The Ramsey number for a triple of large cycles
Agnieszka Figaj, Tomasz Luczak
我们发现的渐近值的Ramsey数的三倍长周期，其中的周期的长度很大，但可能有不同的奇偶性。
We find the asymptotic value of the Ramsey number for a triple of long cycles, where the lengths of the cycles are large but may have different parity.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Cycle-Complete graph Ramsey numbers
当圈的阶数至少是完全图的阶数的4倍时，我们得到了圈与完全图的Ramsey数.这部分证实了Erdés、Faudree、Rousseau和Schelp在1978年提出的一个猜想。
Multicolor Ramsey numbers for Berge cycles
在本文中，对于小的一致性，我们确定了长度为$4$，$5$，$6$，$7$，$10$，或$11$的Berge圈的Ramsey数的数量级。我们的结果如下从一个更一般的设置，可以应用到其他超图拉姆齐问题。利用这一点，我们还确定了Berge- $K_{a,b}$为某些$a$，$b$，和均匀性的Ramsey数的数量级。
Turan and Ramsey numbers in linear triple systems
本文研究线性三元系中的Turan数和Ramsey数，定义为任意两个三元系至多相交于一个顶点的$3$ -一致超图. Ruzsa和Szemerédi的一个著名结果是，对于任何固定的$c>0$和足够大的$n$，下面的Turán型定理成立。如果一个在$n$顶点上的线性三元系至少有$cn^2$边，那么它包含一个{ \em三角形}：三个两两相交的三元组，没有一个公共顶点。本文将这一结果从三角形推广到其它三元系，称为{ \em $s$ -构型}.主要的工具是一个推广的诱导匹配引理从$aba$模式更一般的。我们将$s$ -配置稍微推广为{ \em扩展的$s$ -配置}。对于这些，我们不能证明相应的图兰型定理，但我们证明了它们具有较弱的拉姆齐性质：它们可以在任何足够大的斯坦纳三元系的块的任何$t$ -着色中找到。利用这一点，我们证明了，除了可能包含帆$C_{15}$的那些（具有123、345、561和147块的构形）之外，对于任何$t\geq 1$，所有不可避免的至多5块的构形都是$t$-Ramsey。其中最有趣的是{ \em wicket}，$D_4$，由$3\times 3$点矩阵的三行和两列组成。事实上，小门是$1$ -拉姆齐在一个非常强烈的意义：所有施泰纳三元系除了法诺平面必须包含一个小门。
Three colour bipartite Ramsey number of cycles and paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{n,n}$包含$H$的单色副本的最小整数$n$.对二部Ramsey数的研究始于40多年前，由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立地提出，他们确定了路的$2$ -色Ramsey数。本文渐近地确定了路和（偶）圈的$3$ -色二部Ramsey数.
Cycles are strongly Ramsey-unsaturated
我们称一个图H为Ramsey-不饱和的，如果在H的补图中存在一条边，使得H的Ramsey数r（H）在将其添加到H时不改变。这个概念是由Balister、Lehel和Schelp提出的，他们还证明了循环（除了$C_4$）是拉姆齐-不饱和的，并且证明了，此外，人们可以添加任何弦而不改变循环$C_n$的拉姆齐数，除非n是偶数，并且添加弦会创建一个奇数循环。我们证明了这一猜想的大循环显示一个更强的声明：如果一个图H是通过增加一个线性的弦数到一个循环$C_n$，那么$r(H)=r(C_n)$，只要H的最大程度是有界的，H是二部（偶数n）或几乎二部（奇数n），n是大的。这促使我们称循环为强拉姆齐-不饱和循环。我们的证明使用正则性方法。
Anti-Ramsey numbers of paths and cycles in hypergraphs
反Ramsey问题是由Erdens，Simonovits和Sós在20世纪70年代提出的。超图$\mathcal{H}$的反Ramsey数$ar(n,s, \mathcal{H})$是最小的整数$c$，使得在$n$顶点上的$s$ -均匀完全超图的边的任意着色中，都存在一个边具有不同颜色的$\mathcal{H}$的副本.本文对足够大的$n$确定了超图中线性路和松散路的反Ramsey数，并给出了Berge路的反Ramsey数的界。类似的精确的反拉姆齐数得到线性/松散的循环，并获得边界的Berge循环。我们的主要工具是路径扩张技术和超图Turán问题的稳定性结果。
New upper bound for multicolor Ramsey number of odd cycles
令$r_k(C_{2m+1})$为长度为$2m+1$的奇数圈$C_{2m+1}$的$k$ -色拉姆齐数.它表明，对于每个固定的$m\ge2$，\[r_k(C_{2m+1})<c^{k}\sqrt{k!}\]的所有足够大的$k$，其中$c=c(m)>0$是一个常数。这改进了Bondy和Erdwords的一个旧结果（Ramsey numbers for cycles in graphs，J. Combin.理论系列B 14（1973）46-54）。
On size Ramsey numbers for a pair of cycles
本文证明了一对环的尺寸拉姆齐数存在线性上界，并研究了受限尺寸拉姆齐数。
Anti-Ramsey problems in the generalized Petersen graphs for cycles
反拉姆齐数$Ar(G,H)$是在没有$H$的彩虹拷贝的情况下，$G$的边着色中的最大颜色数。本文确定了广义Petersen图$P_{n,k}$中的反Ramsey数，其中$C_d$是圈，$1\leq k\leq \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$和$5\le d \le 6$ .给出了求反Ramsey数的上界或下界的算法。
The Ramsey number of a long even cycle versus a star
当$\ell$和$n=O(\ell^{10/9})$较大时，我们找到了Ramsey数$R(C_{2\ell},K_{1,n})$的精确值。我们的结果与Turán数$ex(N, C_{2\ell})$的行为密切相关，对于偶数圈，其长度随$N$快速增长。
On multicolor Ramsey numbers of triple system paths of length 3
设$\mathcal{H}$是一个3-一致超图. Ramsey数$ r_k(\mathcal{H})$是最小的整数$n$，使得$ \binom{[n]}{3}$的每个着色都具有$\mathcal{H}$的单色副本。设$ \mathcal{L}$是具有3条边的松散3-均匀路径，$ \mathcal{M}$表示具有3条边的杂乱3-均匀路径;即，设$\mathcal{L} = \{abc, cde, efg\}$和$\mathcal{M} = \{ abc, bcd, def\}$。本文证明了$k$的$ r_k(\mathcal{L}) < 1.54k$和$ r_k(\mathcal{M}) < 1.6k$是充分大的.
Planar Ramsey Numbers of Four Cycles Versus Wheels
对于两个给定的图$G$和$H$，平面Ramsey数$PR(G,H)$是最小整数$n$，使得$n$顶点上的每个可平面图$F$或者包含$G$的副本，或者其补图包含$H$的副本。本文首先刻画了无$C_4$平面图的一些结构性质，然后确定了无$C_4$平面图的所有平面Ramsey数$PR(C_4, W_n)$，对于$n\ge 3$ .
Threshold Ramsey multiplicity for odd cycles
图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小$n$。阈值Ramsey多重性$m(H)$则是在$K_{r(H)}$的所有双边缘着色上取得的$H$的单色拷贝的最小数目。这一概念的研究最早是由Harary和Prins在近50年前提出的。在另一篇论文中，作者证明了存在一个正的常数$c$，使得具有$k$顶点的路径或甚至圈的阈值Ramsey重数至少为$(ck)^k$，这紧到$c$的值。在这里，使用不同的方法，我们表明，同样的结果也适用于奇数圈与$k$顶点。
Multicolour Ramsey Numbers of Odd Cycles
证明了对任意正整数$r$，存在一个整数$k$和$K_{2^{k}+1}$的边的$k$ -着色，且不存在长度小于$r$的单色奇循环.这使得Erdés和Graham的一个问题的进展，并回答了Chung的一个问题。我们使用这些着色给新的下界$k$ -彩色拉姆齐数的奇循环，并证明，所有奇$r$和所有$k$足够大，存在一个常数$ε= ε(r) > 0$，使$R_{k}(C_{r}) > (r-1)(2+ε)^{k-1}$。
Gallai-Ramsey number of an 8-cycle
给定图$G$和$H$以及正整数$k$，Gallai-Ramsey数$gr_{k}(G : H)$是最小整数$N$，使得对于任何整数$n \geq N$，$K_{n}$的每个$k$ -边着色包含$G$的彩虹副本或$H$的单色副本。这些数字最近已被研究的情况下，当$G = K_{3}$，其中仍然只有几个精确的数字是已知的所有$k$。在本文中，我们推广了已知的精确Gallai-Ramsey数，包括$H = C_{8}$的所有$k$。
Degree Ramsey numbers for even cycles
令$H\xrightarrow{s} G$表示$E(H)$的任何$s$ -着色包含单色$G$。图$G$的度Ramsey数，记为$R_Δ(G, s)$，为$\min \{Δ(H): H \xrightarrow{s} G \}$。我们考虑度Ramsey数$G$是一个固定的甚至循环。Kinnersley、Milans和West证明了$R_Δ(C_{2k},s) \geq 2s$，Kang和Perarnau证明了$R_Δ(C_4, s) = Θ(s^2)$。我们的主要结果是$R_Δ(C_6, s) = Θ(s^{3/2})$和$R_Δ(C_{10}, s) = Θ(s^{5/4})$。此外，我们大大提高了一般$k$的$R_Δ(C_{2k}, s)$的下限。
A polynomial improvement for the odd cycle-complete Ramsey numbers
本文改进了奇环-完全Ramsey数的下界，通过多项式因子提升，揭示了对于固定奇数ℓ>7，当k趋近于无穷时，Ramsey数的渐进行为。
Generalised Ramsey numbers for two sets of cycles
我们确定了两个循环集$Γ_1$和$Γ_2$的几个广义Ramsey数，特别地，所有广义Ramsey数$R(Γ_1,Γ_2)$使得$Γ_1$或$Γ_2$包含长度至多为$6$的循环，或者每个集合中的最短循环是偶数.这概括了Erdés，Faudree，Rosta，Rousseau和Schelp从20世纪70年代开始的先前结果。值得注意的是，在一个集合中包括$C_3$和$C_4$两者与仅包括$C_4$几乎没有区别。此外，我们给出了一般情况下的一个猜想。我们还描述了许多$(Γ_1,Γ_2)$ -避免图，包括大多数$(Γ_1,Γ_2)$ -关键图的完整特征，即，$(Γ_1,Γ_2)$ --在$R(Γ_1,Γ_2)-1$顶点上的避免图，使得$Γ_1$或$Γ_2$包含长度至多为$5$的圈。对于长度$4$，这是Wu，Sun和Radziszowski最近结果的简单推广，其中$|Γ_1|=|Γ_2|=1$。对于长度$3$和$5$，我们的结果是新的，即使在这种特殊情况下。关键词：广义Ramsey数，临界图，圈，圈集
Ramsey numbers of 3-uniform loose paths and loose cycles
哈克塞尔等[ %P. Haxell，T. Luczak，Y. Peng，V. Rödl，A. % Rucibrski，M. Simonovits，J. Skokan，超图圈的Ramsey数I，J. Combin。Theory，Ser. A，113（2006），67 - 83]证明了$2n$顶点上的3-一致松弛圈的2-色Ramsey数是渐近的$\frac{5n}{2}$.他们的证明是基于正则引理的方法。在这里，不使用这种方法，我们推广了他们的结果，通过确定的确切值的2色Ramsey数涉及松散的道路和圈的3-一致超图。更准确地说，我们证明了，对于每个$n\geq m\geq 3$，$R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{P}^3_m)=R(\mathcal{P}^3_n,\mathcal{C}^3_m)=R(\mathcal{C}^3_n,\mathcal{C}^3_m)+1=2n+\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor$和$n>m\geq3$，$R(\mathcal{P}^3_m,\mathcal{C}^3_n)=2n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor$。这些给出了一个积极的回答问题的Gyárfás和Raeisi [拉姆齐数松散的三角形和四边形在超图，电子。19（2012），#R30]。
Odd-Ramsey numbers of Hamilton cycles
本文研究哈密顿圈的奇拉姆齐数，通过有限域构造和奇偶切换组合框架证明其渐近阶为$\Theta(\sqrt{n})$，并初步探讨Dirac图中该类奇拉姆齐数的性质。
Gallai-Ramsey numbers of odd cycles
给定两个图$G$和$H$以及一个正整数$k$，用$gr_{k}(G : H)$表示的$k$ -色Gallai-Ramsey数是最小整数$N$，使得对于所有$n \geq N$，$K_{n}$的边的每个$k$ -着色包含$G$的彩虹拷贝或$H$的单色拷贝。我们证明了对于所有的$k \geq 1$和$\ell \geq 3$，都有$gr_{k} (K_{3} : C_{2\ell + 1}) = \ell \cdot 2^{k} + 1$.
Multicolour Ramsey numbers of paths and even cycles
证明了路和偶圈的多色Ramsey数的新的上界.众所周知，$(k-1)n+o(n)\leq R_k(P_n)\leq R_k(C_n)\leq kn+o(n)$ .上界最近改进了Sárközy谁表明，$R_k(C_n)\leq\left(k-\frac{k}{16k^3+1}\right)n+o(n)$。在这里，我们展示了$R_k(C_n) \leq (k-\frac14)n +o(n)$，通过绝对常数获得线性项系数的第一次改进。
Restricted size Ramsey number for $P_3$ versus cycles
设$F$、$G$和$H$是简单图。我们称之为$F \rightarrow (G, H)$，如果对于$F$的边的每个$2$ -着色，存在$F$中的单色$G$或$H$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为$r(G, H) = min\{|V (F)|: F \rightarrow (G, H)\}$，而受限大小的拉姆齐数$r^{*}(G, H)$定义为$r^{*}(G, H) = min\{|E (F)|: F \rightarrow (G, H) , |V (F) | = r(G, H)\}$。在本文中，我们确定以前未知的限制大小拉姆齐数$r^{*}(P_3, C_n)$为$7 \leq n \leq 12$。对于偶$n \geq 8$，我们也给出了新的上界$r^{*}(P_3, C_n) \leq 2n-2$.
Ramsey number of a cycle versus a graph of a given size
本文证明了cycle与给定大小的图的Ramsey数上限，解决了Erdős等人提出的问题。
An improved upper bound for the multicolour Ramsey number of odd cycles
该研究推导出长度为$2\ell+1$的奇环的$k$色Ramsey数的改进上界$(4\ell)^k \cdot k^{k/\ell}$，证明了Fox的猜想，实现了自1973年以来该问题指数项的首次超绝对常数因子改进。
Ramsey numbers of large even cycles and fans
对于图$F$和$H$，Ramsey数$R(F, H)$是最小的正整数$N$，使得$K_N$的任何红/蓝边着色包含红色$F$或蓝色$H$。设$C_n$是长度为$n$的圈，$F_n$是由共享一个公共顶点的$n$三角形组成的扇形。本文证明了对所有充分大的$n$，\[ R(C_{2\lfloor an\rfloor}, F_n)= \left\{ \begin{array}{ll} (2+2a+o(1))n & \textrm{if $1/2\leq a< 1$,}\\ (4a+o(1))n & \textrm{if $ a\geq 1$.} \end{array} \right. \]
Threshold Ramsey multiplicity for paths and even cycles
图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。虽然这个定义只要求$H$的一个单色副本，但通常情况下，完全图的$r(H)$顶点上的每个两边着色都包含$H$的许多单色副本。在$K_{r(H)}$的所有两种着色上的这种拷贝的最小数目将被称为$H$的阈值拉姆齐多重性。解决一个问题的Harary和普林斯，谁是第一个系统地研究这个数量，我们表明，有一个积极的常数$c$，使阈值拉姆齐多重路径或甚至循环$k$顶点至少是$(ck)^k$。这个界限紧到常数$c$。我们证明了一个类似的结果奇数周期的配套文件。
The Ramsey number for 4-uniform tight cycles
该研究聚焦4-一致紧圈与紧路的拉姆齐数问题，证明了含4n个顶点的4-一致紧圈的拉姆齐数为(5+o(1))n（渐近紧），并由此推导出含n个顶点的4-一致紧路的拉姆齐数为(5/4+o(1))n。
Multicolour bipartite Ramsey number of paths
二部图$H$的$k$ -色二部Ramsey数是使每一个$k$ -边色完全二部图$K_{N,N}$包含$H$的单色副本的最小整数$N$.对二部拉姆齐数的研究是在40多年前由Faudree和Schelp以及Gyárfás和Lehel独立发起的，他们确定了路的$2$ -色二部拉姆齐数。最近的$3$ -颜色拉姆齐数的路径和（甚至）周期，基本上是确定的。本文改进了DeBiasio，Gyárfás，Krueger，Ruszinkó和Sárközy的结果，渐近地确定了路和圈的$4$ -色二部Ramsey数.我们还提供了新的上界的$k$ -颜色的二部Ramsey数的路径和周期是接近紧。
Ramsey Numbers for Non-trivial Berge Cycles
本文考虑圈完全图Ramsey数到超图Berge圈的推广：对于$k \geq 2$，{ \em非平凡Berge $k$ -圈}是一族集合$e_1,e_2,\dots,e_k$，使得$e_1 \cap e_2, e_2 \cap e_3,\dots,e_k \cap e_1$有一个不同的代表系统和$e_1 \cap e_2 \cap \dots \cap e_k = \emptyset$ .在所有集合$e_i$的大小为3的情况下，设$\mathcal{B}_k$表示所有非平凡Berge $k$ -圈的族。{ \em Ramsey数} $R(t,\mathcal{B}_k)$表示使得每个$n$ -顶点$3$ -一致超图包含一个非平凡Berge $k$ -圈或一个大小为$t$的独立集的最小$n$.我们证明了\[ R(t, \mathcal{B}_{2k}) \leq t^{1 + \frac{1}{2k-1} + \frac{4}{\sqrt{\log t}}}\]，而且，我们表明，如果猜想的Erdens和Simonovits \cite{ES}围长图是真的，那么这是紧到一个因素$t^{o(1)}$作为$t \rightarrow \infty$。
Gallai-Ramsey number of even cycles with chords
对于图$H$和整数$k\ge1$，$k$ -色Ramsey数$R_k(H)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每一个$k$ -着色都包含$H$的单色副本.令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。不同于Ramsey数的奇循环，很少有人知道$R_k(C_{2n})$的一般行为，除了$R_k(C_{2n})\ge (n-1)k+n+k-1$的所有$k\ge2$和$n\ge2$。本文研究了具有弦的偶数圈在Gallai染色下的Ramsey数，其中Gallai染色是指不含彩虹三角形的完全图的边的染色。对于整数$k\geq 1$，图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。证明了对于所有的$k\geq 2$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n})=(n-1)k+n+1$.这意味着$GR_k(C_{2n})=(n-1)k+n+1$均为$k\geq 2$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少四个顶点上的所有偶数圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
Suitable sets of permutations, packings of triples, and Ramsey's theorem
如果在至少一个置换中每个符号在其他$t-1$的每个子集之前，则$\{1,2,\ldots,v\}$的一组$N$置换是$t$适合的。极值问题的确定最小尺寸$N$等集为给定的$v$和$t$是主题的经典研究由Dushnik在1950年和斯宾塞在1971年。Colbourn最近引入了合适的核心的概念作为等价对象的合适的置换集，并研究了确定最大的$v=\text{SCN}(t,N)$，使得一个合适的核心存在于给定的$t$和$N$的对偶问题。Chan和Jedwab证明，当$N=\lfloor\frac{t+1}{2}\rfloor\lceil\frac{t+1}{2}\rceil+l$，SCN $(t,N)$的值是渐近$\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$，如果$l$是一个固定的整数。在本文中，我们改进了这一结果表明，这也是正确的，当$l=O(\ln t)$使用拉姆齐理论。当$v$大于$\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$时，我们利用三元组填充给出了新的显式核构造，利用扩展Ramsey染色给出了新的随机核构造.
On the restricted size Ramsey number for a pair of cycles
对于图$H_1,H_2$ × $r^*(H_1,H_2)$，我们表示图$G$在$r(H_1,H_2)$顶点上的最小边数，使得$G\to (H_1,H_2)$。我们证明了对于每对自然数$k,n$，$k\le n$，其中$k$是奇数，$n$足够大，我们有$$r^*(C_n,C_k)=\lceil (n+1)(2n-1)/2\rceil \,.$$
Diagonal Ramsey numbers of loose cycles in uniform hypergraphs
一个$k$ -一致松圈$\mathcal{C}_n^k$是一个顶点集为$\{v_1,v_2,\ldots,v_{n(k-1)}\}$，边集为$e_i=\{v_{(i-1)(k-1)+1},v_{(i-1)(k-1)+2},\ldots,v_{(i-1)(k-1)+k}\}$，$1\leq i\leq n$的超图，这里我们使用模$n(k-1)$算法. Ramsey数$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$是渐近的$\frac{1}{2}(2k-1)n$，正如Gyárfás、Sárközy和Szemerédi所证明的。本文研究了$\mathcal{C}^k_n$的对角Ramsey数的确定问题，证明了对于$n\geq 2$和$k\geq 8$ $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)=(k-1)n+\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.$$
Stability and Ramsey numbers for cycles and wheels
我们研究了完全图的红蓝边着色的结构，对于奇数$n$，没有$n$ -圈$C_n$的副本为红色，也没有$n$ -轮$W_n = C_n \ast K_1$的副本为蓝色。我们的第一个主要结果是，在任何这样的着色，删除最多两个顶点，我们得到一个顶点划分的$G$成三个集，使边缘内的分区类是红色的，和分区类之间的边缘是蓝色的。作为第二个结果，我们得到了$r(C_{2k+1},W_{2j})$的Ramsey数的界为$k < j$整数，这渐近确认的值$4j+1$，因为它是由张等人证明。
Star-critical Ramsey numbers for cycles versus the complete graph on 5 vertices
令$G$、$H$和$K$表示三个没有环或平行边的图，$n$表示一个整数。给定$G$边缘的任何红蓝色着色，如果$K$中存在$G$的红色副本或$K$中存在$H$的蓝色副本，则我们称之为$K \rightarrow (G,H)$。设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$C_n$表示$n$顶点上的圈，$S_n=K_{1,n}$表示$n+1$顶点上的星.拉姆齐数$r(G, H)$定义为$\min\{n \mid K_n\rightarrow (G,H)\}$。同样，星临界拉姆齐数$r_*(H, G)$定义为$\min\{k \mid K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (H, G) \}$。当$n >3$，在本文中，我们表明，$r_*(C_n,K_5)=3n-1$除了$r_*(C_4,K_5)=13$。我们还刻画了所有Ramsey临界$r(C_n,K_5)$图。
Orientation Ramsey thresholds for cycles and cliques
如果$G$是一个图，而$\vec H$是一个定向图，我们写$G\to \vec H$是说$G$的边的每一个方向都包含$\vec H$作为一个子图。我们考虑的情况下，其中$G=G(n,p)$，二项随机图。我们确定阈值$p_{\vec H}=p_{\vec H}(n)$的属性$G(n,p)\to \vec H$的情况下，其中$\vec H$是一个完全图或一个循环的非循环方向。
3-colored asymmetric bipartite Ramsey number of connected matchings and cycles
令$k,l,m$为整数，并且$r(k,l,m)$为最小整数$N$，使得对于$K_{N,N}$的任何红-蓝-绿着色，在组件中存在大小至少为$k$的红色匹配，或者在组件中存在大小至少为$l$的蓝色匹配，或者在组件中存在大小至少为$m$的绿色匹配。本文完全确定了$r(k,l,m)$的精确值。应用一种技术起源于Zuuczak，应用Szemerédi的正则引理，以减少问题的存在，显示一个单色的循环，以显示存在的单色匹配的一个组件，我们获得了3色不对称的二分拉姆齐数的循环渐近。
The Multicolour Size--Ramsey Number of an Even Cycle
该研究确定了偶环的k色大小拉姆齐数，给出了其渐近阶表达式，下界源于路径相关结果，上界改进了前人的$O(k^{34}n)$估计。
The size, multipartite Ramsey numbers for nK2 versus path-path and cycle
对于给定的图$G_1, G_2,\ldots, G_n$和任何整数$j$，多部拉姆齐数$m_j(G_1, G_2,\ldots, G_n)$的大小是最小的正整数$t$，使得$K_{j\times t}$的边的任何$n$ -着色包含$G_i$的单色副本，对于某些$i$，$1 \leq i \leq n$，其中$K_{j\times t}$表示具有$j$类的完全多部图，每个类具有$t$顶点。本文计算了多部Ramsey数$m_j(K_{1,2}, P_4, nK_2)$对任意$j,n\geq 2$和$m_j(nK_2,C_7)$，对任意$j\leq4$和$n\geq 2$的大小.
Gallai-Ramsey number of odd cycles with chords
Gallai染色是指没有彩虹三角形的完全图的边的染色，Gallai $k$-染色是指使用最多$k$颜色的Gallai染色。对于整数$k\geq 1$，给定图$H$的Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$N$，使得完全图$K_N$的每个Gallai-$k$-着色包含$H$的单色副本。令$C_m$表示$m\ge4$顶点上的圈，令$Θ_m$表示通过添加连接两个不连续顶点的附加边而从$C_m$获得的图族。我们证明了对于所有的$k\geq 1$和$n\geq 3$，都有$GR_k(Θ_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$.这意味着$GR_k(C_{2n+1})=n\cdot 2^k+1$均为$k\geq 1$和$n\geq 3$。我们的结果给出了至少五个顶点上所有奇圈的Gallai-Ramsey数的统一证明。
Ramsey numbers of uniform loose paths and cycles
最近，一致超图中松弛路和圈的Ramsey数的确定受到了广泛的关注。证明了$k$ -均匀松弛圈$\mathcal{C}^k_n$的$2$ -色Ramsey数$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n)$是渐近的$\frac{1}{2}(2k-1)n$ .在这里，我们猜想，对于任何$n\geq m\geq 3$和$k\geq 3,$ $$R(\mathcal{P}^k_n,\mathcal{P}^k_m)=R(\mathcal{P}^k_n,\mathcal{C}^k_m)=R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_m)+1=(k-1)n+\lfloor\frac{m+1}{2}\rfloor.$$最近的情况$k=3$是由作者证明。在本文中，首先，我们证明了这个猜想是正确的$k=3$与一个更短的证明。然后，我们证明了，对于固定的$m\geq 3$和$k\geq 4$的猜想是等价的（只有）最后一个平等的任何$2m\geq n\geq m\geq 3$。因此，$m=3$的证明如下。
Ramsey numbers of $5$-uniform loose cycles
Gyárfás等人确定了$\mathcal{C}^k_n$的对角Ramsey数的渐近值，$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_n),$对Haxell等人的$k=3$产生了相同的结果。最近，完全确定了3-一致松弛路和圈的Ramsey数的精确值。这些结果是动机推测，对于每一个$n\geq m\geq 3$和$k\geq 3,$ $$R(\mathcal{C}^k_n,\mathcal{C}^k_m)=(k-1)n+\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor,$$所提到的Omidi等人。最近，它表明，这一猜想是真实的$n=m\geq 2$和$k\geq 7$和$k=4$时，$n>m$或$n=m$是奇数。在这里，我们调查这个猜想$k=5$和证明，它持有$k=5$和足够大的$n$。
Exact Ramsey numbers of odd cycles via nonlinear optimisation
对于图$G$，$k$ -色拉姆齐数$R_k(G)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每个$k$ -色包含$G$的单色副本.令$C_n$表示$n$顶点上的圈。我们表明，固定$k\geq2$和$n$奇数和足够大，\[ R_k(C_n)=2^{k-1}(n-1)+1. \]这解决了一个猜想的邦迪和Erdabins [J. Combin。日Ser. B \textbf{14}（1973），46- 54]。证明是分析的性质，其中的第一步是使用规律性的方法，将这个问题在拉姆齐理论的一个非线性优化。这使我们能够证明一个稳定型的概括上述和建立一个令人惊讶的对应极端$k$ -着色这个问题和完美匹配的$k$ -维超立方体$Q_k$。
Large book--cycle Ramsey numbers
设$B_n^{(k)}$是由所有共享公共$K_k$的$K_{k+1}$的$n$个拷贝组成的书图，并且设$C_m$是长度为$m$的圈。本文首先确定了$\frac{8}{9}n+112\le m\le \lceil\frac{3n}{2}\rceil+1$和$n \geq 1000$的$r(B_n^{(2)}, C_m)$的精确值。这回答了Faudree，Rousseau和Sheehan的一个问题（Cycle-book Ramsey numbers，{PDMATHAMV Ars Combin.，} { \bf 31}（1991），239- 248），当$m$和$n$较大时，以更强的形式。在此精确结果的基础上，我们能够确定每个$k \geq 3$的$r(B_n^{(k)}, C_n)$的渐近值。这推广了Rousseau和Sheehan（A class of Ramsey problems involving trees，{ \it J.~伦敦数学~ Soc.，}（1978），392- 396）。
Anti-Ramsey threshold of cycles
对于图$G$和$H$，令$G \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow} H$表示对于$G$的每一个适当的边着色，在$G$中存在$H$的彩虹副本的性质。推广了Nenadov，Person，Škorić和Steger [J. Combin.理论系列B 124（2017），1 -38]，我们确定了任何给定长度$\ell \geq 4$的循环$C_\ell$的$G(n,p) \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow} C_\ell$的阈值。
Improved bounds on the multicolor Ramsey numbers of paths and even cycles
研究了路和偶圈的Ramsey数$R_k(P_n)$和$R_k(C_n)$，它们是使完全图$K_N$的每一个着色分别有$P_n$或$C_n$的单色副本的最小整数$N$.长期以来，人们只知道$R_k(P_n)$介于$(k-1+o(1))n$和$(k + o(1))n$之间。最近Sárközy的突破和后来Davies、Jenssen和Roberts的改进给出了$(k - \frac{1}{4} + o(1))n$的上界。我们将上界改进为$(k - \frac{1}{2}+ o(1))n$。我们的方法使用连接图中的结构洞察力，而没有大的匹配。这些见解可能是独立的利益。
Generalized Ramsey numbers of cycles, paths, and hypergraphs
本文研究了超图的广义Ramsey数，在完全图、完全二部图及完全超图等设定下，针对圈、路、团和紧圈等子图结构，得出了若干渐近紧确的颜色数界限。
Ramsey number of a connected triangle matching
我们确定了与$c(nK_3)$匹配的{ \em连通}三角形的$2$ -色Ramsey数，其中$2$是任何含有$n$顶点不相交三角形的连通图.我们得到了$R(c(nK_3),c(nK_3))=7n-2$，比Burr，Erd \H os和Spencer关于三角形匹配的经典结果$R(nK_3,nK_3)=5n$稍大.其动机是确定循环$C_n^2$的平方的拉姆齐数$R(C_n^2,C_n^2)$。我们应用我们的拉姆齐结果连接三角形匹配表明，拉姆齐数的“几乎”平方的周期$C_n^{2,c}$（周期长度$n$，但最多一个常数$c$的短对角线）是渐近$7n/3$。
Ramsey numbers of trees versus odd cycles
Burr，Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp首先研究了树的Ramsey数与奇圈的关系，证明了对于所有奇$m \ge 3$和$n \ge 756m^{10}$，都有$R(T_n, C_m) = 2n - 1$，其中$T_n$是具有$n$顶点的树，$C_m$是长度为$m$的奇圈。他们建议研究最小正整数$n_0(m)$，使得该结果对所有$n \ge n_0(m)$都成立，作为$m$的函数。本文证明了$n_0(m)$至多是线性的。特别地，我们证明了$R(T_n, C_m) = 2n - 1$对所有奇数$m \ge 3$和$n \ge 50m$都是.结合Faudree，Lawrence，Parsons和Schelp的结果，得出$n_0(m)$有界于两个线性函数之间，从而确定$n_0(m)$为常数因子。
Ramsey Numbers of Odd Cycles Versus Larger Even Wheels
广义Ramsey数$R(G_1, G_2)$是最小的正整数$N$，使得完全图$K_N$的边的任何红-蓝着色要么包含$G_1$的红色副本，要么包含$G_2$的蓝色副本。令$C_m$表示长度为$m$的循环，并且$W_n$表示具有$n+1$顶点的轮。在2014年，Zhang、Zhang和Chen确定了奇数轮与较大轮的许多拉姆齐数$R(C_{2k+1}, W_{n})$，但没有确定$n = 2j$是偶数和$k<j<3k/2$的特殊情况。他们推测，对于$j$和$k$的这些值，$R(C_{2k+1}, W_{2j})=4j+1$。2015年，Sanhueza-Matamala渐近地证实了这一猜想，证明了$R(C_{2k+1}, W_{2j}) \le 4j+334$。在本文中，我们证明了张，张和陈的猜想几乎所有的情况下，其余的。特别是，我们证明了$R(C_{2k+1},W_{2j})=4j+1$，如果$j-k \ge 251$，$k<j<3k/2$，和$j \ge 212299$。
On Star critical Ramsey numbers related to large cycles versus complete graphs
设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$G, H$表示有限图.考虑$K_n$的边的双着色。当第一种颜色（红色）的$G$副本或第二种颜色（蓝色）的$H$副本在$K_n$中时，我们写为$K_n\rightarrow (G,H)$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为最小正整数$n$，使得$K_{n} \rightarrow (G, H)$。星临界Ramsey $r_*(G, H)$定义为$k$的最大值，使得$K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (G, H)$。在本文中，我们发现$r_*(C_n, K_m)$为$m \geq 7$和$n \geq (m-3)(m-1)$。
Improved bounds for the Ramsey number of tight cycles versus cliques
3-一致紧圈$C_s^3$具有点集$ Z_s$和边集$\{\{i, i+1, i+2\}: i \in Z_s\}$。我们证明了对于每个$s \not\equiv 0$（mod 3）和$s \ge 16$或$s \in \{8,11,14\}$，存在一个$c_s>0$使得3-一致超图Ramsey数$$r(C_s^3, K_n^3)< 2^{c_s n \log n}$$这以强形式回答了作者和Rödl的一个问题，他们要求对于每个固定的$s \ge 4$，$ε_s \rightarrow 0$作为$s \rightarrow \infty$和$n$是足够大的形式$2^{n^{1+ε_s}}$的上界.结果几乎是紧的，因为在$n$中已知下限是指数的。
Online Ramsey numbers: Long versus short cycles
在线拉姆齐游戏是发挥建设者和画家之间的无限板$K_{\mathbb N}$。在每一轮中，生成器选择一条边，然后绘制器将其着色为红色或蓝色。两者都知道目标图$H_1$和$H_2$。Builder的目标是尽快在$K_{\mathbb N}$中创建$H_1$的红色副本或$H_2$的蓝色副本，Painter试图阻止它。在线Ramsey数$\tilde{r}(H_1,H_2)$是Builder获胜的最小回合数。我们研究$\tilde{r}(C_k,C_n)$，其中$k$是固定的，而$n$是大的。我们证明了，如果$k$是偶数，则对于绝对常数$c$有$\tilde{r}(C_k,C_n)=2n+\mathcal O(k)$，而如果$k$是奇数，则有$\tilde{r}(C_k,C_n)\le 3n+o(n)$。
On the size-Ramsey number of cycles
对于给定的图$G_1,\ldots,G_k$，大小拉姆齐数$\hat{R}(G_1,\ldots,G_k)$是最小整数$m$，对于该最小整数，在$m$边上存在图$H$，使得在具有颜色$1,\ldots,k$的$H$的每个$k$ -边染色中，$ H $包含对于某些$1\leq i\leq k$的颜色$i$的$G_i$的单色副本。当$G_1=\cdots=G_k=G$时，我们将$\hat{R}(G_1,\ldots,G_k)$表示为$\hat{R}_{k}(G)$。Haxell、Kohayakawa和Kubuczak证明了一个循环$C_n$的Ramsey数的大小在$n$中是线性的，即对于某个常数$c_k$为$\hat{R}_{k}(C_{n})\leq c_k n$。他们的证明是基于Szemerédi的正则性引理，因此没有特定的常数$c_k$是已知的。本文给出了圈的大小Ramsey数的各种上界。我们给出了$\hat{R}_{k}(C_{n})\leq c_k n$的另一种证明，避免了正则引理的使用。对于两种颜色，我们表明，对于足够大的$n$，我们有$\hat{R}(C_{n},C_{n}) \leq 10^6\times cn,$ $c=843$，如果$n$是甚至和$c=113482$否则。
On Ramsey numbers of 3-uniform Berge cycles
对于任意图$G$，如果存在一个双射$Φ:E(G)\longrightarrow E( \mathcal{H})$使得对于每个$e\in E(G)$，我们有$e\subseteq Φ(e)$，则称超图$\mathcal{H}$为Berge- $G$.我们用$\mathcal{B}^rG$表示$r$ -一致Berge- $G$超图族.对于$r$ -一致超图族$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2,\ldots, \mathcal{H}_t$，Ramsey数$R(\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2,\ldots, \mathcal{H}_t)$是最小的整数$n$，使得在$\mathcal{K}_{n}^r$的每个$t$ -超边染色中，对于某些$1\leq i\leq t$，都有一个颜色为$i$的超图在$\mathcal{H}_i$中的单色副本.近年来，Berge超图的Ramsey问题得到了许多学者的研究.本文主要讨论了涉及$3$ -一致Berge圈的Ramsey数，证明了对于$n \geq 4$，$ R(\mathcal{B}^3C_n,\mathcal{B}^3C_n,\mathcal{B}^3C_3)=n+1.$，并且证明了对于$m \geq n\geq 6$和$m\geq 11$，$R(\mathcal{B}^3K_m,\mathcal{B…
Ramsey numbers of cycles versus general graphs
Ramsey数$R(F,H)$是最小数$N$，使得任何$N$ -顶点图要么包含$F$的副本，要么它的补图包含$H$。伯尔在1981年证明了一个令人愉快的一般结果，任何图$H$，提供$n$是足够大的，一个自然的下界建设给出了正确的拉姆齐数涉及周期：$R(C_n,H)=(n-1)(χ(H)-1)+σ(H)$，其中$σ(H)$是最小可能的大小的颜色类中的一个$χ(H)$ -着色的$H$。艾伦、布莱特韦尔和斯科坎认为，当$n\geq |H|χ(H)$。我们改进了这个40年前的伯尔的结果，给出了$n\geq C|H|\log^4χ(H)$形式的定量界，这是最佳的对数因子。特别地，这证明了Allen-Brightwell-Skokan猜想对于所有具有大色数的图$H$的加强。
Ramsey numbers of cycles in random graphs
本文证明了在随机图 $G(N,p)$ 中，当 $N$ 略大于环的拉姆齐数 $R(C_n)$ 且 $p$ 足够大时，任意 $2$-着色必含单色环 $C_n$，结果在常数因子内最优，并改进了先前工作。
Size-Ramsey numbers of cycles versus a path
图族$\mathcal{F}$和图$H$的大小拉姆齐数$\hat{R}(\mathcal{F},H)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，其性质是$G$的边的任何两种颜色（例如红色和蓝色）的着色都会产生来自$\mathcal{F}$的图的红色副本或$H$的蓝色副本。在本文中，我们首先关注$\mathcal{F} = \mathcal{C}_{\le cn}$，其中$\mathcal{C}_{\le cn}$是族的周期的长度至多$cn$，和$H = P_n$。特别是，我们表明，$2.00365 n \le \hat{R}(\mathcal{C}_{\le n},P_n) \le 31n$。使用类似的技术，我们还设法分析了$\hat{R}(C_n,P_n)$，这是以前研究过的，但只使用正则性方法。
Ramsey goodness of cycles
给定一对图$G$和$H$，Ramsey数$R(G,H)$是最小的$N$，使得完全图$K_N$的边的每个红-蓝着色包含$G$的红色副本或$H$的蓝色副本。如果图$G$是连通的，则$R(G,H) \geq (|G|-1)(χ(H)-1)+σ(H)$是连通图，其中$χ(H)$是$H$的色数，$σ(H)$是$H$的一个$χ(H)$ -染色中最小色类的大小.如果$R(G,H)= (|G|-1)(χ(H)-1)+σ(H)$，则图$G$称为$H$ -good。Ramsey善良的概念是由Burr和Erds在1983年提出的，并从那时起得到了广泛的研究。在本文中，我们表明，如果$n\geq 10^{60}|H|$和$σ(H)\geq χ(H)^{22}$，那么$n$ -顶点循环$C_n$是$H$ -好的。对于具有高$χ(H)$和$σ(H)$的图$H$，这以强形式证明了Allen，Brightwell和Skokan的猜想。
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