(G, H) = min\{|V (F)|: F \rightarrow (G, H)\}$，而受限大小的拉姆齐数$r^{*}(G, H)$定义为$r^{*}(G, H) = min\{|E (F)|: F \rightarrow (G, H) , |V (F) | = r(G, H)\}$。在本文中，我们确定以前未知的限制大小拉姆齐数$r^{*}(P_3, C_n)$为$7 \leq n \leq 12$。对于偶$n \geq 8$，我们也给出了新的上界$r^{*}(P_3, C_n) \leq 2n-2$.

2018-11-20math.CO

cycle与给定大小的图的Ramsey数

Ramsey number of a cycle versus a graph of a given size

KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库拉-科特赖克校区）；HUN-REN, Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育网络，阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）；University College London（伦敦大学学院）

本文证明了cycle与给定大小的图的Ramsey数上限，解决了Erdős等人提出的问题。

2026-01-15math.CO

奇环多色Ramsey数的一个改进上界

An improved upper bound for the multicolour Ramsey number of odd cycles

该研究推导出长度为$2\ell+1$的奇环的$k$色Ramsey数的改进上界$(4\ell)^k \cdot k^{k/\ell}$，证明了Fox的猜想，实现了自1973年以来该问题指数项的首次超绝对常数因子改进。

2025-10-20math.CO

大型偶数周期和风扇的Ramsey数

Ramsey numbers of large even cycles and fans

对于图$F$和$H$，Ramsey数$R(F, H)$是最小的正整数$N$，使得$K_N$的任何红/蓝边着色包含红色$F$或蓝色$H$。设$C_n$是长度为$n$的圈，$F_n$是由共享一个公共顶点的$n$三角形组成的扇形。本文证明了对所有充分大的$n$，\[ R(C_{2\lfloor an\rfloor}, F_n)= \left\{ \begin{array}{ll} (2+2a+o(1))n & \textrm{if $1/2\leq a< 1$,}\\ (4a+o(1))n & \textrm{if $ a\geq 1$.} \end{array} \right. \]

2022-10-25math.CO

路与偶圈的阈值Ramsey重数

Threshold Ramsey multiplicity for paths and even cycles

图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。虽然这个定义只要求$H$的一个单色副本，但通常情况下，完全图的$r(H)$顶点上的每个两边着色都包含$H$的许多单色副本。在$K_{r(H)}$的所有两种着色上的这种拷贝的最小数目将被称为$H$的阈值拉姆齐多重性。解决一个问题的Harary和普林斯，谁是第一个系统地研究这个数量，我们表明，有一个积极的常数$c$，使阈值拉姆齐多重路径或甚至循环$k$顶点至少是$(ck)^k$。这个界限紧到常数$c$。我们证明了一个类似的结果奇数周期的配套文件。

2022-08-07math.CO

4-一致紧圈的拉姆齐数

The Ramsey number for 4-uniform tight cycles

该研究聚焦4-一致紧圈与紧路的拉姆齐数问题，证明了含4n个顶点的4-一致紧圈的拉姆齐数为(5+o(1))n（渐近紧），并由此推导出含n个顶点的4-一致紧路的拉姆齐数为(5/4+o(1))n。

2024-09-16math.CO

路的多色二部Ramsey数

Multicolour bipartite Ramsey number of paths

二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{N,N}$包含$H$的单色副本的最小整数$N$.对二部拉姆齐数的研究是在40多年前由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立发起的，他们确定了路的$2$ -色二部拉姆齐数。最近的$3$ -颜色拉姆齐数的路径和（甚至）周期，基本上是确定的。本文改进了DeBiasio，Gyárfás，Krueger，Ruszinkó和Sárközy的结果，渐近地确定了路和圈的$4$ -色二部Ramsey数.我们还提供了新的上界的$k$ -颜色的二部Ramsey数的路径和周期是接近紧。

2019-09-17math.CO

非平凡Berge圈的Ramsey数

Ramsey Numbers for Non-trivial Berge Cycles

本文考虑圈完全图Ramsey数到超图Berge圈的推广：对于$k \geq 2$，{ \em非平凡Berge $k$ -圈}是一族集合$e_1,e_2,\dots,e_k$，使得$e_1 \cap e_2, e_2 \cap e_3,\dots,e_k \cap e_1$有一个不同的代表系统和$e_1 \cap e_2 \cap \dots \cap e_k = \emptyset$ .在所有集合$e_i$的大小为3的情况下，设$\mathcal{B}_k$表示所有非平凡Berge $k$ -圈的族。{ \em Ramsey数} $R(t,\mathcal{B}_k)$表示使得每个$n$ -顶点$3$ -一致超图包含一个非平凡Berge $k$ -圈或一个大小为$t$的独立集的最小$n$.我们证明了\[ R(t, \mathcal{B}_{2k}) \leq t^{1 + \frac{1}{2k-1} + \frac{4}{\sqrt{\log t}}}\]，而且，我们表明，如果猜想的Erdens和Simonovits \cite{ES}围长图是真的，那么这是紧到一个因素$t^{o(1)}$作为$t \rightarrow \infty$。

2021-09-17math.CO

带弦偶圈的Gallai-Ramsey数

Gallai-Ramsey number of even cycles with chords

对于图$H$和整数$k\ge1$，$k$ -色Ramsey数$R_k(H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每一个$k$ -着色都包含$H$的单色副本.令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。不同于Ramsey数的奇循环，很少有人知道$R_k(C_{2n})$的一般行为，除了$R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$的所有$k\ge2$和$n\ge2$。本文研究了具有弦的偶数圈在Gallai染色下的Ramsey数，其中Gallai染色是指不含彩虹三角形的完全图的边的染色。对于整数$k\geq 1$，图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。证明了对于所有的$k\geq 2$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n})=(n-1)k+n+1$.这意味着$GR_k(C_{2n})=(n-1)k+n+1$均为$k\geq 2$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少四个顶点上的所有偶数圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。

2020-09-16math.CO

关于圈对的限制Ramsey数

On the restricted size Ramsey number for a pair of cycles

对于图$H_1,H_2$ × $r^*(H_1,H_2)$，我们表示图$G$在$r(H_1,H_2)$顶点上的最小边数，使得$G\to (H_1,H_2)$。我们证明了对于每对自然数$k,n$，$k\le n$，其中$k$是奇数，$n$足够大，我们有$$r^*(C_n,C_k)=\lceil (n+1)(2n-1)/2\rceil \,.$$

2022-08-17math.CO

一致超图中松圈的对角Ramsey数

Diagonal Ramsey numbers of loose cycles in uniform hypergraphs

一个$k$ -一致松圈$\mathcal{C}_n^k$是一个顶点集为$\{v_1,v_2,\ldots,v_{n(k-1)}\}$，边集为$e_i=\{v_{(i-1)(k-1)+1},v_{(i-1)(k-1)+2},\ldots,v_{(i-1)(k-1)+k}\}$，$1\leq i\leq n$的超图，这里我们使用模$n(k-1)$算法. Ramsey数$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$是渐近的$\frac{1}{2}(2k-1)n$，正如Gyárfás、Sárközy和Szemerédi所证明的。本文研究了$\mathcal{C}^k_n$的对角Ramsey数的确定问题，证明了对于$n\geq 2$和$k\geq 8$ $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)=(k-1)n+\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$$

2015-03-03math.CO

自行车和车轮的稳定性和拉姆齐数

Stability and Ramsey numbers for cycles and wheels

我们研究了完全图的红蓝边着色的结构，对于奇数$n$，没有$n$ -圈$C_n$的副本为红色，也没有$n$ -轮$W_n = C_n \ast K_1$的副本为蓝色。我们的第一个主要结果是，在任何这样的着色，删除最多两个顶点，我们得到一个顶点划分的$G$成三个集，使边缘内的分区类是红色的，和分区类之间的边缘是蓝色的。作为第二个结果，我们得到了$r(C_{2k+1},W_{2j})$的Ramsey数的界为$k < j$整数，这渐近确认的值$4j+1$，因为它是由张等人证明。

2015-01-30math.CO

圈与5点完全图的星临界Ramsey数

Star-critical Ramsey numbers for cycles versus the complete graph on 5 vertices

令$G$、$H$和$K$表示三个没有环或平行边的图，$n$表示一个整数。给定$G$边缘的任何红蓝色着色，如果$K$中存在$G$的红色副本或$K$中存在$H$的蓝色副本，则我们称之为$K \rightarrow (G,H)$。设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$C_n$表示$n$顶点上的圈，$S_n=K_{1,n}$表示$n+1$顶点上的星.拉姆齐数$r(G, H)$定义为$\min\{n \mid K_n\rightarrow (G,H)\}$。同样，星临界拉姆齐数$r_*(H, G)$定义为$\min\{k \mid K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (H, G) \}$。当$n >3$，在本文中，我们表明，$r_*(C_n,K_5)=3n-1$除了$r_*(C_4,K_5)=13$。我们还刻画了所有Ramsey临界$r(C_n,K_5)$图。

2019-01-29math.CO

循环和集团的方向Ramsey阈值

Orientation Ramsey thresholds for cycles and cliques

如果$G$是一个图，而$\vec H$是一个定向图，我们写$G\to \vec H$是说$G$的边的每一个方向都包含$\vec H$作为一个子图。我们考虑的情况下，其中$G=G(n,p)$，二项随机图。我们确定阈值$p_{\vec H}=p_{\vec H}(n)$的属性$G(n,p)\to \vec H$的情况下，其中$\vec H$是一个完全图或一个循环的非循环方向。

2020-12-15math.CO

3-连通匹配与圈的有色非对称二部Ramsey数

3-colored asymmetric bipartite Ramsey number of connected matchings and cycles

令$k,l,m$为整数，并且$r(k,l,m)$为最小整数$N$，使得对于$K_{N,N}$的任何红-蓝-绿着色，在组件中存在大小至少为$k$的红色匹配，或者在组件中存在大小至少为$l$的蓝色匹配，或者在组件中存在大小至少为$m$的绿色匹配。本文完全确定了$r(k,l,m)$的精确值。应用一种技术起源于Zuuczak，应用Szemerédi的正则引理，以减少问题的存在，显示一个单色的循环，以显示存在的单色匹配的一个组件，我们获得了3色不对称的二分拉姆齐数的循环渐近。

2018-09-18math.CO

偶环的多色大小拉姆齐数

The Multicolour Size--Ramsey Number of an Even Cycle

School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；ECOPRO, Institute for Basic Science（基础科学研究所ECOPRO）；School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）

该研究确定了偶环的k色大小拉姆齐数，给出了其渐近阶表达式，下界源于路径相关结果，上界改进了前人的$O(k^{34}n)$估计。

2026-09-01math.CO

nK2的大小、多部Ramsey数与路-路和圈的关系

The size, multipartite Ramsey numbers for nK2 versus path-path and cycle

对于给定的图$G_1, G_2,\ldots, G_n$和任何整数$j$，多部拉姆齐数$m_j(G_1, G_2,\ldots, G_n)$的大小是最小的正整数$t$，使得$K_{j\times t}$的边的任何$n$ -着色包含$G_i$的单色副本，对于某些$i$，$1 \leq i \leq n$，其中$K_{j\times t}$表示具有$j$类的完全多部图，每个类具有$t$顶点。本文计算了多部Ramsey数$m_j(K_{1,2}, P_4, nK_2)$对任意$j,n\geq 2$和$m_j(nK_2,C_7)$，对任意$j\leq4$和$n\geq 2$的大小.

2021-01-03math.CO

带弦奇圈的Gallai-Ramsey数

Gallai-Ramsey number of odd cycles with chords

Gallai染色是指没有彩虹三角形的完全图的边的染色，Gallai $k$-染色是指使用最多$k$颜色的Gallai染色。对于整数$k\geq 1$，给定图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。我们证明了对于所有的$k\geq 1$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$.这意味着$GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$均为$k\geq 1$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少五个顶点上所有奇圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。

2020-09-16math.CO

一致松弛路和圈的Ramsey数

Ramsey numbers of uniform loose paths and cycles

最近，一致超图中松弛路和圈的Ramsey数的确定受到了广泛的关注。证明了$k$ -均匀松弛圈$\mathcal{C}^k_n$的$2$ -色Ramsey数$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$是渐近的$\frac{1}{2}(2k-1)n$ .在这里，我们猜想，对于任何$n\geq m\geq 3$和$k\geq 3,$ $$R(\mathcal{P}^k_n,\mathcal{P}^k_m)=R(\mathcal{P}^k_n,\mathcal{C}^k_m)=R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_m)+1=(k-1)n+\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor.$$最近的情况$k=3$是由作者证明。在本文中，首先，我们证明了这个猜想是正确的$k=3$与一个更短的证明。然后，我们证明了，对于固定的$m\geq 3$和$k\geq 4$的猜想是等价的（只有）最后一个平等的任何$2m\geq n\geq m\geq 3$。因此，$m=3$的证明如下。

2016-02-17math.CO

$5$ -均匀松弛圈的Ramsey数

Ramsey numbers of $5$-uniform loose cycles

Gyárfás等人确定了$\mathcal{C}^k_n$的对角Ramsey数的渐近值，$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n),$对Haxell等人的$k=3$产生了相同的结果。最近，完全确定了3-一致松弛路和圈的Ramsey数的精确值。这些结果是动机推测，对于每一个$n\geq m\geq 3$和$k\geq 3,$ $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_m)=(k-1)n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor,$$所提到的Omidi等人。最近，它表明，这一猜想是真实的$n=m\geq 2$和$k\geq 7$和$k=4$时，$n>m$或$n=m$是奇数。在这里，我们调查这个猜想$k=5$和证明，它持有$k=5$和足够大的$n$。

2018-06-14math.CO

利用非线性优化求奇圈的精确Ramsey数

Exact Ramsey numbers of odd cycles via nonlinear optimisation

对于图$G$，$k$ -色拉姆齐数$R_k(G)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每个$k$ -色包含$G$的单色副本.令$C_n$表示$n$顶点上的圈。我们表明，固定$k\geq2$和$n$奇数和足够大，\[ R_k(C_n)=2^{k-1}(n-1)+1. \]这解决了一个猜想的邦迪和Erdabins [J. Combin。日Ser. B \textbf{14}（1973），46- 54]。证明是分析的性质，其中的第一步是使用规律性的方法，将这个问题在拉姆齐理论的一个非线性优化。这使我们能够证明一个稳定型的概括上述和建立一个令人惊讶的对应极端$k$ -着色这个问题和完美匹配的$k$ -维超立方体$Q_k$。

2016-08-19math.CO

大型书籍--循环Ramsey数

Large book--cycle Ramsey numbers

设$B_n^{(k)}$是由所有共享公共$K_k$的$K_{k+1}$的$n$个拷贝组成的书图，并且设$C_m$是长度为$m$的圈。本文首先确定了$\frac{8}{9}n+112\le m\le \lceil\frac{3n}{2}\rceil+1$和$n \geq 1000$的$r(B_n^{(2)}, C_m)$的精确值。这回答了Faudree，Rousseau和Sheehan的一个问题（Cycle-book Ramsey numbers，{PDMATHAMV Ars Combin.，} { \bf 31}（1991），239- 248），当$m$和$n$较大时，以更强的形式。在此精确结果的基础上，我们能够确定每个$k \geq 3$的$r(B_n^{(k)}, C_n)$的渐近值。这推广了Rousseau和Sheehan（A class of Ramsey problems involving trees，{ \it J.~伦敦数学~ Soc.，}（1978），392- 396）。

2021-02-05math.CO

反Ramsey循环阈值

Anti-Ramsey threshold of cycles

对于图$G$和$H$，令$G \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow} H$表示对于$G$的每一个适当的边着色，在$G$中存在$H$的彩虹副本的性质。推广了Nenadov，Person，Škorić和Steger [J. Combin.理论系列B 124（2017），1 -38]，我们确定了任何给定长度$\ell \geq 4$的循环$C_\ell$的$G(n,p) \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow} C_\ell$的阈值。

2020-06-03math.CO

路和偶圈的Ramsey数的改进界

Improved bounds on the multicolor Ramsey numbers of paths and even cycles

研究了路和偶圈的Ramsey数$R_k(P_n)$和$R_k(C_n)$，它们是使完全图$K_N$的每一个着色分别有$P_n$或$C_n$的单色副本的最小整数$N$.长期以来，人们只知道$R_k(P_n)$介于$(k-1+o(1))n$和$(k + o(1))n$之间。最近Sárközy的突破和后来Davies、Jenssen和Roberts的改进给出了$(k - \frac{1}{4} + o(1))n$的上界。我们将上界改进为$(k - \frac{1}{2}+ o(1))n$。我们的方法使用连接图中的结构洞察力，而没有大的匹配。这些见解可能是独立的利益。

2018-01-12math.CO

圈、路和超图的广义Ramsey数

Generalized Ramsey numbers of cycles, paths, and hypergraphs

本文研究了超图的广义Ramsey数，在完全图、完全二部图及完全超图等设定下，针对圈、路、团和紧圈等子图结构，得出了若干渐近紧确的颜色数界限。

2024-06-04math.CO

连通三角形匹配的Ramsey数

Ramsey number of a connected triangle matching

我们确定了与$c(nK_3)$匹配的{ \em连通}三角形的$2$ -色Ramsey数，其中$2$是任何含有$n$顶点不相交三角形的连通图.我们得到了$R(c(nK_3),c(nK_3))=7n-2$，比Burr，Erd \H os和Spencer关于三角形匹配的经典结果$R(nK_3,nK_3)=5n$稍大.其动机是确定循环$C_n^2$的平方的拉姆齐数$R(C_n^2,C_n^2)$。我们应用我们的拉姆齐结果连接三角形匹配表明，拉姆齐数的“几乎”平方的周期$C_n^{2,c}$（周期长度$n$，但最多一个常数$c$的短对角线）是渐近$7n/3$。

2015-09-18math.CO

树与奇圈的Ramsey数

Ramsey numbers of trees versus odd cycles

Burr，Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp首先研究了树的Ramsey数与奇圈的关系，证明了对于所有奇$m \ge 3$和$n \ge 756m^{10}$，都有$R(T_n, C_m) = 2n - 1$，其中$T_n$是具有$n$顶点的树，$C_m$是长度为$m$的奇圈。他们建议研究最小正整数$n_0(m)$，使得该结果对所有$n \ge n_0(m)$都成立，作为$m$的函数。本文证明了$n_0(m)$至多是线性的。特别地，我们证明了$R(T_n, C_m) = 2n - 1$对所有奇数$m \ge 3$和$n \ge 50m$都是.结合Faudree，Lawrence，Parsons和Schelp的结果，得出$n_0(m)$有界于两个线性函数之间，从而确定$n_0(m)$为常数因子。

2019-11-18math.CO

奇数圈与较大偶数轮的Ramsey数

Ramsey Numbers of Odd Cycles Versus Larger Even Wheels

广义Ramsey数$R(G_1, G_2)$是最小的正整数$N$，使得完全图$K_N$的边的任何红-蓝着色要么包含$G_1$的红色副本，要么包含$G_2$的蓝色副本。令$C_m$表示长度为$m$的循环，并且$W_n$表示具有$n+1$顶点的轮。在2014年，Zhang、Zhang和Chen确定了奇数轮与较大轮的许多拉姆齐数$R(C_{2k+1}, W_{n})$，但没有确定$n = 2j$是偶数和$k<j<3k/2$的特殊情况。他们推测，对于$j$和$k$的这些值，$R(C_{2k+1}, W_{2j})=4j+1$。2015年，Sanhueza-Matamala渐近地证实了这一猜想，证明了$R(C_{2k+1}, W_{2j}) \le 4j+334$。在本文中，我们证明了张，张和陈的猜想几乎所有的情况下，其余的。特别是，我们证明了$R(C_{2k+1},W_{2j})=4j+1$，如果$j-k \ge 251$，$k<j<3k/2$，和$j \ge 212299$。

2018-01-10math.CO

与大圈和完全图有关的星临界Ramsey数

On Star critical Ramsey numbers related to large cycles versus complete graphs

设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$G, H$表示有限图.考虑$K_n$的边的双着色。当第一种颜色（红色）的$G$副本或第二种颜色（蓝色）的$H$副本在$K_n$中时，我们写为$K_n\rightarrow (G,H)$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为最小正整数$n$，使得$K_{n} \rightarrow (G, H)$。星临界Ramsey $r_*(G, H)$定义为$k$的最大值，使得$K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (G, H)$。在本文中，我们发现$r_*(C_n, K_m)$为$m \geq 7$和$n \geq (m-3)(m-1)$。

2020-09-15math.CO

紧圈与团的Ramsey数的改进界

Improved bounds for the Ramsey number of tight cycles versus cliques

3-一致紧圈$C_s^3$具有点集$ Z_s$和边集$\{\{i, i+1, i+2\}: i \in Z_s\}$。我们证明了对于每个$s \not\equiv 0$（mod 3）和$s \ge 16$或$s \in \{8,11,14\}$，存在一个$c_s>0$使得3-一致超图Ramsey数$$r(C_s^3, K_n^3)< 2^{c_s n \log n}$$这以强形式回答了作者和Rödl的一个问题，他们要求对于每个固定的$s \ge 4$，$ε_s \rightarrow 0$作为$s \rightarrow \infty$和$n$是足够大的形式$2^{n^{1+ε_s}}$的上界.结果几乎是紧的，因为在$n$中已知下限是指数的。

2016-02-03math.CO

在线Ramsey数字：长周期与短周期

Online Ramsey numbers: Long versus short cycles

在线拉姆齐游戏是发挥建设者和画家之间的无限板$K_{\mathbb N}$。在每一轮中，生成器选择一条边，然后绘制器将其着色为红色或蓝色。两者都知道目标图$H_1$和$H_2$。Builder的目标是尽快在$K_{\mathbb N}$中创建$H_1$的红色副本或$H_2$的蓝色副本，Painter试图阻止它。在线Ramsey数$\tilde{r}(H_1,H_2)$是Builder获胜的最小回合数。我们研究$\tilde{r}(C_k,C_n)$，其中$k$是固定的，而$n$是大的。我们证明了，如果$k$是偶数，则对于绝对常数$c$有$\tilde{r}(C_k,C_n)=2n+\mathcal O(k)$，而如果$k$是奇数，则有$\tilde{r}(C_k,C_n)\le 3n+o(n)$。

2023-03-27math.CO

关于循环的大小-拉姆齐数

On the size-Ramsey number of cycles

对于给定的图$G_1,\ldots,G_k$，大小拉姆齐数$\hat{R}(G_1,\ldots,G_k)$是最小整数$m$，对于该最小整数，在$m$边上存在图$H$，使得在具有颜色$1,\ldots,k$的$H$的每个$k$ -边染色中，$ H $包含对于某些$1\leq i\leq k$的颜色$i$的$G_i$的单色副本。当$G_1=\cdots=G_k=G$时，我们将$\hat{R}(G_1,\ldots,G_k)$表示为$\hat{R}_{k}(G)$。Haxell、Kohayakawa和Kubuczak证明了一个循环$C_n$的Ramsey数的大小在$n$中是线性的，即对于某个常数$c_k$为$\hat{R}_{k}(C_{n})\leq c_k n$。他们的证明是基于Szemerédi的正则性引理，因此没有特定的常数$c_k$是已知的。本文给出了圈的大小Ramsey数的各种上界。我们给出了$\hat{R}_{k}(C_{n})\leq c_k n$的另一种证明，避免了正则引理的使用。对于两种颜色，我们表明，对于足够大的$n$，我们有$\hat{R}(C_{n},C_{n}) \leq 10^6\times cn,$ $c=843$，如果$n$是甚至和$c=113482$否则。

2017-01-25math.CO

关于3-一致Berge圈的Ramsey数

On Ramsey numbers of 3-uniform Berge cycles

对于任意图$G$，如果存在一个双射$Φ:E(G)\longrightarrow E( \mathcal{H})$使得对于每个$e\in E(G)$，我们有$e\subseteq Φ(e)$，则称超图$\mathcal{H}$为Berge- $G$.我们用$\mathcal{B}^rG$表示$r$ -一致Berge- $G$超图族.对于$r$ -一致超图族$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2,\ldots, \mathcal{H}_t$，Ramsey数$R(\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2,\ldots, \mathcal{H}_t)$是最小的整数$n$，使得在$\mathcal{K}_{n}^r$的每个$t$ -超边染色中，对于某些$1\leq i\leq t$，都有一个颜色为$i$的超图在$\mathcal{H}_i$中的单色副本.近年来，Berge超图的Ramsey问题得到了许多学者的研究.本文主要讨论了涉及$3$ -一致Berge圈的Ramsey数，证明了对于$n \geq 4$，$ R(\mathcal{B}^3C_n,\mathcal{B}^3C_n,\mathcal{B}^3C_3)=n+1.$，并且证明了对于$m \geq n\geq 6$和$m\geq 11$，$R(\mathcal{B}^3K_m,\mathcal{B…

2022-04-27math.CO

圈数与一般图的Ramsey数

Ramsey numbers of cycles versus general graphs

Ramsey数$R(F,H)$是最小数$N$，使得任何$N$ -顶点图要么包含$F$的副本，要么它的补图包含$H$。伯尔在1981年证明了一个令人愉快的一般结果，任何图$H$，提供$n$是足够大的，一个自然的下界建设给出了正确的拉姆齐数涉及周期：$R(C_n,H)=(n-1)(χ(H)-1)+σ(H)$，其中$σ(H)$是最小可能的大小的颜色类中的一个$χ(H)$ -着色的$H$。艾伦、布莱特韦尔和斯科坎认为，当$n\geq |H|χ(H)$。我们改进了这个40年前的伯尔的结果，给出了$n\geq C|H|\log^4χ(H)$形式的定量界，这是最佳的对数因子。特别地，这证明了Allen-Brightwell-Skokan猜想对于所有具有大色数的图$H$的加强。

2022-11-08math.CO

随机图中环的拉姆齐数

Ramsey numbers of cycles in random graphs

本文证明了在随机图 $G(N,p)$ 中，当 $N$ 略大于环的拉姆齐数 $R(C_n)$ 且 $p$ 足够大时，任意 $2$-着色必含单色环 $C_n$，结果在常数因子内最优，并改进了先前工作。

2024-08-20math.CO

循环与路径的大小-拉姆齐数

Size-Ramsey numbers of cycles versus a path

图族$\mathcal{F}$和图$H$的大小拉姆齐数$\hat{R}(\mathcal{F},H)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，其性质是$G$的边的任何两种颜色（例如红色和蓝色）的着色都会产生来自$\mathcal{F}$的图的红色副本或$H$的蓝色副本。在本文中，我们首先关注$\mathcal{F} = \mathcal{C}_{\le cn}$，其中$\mathcal{C}_{\le cn}$是族的周期的长度至多$cn$，和$H = P_n$。特别是，我们表明，$2.00365 n \le \hat{R}(\mathcal{C}_{\le n},P_n) \le 31n$。使用类似的技术，我们还设法分析了$\hat{R}(C_n,P_n)$，这是以前研究过的，但只使用正则性方法。

2016-08-23math.CO

Ramsey圈优度

Ramsey goodness of cycles

给定一对图$G$和$H$，Ramsey数$R(G,H)$是最小的$N$，使得完全图$K_N$的边的每个红-蓝着色包含$G$的红色副本或$H$的蓝色副本。如果图$G$是连通的，则$R(G,H) \geq (|G|-1)(χ(H)-1)+σ(H)$是连通图，其中$χ(H)$是$H$的色数，$σ(H)$是$H$的一个$χ(H)$ -染色中最小色类的大小.如果$R(G,H)= (|G|-1)(χ(H)-1)+σ(H)$，则图$G$称为$H$ -good。Ramsey善良的概念是由Burr和Erds在1983年提出的，并从那时起得到了广泛的研究。在本文中，我们表明，如果$n\geq 10^{60}|H|$和$σ(H)\geq χ(H)^{22}$，那么$n$ -顶点循环$C_n$是$H$ -好的。对于具有高$χ(H)$和$σ(H)$的图$H$，这以强形式证明了Allen，Brightwell和Skokan的猜想。

2018-07-06math.CO

超图Ramsey数：紧圈与团

Hypergraph Ramsey numbers: tight cycles versus cliques

对于$s \ge 4$，3-均匀紧圈$C^3_s$具有对应于圆上的$s$不同点的顶点集和由三个连续点的$s$循环间隔给出的边集。对于固定的$s \ge 4$和$s \not\equiv 0$（mod 3），我们证明了在$$2^{at}<r(C^3_s, K^3_t)<2^{bt^2\log t}.$$的情况下，存在正的常数$a$和$b$。$s>5$的上界是通过使用过饱和度和已知的$r(K_4^{3}, K_t^3)$的上界来证明的，而$s=5$的上界是从我们开发的$r(K_5^{3-}, K_t^3)$的一个新的上界得出的。

2015-03-20math.CO

路与圈的在线Ramsey数

On-line Ramsey numbers of paths and cycles

考虑一个由两个参与者，建筑师和画家，在无限集团的边集上进行的博弈。在每一轮中，Builder选择一条边，Painter将其涂成红色或蓝色。Builder通过为某些固定图形$G$和$H$创建$G$的红色副本或$H$的蓝色副本而获胜。假设两个玩家都玩得很好，Builder可以获胜的最小回合数是在线Ramsey数$\tilde{r}(G,H)$。在本文中，我们考虑的情况下，$G$是一个路径$P_k$。我们证明了对于所有的$\ell \ge 5$，$\tilde{r}(P_3, P_{\ell+1}) = \lceil 5\ell/4 \rceil = \tilde{r}(P_3, C_\ell)$，并确定了$\tilde{r}(P_4, P_{\ell+1}$），直到所有的$\ell \ge 3$的加法常数。我们还证明了$\tilde{r}(P_{k+1},H)$形式的在线Ramsey数的一些一般下界。

2014-10-20math.CO