Generalizations of the theorems of Pappus-Guldin in the Heisenberg groups
本文研究了3D-Heisenberg群$\mathbb{H}_1$中参数曲面的面积（称为p-面积）和体积。本文在$\mathbb{H}_1$中导出了参数曲面的p-面积和体积公式，并证明了当曲面满足某些几何性质时，Pappus-Guldin定理关于曲面面积和体积的经典结果成立。文中还提供了一些例子，包括具有常数p-中曲率的曲面。
2021-02-28 math.DG
Area-stationary surfaces inside the sub-Riemannian three-sphere
我们考虑由曲率为1的黎曼度量限制到与Hopf向量场正交的平面分布所提供的$\mathbb{S}^3$上的次黎曼度量$g_{h}$。我们计算的测地线与卡诺Carathéodory距离，我们表明，根据其曲率，它们是封闭的或密集的克利福德环面的子集。我们在$(\mathbb{S}^3,g_{h})$中研究了带或不带体积约束的面积平稳曲面。利用[RR]中的思想和技巧，我们引入了变分的中曲率的概念，刻画了平稳曲面，并证明了具有非空奇异集的完全保体积面积平稳曲面的分类结果.我们还使用的Carnot-Carathéodory测地线的行为和统治财产的恒定中曲率曲面表明，只有$C^2$紧凑，连接，嵌入表面在$(\mathbb{S}^3,g_{h})$与空奇异集和恒定中曲率$H$，使$H/\sqrt{1+H^2}$是一个无理数，Clifford托里。最后我们描述了$(\mathbb{S}^3,g_{h})$中具有常中曲率的完备旋转不变曲面。
2006-08-02 math.DG math.MG
Almost Monotonicity Formula for H-minimal Legendrian Surfaces in the Heisenberg Group
证明了Heisenberg群${\mathbb H}^2$中H-极小Legendrian曲面（也称{ \it接触平稳Legendrian浸入}）的几乎单调性公式.从这个公式我们推出了一个Bernstein-Liouville型定理的H-极小Legendrian曲面。这最后一个结果恰好是作者在arXiv：2007.05467中给出的Willmore猜想证明的分析部分的一个特别的中心成分
2021-08-22 math.DG
Rotationally invariant hypersurfaces with constant mean curvature in the Heisenberg group H^n
在本文中，我们研究的$n$ -维海森堡群$\hhn$中的临界点，在体积约束下，与$\hhn$中的水平向量场的分布相关联的亚黎曼周长。定义了超曲面的中曲率概念，证明了平稳集的边界是常中曲率（CMC）超曲面.我们的定义与以前的定义一致。我们的主要结果描述了哪些是$\hhn$中旋转的CMC超曲面。这样的超曲面在紧的旋转群下是不变的这一事实允许我们将CMC偏微分方程简化为一个常微分方程系统。解的分析引导我们在海森堡群中建立对应的常中曲率的旋转超曲面在欧几里得空间的德劳内分类。因此我们对$\hhn$中的旋转不变等周集进行了分类。
2005-04-21 math.DG math.MG
Stationary one-sided area-minimizing hypersurfaces with isolated singularities
我们推广了Hardt和Simon关于面积极小锥的结果，证明了静态单侧面积极小超曲面的孤立奇点可以在极小化的一侧被局部扰动.
2019-04-04 math.DG
Stable minimal graphs in Heisenberg group $\mathbb{H}^n$
我们证明了严格稳定的极小$C^2_h$固有图G是局部面积最小的，即给定任何具有相同边界的$C^1_h$图$S$，$\text{Area}(G)<\text{Area}(S)$，除非$G=S$ .作为结果，我们证明了具有指定的小边界数据的$C^\infty$极小图的存在性和唯一性。
2017-01-22 math.AP math.DG
On the classification of complete area-stationary and stable surfaces in the sub-Riemannian Sol manifold
本文研究了Minkowski平面E（1，1）的刚性运动空间中面积平稳和稳定的$C^2$正则曲面的分类，并给出了其亚黎曼结构.我们构造的例子，面积稳定的表面，不叶状的次黎曼测地线。我们还证明了存在无穷多个具有奇异曲线的$C^2$面积平稳曲面。最后，我们证明了$C^2$面积平稳曲面的稳定性。
2013-08-17 math.DG
Variations of generalized area functionals and p-area minimizers of bounded variation in the Heisenberg group
本文证明了在抛物凸有界区域中，对于$p$ -区域（伪埃尔米特区域或水平区域），存在一个具有$C^{0}$边值的连续$BV$极小元.我们将面积泛函的定义域从$BV$函数扩展到向量值测度。我们的主要目的是研究这种广义面积泛函的第一阶变分和二阶变分，其中包括奇异部分的贡献。通过给出黎曼几何和伪厄米几何中的例子，统一地说明了几个已知的结果。本文给出了任意伪厄米$3$流形中曲面的奇异曲线对$p$面积的第一和二阶变分的贡献。
2011-02-14 math.AP math.CV math.DG
On area-stationary surfaces in certain neutral Kaehler 4-manifolds
我们研究了TN中的曲面，这些曲面相对于由N上的黎曼度量g构造的TN上的中性Kaehler度量是面积平稳的。我们证明了TN中的全纯曲线是面积平稳的，而面积平稳的拉格朗日曲面也是全纯的，因此是完全零的。然而，一般来说，面积静止曲面不是全纯的。我们通过构造反例来证明这一点。在g是旋转对称的情况下，我们发现所有的区域固定表面出现的图形的部分丛TN $\to$ N和旋转对称。当（N，g）是圆2-球面时，TN可以等同于${\Bbb{R}}^3$中的定向仿射直线空间，并且我们给出了一个既不是全纯的也不是拉格朗日的双参数面积平稳环面族.
2006-11-22 math.DG
Area of Hölder curves and coarea formula on the Heisenberg group
University of Notre Dame（圣母大学）；New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences（纽约大学，库朗数学科学研究所）
本文证明了从Heisenberg群到R^{2n}的Lipschitz映射的共面积公式，解决了子Riemannian几何中的开放问题，引入了Hölder曲线的积分定义，并给出了新的结果。
2026-05-15 math.CA math.DG math.MG
Some remarks on contact variations in the first Heisenberg group
我们发现，在第一个子黎曼海森堡群有内在的图的光滑函数，这是临界点和稳定点的子黎曼周长下紧支持的变化接触的超同态，尽管事实上，他们不是面积最小化的表面。特别是，我们表明，如果$f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$是一个$C^1$ -内在的功能，和$\nabla^f\nabla^ff=0$，那么第一接触变化的次黎曼面积的内在图是零，第二接触变化是积极的。
2017-08-23 math.DG
Stationary polyhedral varifolds minimize area
我们证明了每一个固定多面体变分褶在以下意义下最小化面积：（1）它的面积不能通过与紧集外的恒等式一致的一对一Lipschitz环境变形而减少，（2）它是与系数在一定度量阿贝尔群中的质量最小化平坦链相关联的变分褶。注：在这篇论文发表后，我了解到（1）和（2）已经分别被Choe和Morgan证明了。因此本文是他们的结果的一个阐述。
2020-01-13 math.DG
Uniqueness of generalized p-area minimizers and integrability of a horizontal normal in the Heisenberg group
研究了广义$p$ -极小曲面在Heisenberg群中的唯一性.由$u$定义的图的广义$p$ -区域读作$\int |\nabla u+\vec{F}| + Hu$。如果$u$和$v$是广义$p$ -区域的两个极小元，满足相同的Dirichlet边界条件，那么我们只能得到$N_{\vec{F}}(u)$ $=$ $N_{\vec{F}}(v)$（在非奇异集上）其中$N_{\vec{F}}(w)$ $:=$ $\frac{\nabla w+\vec{F}}{|\nabla w+\vec{F}|}.$为了得出$u$ $=$ $v$（或$\nabla u$ $=$ $\nabla v)$），它不像黎曼情形那样简单，但通常需要一些特殊的论证。本文证明了对于包含$p$ -面积的广义面积泛函，在$\vec{F}$的导数的秩条件或$u$或$v$的接触形式的不可积条件下，$N_{\vec{F}}(u)$ $=$ $N_{\vec{F}}(v)$在$\geq $ 3中蕴涵$\nabla u$ $=$ $\nabla v$.注意，在维度2（$n=1),$）中，上述陈述不再为真。受图的水平法线$N_{\vec{F}}(u),$的一个方程的启发，我们研究了图的水平法线为单位向量的可积性。我们找到一个类似Codazzi的方程与该方程一起形成可积条件。
2013-05-10 math.AP math.DG
Existence and Uniqueness for P-Area Minimizers in the Heisenberg Group
在\cite{CHMY04}中，我们从偏微分方程和微分几何的角度研究了Heisenberg群中的$p$ -中曲率和相应的$p$ -极小曲面.在本文中，我们通过变分公式来研究这个问题。本文研究了一般维数下的广义$p$ -面积和相关的（$p$ -）极小元.我们证明了极小解的存在性，并研究了极小解的唯一性。由于这归结为求解退化的椭圆型方程，我们需要考虑奇异集的影响，这需要仔细研究。定义了弱解的概念，证明了在一定的索伯列夫空间中，弱解是极小元，反之亦然.我们也给出了二维中许多有趣的例子。一个有趣的观点是，在2维，从PDE的观点来看，一个$C^2$光滑的解决方案可能不是一个极小。然而，由于奇异集的大小相对较小，这种说法对于更高的维度是正确的。
2006-08-01 math.AP math.DG
Minimal cylinders in the three-dimensional Heisenberg group
利用广义Weierstrass型表示，即所谓的环群方法，研究了三维Heisenberg群${\rm Nil}_3$中的极小柱.我们刻画了所有的非垂直最小圆柱的两个封闭的平面曲线，有相同的符号面积的对。此外，作为构造的副产品，也可以获得空间状CMC圆柱体。
2022-11-05 math.DG
Constant mean curvature surfaces in the sub-Lorentzian Heisenberg group
Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学学院）；Department of Mathematics, University of Trento（特伦托大学数学系）
本文研究了子洛伦兹海森堡群中具有常水平平均曲率的曲面，通过体积保持径向变分推导了水平面积的第一变分公式，并完整分类了光滑的boost对称常平均曲率曲面，发现了一族非零常平均曲率的光滑非因果boost对称曲面，推测其为等周问题的解。
2026-05-29 math.DG math.MG
The Bernstein problem for Lipschitz intrinsic graphs in the Heisenberg group
本文证明了在第一海森堡群$\mathbb{H}$中，子黎曼面积的第一阶变分为零且二阶变分为非负的整局部Lipschitz内禀图必是内禀平面，即$\mathbb{H}$的二维子群的陪集。并给出了两个实例，以强调结果的清晰性。
2018-09-12 math.DG
A rough calculus approach to level sets in the Heisenberg group
我们引入了新的方程，在粗糙路径理论的精神，参数化水平集的内在正则映射的海森堡群的值在$\mathbb{R}^2$。这些方程可以看作是一个亚黎曼对应的经典常微分方程所产生的隐函数定理。我们发现，他们享受所有的自然适定性属性，从而允许一个“好演算”的非光滑水平集。我们应用这些结果来证明水平集的内在测度的面积公式，以及相应的coarea公式。
2016-10-27 math.DG math.FA math.MG
An instability criterion for volume-preserving area-stationary surfaces with singular curves in sub-Riemannian $3$-space forms
我们研究稳定的表面，即，在维数为$3$的次黎曼空间型中，固定体积变化的面积的二阶最小值。我们证明了一个稳定性不等式，并提供了充分条件，确保保体积面积平稳$C^2$曲面的非空奇异曲线集的不稳定性。结合以前的结果，这允许描述任何完整的，定向的，嵌入式和稳定的$C^2$表面$Σ$海森堡组$\mathbb{H}^1$和亚黎曼球面$\mathbb{S}^3$的常曲率$1$。在$\mathbb{H}^1$中，我们得出结论：$Σ$是欧氏平面、潘苏球面或全等于双曲抛物面$t=xy$ .在$\mathbb{S}^3$中我们推出$Σ$是在[28]中发现的Pansu球面之一。因此，这样的球是唯一的$C^2$解决方案的亚黎曼等周问题的$\mathbb{S}^3$。
2020-02-27 math.DG
An Application of the Moving Frame Method to Integral Geometry in the Heisenberg Group
给出了三维Heisenberg群中曲线曲面的基本定理，并分别给出了曲线曲面的一组完整的不变量。证明是基于Cartan的活动标架方法和李群理论。作为主要定理的应用，本文证明了一个由体积变化自然产生的p-面积的Crofton型公式。该应用程序使CR几何和积分几何之间的连接。
2017-12-26 math.DG
Existence and partial regularity of Legendrian area-minimizing currents
本文证明接触流形中局部质量极小的Legendrian积分流具有开且稠密的正则集，并据此建立Heisenberg群中Legendrian Plateau问题及闭接触流形同调类中极小流的存在性与部分正则性。
2024-06-13 math.AP math.DG math.MG
Quantitative Centre Rigidity under Riemannian Approximation in Heisenberg Groups
National Taiwan University（国立台湾大学）；Academia Sinica（中央研究院）
该论文证明了海森堡群中满足稳定性条件的有限黎曼周长集合的定量中心刚性，给出了水平中心导数等量的界，并指出周长超出量满足相同界。
2026-10-06 math.DG
The Bernstein problem for Sobolev intrinsic graphs in the Heisenberg group
该研究针对Heisenberg群中Sobolev内蕴图的Bernstein问题，证明了满足导数可积性条件的稳定次黎曼面积内蕴图必为内蕴平面，将现有Lipschitz类结果扩展到Sobolev情形。
2025-08-26 math.AP math.DG
Holonomy displacements in Hopf bundles over complex hyperbolic space and the complex Heisenberg groups
对于"霍普夫方程“$S^1\to S^{2n,1} \to {\mathbb H}^n$，研究了简单闭曲线的水平升力.设$γ$是基空间中完备全测地曲面$S$上的分段光滑简单闭曲线。然后沿着$γ$的完整位移由$$ V(γ)=e^{λA(γ) i} $$给出，其中$A(γ)$是表面$S$上被$γ$包围的区域的面积; $λ=1/2 $或0取决于$S$是否是复子流形。我们也对复海森堡群${\mathbb R} \to {\mathcal H}^{2n+1} \to {\mathbb C}^n$进行了类似的研究。
2007-03-30 math.DG
Stationary surfaces of height-dependent weighted area functionals in $\mathbb{R}^3$ and $\mathbb{L}^3$
该研究针对一类权重函数$φ$，建立了$\u211d^3$中加权极小曲面与$\u2113^3$中带可容许奇点的加权极大曲面的对应关系，给出$\dotφ≠0$时的Weierstrass表示，分析了两类曲面的渐近行为并提出奇点类型判定与模空间分类判据。
2024-05-21 math.DG
Sub-Finsler Heisenberg Perimeter Measures
本文研究了由Heisenberg群给出的度量测度空间中的周长测度，该度量空间具有Haar测度和Carnot-Carathéodory度量，它一般是次Finsler度量.包括减少闵可夫斯基内容在任何CC-度量的积分公式在勒贝格表面积$\mathbb{R}^3$。利用这一结果，我研究了两个周边措施，芬斯勒规范飞机的研究所产生的，并提供证据表明，潘苏的猜想有关的等周问题在分黎曼的情况下似乎举行更一般的分芬斯勒的情况下。这与芬斯勒等周线和黎曼等周线之间的关系相反。特别是，我表明，对于任何CC-度量存在一类表面与勒让德叶理CC测地线推广潘苏的泡沫集，但即使在他们的自然度量使用任何周长措施，这样的表面的计算例子有较低的等周比潘苏泡沫集，它有勒让德叶理分黎曼测地线。
2017-11-05 math.DG math.GR math.MG
On the Compactness of Hamiltonian Stationary Lagrangian Surfaces in K{ä}hler Surfaces
本文证明了完备K{ä}hler曲面中具有有界面积和Willmore能量的闭Hamilton定常Lagrange曲面序列的泡树收敛定理。在$\mathbb C^2$和$\mathbb{CP}^2$中分别证明了Hamilton定常拉格朗日环面空间上的两个强紧性定理。
2019-10-06 math.DG
Hamiltonian stationary Lagrangian surfaces in C^2
本文研究了C^2中的Hamilton定常拉格朗日曲面，即C^2中的拉格朗日曲面是面积泛函在光滑Hamilton变分下的驻点。利用回路群，我们提出了一个公式的方程作为一个完全可积系统。我们构造一个Weierstrass型表示，并通过可积系统机制或更直接的参数产生所有环面。
2000-09-22 math.DG
Dimension of the singular set for $2$-valued stationary Lipschitz graphs
本文证明了对于面积稳态的$2$值Lipschitz图，其奇异集具有余维数$1$。
2023-12-30 math.AP math.DG
A Variational Theory for The Area of Legendrian Surfaces
该研究提出Legendrian约束下曲面面积的新临界点概念PHSLVs，建立其紧性与最优正则性，推广Schoen-Wolfson理论，并证明两个变分存在性结果。
2024-10-08 math.AP math.DG
A Codazzi-like equation and the singular set for $C^{1}$ smooth surfaces in the Heisenberg group
本文研究了$3$维Heisenberg群$\boldsymbol{H}_{1}$中$C^{1}$光滑曲面的奇异集结构。我们发现了一个类似于Codazzi方程的$p$面积元素沿表面上的特征曲线。从这个常微分方程得到的信息有助于我们分析奇异集的局部构形和特征曲线。特别地，我们可以估计奇异集的大小并得到其正则性。我们通过一个Hopf型指标定理来理解奇异集的全局结构。我们还证明了Codazzi方程证明了一个基本定理的局部曲面$\boldsymbol{H}_{1}$。
2010-06-23 math.AP math.DG
On a conjecture of Almgren: area-minimizing submanifolds with fractal singularities
本文在紧致黎曼流形上构造了具有分形奇点集的面积最小子流形，精确解决了Almgren猜想，并能任意指定奇点集的Almgren分层，结果适用于多种流和varifold范畴。
2025-11-03 math.DG
Lipschitz graphs and currents in Heisenberg groups
本文证明子黎曼海森伯格群中余维数k≤n的内蕴Lipschitz图的Rademacher型定理，并给出延拓、逼近、常值定理及Lusin型结果、可修正性等价和面积公式等应用。
2020-07-28 math.CA math.DG math.FA
(Log-)epiperimetric inequality and regularity over smooth cones for almost Area-Minimizing currents
通过使任意给定迹沿适当选择的方向沿径向流动，证明了一个新的关于具有孤立奇点的重1平稳锥的对数上围不等式.与以前关于极小曲面的上围不等式（例如Reifenberg，Taylor和White的上围不等式）相比，我们不需要对锥的结构（例如可积性）作先验假设。此外，如果锥是可积的（不仅通过旋转），我们恢复了经典的上围不等式。作为结果，我们推导出一个新的$\varepsilon$正则性的结果几乎面积最小化电流在奇点，其中至少有一个爆破是一个重一锥孤立奇点。这个结果与Leon Simon的平稳变分函数的结果相似，但与之无关，因为几乎极小化器不满足任何方程。
2018-02-01 math.AP math.DG
Stationary bands in three-dimensional Minkowski space
本文考虑三维Lorentz-Minkowski空间$ł^3$中的自由边界问题，它涉及中曲率为时间坐标的线性函数且边界在给定支撑平面内移动的类空曲面。我们研究类空曲面，项目一对一到一条的支持，并在当地的临界点的某一能量功能涉及的表面，类时的潜力和保持封闭的表面的体积。我们称这些表面为固定带。我们建立存在这样的表面，我们调查他们的定性性质。最后，我们给出了它的大小估计的初始数据。
2006-10-02 math.DG
Height and area estimates for constant mean curvature graphs in E(κ,τ)-spaces
通过寻找$\mathbb{E}(κ,τ)$中测地球体积的精确上界，得到了在具有$κ\leq 0$的$\mathbb{E}(κ,τ)$ -空间中常中曲率图的面积增长估计.我们主要研究完全图和具有零边界值的图。例如，我们证明了$\mathbb{E}(κ,τ)$中具有临界中曲率的整图至多具有立方本征面积增长。我们还获得了零边界值图的非本征面积增长的上界，并详细研究了一些杰出的例子，如不变曲面，$k$ -noids和理想Scherk图。最后给出了Heisenberg空间（$κ=0$）中极小图的高度增长与面积增长之间的关系，并证明了这类极小图的Collin-Krust型估计.
2015-08-27 math.DG
Construction of Hamiltonian-stationary Lagrangian submanifolds of constant curvature $\varepsilon$ in complex space forms $\tilde M^n(4\varepsilon)
Kaehler流形的拉格朗日子流形称为Hamilton-平稳的（或简称$H$ -平稳的），如果它是限制于紧支撑Hamilton变分的面积泛函的临界点.在[B. Y. Chen，F.迪伦湖Verstraelen和L. Vrancken，实空间形式$M^{n}(c)$到复空间形式$\tilde{M}^{n}(4c)$的拉格朗日等距浸入，Math. Proc. Cambridge Philo. Soc.124（1998），107-125]，介绍了一种构造复空间形式$M^n(4\varepsilon)$中常曲率$\varepsilon$的拉格朗日子流形的有效方法。本文综述了用这种方法构造复空间型中哈密顿定常拉格朗日子流形的最新结果。
2013-07-15 math.AP math.DG
