Transference of scale-invariant estimates from Lipschitz to Non-tangentially accessible to Uniformly rectifiable domains
本文证明在一致可整流边界开集中，若解在Lipschitz子域满足Carleson测度、平方函数及ε-可逼近估计，则这些估计仍成立，并建立从Lipschitz到弦弧及一致可整流域的通用实变量迁移原理。
2020-07-13 math.AP math.CA
Delone sets that are not rectifiable under Lipschitz co-uniformly continuous bijections
本文证明高维欧氏空间中存在 Delone 集，无法借助带渐近下畸变控制的 Lipschitz 余一致连续双射等价于标准格，并利用新近的 Lipschitz 正则映射思想完成论证。
2023-04-23 math.CA math.MG
Weak Carleson conditions in uniformly rectifiable metric spaces: the WCD and alpha numbers
该研究通过弱Carleson条件刻画一致可求长度度量空间，证明UR空间满足弱常数密度条件，引入度量空间版alpha数并证明其弱Carleson条件可刻画度量一致可求长度性，且两结果均为更一般抽象结论的推论。
2024-12-12 math.CA math.MG
Uniformly rectifiable metric spaces: Lipschitz images, Bi-Lateral Weak Geometric Lemma and Corona Decompositions
本文在任意 Ahlfors 正则度量空间中证明了 Lipschitz 像大块、双侧弱几何引理与 Corona 分解的等价性，从而将一致可求长性的经典刻画推广到一般度量空间，并研究了 Reifenberg 参数化。
2023-06-22 math.CA math.MG
Subsets of rectifiable curves in Banach spaces II: universal estimates for almost flat arcs
我们证明了在任何巴拿赫空间中的窗口，其中一个可求长曲线类似于两个或多个直线段是定量小的常数是独立的曲线，空间的维数，和选择的规范。与第一部分一起，完成了一致凸空间中具有锐指数的分析家旅行商定理的必要证明。
2022-08-22 math.CA math.FA math.MG
Characterizations of countably $n$-rectifiable Radon measures by higher-dimensional Menger curvatures
在90年代后期有一系列的活动有关$1$ -可求长集，有界性的奇异积分运营商，分析能力的一套，和积分门格尔曲率在平面上。在1999年，Leger将Menger曲率的结果推广到高维的$1$ -可求长集，以及余维的情况。十年后，Lerman和Whitehouse，以及后来的Meurer，发现了Menger曲率的高维几何动机的推广，分别产生了关于测度的一致可求直性和集合的可求直性的结果。在本文中，我们提供了一个扩展的Meurer的工作，产生的表征可数$n$ -可求长措施的$σ$ -有限性的积分门格尔曲率。我们还证明了点态Menger曲率的有限性条件证明了Radon测度的可求正性。最后，出于部分逆的Meurer的工作Kolasinski我们证明，在适当的密度假设下，有逐点门格尔曲率和规模的中心$β$ -号码在一个点的总和之间的可比性。
2019-10-09 math.CA
$L^2$-boundedness of gradients of single layer potentials and uniform rectifiability
设$A(\cdot)$是具有Hölder连续实系数的$(n+1)\times (n+1)$一致椭圆矩阵，$\mathcal E_A(x,y)$是$\mathbb R^{n+1}$中PDE $\mathrm{div} A(\cdot) \nabla u =0$的基本解.设$μ$是$\mathbb R^{n+1}$中紧支撑的$n$-AD-正则测度，并考虑相应的算子$$T_μf(x) = \int \nabla_x\mathcal E_A(x,y)\,f(y)\,dμ(y).$$，证明了若$T_μ$在$L^2(μ)$中有界，则$μ$是一致$n$ -可求长的.这将Riesz变换的余维$1$ David-Semmes问题的解决方案扩展到单层势的梯度。与Conde-Alonso，Ruggoglou和Tolsa以前的结果一起，这表明，给定具有有限Hausdorff测度$\mathcal H^n$的$E\subset\mathbb R^{n+1}$，如果$T_{\mathcal H^n|_E}$在$L^2(\mathcal H^n|_E)$中有界，则$E$是$n$ -可求长的。此外，作为应用，我们表明，如果椭圆测度相关的上述偏微分方程是绝对连续的表面措施，那么它必须是可求长的，类似于发生什么与调和措施。
2019-09-05 math.CA
Local regularity properties of almost- and quasiminimal sets with a sliding boundary condition
研究了满足滑动边界条件的几乎极小集和拟极小集的边界正则性。集合$E$的竞争者被定义为$F = φ_1(E)$，其中$\{ φ_t \}$是在$E$上定义的连续映射的单参数族，并且保持给定的边界片集合。我们推广了已知的内部正则性结果，特别是我们表明，拟极小集是局部Ahlfors正则的，可求积的，有时是一致可求积的，我们的类在极限下是稳定的，并且对于几乎极小集，以边界为中心的球中的Hausdorff测度的密度几乎是非减的。
2014-01-06 math.CA
A square function involving the center of mass and rectifiability
对于$\mathbb{R}^d$上的氡测量$μ$，定义$C^n_μ(x, t)= \ (\frac{1}{t^n} \ |\int_{B(x,t)} \frac{x-y}{t} \, dμ(y)\ | \ )$。该系数通过将给定比例和位置处的质心与球的实际中心进行比较来量化度量$μ$的对称程度。我们证明了如果$μ$是$n$ -可求正的，那么$ \int_0^\infty |C^n_μ(x,t)|^2 \frac{dt}{t} < \infty \, \, μ\mbox{-almost everywhere}. $与Mayboroda和Volberg的一个结果一起给出了$n$ -可求正的一个刻画.为了证明我们的主要结果，我们还证明了对于$n$ -一致可求正测度，$|C_μ^n(x,t)|^2 dt/t dμ$是$\mathrm{spt}(μ) \times (0,\infty)$上的Carleson测度.我们还表明，只要一个措施$μ$是$1$ -可求长的平面，那么同样的迪尼条件，上述更一般的内核。此外，我们还利用Carleson测度条件给出了平面上一致1-可求直性的一个刻画。
2022-01-14 math.CA
A singular integral identity for surface measure
本文证明了一类 Riesz 型核在可整流集合上的积分为常数，由此导出曲面测度公式，并给出几何解释及凸区域刻画，加强了 Steinerberger 的近期不等式。
2023-09-19 math.CA
A Singular Integral Measure for $C^{1,1}$ and $C^1$ Boundaries
分析的艺术涉及近似、不等式和几何直觉的微妙结合，以及能够在不同尺度下工作。考虑到这一微妙之处，我们提出了这篇论文的方式设计为高年级本科生和研究生的广泛访问。主要结果包括一个奇异积分测量的水平集的$C^{1,1}$函数映射从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}$，即一个其衍生物是Lipschitz连续的。我们扩展到测量嵌入的子流形在$\mathbb{R}^2$，仅仅是$C^1$使用的距离函数，并提供了一个例子表明，该措施不适用于一般的可求长的边界。
2018-09-12 math.CA
Ricci curvature bounded below and uniform rectifiability
本文证明Ahlfors正则RCD空间及其边界的一致可求长性，并由此得到Lipschitz函数的定量微分结果。
2023-11-16 math.CA math.MG
Singular integrals unsuitable for the curvature method whose $L^2$-boundedness still implies rectifiability
在Melnikov和Verdera的著作中开始的著名的曲率方法现在通常用于将某些奇异积分算子的$L^2(μ)$ -有界性与测度$μ$的支撑的几何性质联系起来，例如可求直性。然而，只有当与算子的核直接相关的门格尔曲率样排列是非负的时，它才能被应用。我们给出了一个例子的运营商在平面上，其相应的置换改变符号，但$L^2(μ)$ -有界的运营商仍然意味着支持$μ$是可纠正的。据我们所知，这是第一个这种类型的例子。在Ahlfors-David正则性条件下，我们也得到了几个相关的结果.
2016-07-26 math.CA
On Singular Integrals and Quantitative Rectifiability in Parabolic Space and the Heisenberg Group
University of the Basque Country（巴斯克大学）；Georgia Tech（佐治亚理工学院）
本文将David和Semmes关于奇异积分与定量可测性的定理扩展到抛物空间和海森堡群。
2026-10-14 math.AP math.CA
A Singular Integral approach to a Two Phase Free Boundary Problem
本文给出了Kenig和Toro的一个结果的另一种证明，即如果$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$是一个双边NTA整环，具有Ahlfors-David正则边界，并且与$Ω$相关的Poisson核的$\log$和与${Ω_{\rm ext}}$相关的Poisson核的$\log$都在VMO中，则外单位法线$ν$也在VMO中.我们的证明利用了通常的跳跃关系公式的非切向限制的梯度的单层潜力。我们也能够放松的情况下，泊松核的极点是有限的凯尼格和托罗的假设：在这种情况下，我们只假设$\partialΩ$是一致可求长的，和$\partialΩ$符合测量理论边界的$Ω$ a.e.关于Hausdorff $H^n$测量。
2015-11-13 math.CA
Uniform rectifiability, Calderon-Zygmund operators with odd kernel, and quasiorthogonality
本文研究了Calderon-Zygmund算子的一致可求正性和$L^2$有界性的有关问题。我们证明了一致可求正性可以用一些新的与Jones的$β$数有关的无量纲系数来表征。利用这些新的系数，我们证明了具有$C^2$型奇核的n维Calderon-Zygmund算子在$L^2(μ)$中有界，如果$μ$是n维一致可求长测度.
2008-05-07 math.CA math.FA
Universal singular sets in the calculus of variations
对于正则一维变分问题，Ball和Nadirashvilli引入了拉格朗日L的泛奇异集的概念，并建立了它的拓扑可忽略性。这个集合被定义为某个绝对连续的L-极小元的图以无穷导数通过的平面上所有点的集合。受Tonelli的部分正则性结果的启发，普遍奇异集在测度上的大小问题自然产生了。在这里，我们表明，普遍奇异集的特点是基本上是纯粹的unrectifiable -也就是说，他们相交于大多数Lipschitz曲线在零长度的集合，任何紧凑的纯unrectifiable集包含在一些光滑拉格朗日的普遍奇异集给定的超线性增长。这给出了豪斯多夫维数2的通用奇异集的例子，填补了以前已知的一维例子和Sychev的结果之间的空白，通用奇异集是勒贝格零。我们表明，一些光滑的拉格朗日是必要的拓扑尺寸估计，并调查之间的关系增长的拉格朗日和存在（病态）可求长件的普遍奇异集。我们还表明，Tonelli的部分正则性结果是稳定的，在一个“近”极小U的能量超过它有大的衍生物的集合是由有多远U是一个极小控制。
2006-09-07 math.CA
Uniform rectifiability, elliptic measure, square functions, and $\varepsilon$-approximability via an ACF monotonicity formula
设$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$，$n\geq2$是具有Ahlfors-David正则边界且满足螺旋条件的开集.我们考虑一个一致椭圆算子$L$的发散形式与矩阵$A$与真正的，只是有界的，可能是非对称的系数，这也是局部Lipschitz和满足适当的Carleson型估计。本文证明了：如果$L^*$是与$A$的转置矩阵相关联的散度型算子，则$\partialΩ$是一致$n$ -可求长的当且仅当$Lu=0$的每一有界解和$Ω$中的$L^*v=0$的每一有界解是$\varepsilon$ -可逼近的当且仅当$Lu=0$的每一有界解和$Ω$中的$L^*v=0$的每一有界解满足适当的平方-函数Carleson测度估计此外，我们得到了两个额外的一致可求直的准则。一个是在所谓的$S<N$估计方面，另一个在一个合适的电晕分解涉及$L$ -谐波和$L^*$ -谐波措施。证明了若$L$ -调和测度和$L^*$ -调和测度满足弱$A_\infty$ -型条件，则$\partial Ω$是$n$ -一致可求长的.在这个过程中，我们得到了一个版本的Alt-Caffarelli-Friedman单调性公式的一个相当广泛的一类椭圆算子，这是独立的利益，并在我们的论点中发挥了重要作用。
2017-06-29 math.AP math.CA
$Ω$-symmetric measures and related singular integrals
设$\mathbb{S} \subset \mathbb{C}$是平面上的圆，$Ω: \mathbb{S} \to \mathbb{S}$是具有常数$1+δ_Ω$的奇双Lipschitz映射，其中$δ_Ω>0$是小的.还假设$Ω$是两次连续可微的。受Mattila和Preiss在[MP 95]中提出的一个问题的启发，本文证明了：若Radon测度$μ$几乎处处具有正的下密度和有限的上密度，且极限$$ \lim_{ε\downarrow 0} \int_{\mathbb{C} \setminus B(x,ε)} \frac{Ω\left((x-y)/|x-y|\right)}{|x-y|} \, dμ(y) $$存在$μ$ -几乎处处，则$μ$是$1$ -可求积的.为了实现这一点，我们首先证明，如果Ahlfors-David 1-正则测度$μ$关于$Ω$是对称的，也就是说，如果$$ \int_{B(x,r)} |x-y|Ω\left(\frac{x-y}{|x-y|}\right) \, dμ(y) = 0 \mbox{ for all } x \in \mbox{spt}(μ) \mbox{ and } r>0, $$，那么$μ$是平坦的，或者，换句话说，存在一个常数$c>0$和一条线$L$，使得$μ= c \mathcal{H}^{1}|_{L}$。
2020-06-18 math.CA
A family of singular integral operators which control the Cauchy transform
研究了与参数核$$ k_t(z):=\frac{(\Re z)^{3}}{|z|^{4}}+t\cdot \frac{\Re z}{|z|^{2}}, \quad t\in \mathbb{R},\qquad k_\infty(z):=\frac{\Re z}{|z|^{2}}\equiv \Re \frac{1}{z},\quad z\in \mathbb{C}\setminus\{0\}. $$相关的$\mathbb{C}$上的卷积型奇异积分算子$T_{k_t}$的行为。结果表明，对于任何线性增长的正局部有限Borel测度，$T_{k_0}$的相应$L^2$ -范数控制了$T_{k_\infty}$的$L^2$-范数，从而控制了Cauchy变换的$L^2$ -范数。作为推论，我们证明了$T_{k_t}$的$L^2(\mathcal{H}^1\lfloor E)$ -有界性与固定的$t\in (-t_0,0)$，其中$t_0>0$是一个绝对常数，意味着$E$是可求积的。尽管通常的曲率方法在这种情况下不适用，但情况仍然如此。此外，作为我们的技术的必然结果，我们提供了一个替代和更简单的证明的双Lipschitz不变性的$L^2$ -有界的柯西变换，这是分析能力的双Lipschitz不变性的关键成分。
2018-09-15 math.CA
Mass transport and uniform rectifiability
在本文中，我们刻画了所谓的一致可求长集的大卫和Semmes的Wasserstein距离$W_2$从最佳质量输运。为了得到这个结果，我们首先证明了距离$W_2$的一个局部化定理，该定理断言，如果$μ$和$ν$是$R^n$中的概率测度，$ϕ$是一个足够光滑的径向冲击函数，使得$\intϕdμ\gtrsim1$，并且$μ$具有从上到下在支撑上有界的密度，则$W_2(ϕμ,aϕν)\leq c W_2(μ,ν),$其中$a=\intϕdμ/ \intϕ\,dν$。
2011-08-29 math.AP math.CA
Carleson measure estimates, corona decompositions, and perturbation of elliptic operators without connectivity
设$Ω$是一个开集，其Ahlfors-David正则边界满足螺旋条件.当$Ω$以某种定量形式连通时，我们可以证明：对于任何系数有界的实椭圆算子，椭圆测度的定量绝对连续性等价于所有有界零解满足Carleson测度估计.反过来，在相同的设置下，这些等价的属性是稳定的下February man-Kenig-Pipher扰动。然而，如果没有连通性，就没有可用的Festhiman-Kenig-Pipher微扰结果。在本文中，我们的工作与电晕分解与椭圆测度，并表明它是等价的事实，即有界零解满足部分/弱Carleson测度估计，或事实上，格林函数是可比的距离边界的电晕意义。这种定性具有深远的影响。我们将Festhiman-Kenig-Pipher的扰动推广到非连通的情形。对于拉普拉斯算子，这些电晕分解，或者等价地，部分/弱Carleson测度估计是有意义的，足以表征边界的一致可求长性。作为结果，我们得到，该集合的边界是一致可求长的，如果有界零解的任何Fundaman-Kenig-Pipher扰动拉普拉斯满足Carleson测度估计。对于Kenig-Pipher算子，其特征的任何性质在系数矩阵的转置或对称化下都是稳定的。得到了满足$L^1$ -Kenig-Pipher条件的非对称变元算子的有界零解的Carleson测度估计存在的充要条件是开集的边界是一致可求长的.我们的研究结果概括了以前的工作，定…
2022-02-13 math.AP math.CA
Decay of correlations for maps with uniformly contracting fibers and logarithm law for singular hyperbolic attractors
考虑二维映射保持一致收缩的叶理，一维伴随商映射指数收敛到平衡点（勒贝格测度的迭代指数快速收敛到物理测度）.我们证明了这些地图有指数衰减的相关性超过一大类可观的。我们使用这个结果来推导指数衰减的相关性的庞加莱映射的一大类奇异双曲流。由此我们推导出这些流量的对数律。
2013-09-01 math.CA math.DS
Calderón-Zygmund kernels and rectifiability in the plane
设$E \subset \C$是一个有限长的博雷尔集，即$0<\mathcal{H}^1 (E)<\infty$。根据David和Léger的一个定理，与柯西核（甚至与它的一个坐标部分$x / |z|^2,y / |z|^2,z=(x,y) \in \C$）相关的奇异积分的$L^2 (\mathcal{H}^1 \lfloor E)$有界性意味着$E$是可求积的。我们将这个结果推广到任何形式为$x^{2n-1} /|z|^{2n}, z=(x,y) \in \C,n \in \mathbb{N}$的核。因此，我们提供了第一个非平凡的例子，运营商不直接相关的柯西变换的$L^2$ -有界性意味着整流。
2012-08-29 math.CA
Gradient of the single layer potential and quantitative rectifiability for general Radon measures
我们确定了一组充分的局部条件下，一个显着的一部分氡措施$μ$ $\mathbb{R}^{n+1}$紧支持可以覆盖的$n$ -一致可求长集的水平上的球$B\subset \mathbb{R}^{n+1}$，使$μ(B)\approx r(B)^n$。这一结果涉及平坦性条件，制定的所谓$β_1$ -数的$B$，和$L^2(μ|_B)$ -有界性，以及控制的平均振荡的球上，运营商\begin{equation} T_μf(x)=\int \nabla_x\mathcal{E}(x,y)f(y)\,dμ(y). \end{equation}在这里$\mathcal{E}(\cdot,\cdot)$是基本解决方案的一致椭圆运营商的发散形式与$(n+1)\times(n+1)$矩阵Hölder连续系数。这推广了Girela-Sarrión和Tolsa关于$n$ - Riesz变换的工作。我们的结果的动机源于一个两相问题的椭圆调和测度。
2019-11-11 math.AP math.CA
Harmonic measure and quantitative connectivity: geometric characterization of the $L^p$ solvability of the Dirichlet problem. Part II
设$Ω\subset\mathbb R^{n+1}$是具有$n$ -AD-正则边界的开集.本文证明了如果PDMATHAMO的调和测度满足所谓的弱$A_\infty$条件，则$Ω$满足一个适当的连通性条件，即弱局部John条件.与Hofmann和Martell的其他结果一起，这意味着调和测度的弱- $A_\infty$条件成立当且仅当$\partialΩ$是一致$n$ -可求正的且满足弱局部John条件.这产生了调和测度的弱$A_\infty$条件的第一个几何特征，这是重要的，因为它与拉普拉斯方程的狄利克雷问题有关。
2018-07-09 math.AP math.CA
$L^2$-boundedness of gradients of single layer potentials for elliptic operators with coefficients of Dini mean oscillation-type
我们考虑一个一致椭圆算子$L_A$的发散形式与$(n+1)\times(n+1)$矩阵$A$与真正的，只是有界的，可能是非对称的系数。如果$$ω_A(r)=\sup_{x\in \mathbb{R}^{n+1}} \frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}\Big|A(z)-\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}A\Big|\,dz,$$，然后，在适当的Dini型假设下，$ω_A$，我们证明了以下几点：如果$μ$是一个compounds支持的氡测量在$\mathbb{R}^{n+1}$，$n \geq 2$，和$T_μf(x)=\int \nabla_xΓ_A (x,y)f(y)\, dμ(y)$表示梯度的单层潜力与$L_A$，然后$$ 1+ \|T_μ\|_{L^2(μ)\to L^2(μ)}\approx 1+ \|\mathcal R_μ\|_{L^2(μ)\to L^2(μ)},$$其中$\mathcal R_μ$表示$n$维Riesz变换。这使我们能够提供一个直接推广的一些深几何结果，最初获得$\mathcal R_μ$，最近扩展到$T_μ$与$L_A$与Hölder连续系数。特别地，我们证明了：1）如果$μ$是$\mathbb{R}^{n+1}$上具有紧支集的$n$-Ahlfors-David-正则测度，则$T_μ$在$L^2…
2022-03-14 math.AP math.CA
