Evaluation of integrals by differentiation with respect to a parameter
我们审查一个特殊的技术，评估具有挑战性的积分提供了一些例子。我们的许多例子证明积分从流行的表Gradshteyn和Ryzhik。
2019-01-04 math.CA math.HO
Exploring Integration by Differentiation
本工作验证并扩展了通过微分求积分的方法，证明其与经典积分规则兼容，并将其应用于经典积分、多变量情形、单纯形体积计算及Jackson的q-积分。
2025-05-28 math.CA
Maximal operators and differentiation theorems for sparse sets
研究了$\rr$上与奇异测度相关的极大平均。我们的主要结果是构造了豪斯多夫维数$1 - ε$，$0 \leq ε< {1/3}$集合上的奇异Cantor型测度，其中相应的极大算子在$L^p(\mathbb R)$上有界，对于$p > (1 + ε)/(1 - ε)$ .因此，我们能够回答一个问题的Aversa和Preiss密度和微分定理在一维。我们的证明结合概率技术与多维欧几里德调和分析的方法，特别是有很强的相似性，布尔甘的证明在两个维度的循环极大值定理。更新：安德烈亚斯·西格（Andreas Seeger）提供了一个论点，大意是我们的整体极大算子实际上对所有p>1都在L^p（R）上有界;特别地，我们的微分定理对所有p>1也有效。此外，戴维·普赖斯（David Preiss）已经证明，没有这样的微分定理（更不用说最大估计）可以在p=1时成立。新版本中包含了这些参数。我们还在一些地方改进了展览。
2010-11-01 math.CA
On Parameter Differentiation for Integral Representations of Associated Legendre Functions
对于相关勒让德函数用修正贝塞尔函数表示的整表示，我们证明了在积分符号下关于参数微分的合理性.有了这个理由，第一和第二类相关的勒让德函数的导数相对于程度评估在奇数半整数度，一般复杂的订单，和导数相对于订单评估在整数阶，一般复杂的程度。我们还讨论了由$f(z)=z/(\sqrt{z+1}\sqrt{z-1})$给出的复变函数$f:{\mathbb C}\setminus\{-1,1\}\to{\mathbb C}$的性质。
2011-05-24 math.CA math.CV
Part 2. Infinite series and logarithmic integrals associated to differentiation with respect to parameters of the Whittaker $\mathrm{W}_{κ,μ}\left( x\right) $ function
研究 Whittaker 函数关于参数的一阶导数，给出其无穷级数与对数积分表示及特定参数下的闭合形式，并推导积分 Whittaker 函数的表示和约化公式。
2023-02-24 math.CA
Differentiation of sets - The general case
在Khmaladze和Weil（2008）以及Einmahl和Khmaladze（2011）的近期工作中，建立了局部经验过程在紧凸集$K$在$\R$中的边界附近的极限定理。证明了极限过程分别存在于$K$的正规圆柱$Σ$上和$Σ$中的一类集值导数上.后一个结果是基于Khmaladze（2007）提出的在$K$的边界$\partial K$处的集合微分概念。在这里，我们扩展的集值导数的理论，而一般的封闭集$F\subset \R$的边界$\partial F$，利用封闭集的局部施泰纳公式，建立在拥抱，最后和韦尔（2004年）。
2013-09-19 math.CA math.DS
On differentiation of integrals in Lebesgue spaces
本文在无限维环面上构造矩形基，刻画了Lebesgue空间积分微分的p范围，并分类了完备度量测度空间中基的微分范围，得到六种可能形式。
2025-05-08 math.CA
Part 1. Infinite series and logarithmic integrals associated to differentiation with respect to parameters of the Whittaker $\mathrm{M}_{κ,μ}\left( x\right) $ function
研究 Whittaker 函数 $\mathrm{M}_{κ,μ}(x)$ 的参数一阶导数，给出其无穷级数与有限、无穷对数积分表示，并推导相关闭式约化公式。
2023-02-24 math.CA
The V-line transform with some generalizations and cone differentiation
本文研究了平面V线变换（VLT）和$\mathbb{R}^n$中圆锥Radon变换（CRT）的各种性质。VLT将一个函数映射到它的一族积分，沿着由从一个公共点发出的两条射线组成的轨迹。本文所考虑的CRT将一个函数映射成它在多面锥面上的一组积分。这些类型的算子出现在单次散射光学层析成像、康普顿照相机成像和其他应用的数学模型中。我们推导出新的显式反演公式VLT和CRT，以及证明一些以前已知的结果，使用更直观的几何思想。使用我们的反演公式的VLT，我们描述的范围内的转换时，适用于一个相当广泛的功能，并证明了一些支持定理。几个数值例子证明了我们的方法的效率。作为本文的一个辅助结果，我们得到了微积分基本定理的一个推广，我们称之为锥微分定理。
2019-01-20 math.CA
Fractional Leibniz integral rules for Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives and their applications
近年来，分数阶意义下的莱布尼茨积分法则理论一直未能得到实质性的发展。作为一个亟待解决的问题，我们研究了$n-1 <α\leq n$，$n \in \mathbb{N}$的一般分数阶Riemann-Liouville和Caputo型微分算子的Leibniz积分规则.一般阶的积分符号下分数阶微分法则是非齐次多项分数阶微分方程候选解替换验证的必要而实用的工具。基于分数阶格林函数方法，利用最近定义的二元Mittag-Leffler型函数，得到了广义Bagley-Torvik方程的显式解析解，并应用分数阶Leibniz积分规则，通过代入验证了解的正确性.此外，我们还利用Leibniz积分法则研究了作为多阶微分方程特例的振子方程。
2020-12-18 math.CA
A Differentiation Theory for Itô's Calculus
伊藤微积分的一个特点是，它是一种积分学，不像初等微积分那样，用系统微分理论给出显式导数。那么，我们能否定义半鞅关于布朗运动的路径随机导数，从而导出与伊藤积分学相对应的微分理论？根据伊藤的积分定义，这样的导数必须基于二次协变过程。我们给这样一个衍生物在本说明中，我们表明，它会导致随机分析的基本定理，广义随机链式法则，包括连续半鞅上的凸函数的情况下，和随机平均值和罗尔定理。此外，它与半鞅上的基本代数运算相互作用，类似于确定性导数对确定性函数的作用方式，使其自然用于计算。这样的微分理论导致了许多有趣的应用程序，其中一些我们在即将到来的文章地址。
2010-05-24 math.CA math.PR
Fractional Powers of the Differentiation and Integration Operators and its Application in Accelerator Physics and Technology
本文用一种新的方法给出了一个3/2阶分数次积分的解。该积分是在求解Biot-Savart方程以找到螺线管磁场分量的精确解析解时产生的。为了在积分中引入一个解析函数而不是多值运算，我们通过截断分支线来求解积分。
2020-04-04 math-ph math.CA math.MP
$L^p$ properties of non-Archimedean fractional differentiation operators
设$D^α, α>0$是作用于非阿基米德局部域上复值函数的分数阶微分算子的Vladimirov-Taidian。只有当$f$具有紧支集时，才知道$D^αD^{-α}f=f$的同一性。根据Samko关于实分析的分数拉普拉斯算子的一个结果，我们推广了上述恒等式关于截断积分的$L^p$ -收敛性.真正的和非阿基米德的情况下之间的差异进行了讨论。
2021-07-02 math.CA math.FA
Some remarks on stable densities and operators of fractional differentiation
令$D(s)$是阶为$s$的分数阶导数。对于实$p\ne 0$，我们在适当的函数空间中构造了一个积分算子$A(p)$，使得对所有$s$都有$A(p) D(s) A(p)^{-1}=D(p s)$.算子$A(p)$的核用类似于稳定密度的函数表示。
2004-04-30 math.CA math.FA
Some remarks about Cauchy integrals and fractal sets
简要讨论了维数大于1的集合上柯西积分的一些问题。
2007-09-04 math.CA
Tauberian conditions, Muckenhoupt weights, and differentiation properties of weighted bases
我们给出了同伦不变的Muckenhoupt基$\mathfrak B$由凸集组成的Muckenhoupt权类$A_{\infty, \mathfrak B}$的另一种刻画.特别是，我们表明$w\in A_{\infty, \mathfrak B}$当且仅当存在一个常数$c>0$，使所有可测量的集合$E\subset \mathbb R^n$，我们有$$ w({x\in \mathbb R^n: M_{\mathfrak B} (\mathbf {1}_E)(x)>1/2}) < c w(E).$$这适用于例如收集$\mathfrak R$的矩形与边平行的坐标轴，给出了一个新的表征强（多参数）Muckenhoupt权重。我们还显示了这些结果的存在下的加倍措施的版本。因此，强极大函数$M_{\mathfrak R,μ}$，定义关于一个产品加倍措施$μ$，是有界的$L^p(μ)$的一些$p>1$当且仅当$$μ({x\in \mathbb R^n: M_{\mathfrak R,μ} (\mathbf{1}_E)(x)>1/2}) < c μ(E)$$的所有可测集$E\subset \mathbb R^n$。最后，我们讨论应用微分理论，证明除其他事项外，上述Tauberian条件意味着相应的基地区分$L^\infty(μ)$，就措施$μ$。
2013-12-02 math.CA math.FA
Differentiation properties of class ${L}^1([0,1]^2)$ with respect to two different basis of rectangles
Saks \cite{Saks1934}的一个众所周知的结果是，存在一个函数$f \in L^1(\mathbb{R}^2)$，使得对于几乎每个$(x,y)\in \mathbb{R}^2$ \[ \lim_{\substack{\mathrm{diam} R\rightarrow 0, \\ (x,y) \in R \in \mathcal{R}}}\left|\frac{1}{|R|}\int_R f(x,y)\, dxdy\right|=\infty, \]，其中$\mathcal{R}=\{[a,b)\times [c,d)\colon a<b, c<d\}$。在本说明中，我们解决以下问题：假设我们有两个不同的集合的矩形，在哪些条件下存在一个功能$f \in L^1(\mathbb{R}^2)$，使其积分平均值是发散相对于一个集合和收敛相对于另一个？更具体地，设$\mathcal{D}, \mathcal{C} \subset (0,1]$和分别考虑具有$\mathcal{D}$和$\mathcal{C}$中的边长的矩形。我们表明，如果集$\mathcal{D}$和$\mathcal{C}$是足够的"远”彼此，然后这样的功能可以构建。我们还表明，在类的正功能，我们的条件也是必要的，这样的功能存在。
2021-05-10 math.CA
Weighted estimates for fractional integrals with Distances to Bounded Median Porous Sets and applications to Hardy--Sobolev Inequalities
Kansas State University（堪萨斯州立大学）
建立分数积分算子 \(I_\alpha\) 的加权估计并应用于推导相应的Hardy - Sobolev不等式，权重由到有界中值多孔集的距离函数构造，扩展了多孔集相关结果。
2026-07-07 math.CA
Cauchy's formula on nonempty closed sets and a new notion of Riemann--Liouville fractional integral on time scales
证明了时间尺度上的柯西迭代积分公式。所得到的关系引起了新的概念，分数积分和微分的任意非空闭集。
2021-05-18 math.CA
Lp-estimates for the variation for singular integrals on uniformly rectifiable sets
证明了具有光滑奇核的Calderón-Zygmund算子在一致可求长测度上变差的$L^p$（$1<p<\infty$）和弱- $L^1$估计. $L^2$的有界性和电晕分解方法是证明的两个关键组成部分。
2016-05-14 math.CA
Asymptotically best possible Lebesque-type inequalities for the Fourier sums on sets of generalized Poisson integrals
本文建立了$2π$ -周期函数$f$的勒贝格型不等式，这些函数由$L_{p}$、$1\leq p< \infty$中函数$φ$的广义Poisson积分定义。在这些不等式中，傅立叶和的偏差的一致范数$\| f-S_{n-1} \|_{C}$通过函数$φ$在度量空间$L_{p}$中的三角多项式的最佳逼近$E_{n}(φ)_{L_{p}}$来表示.我们证明了所得到的估计是渐近最好的可能。
2019-08-26 math.CA
Jump formulas for singular integrals and layer potentials on rectifiable sets
本文通过定义适当的非切向极限，证明了任意可求长集上双层位势及其它奇异积分的跳跃公式。这些论证非常简单，只需要一些Calderón-Zygmund技巧。
2019-11-03 math.AP math.CA
Singular integral operators on Nakano spaces with weights having finite sets of discontinuities
1968年，Gohberg和Krupnik发现了$aP+bQ$形式的奇异积分算子的Fredholm准则，其中$a,b$是分段连续函数，$P,Q$是与柯西奇异积分算子相关的互补投影，作用在李雅普诺夫曲线上的勒贝格空间上。我们将这一结果推广到中野空间（也称为可变Lebesgue空间）的情况下，具有一定的权重，具有有限的不连续集的任意Carleson曲线。
2010-02-25 math.CA math.FA
Asymptotics of parameterized exponential integrals given by Brownian motion on globally subanalytic sets
考虑全局次解析集上布朗运动概率分布随时间演化的参数化指数积分。我们建立了可定义性结果和渐近展开。
2017-10-19 math.CA math.CV math.LO
Solutions of the Variational Equation for an nth Order Boundary Value Problem with an Integral Boundary Condition
本文讨论了边值问题解的微分问题$y^{(n)} = f(x, y, y^{'}, y^{''}, \ldots, y^{(n-1)}), \; a<x<b,\; y^{(i)}(x_j) = y_{ij},\; 0\leq i \leq m_j, \; 1 \leq j \leq k-1$和$y^{(i)}(x_k) + \int_c^d p y(x)\;dx = y_{ik}, \;0 \leq i \leq m_k,\;\sum_{i=1}^km_i=n$关于边界数据的微分问题。我们表明，在一定的条件下，偏导数的解决方案$y(x)$的边值问题的各种边界数据存在，并解决相关的变分方程沿$y(x)$。
2022-09-16 math.AP math.CA
Non-local Integrals and Derivatives on Fractal Sets with Applications
本文讨论了分形康托尔集上的非局部导数。给出了局部和非局部分形导数的标度性质。对局域和非局域分形微分方程进行了求解和比较，并提出了相应的物理模型。
2017-01-03 math-ph math.CA math.MP
Approximation of integrals over asymptotic sets with applications to probability and statistics
在这本专著中，我们证明了一个渐近逼近的概率密度积分集在有限维欧几里得空间，这是远离原点（渐近集）。我们使用这种近似来研究随机向量的二次型的尾部，随机线性型的上确界等。应用于研究有限大小随机矩阵，自回归过程的有限样本统计，以及一些随机过程的上确界。
2003-12-05 math.CA math.PR math.ST
