Some recent work on biharmonic conformal maps
本文回顾了最近关于双调和共形映射的一些工作（详细综述见\cite{OC}，第11章）。它将集中在双调和共形浸入和双调和共形映射之间的流形相同的尺寸和他们的联系，等参函数和Yamabe型方程，虽然双调和态射（保持双拉普拉斯方程解的映射），广义调和态射（将调和函数的芽拉回到双调和函数的芽的映射），双调和共形和黎曼浸没也将被触及。
2019-09-10 math.DG
On f-biharmonic maps and f-biharmonic submanifolds
f-双调和映射是f-双能量泛函的极值。f-双调和子流形是定义等距浸入为f-双调和映射的子流形。本文证明了从紧致黎曼流形到非正曲流形的具有常数f-双能量密度的f-双调和映射是调和映射，紧致流形上的任何f-双调和函数都是常数，以及关于$m\ge 3$的$S^m$的逆是真f-双调和共形同态.我们导出了f-双调和子流形方程，证明了流形$(N^n, h)$中的曲面是f-双调和曲面当且仅当它能双调和共形浸入$(N^n,h)$中.我们还给出了三维欧几里得空间中f-双调和曲线的一个完全分类。给出了许多真f-双调和映射和f-双调和曲面与曲线的例子。
2013-06-15 math.DG
Harmonic maps and biharmonic Riemanian submersions
给出了黎曼浸没是调和的或双调和的刻划。双调和但不是调和黎曼浸没的例子。
2018-09-28 math.DG
Biharmonic maps from a 2-sphere
受2-球面上调和映射丰富理论的启发，本文研究了2-球面上的重调和映射。首先导出了旋转对称2-流形之间的旋转对称映射的双调和方程。然后，我们应用该方程，以获得一个家庭的旋转对称映射之间的2-球的双调和映射的分类。我们还发现了许多在2-球面上局部定义的真双调和映射的例子。我们的结果似乎表明，任何双调和映射$S^2\longrightarrow (N^n, h)$是一个弱共形浸入。
2013-12-10 math.DG
A short survey on biharmonic maps between Riemannian manifolds
在这个简短的调查，我们报告的理论，双调和映射之间的黎曼流形。
2005-10-28 math.DG
Biharmonic maps in two dimensions
研究了曲面间的双调和映射。在复坐标系中，我们计算了具有共形度量的曲面间映射的双张力场。作为应用，我们证明了如果共形因子$σ$是双解析的，则从欧几里得平面到$(\mathbb{R}^2, σ^2dwd\bar w)$的线性映射总是双调和的;我们构造了一类这样的$ σ$，并给出了$2$ -球面之间线性双调和映射的分类。我们还研究了曲面之间的双调和映射与翘曲的产品度量。这包括双曲平面之间的线性双调和映射的分类和许多到圆锥或螺旋面的真双调和映射的一些构造。
2010-08-04 math.DG
Liouville type theorems for transversally harmonic and biharmonic maps
研究了叶化黎曼流形上横截调和映射和双调和映射的Liouville型定理
2016-06-29 math.DG
On harmonic and biharmonic maps from gradient Ricci solitons
该研究聚焦梯度Ricci孤立子上的调和与双调和映射，推导了使调和映射为常值、双调和映射退化为调和映射的解析与几何条件，并证明二维cigar孤立子的有限能量双调和映射必为调和映射。
2024-07-15 math.DG
The index of biharmonic maps in spheres
双调和映射是双能量泛函和广义调和映射的临界点。本文研究了一类由极小黎曼浸入到球面中导出的双调和映射的指数。本研究的动机是由三个家庭的例子：全测地包含领域，Veronese地图和Clifford环面。
2003-03-13 math.DG
Subelliptic biharmonic maps
研究了次椭圆双调和映射，即从紧严格伪凸CR流形M到黎曼流形N的光滑映射，其中N是某个双能量泛函的临界点。证明了一个映射是次椭圆双调和映射当且仅当它到标准圆丛的（全空间）的垂直提升是关于February man度量的双调和映射。
2011-09-29 math.DG
Biharmonic maps into Sol and Nil spaces
本文研究了三维Thurston几何的两个模型空间Sol和Nil空间中的双调和映射。我们刻画了Sol空间中的非测地双调和曲线，证明了Sol空间中不存在非测地双调和螺旋线。证明了从欧几里得空间到Sol或Nil空间的线性映射是双调和映射的充要条件是它是调和映射，并给出了这类映射的一个完全分类.
2006-12-13 math.DG
Biharmonic maps between doubly warped product manifolds
本文研究了双曲积流形之间的双调和映射。证明了黎曼流形$B$和$F$到双曲积$_{f}B\times_{b}F$中的包含映射不可能是真的双调和映射.并分别分析了投影$_{f}B\times_{b}F\to B$和$_{f}B\times_{b}F\to F$的双调和性条件。利用调和映射与翘曲度量的乘积，给出了非调和双调和映射的一些刻划。特别地，在$f=1$的情况下，得到了\cite{Balmus-mont}中翘曲积的结果。
2008-08-01 math.DG
Biharmonic maps and morphisms from conformal mappings
受二维域上调和映射的共形不变性的启发，研究了双调和性与共形性之间的关系。我们首先给出了一个特征的双调和态射，类似的调和态射的Fuglede和石原，其中，特别是，解释了所需的条件，为保双调和性的四维共形映射，并帮助生产的第一个例子的双调和态射，这不是一个特殊类型的调和态射。然后，我们计算了水平弱共形映射的双张力场，其中包括共形映射。这就引出了几个真（即非调和）双调和共形映射的例子，其中四维起着关键作用。我们还构造了一族黎曼浸没，它们是真双调和映射。
2008-04-10 math.DG
New constructions of biharmonic polynomial maps between spheres
本文研究球面间由两个齐次多项式映射构成的对角映射，通过计算双张力场，提出了利用不同次数调和齐次多项式映射构造真双调和映射及乘积映射的新方法。
2025-04-12 math.DG
Biharmonic maps from Finsler spaces
将光滑映射的双能量和黎曼流形间的双调和映射的概念推广到区域为Finslerian的情形。我们确定了双能泛函的第一变分和二阶变分，Finsler到Riemann双调和映射的方程和一些具体的例子。在黎曼几何中关于非调和双调和映射不存在的两个显著结果在我们的情形中得到了推广。
2012-10-18 math.DG
Biharmonic maps from tori into a 2-sphere
双调和映射是调和映射的推广。Eells和Wood关于曲面间调和映射的一个著名结果表明，在Brower度为$\pm 1$的同伦映射类中，不存在从环面到球面的调和映射（无论选择何种度量）.如果知道在那个同伦类映射中是否存在任何双调和映射，那将是很有趣的。本文给出了环面到球面的双调和映射的分类，其中环面具有平坦度量或一类非平坦度量，而球面具有标准度量.结果表明，在从环面到球面的映射大族中，不存在次数为$\pm 1$的真双调和映射。
2014-06-18 math.DG
A general approach to equivariant biharmonic maps
本文给出了等变双调和映射解析构造的一维变分方法。我们的目标是提供一个直接法，使分析人员能够直接计算的分析条件，保证在适当的对称性的存在下的双调和性。在我们工作的第二部分中，我们举例说明并讨论了一些例子。特别地，我们得到了一个一维稳定性结果，同时也证明了双调和映射不满足经典的调和映射的最大值原理。
2012-04-06 math.DG
On the generalized of $p$-biharmonic and bi-$p$-harmonic maps
Salhi Ahmed Naama University Center, Department of mathematics（萨赫利·艾哈迈德·纳马大学中心数学系）；University Mustapha Stambouli Mascara, Faculty of Exact Sciences（马斯卡拉穆斯塔法·斯坦布利大学精确科学学院）
本文提出并研究了 $p$-双调和与双 $p$-调和映射的定义及其性质。
2026-03-06 math.DG
Biharmonic maps into symmetric spaces and integrable systems
本文给出了由$G$上的双不变黎曼度量$h$导出的紧致黎曼流形到黎曼对称空间$(G/K,h)$的所有光滑映射的双调和映射方程的Maurer-Cartan形式的描述.利用这个公式，确定了对称空间中的所有双调和曲线，以及${\Bbb R}^2$的开域在标准黎曼度量下到$(G/K,h)$中的所有双调和映射.
2012-01-31 math.DG
Some remarks on bi-f-harmonic maps and f-biharmonic maps
本文证明了双f-调和映射类与维数不等于2的共形流形上的f-双调和映射类是同一类（定理1.1）。我们也给出了从完备黎曼流形到非正曲黎曼流形的真双f-调和映射和f-双调和映射的不存在性的几个结果。其中包括：任何从紧致流形到非正曲率流形的双f-调和映射都是f-调和的（定理1.6），任何从完备黎曼流形到严格负曲率流形的具有有界f和有界f-双能量的f-双调和（或双f-调和）映射处处秩< 2（定理2.2和2.3）。
2018-08-07 math.DG
Proper biharmonic maps and $(2,1)$-harmonic morphisms from some wild geometries
本文在具有非平凡几何的黎曼流形上构造了一类新的复值真双调和映射和（2，1）-调和态射。这些是取决于所涉及的流形的几何数据的偏微分方程的非线性系的解。
2023-03-13 math.DG
Biharmonic maps into a Riemannian manifold of non-positive curvature
研究了有限能量和有限双能量的黎曼流形之间的双调和映射。我们证明了，如果区域是完全的，目标的非正曲率，那么这样的映射是调和的。然后，我们给等距浸入和水平共形浸入的应用程序。
2012-10-01 math.DG
Biharmonic conformal maps in dimension four and equations of Yamabe-type
证明了在$4$维Einstein流形上构造双调和共形映射的问题归结为Yamabe型方程。这使我们能够在欧几里得4-球面上构造一个无限族的例子。此外，我们还刻画了Euclidean 4-空间上的所有解，并证明了在任何负里奇曲率的闭Einstein 4-流形上至少存在一个非常数的真双调和共形映射.
2017-07-11 math.DG
Generalized Chen's conjecture for biharmonic maps on foliations
本文证明了叶状结构上(F,F')-双调和映射的广义Chen猜想，该映射为横截双能量泛函的临界点。
2023-08-31 math.DG
Some classifications of conformal biharmonic and k-polyharmonic maps
通过证明两个空间型之间的共形映射是真双调和的当且仅当维数为4，区域是平坦的，并且它是Möbius变换的一个限制，给出了两个空间型之间的局部和整体共形双调和映射的一个完全分类.证明了欧几里得空间之间的真k-多调和共形映射存在的充要条件是维数为2k，并且它们正是Möbius变换的限制.这提供了无穷多个具有良好几何结构的真k-多重调和映射的简单例子。
2021-07-21 math.DG
Proper biharmonic maps on tangent bundle
本文在切丛上通过非共形变形Sasaki度量定义Mus-Gradient度量，研究其几何并刻画一类新的真双调和映射，且在欧氏空间因子情形给出实例。
2022-11-15 math.DG
The Second Variational Formula for Statistical Biharmonic Maps
本文提出统计双能量泛函的第二变分公式与稳定性概念，推导了目标为Hessian流形时的曲率表示形式，给出相关重要实例并确定其稳定性。
2025-09-05 math.DG
Biharmonic holomorphic maps and conformally Kahler geometry
给出了几乎Hermitian流形的Lee向量场的条件，使得从该流形到（1，2）-辛流形的全纯映射必须满足四阶双调和条件，从而推广了调和映射的Lichnerowicz定理.这些三阶非线性条件大大简化了l.c.K.流形和建设方法和例子，在所有的维度。
2012-04-10 math.DG
Biharmonic homogeneous polynomial maps between spheres
本文首先证明了欧氏球面中双调和映射的一个特征公式，作为应用，我们构造了一族从平坦$2$维环面$\mathbb{T}$到$3$维单位欧氏球面$\mathbb{S}^3$的双调和映射.然后，对于球面之间的映射的特殊情况，其组件是由齐次多项式的相同的次数，我们找到了一个更具体的形式为他们的双张力场。进一步，我们将这个公式应用于次数为$2$的情况，我们得到了从$\mathbb{S}^1$到$\mathbb{S}^n$，$n \geq 2$，从$\mathbb{S}^m$到$\mathbb{S}^2$，$m \geq 2$，以及从$\mathbb{S}^m$到$\mathbb{S}^3$，$m \geq 2$的所有真双调和二次型的分类。
2022-05-26 math.DG
The energy density of biharmonic quadratic maps between spheres
本文研究球面间二次映射，证明非调和双调和等价于恒定能量密度 (m+1)/2，并解决其结构公开问题，进而得到相应分类结果。
2023-06-04 math.DG
Biharmonic maps from a complete Riemannian manifold into a non-positively curved manifold
考虑从完备黎曼流形到具有非正截面曲率的黎曼流形的双调和映射$ϕ:(M,g)\rightarrow (N,h)$.假设$α$满足$1<α<\infty$。如果对这样的$α$，$\int_M|τ(ϕ)|^αdv_g<\infty$和$\int_M|dϕ|^2dv_g<\infty,$，其中$τ(ϕ)$是$ϕ$的张力场，那么我们证明了$ϕ$是调和的.对于双调和子流形，我们得到了上述假设$\int_M|dϕ|^2dv_g<\infty$是不必要的。这些结果对广义Chen猜想的整体形式给出了部分肯定的回答。
2013-08-28 math.DG
On conformal biharmonic maps and hypersurfaces
University of Rostock（罗斯托克大学）；Al.I. Cuza University of Iasi（雅西亚历山德鲁·伊·库扎大学）
本文引入共形双能量泛函，研究其临界点共形双调和映射，分类了球面中共形双调和超球面和广义Clifford环面，并发现双曲空间也存在共形双调和超曲面，最后计算了超球面的稳定性指标。
2026-07-03 math.DG
Nonexistence of proper $p$-biharmonic maps and Liouville type theorems I: case of $p\geq2$
设$u: (M, g)\to (N, h)$是黎曼流形$(M, g)$和$(N, h)$之间的映射。$p$-$u$的双能由$E_p(u)=\int_M|τ(u)|^pdν_g$定义，其中$τ(u)$是$u$和$p>1$的张力场。$E_p(\cdot)$的临界点称为$p$ -双调和映射.本文证明了当$p\geq2$为真$p$ -双调和映射时，真$p$ -双调和映射的不存在性.特别是当$M=\mathbb{R}^m$满足一定的积分条件时，得到了Liouville型结果，推广了Baird，Fardoun和Ouakkas \cite{BFO}的相关结果.
2019-11-25 math.DG
Generalized harmonic morphisms and horizontally weakly conformal biharmonic maps
调和态射是将调和函数拉回到调和函数的黎曼流形之间的映射。这些地图的特点是水平弱共形调和映射，他们有许多有趣的联系和应用的几个领域的数学（见书贝尔德和木材的细节）。本文研究了广义调和态射，广义调和态射定义为黎曼流形之间将调和函数拉回到双调和函数的映射。我们得到了欧几里得空间中广义调和态射的一些特征，并给出了两种构造方法，这些方法可以用来产生许多不是调和态射的广义调和态射的例子.给出了翘曲积空间投影间广义调和态射的完全分类，从而提供了翘曲积流形上真双调和黎曼浸入和共形浸入的无穷多个例子.
2017-12-10 math.DG
$f$-Biharmonic submanifolds in space forms and $f$-biharmonic Riemannian submersions from 3-manifolds
本文研究了空间形式中的$f$-双和曲线与可展曲面等距浸入的分类，并利用可积性数据探讨了源自3-空间形式的黎曼浸没的$f$-双和性，给出了相关实例。
2024-02-12 math.DG
Removable singularities and bubbling of harmonic maps and biharmonic maps
利用Moser的迭代技巧，给出了到非正曲率流形上的双调和映射的张力场的若干可去奇点定理，以及双调和映射和调和映射的冒泡定理.
2012-04-23 math.AG math.DG
A nonexistence theorem for proper biharmonic maps into general Riemannian manifolds
本文在假定$\|τ(ϕ)\|_{L^p(M)}, p>1$是有限的和$\|dϕ\|_{L^m(M)}$是小的条件下，证明了在一般的黎曼流形中不存在欧氏型Sobolev不等式的、来自具有无穷大体积的\(m=\dim M\geq 3\)维完备非紧黎曼流形的真双调和映射的一个不存在性结果.这是对第一位作者最近的一个结果的改进，他假设了$2<p<m$。作为应用，我们还得到了从完备非紧流形到一般黎曼流形的真双调和浸入的不存在性结果。
2018-07-13 math.DG
Remarks on constructing biharmonic and conformal biharmonic maps to spheres
University of Rostock（罗斯托克大学）
本文提出一种几何算法，用于构造双调和与共形双调和映射到球面，并通过实例展示算法在不同域下的灵活性及方法的有效性。
2026-03-06 math.AP math.DG
Conformal change of Riemannian metrics and biharmonic maps
对于Baird和Kamissoko关于从黎曼流形$(M^m,g)$到另一个$(N^n,h)$的双调和映射的约化常微分方程\cite{BK}，我们证明了这个常微分方程对每个$m\geq 5$都没有整体正解.相反，我们证明了在$m=3$情形下存在整体正解.作为应用，对于直线与黎曼曲面的黎曼乘积$(M^3,g)$，我们构造了$M^3$上与$g$共形的新度量$\widetilde{g}$，使得每个从$M^3$到原度量$g$的非平凡乘积调和映射必是关于新度量$\widetilde{g}$的双调和映射而不是调和映射.
2014-01-29 math.DG
Unique continuation theorems for biharmonic maps
证明了黎曼流形之间的重调和映射的几个唯一延拓结果。
2018-11-22 math.AP math.DG
Some constructions of biharmonic maps and Chen's conjecture on biharmonic hypersurfaces
我们给出了几种构造方法，并利用它们通过正交乘法和本征映射产生了许多正确的双调和映射的例子，包括欧氏球面中任意维的双调和环面（定理2.2，推论2.3，2.4和2.6），球面之间的双调和映射（定理2.9）和球面内的双调和映射（定理2.10）。本文还研究了映射的双调和图，导出了欧几里得空间中图是双调和超曲面的函数的方程，并利用双调和图方程（定理4.1）给出了Chen关于双调和超曲面的猜想的一个等价形式，为该猜想的分析研究铺平了道路。
2018-08-13 math.AP math.DG
Statistical Biharmonicity of Identity Maps
研究恒等映射的统计双和性，推导满足半等 affine 条件的新统计流形，并确定其统计结构。
2026-04-13 math.DG
On the biharmonic and harmonic indices of the Hopf map
双调和映射是双能量泛函的临界点，从这个角度来看，广义调和映射。考虑了Hopf映射$ψ:\s^3\to \s^2$，并将其修改为非调和双调和映射$ϕ:\s^3\to \s^3$ .我们证明了$ϕ$是不稳定的，并估计了它的双调和指数和零点。解决的垂直拉普拉斯相关的霍普夫映射的频谱，我们恢复浦川的确定其调和指数和零。
2004-02-18 math.DG
Exemples de sous variétés de $\mathbb{S}^n$; les variétés proprement biharmoniques avec indice et les variétés proprement C--harmoniques
我们把一类特殊的四阶非线性椭圆型偏微分方程的解称为指数双调和映射。这是调和映射的推广，证明了双调和映射是指数为0的双调和映射。本文的目的是研究$\mathbb{S}^n$中包含为非调和和指数双调和（即真指数双调和）的子流形。我们给出了一些伪脐和非伪脐的例子，并研究了$\mathbb{S}^n$的真指数双调和子流形与$\mathbb{S}^n$的真共形调和子流形之间的联系.
2012-04-26 math.DG
Rotationally symmetric biharmonic maps between models
本文主要研究两个$m$维模型（在Greene和Wu意义下）之间的旋转对称真双调和映射的存在性和稳定性.在$m=4$和模型具有常截面曲率的特殊情况下，我们得到了旋转对称的真双调和共形同态的一个完全分类。然后，通过引入与此问题相关联的哈密顿量，我们也得到了在区域模型为${\mathbb R}^4$的情况下共形真双调和解的完整描述。在本文的第二部分中，我们进行了稳定性研究方面的同变变化（同变稳定性）。特别是，我们证明：（i）的逆球球极平面投影从开放的$4$维欧几里德球的双曲空间是等变稳定的;（ii）逆球球极平面投影从封闭的$4$维欧几里德球的球是等变稳定的变化，保持边界数据。
2015-06-16 math.DG
Biharmonic homomorphisms between Riemannian Lie groups
具有左不变黎曼度量$g$的李群$G$称为黎曼李群。黎曼流形之间的调和映射和双调和映射是一个重要的研究领域。本文研究了黎曼李群之间的调和同态和双调和同态的不同方面。我们表明，这类双调和映射可以用于在第一级建立的例子，但我们将看到通过本文，其研究将导致一些有趣的数学问题的理论黎曼李群。
2014-12-16 math.DG
The biharmonic stress-energy tensor and the Gauss map
本文将能量泛函和双能泛函视为黎曼度量集上的变分问题，研究了双调和应力-能量张量。然后将这种方法应用于子流形的Gauss映射的弱共形性。最后，在泛函的层次上，我们恢复了Weiner将Willmore曲面和伪脐点联系起来的结果。
2006-09-23 math-ph math.DG math.MP
Biharmonic maps into compact Lie groups and the integrable systems
得到了紧致黎曼流形的光滑映射到具有双不变黎曼度量的紧致李群的双调和映射方程的Maurer-Cartan型约化.利用这个公式，刻画了到紧李群的所有双调和曲线和从二维开区域到紧李群的所有双调和映射。
2012-01-31 math.AP math.DG
Biharmonic properties and conformal changes
通过共形变形调和Riemann浸入的余域度量，使其成为非调和但双调和的，构造了一类新的双调和映射，它们是双能量泛函的临界点.
2004-08-03 math.DG
Energy identity of approximate biharmonic maps to Riemannian manifolds and its application
本文研究了具有双张力场的黎曼流形上的近似双调和映射序列在四维弱收敛情形下的性质，其中双张力场是有界于$L^p$（$p>\frac43$）中的。我们证明了一个能量恒等式，它用$\mathbb R^4$上的100个非平凡双调和映射上的Hessian能量之和来解释Hessian能量的损失.作为推论，我们得到了双调和映射在无穷远时刻热流的一个能量恒等式。
2011-12-29 math.AP math.DG
Well-posedness for the heat flow of biharmonic maps with rough initial data
本文分别建立了局部（或全局）从$R^n$到紧致无边界黎曼流形具有小局部BMO（或BMO）的双调和映射的热流的适定性规范高效
2010-01-13 math.AP math.DG
Index and nullity of proper biharmonic maps in spheres
本文研究真双调和映射的第二变分，计算若干已知例子的精确指数与零化度，证明非紧情形下一族映射的紧支集变分严格稳定性，并引入等变变分指数与零化度。
2019-12-30 math.DG
Quantitative stratification and higher regularity for biharmonic maps
在本文中，我们证明了定量的正则性结果的平稳和最小化外部双调和映射。作为一个应用程序，我们确定尖锐的，尺寸独立的$L^p$界$\nabla^k f$，不需要一个小的能量假设。特别地，对于所有$1\le p<5/4$，每个极小化双调和映射都在$W^{4,p}$中。此外，对于最小化双调和映射从$Ω\subset \mathbb{R}^5$，我们确定了一个统一的界限的数量的奇点在一个紧集。最后，使用降维参数，我们将这些结果扩展到最小化和平稳的双调和映射到特殊的目标。
2015-03-26 math.AP math.DG
Classifications and Isolation Phenomena of Bi-Harmonic Maps and Bi-Yang-Mills Fields
给出了单位球面上所有双调和等参超曲面和复或四元数射影空间中所有双调和齐次实超曲面的分类。在有界几何的情形下，对Chen的猜想或Caddeo，Montaldo和Piu关于到非正曲率流形上的双调和映射的猜想给出了解答.给出了规范场的模拟，得到了bi-Yang-Mills场的孤立现象。
2009-12-24 math.DG
