Generalizations and specializations of generating functions for Jacobi, Gegenbauer, Chebyshev and Legendre polynomials with definite integrals
本文推广和特殊化了经典正交多项式的生成函数，即Jacobi、Gegenbauer、Chebyshev和勒让德多项式。通过推广雅可比多项式的二元生成函数序列，得到了Gegenbauer多项式生成函数的一个推广。生成函数的特殊化是通过高斯超几何函数用不太一般的函数重新表示来完成的。给出了与所提出的正交多项式级数展开式相对应的定积分。
2013-06-26 math.CA
Integrals of Lipschitz-Hankel Type, Legendre Functions, and Table Errata
完整的Lipschitz-Hankel积分（LHI）包括贝塞尔函数的拉普拉斯变换乘以幂。这种拉普拉斯变换可以使用相关联的勒让德函数来评估。值得注意的是，这些评估的出版版本中存在错误，并给出了七个转换的合并和修订列表。标准参考著作的勘误表，如Gradshteyn和Ryzhik的表，也给出了。大多数的错误是由于不一致的勒让德函数的归一化。这些变换可以被看作是不完全LHI的极限，它在通信理论中得到了应用。
2015-12-14 math.CA
On Some Integrals Over the Product of Three Legendre Functions
定积分$ \int_{-1}^1(1-x^2)^{(ν-1)/2}[P_ν(x)]^3\D x$、$ \int_{-1}^1(1-x^2)^{(ν-1)/2}[P_ν(x)]^2P_ν(-x)\D x$、$\int_{-1}^1x(1-x^2)^{(ν-1)/2}[P_{ν+1}(x)]^3\D x $和$\int_{-1}^1x(1-x^2)^{(ν-1)/2}[P_{ν+1}(x)]^2P_{ν+1}(-x)\D x $以封闭形式计算，其中$P_ν$是次数$ν$的Legendre函数，而$ \Rν>-1$。这些公式的特殊情况与具有算术意义的椭圆积分上的某些积分有关。
2013-05-24 math.CA
Two point Gauss-Legendre Quadrature Rule for Riemann-Stieltjes integrals
为了用$2$ -点高斯求积规则来逼近黎曼-斯蒂尔切斯积分$\int_a^b {f\left( t \right)dg\left( t \right)}$，我们引入了求积规则\begin{align*} \int_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dg\left( t \right)} \approx A f\left( { - \frac{\sqrt 3 }{3}} \right) + B f\left( {\frac{\sqrt 3 }{3}} \right), \end{align*}，以便适当地选择$A$和$B$ .在各种假设下，这种近似的误差估计所涉及的功能提供。
2014-02-20 math.CA
Definite Integrals using Orthogonality and Integral Transforms
利用正交性和积分变换，我们得到了相关勒让德函数与贝塞尔函数、相关勒让德函数和第一类切比雪夫多项式乘积的定积分.
2012-10-19 math.CA
Legendre Hyperelliptic integrals, π new formulae and Lauricella functions through the elliptic singular moduli
本文在文[10]、[11]的基础上，通过第一类椭圆积分的比值和劳里切拉型三元或三元超几何函数的某些值，得到了π的六个新公式，见方程。这将是通过减少一些超椭圆积分椭圆的方法教勒让德在他的论文。最后，利用超几何Lauricella函数对某些超椭圆积分进行了计算，得到了它们在某些特殊点上的进一步的计算，以及它们的解析延拓.
2013-09-13 math.CA math.NT
Generalizations of an integral for Legendre polynomials by Persson and Strang
Ewesson和Strang（2003）计算了平方奇数次勒让德多项式除以x^2的[-1，1]上的积分等于2。我们考虑了正交多项式关于一般偶正交测度的类似积分，Gegenbauer和Hermite多项式作为显式特殊情况。接下来，经过二次变换，我们被引导到一般的非对称的情况下，雅可比和Laguerre多项式作为显式的特殊情况。在这种情况下，也会出现不确定求和的例子。本文的结论与哈恩多项式的早期结果的推广。为了达到相对较好的明确评价，必须进行一些调整。
2011-12-08 math.CA
Two Definite Integrals Involving Products of Four Legendre Functions
定积分$ \int_{-1}^1x[P_ν(x)]^4\,\mathrm{d} x$和$ \int_{0}^1x[P_ν(x)]^2\{[P_ν(x)]^2-[P_ν(-x)]^2\}\,\mathrm{d} x$以封闭形式计算，其中$ P_ν$代表$ ν\in\mathbb C$次勒让德函数。这些积分公式的特殊情况出现在自守格林函数和爱泼斯坦zeta函数的算术研究中。
2017-04-29 math.CA math.NT
Multi-integral representations for associated Legendre and Ferrers functions
对于相应的第一类和第二类Legendre和Ferrers函数，我们得到了新的多导数和多整表示公式。我们导出的这些函数的多重整表示公式推广了一些经典的多重积分公式。作为确定这些公式的结果，我们计算了一些有趣的特殊值和整表示的某些特定组合的程度和秩序，包括情况下，有对称和反对称的程度和秩序参数。作为我们的分析的结果，我们得到了一些新的结果相关联的勒让德函数的第二类，包括参数值，该功能是相同的零。
2020-09-19 math-ph math.CA math.MP
On differentiation of integrals in the infinite-dimensional torus
我们回答最近提出的问题，关于鲁比奥德弗朗西亚基础$\mathcal{R}$在无限环面$\mathbb{T}^ω$的积分微分的问题。特别地，我们证明了$\mathcal{R}$不区分$L^\infty(\mathbb{T}^ω)$。还包括关于任意基的上下文中的分化的一些评论。
2020-11-08 math.CA
Generating Functions for Lacunary Legendre and Legendre-like Polynomials
不同性质的操作方法的使用被证明是一个相当强大的工具来研究不同的问题，关于理论的勒让德和勒让德样多项式。我们展示了如何使用著名的整表示连接Hermite和Legendre多项式和操作技术允许新的性质，有关的生成函数，无理函数的重复导数等的推导.最后，我们推广的积分变换的方法，多个变量的功能，并得出一个给定的函数的勒让德多项式的新的扩展准则.
2020-02-13 math-ph math.CA math.MP
On conformable fractional Legendre polynomials and their convergence properties with applications
本文的主要目的是对共形分数阶勒让德多项式（CFLP）进行广泛的研究。这项研究被认为是一个推广和细化，在一个简单的方式，标量的情况下，到上下文中的一致分数微分。我们通过不同的生成函数引入CFLP，并给出了它们的一些主要性质和收敛结果。随后，我们得到了CFLP的一些纯递推关系和微分递推关系，Laplace的首次积分公式和正交性质。在此基础上，我们提出了移位CFLP，并描述了用配置法求解某些分数阶微分方程（FDE）的一致导数意义下的实用格式。一些有用的例子FDES处理支持我们的理论结果和检查他们的精确解。据我们所知，所得结果是新的，可以丰富特殊函数的分式理论。
2020-06-16 math.CA
Filter integrals for orthogonal polynomials
激发的表达由Rehson和斯特朗的积分涉及勒让德多项式，说明平方的$P_{2n+1}(x)/x$集成在$[-1,1]$总是$2$，我们提出了类似的结果厄米，切比雪夫，拉盖尔和Gegenbauer多项式，以及原来的勒让德多项式，甚至指数。
2020-12-14 math.CA
Legendre Functions of Fractional Degree: Transformations and Evaluations
分数阶的相关勒让德函数出现在楔形或环形几何中的边值问题的解中，以及应用数学中的其他地方。在经典的情况下，当次数是半个奇数时，它们可以用完全椭圆积分表示。在这项研究中，许多转换，减少了情况下，不同的程度从一个整数的三分之一，四分之一或六分之一的经典情况。这些转换，或身份，方便的象征性操作和评价勒让德和费勒斯功能。他们推广了椭圆积分的Ramanujan变换和Whipple公式，后者将第一和第二类Legendre函数联系起来。证明采用了由代数曲线指定的代数坐标变换。
2016-02-09 math.CA
Legendre Functions, Spherical Rotations, and Multiple Elliptic Integrals
本文导出了广义Clebsch-Gordan积分$ \int_{-1}^1 {[}P_ν(x){]}^2P_ν(-x)\D x$的一个封闭式公式，其中$ P_ν$是任意复次数的Legendre函数$ ν\in\mathbb C$ .计算了$ P_ν(x)P_ν(-x),-1<x<1$的有限希尔伯特变换。给出了一个新近证明的包含第一类完全椭圆积分$ \mathbf K(k)$和Euler伽玛函数$ Γ(z)$的恒等式$\int_0^1[\mathbf K(\sqrt{1-k^2})]^{3}\D k=6\int_0^1[\mathbf K(k)]^2\mathbf K(\sqrt{1-k^2})k\D k=[Γ(1/4)]^{8}/(128π^2) $的解析证明.
2013-04-29 math-ph math.CA math.MP
Some integrals and series involving the Gegenbauer polynomials and the Legendre functions on the cut (-1,1)
我们使用Cohl [arXiv：1105.2735]的最新发现并评估涉及Gegenbauer多项式的两个积分：$\int_{-1}^{x}\mathrm{d}t\:(1-t^{2})^{λ-1/2}(x-t)^{-κ-1/2}C_{n}^λ(t)$和$\int_{x}^{1}\mathrm{d}t\:(1-t^{2})^{λ-1/2}(t-x)^{-κ-1/2}C_{n}^λ(t)$，两者都具有$\Realλ>-1/2$、$\Realκ<1/2$、$-1<x<1$。结果表示在切割相关的勒让德函数$P_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(\pm x)$和$Q_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(x)$。此外，我们发现封闭形式表示的系列$\sum_{n=0}^{\infty}(\pm)^{n}[(n+λ)/λ]P_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(\pm x)C_{n}^λ(t)$和$\sum_{n=0}^{\infty}(\pm)^{n}[(n+λ)/λ]Q_{n+λ-1/2}^{κ-λ}(\pm x)C_{n}^λ(t)$，都与$\Realλ>-1/2$，$\Realκ<1/2$，$-1<t<1$，$-1<x<1$。
2011-11-14 math-ph math.CA math.CV
A decomposition of Calderón--Zygmund type and some observations on differentiation of integrals on the infinite-dimensional torus
在本文中，我们将给出与函数$f\in L^1(\mathbb{T}^ω)$相关的Calderon-Zygmund分解。这个想法依赖于一个更普遍的结果由J。Rubio de Francia在局部紧群的背景下.并讨论了无限维环面上积分微分的一些相关结果。
2020-01-06 math.CA
Evaluation of integrals by differentiation with respect to a parameter
我们审查一个特殊的技术，评估具有挑战性的积分提供了一些例子。我们的许多例子证明积分从流行的表Gradshteyn和Ryzhik。
2019-01-04 math.CA math.HO
On the Laguerre fractional integro-differentiation
一个分数的权力解释的拉盖尔导数$(DxD)^α,\ D\equiv {d\over dx} $进行了讨论。介绍了相应的分数次积分。给出了映射和半群的性质、整表示和Mellin变换分析。证明了它与Riemann-Liouville分数次积分的关系。最后，以双超几何型级数为预解核，求解了涉及拉盖尔分数次积分的第二类Volterra型积分方程。
2020-07-10 math.CA
Differentiation of Integrals
没有函数类的一般可测集类是已知的，其功能有财产的可微性的积分相关联的这样的集类。本文给出了具有$1<s<\infty$的$L^s$的某些子空间，证明了其函数具有与${\bf R}^n $中可测集类相关的积分的可微性，从而回答了Stein在其著作调和分析中提出的一个问题.我们还给出了${\bf R}^2 $上这些类中的一些函数的例子，这些函数在任何地方都是连续的。
2014-07-08 math.CA
Coupling of the Legendre polynomials with kernels $|x-y|^α$ and $\ln|x-y|$
在[-1，1]的勒让德多项式基上，用二重积分表示幂和对数势的矩阵元，得到了一个封闭的形式.给出了几个证明，涉及到不同的特殊函数和恒等式。新公式和惠普尔的超几何求和公式的连接。
2003-10-06 math.CA
On the differentiation of integrals with respect to translation invariant convex density bases
对于一个平移不变凸密度基$B$，证明了它的Busemann-Feller扩张$B_{\mathrm{BF}}$具有接近于$B$的性质，特别地，$B_{\mathrm{BF}}$可区分与$B$相同的一类非负函数.利用基$B$和$B_{\mathrm{BF}}$性质之间的相似性，将Busemann-Feller基的一些已知结果转移到不受Busemann-Feller限制的基上.
2018-06-14 math.CA
On the interplay among hypergeometric functions, complete elliptic integrals, and Fourier-Legendre expansions
受我们以前关于超几何函数和parbelos常数的工作的启发，我们对广义完全椭圆积分、Fourier-Legendre（FL）级数展开和${}_p F_q$级数之间的相互作用进行了更深入的研究。我们通过使用如下概述的积分方法，为涉及调和数的新级数产生新的超几何变换和封闭形式的求值：让$K$表示第一类完全椭圆积分，对于合适的函数$g$，我们以两种不同的方式求值积分，例如$$ \int_{0}^{1} K\left( \sqrt{x} \right) g(x) \, dx $$：（1）通过将$K$展开为麦克劳林级数，可能在变换或变量变换之后，然后逐项积分;以及（2）通过将$g$展开为移位FL级数，然后逐项积分。使这两种方法产生的表达式相等通常会给我们新的封闭形式的求值，如在包含Catalan常数$G$ $$ \sum _{n = 0}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{H_{n + \frac{1}{4}} - H_{n-\frac{1}{4}}}{16^{n} } = \frac{Γ^4 \left(\frac{1}{4}\right)}{8 π^2}-\frac{4 G}π,$$ $$ \sum _{m, n \geq 0} \frac{\binom{2 m}{m}^2 \binom{2 n}{n}^2 }{ 16^{m + n} (m+n+1) (2…
2019-02-13 math.CA math.NT
Derivatives with respect to the degree and order of associated Legendre functions for $|z|>1$ using modified Bessel functions
表达式的衍生物相对于修改贝塞尔函数的顺序评估在整数阶和某些整表示的相关勒让德函数的模参数大于单位被用来计算导数的相关勒让德函数相对于它们的参数。对于第一类和第二类的相关联的勒让德函数，对于一般的复数阶数，关于阶数的导数在奇数半整数阶数处被评估，并且对于一般的复数阶数，关于阶数的导数在整数阶数处被评估。
2009-11-27 math.CA
Indefinite $q$-integrals from a method using $q$-Ricatti equations
早期的工作介绍了一种方法获得不定$q$ -积分的$q$ -特殊函数的二阶线性$q$ -差分方程，定义他们。在本文中，我们重新制定的$q$ -Riccati方程，这是非线性的，一阶的方法。我们推导出$q$ -积分使用这些Riccati方程的片段，在这里只有两个特定的片段类型进行详细检查。本文给出了$q$ -Airy函数、Ramanujan函数、Jackson $q$ -Bessel函数、离散$q$ -厄米多项式，$q$ -拉盖尔多项式，Stieltjes-Wigert多项式，小$q$ -Legendre，以及大的$q$ -勒让德多项式。
2022-03-03 math.CA
Differentiation of integral Mittag-Leffler and integral Wright functions with respect to parameters
本文研究积分 Mittag-Leffler 函数与积分 Wright 函数关于参数的导数，将其表示为 digamma 与 gamma 函数之商的无穷和，并推导约化公式验证和补充 MATHEMATICA 的计算结果。
2024-01-22 math.CA
Discrete Mehler-Fock transforms
介绍和研究了经典Mehler-Fock变换的离散模拟。它涉及级数与勒让德函数相关，$P^μ_{in-1/2}(x), x > 1,\ {\rm Re} μ< 1/2, \ n \in \mathbb{N}, i $是虚数单位，而所谓不完全勒让德积分。建立了任意函数和数列的几种展开式。
2019-10-18 math.CA
On the complete characterization of differentiation sets of integrals
令$B_θ$为平面$R^2$中的矩形族，其与横坐标具有斜率$θ$。我们称一个斜率集$Θ$是$D$ -集，如果存在一个函数$f\in L(R^2)$，使得基$B_θ$对$f$的积分几乎处处可微，如果$θ\not\inΘ$和$\bar D_θf(x)=\infty $，如果$θ\inΘ$ .如果条件$\bar D_θf(x)=\infty $在一组正测度上成立（而不是a.e.）我们将说它是$WD$集。证明了$Θ$是$D$ -集（$WD$ -集）当且仅当它是$G_δ$（$G_{δσ}$）.
2009-09-07 math.CA
Exploring Integration by Differentiation
本工作验证并扩展了通过微分求积分的方法，证明其与经典积分规则兼容，并将其应用于经典积分、多变量情形、单纯形体积计算及Jackson的q-积分。
2025-05-28 math.CA
The hyperbola rectification from Maclaurin to Landen and the Lagrange-Legendre transformation for the elliptic integrals
本文介绍了主要的数学研究进行，在英国和大陆之间的1742年至1827年，对主题的双曲线整流，从而增加了我们的一些贡献。我们开始与马克劳林发明微积分及其显着的作用，在早期中期1700年;接下来，我们重点有点他的评价，1742年，双曲过剩，解释背后的真正动机，他的研究。对于他的几何分析的处理，我们附上我们的，一个纯粹的分析的选择。我们的双曲线调查然后切换到约翰·兰登，一个业余数学家，他可能写更多的是为了确定他的优先事项，而不是解释他的非凡发现。我们跟随他在模糊的证明，他的定理对双曲线整流，解释联系马克劳林等。与链的几何结构，我们重视我们的解释兰登的治疗。我们的现代分析证明他的双曲极限过剩，通过椭圆积分的第一和第二类也提供了，我们证明了为什么所谓的Landen变换的椭圆积分不能归因于他。接下来，这个问题离开英国的大陆：字符拉格朗日介绍，即使我们的兴趣只涉及他1785年的回忆录无理积分，其中算术几何平均，AGM，是由他建立的。然而，我们的目标不是AGM，而是检测所谓的椭圆积分的Landen变换的真正来源。事实上，拉格朗日的文件包含一个微分身份源于AGM：整合它，我们展示了如何可能达到著名的勒让德递归计算的第一类椭圆积分，这出现在他的Traité，1827年，后拉格朗日的文件。
2012-10-24 math.CA math.HO
A new form of the generalized complete elliptic integrals
将广义三角函数应用于完全椭圆积分的Legendre-Jacobi标准式，给出了Borweins广义完全椭圆积分的一种新形式.根据形式，可以很容易地证明这些积分具有与经典积分相似的性质。特别地，可以按照算术-几何平均值建立广义$π$的计算公式，如Salamin和Brent的$π$的Gauss-Legendre算法。此外，还给出了Ramanujan三次变换的一个初等新证明。
2014-12-01 math.AP math.CA math.NT
Numerical computation of real or complex elliptic integrals
本文对这三类对称椭圆积分的数值计算算法作了若干改进，并推广到复变量（对第三类积分有一些限制）。数值检查值，一致性检查，并与勒让德积分和Bulirsch积分的关系。
1994-09-06 math.CA
On the nonoscillatory phase function for Legendre's differential equation
University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Yale University（耶鲁大学）
本文通过将Legendre微分方程的复解表示为振荡指数函数与非振荡初等函数的积分乘积，证明了该方程存在非振荡相函数，并推导了用于大阶Legendre函数和其非振荡相函数导数的渐近展开。
2017-01-14 cs.NA math.CA math.NA
Mutually inverse series relating Ferrers and associated Legendre functions and generating functions pertaining to them
本文利用超几何及广义超几何多项式的生成函数，建立联系任意复指标 Ferrers 函数与连带 Legendre 函数的三类互反级数，并给出相关多项式的高阶渐近式及新连接公式。
2023-06-08 math.CA
Part 2. Infinite series and logarithmic integrals associated to differentiation with respect to parameters of the Whittaker $\mathrm{W}_{κ,μ}\left( x\right) $ function
研究 Whittaker 函数关于参数的一阶导数，给出其无穷级数与对数积分表示及特定参数下的闭合形式，并推导积分 Whittaker 函数的表示和约化公式。
2023-02-24 math.CA
On differentiation of integrals in Lebesgue spaces
本文在无限维环面上构造矩形基，刻画了Lebesgue空间积分微分的p范围，并分类了完备度量测度空间中基的微分范围，得到六种可能形式。
2025-05-08 math.CA
Ferrers functions of arbitrary degree and order and related functions
本文导出了任意阶和任意次的第一类Ferrers函数（割上的相关Legendre函数）的许多新的积分和级数表示，不同阶和不同阶Ferrers函数之间的各种积分、级数和微分关系，以及一致的渐近展开。给出了费勒斯函数的四个生成函数的简单证明。利用三类超几何多项式的生成函数证明了变元为tanh（a+b）的Ferrers函数的加法定理. Gegenbauer多项式和费勒斯关联勒让德函数（关联勒让德多项式）的关系作为特例得到。
2022-05-03 math.CA
Fractional Powers of the Differentiation and Integration Operators and its Application in Accelerator Physics and Technology
本文用一种新的方法给出了一个3/2阶分数次积分的解。该积分是在求解Biot-Savart方程以找到螺线管磁场分量的精确解析解时产生的。为了在积分中引入一个解析函数而不是多值运算，我们通过截断分支线来求解积分。
2020-04-04 math-ph math.CA math.MP
A Differentiation Theory for Itô's Calculus
伊藤微积分的一个特点是，它是一种积分学，不像初等微积分那样，用系统微分理论给出显式导数。那么，我们能否定义半鞅关于布朗运动的路径随机导数，从而导出与伊藤积分学相对应的微分理论？根据伊藤的积分定义，这样的导数必须基于二次协变过程。我们给这样一个衍生物在本说明中，我们表明，它会导致随机分析的基本定理，广义随机链式法则，包括连续半鞅上的凸函数的情况下，和随机平均值和罗尔定理。此外，它与半鞅上的基本代数运算相互作用，类似于确定性导数对确定性函数的作用方式，使其自然用于计算。这样的微分理论导致了许多有趣的应用程序，其中一些我们在即将到来的文章地址。
2010-05-24 math.CA math.PR
Part 1. Infinite series and logarithmic integrals associated to differentiation with respect to parameters of the Whittaker $\mathrm{M}_{κ,μ}\left( x\right) $ function
研究 Whittaker 函数 $\mathrm{M}_{κ,μ}(x)$ 的参数一阶导数，给出其无穷级数与有限、无穷对数积分表示，并推导相关闭式约化公式。
2023-02-24 math.CA
On the Weber integral equation and solution to the Weber-Titchmarsh problem
利用Weber-Orr积分变换，得到了相应的积分方程的Weber形式解存在的充分条件.这给出了一个解决方案，以旧的韦伯Titchmarsh问题（提出在Proc。Math.Soc.22（2）（1924），第15、16页。）我们的方法涉及到可积函数的反梅林变换的性质。Mellin-Parseval等式和一些积分与相关的勒让德函数被使用。
2016-12-16 math.CA
Asymptotic approximations for symmetric elliptic integrals
对称椭圆积分是三个或四个变量的齐次函数，在最近的积分表和计算机程序中被用作勒让德积分的替代。当某些变量远大于其他变量时，给出了具有误差界的渐近近似。在大多数情况下，它们是从被积函数的一致逼近导出的。作为应用，证明了第一、第二、第三类对称椭圆积分关于系数为有理函数的函数是线性无关的。
1993-10-07 math.CA
The V-line transform with some generalizations and cone differentiation
本文研究了平面V线变换（VLT）和$\mathbb{R}^n$中圆锥Radon变换（CRT）的各种性质。VLT将一个函数映射到它的一族积分，沿着由从一个公共点发出的两条射线组成的轨迹。本文所考虑的CRT将一个函数映射成它在多面锥面上的一组积分。这些类型的算子出现在单次散射光学层析成像、康普顿照相机成像和其他应用的数学模型中。我们推导出新的显式反演公式VLT和CRT，以及证明一些以前已知的结果，使用更直观的几何思想。使用我们的反演公式的VLT，我们描述的范围内的转换时，适用于一个相当广泛的功能，并证明了一些支持定理。几个数值例子证明了我们的方法的效率。作为本文的一个辅助结果，我们得到了微积分基本定理的一个推广，我们称之为锥微分定理。
2019-01-20 math.CA
Fractional Leibniz integral rules for Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives and their applications
近年来，分数阶意义下的莱布尼茨积分法则理论一直未能得到实质性的发展。作为一个亟待解决的问题，我们研究了$n-1 <α\leq n$，$n \in \mathbb{N}$的一般分数阶Riemann-Liouville和Caputo型微分算子的Leibniz积分规则.一般阶的积分符号下分数阶微分法则是非齐次多项分数阶微分方程候选解替换验证的必要而实用的工具。基于分数阶格林函数方法，利用最近定义的二元Mittag-Leffler型函数，得到了广义Bagley-Torvik方程的显式解析解，并应用分数阶Leibniz积分规则，通过代入验证了解的正确性.此外，我们还利用Leibniz积分法则研究了作为多阶微分方程特例的振子方程。
2020-12-18 math.CA
A recurrence relation for generalised connection coefficients
本文针对正交多项式及类似函数的积分，提出并证明了一个通用递推关系，可统一处理标准正交多项式连接系数与 Legendre 函数乘积积分等情形。
2023-08-16 math.CA
Differentiation by integration using orthogonal polynomials, a survey
本文综述了用正交多项式积分求n阶导数逼近公式的历史。有一个大的，但相当不连贯的语料库的文献，这些公式。我们给出了一些结果，在更大的一般性比在文献中。值得注意的是，我们统一了连续和离散的情况。我们做了许多侧面的评论，例如小波，Mantica的傅里叶-贝塞尔函数和Greville的最小R_alpha公式与离散平滑。
2021-01-18 math.CA
Functional inequalities involving numerical differentiation formulas of order two
将与$2$阶数值微分公式有关的表达式写成Stieltjes积分的形式，然后利用Ohlin引理和Levin-Stechkin定理研究与这些表达式有关的不等式.特别地，我们给出了每个凸函数$f:\R\to\R$满足的不等式\begin{equation} \label{Dr} f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{1}{(y-x)^2}\int_x^y\hspace{-2mm}\int_x^yf\left(\frac{s+t}{2}\right)ds\:dt \leq\frac{1}{y-x}\int_x^yf(t)dt \end{equation}的一个新证明，并得到了\rf{Dr}的推广.然后，我们处理类似形式的非对称不等式。
2016-08-31 math.CA
New Clebsch-Gordan-type integrals involving threefold products of complete elliptic integrals
与广义Clebsch-Gordan（CG）积分相关的多重椭圆积分在物理学和特殊函数理论的许多领域中具有重要意义。周介绍和应用勒让德函数为基础的技术，以证明符号评价积分的CG形式涉及两重和三重产品的完整椭圆积分表达式，这包括周显着的证明一个开放的问题，由于万。上述考虑激发了本文中介绍的结果，其中，我们证明了封闭形式的评估新的CG型积分，涉及三重产品的完整的椭圆积分$K$和$E$。我们的方法是基于分数阶导数算子的使用，通过一种技术的变体，我们以前被称为半分部积分法。
2023-02-12 math.CA
A Lagrangian Method for Deriving New Indefinite Integrals of Special Functions
给出了一种求常见特殊函数不定积分的新方法。该方法是基于一般齐次线性常微分方程的拉格朗日制定的二阶。导出了一个包含任意函数的一般积分，因此，对于服从这样一个微分方程的任何特殊函数，都可以得到无穷多个不定积分。技术，以获得更有趣的积分产生这样的方法，和许多积分，以前已知的和全新的使用该方法。给出了Bessel函数、Airy函数、Legendre函数和超几何函数的例子结果。对第一类和第二类完全椭圆积分给出了更广泛的结果。可以导出将公共特殊函数组合为单独因子的积分。
2015-04-23 math.CA
Some remarks on stable densities and operators of fractional differentiation
令$D(s)$是阶为$s$的分数阶导数。对于实$p\ne 0$，我们在适当的函数空间中构造了一个积分算子$A(p)$，使得对所有$s$都有$A(p) D(s) A(p)^{-1}=D(p s)$.算子$A(p)$的核用类似于稳定密度的函数表示。
2004-04-30 math.CA math.FA
Properties of generalized Jacobi elliptic functions with three parameters
Shibaura Institute of Technology（埼玉工业大学）
本文用三个参数推广雅可比椭圆函数与完全椭圆积分，构造Wallis型积分公式，推导等价于Elliott恒等式的Legendre型关系，并给出二项展开式的不等式。
2025-10-15 math.CA
The Catalan-Qi number of the second kind and a related integral
Li等人给出了第二类Catalan-Qi数的一个积分公式。他们表明，这个积分可以写为一个与双因子的总和。本文将积分化为Catalan数与一个超几何函数的乘积。这个超几何函数可以写为第一类相关的勒让德多项式。也有联系的不完全β函数和盖根鲍尔多项式。在最后一节中，计算了相关的积分。
2022-10-25 math.CA math.CO
On Burkholder function for orthogonal martingales and zeros of Legendre polynomials
Burkholder通过$\E|Z|^p$得到了$\E|W|^p$的精确估计，其中$W$是$Z$的鞅变换，或者换句话说，对于鞅$W$微分从属于鞅$Z$。他的结果是$\E|W|^p\le (p^*-1)^p\E|Z|^p$，其中$p^* =\max (p, \frac{p}{p-1})$。如果鞅有一个额外的性质是正交鞅，会发生什么？这一性质类似于函数的柯西-黎曼方程（对于鞅），它自然地出现在奇异积分的问题中（见第1节末尾的参考文献）。我们在这里确定，在这种情况下，常数是完全不同的。实际上，是$\E|W|^p\le (\frac{1+z_p}{1-z_p})^p\E|Z|^p$，$p\ge 2$，其中$z_p$是Legendre常微分方程的某个解的特定零点。我们还证明了这一估计的锐度。渐近地，$(1+z_p)/(1-z_p)=(4j^{-2}_0+o(1))p$，$p\to\infty$，其中$j_0$是零阶贝塞尔函数的第一个正零点。与特殊函数的零点（以及$p=n(n+1)$的正交多项式）的这种联系是相当出乎意料的。
2011-10-09 math.AP math.CA
A summation formula over the zeros of a combination of the associated Legendre functions with a physical application
利用推广的Abel-Plana公式，导出了相应Legendre函数组合的零点级数关于次数的求和公式.作为一个极限情况，获得了先前在文献中讨论过的贝塞尔函数的组合的零点上的级数的求和公式。作为应用，在常负曲率空间背景下，我们计算了同心球壳间具有一般曲率耦合参数的标量场的Wightman函数.对于Dirichlet边界条件，相应的模式和包含相关Legendre函数的组合的零上的系列。求和公式的应用允许我们以两个积分之和的形式来表示Wightman函数。第一个对应于Wightman函数的几何形状的一个单一的球壳和第二个是由第二壳的存在引起的。研究了真空场平方期望值中的边界诱导部分。对于远离边界的点，相应的重整化过程被简化为无边界部分。
2009-04-13 hep-th math-ph math.CA
