Compact spacelike surfaces in the 3-dimensional de Sitter space
Alexander Borisenko
本文给出了三维deSitter空间中紧致类空曲面是全测地或球面的几个充分条件。
We state several sufficient conditions for compact spacelike surface in the3-dimensional de Sitter space to be totally geodesic or spherical.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Evolution of spacelike surfaces in anti-De Sitter space by their Lagrangian angle
我们研究了反德西特时空中的类空超曲面，这些超曲面由它们的高斯映射的拉格朗日角演化。
We study the isometric spacelike embedding problem in scaled de Sitter space, and obtain Weyl-type estimates and the corresponding closedness in the space of embeddings.
Lightlike hypersurfaces along spacelike submanifolds in anti-de Sitter space
反德西特空间是具有负曲率的洛伦兹空间型。本文考虑反德西特空间中沿类空子流形的具有一般余维的类光超曲面。特别地，我们研究了类光超曲面的奇性，作为勒让德奇性理论的一个应用。
Local estimates of the maximal curvatures of admissible spacelike hypersurfaces in de Sitter space for k-symmetric curvature functions are obtained. They depend on interior and boundary data.
In this paper we present a rigidity theorem for locally isometric hypersurfaces with a curvature restriction in de Sitter space. This is an analogue to the case for Riemannian space forms given by Guan and Shen in [5].
In this paper, we study the singularities of spacelike constant mean curvature one (CMC 1) surfaces in the de Sitter 3-space. We prove the duality between generalized conelike singular points and 5/2-cuspidal edges on spacelike CMC 1 surfaces. To describe the duality between $A_{k+3}$ singularities and cuspidal $S_k$ singularities, we introduce two invariants, called the $α$-invariant and $σ$-invariant, of spacelike CMC 1 surfaces at their singular points. Moreover, we give a classification of non-degenerate singular points on spacelike CMC 1 surfaces.
Compact spacelike biconservative hypersurfaces in de Sitter space
本文研究de Sitter空间中常数量曲率紧致类空双守恒超曲面在几何约束下的刚性性质，拓展了伪黎曼背景下该类超曲面的理解。
Geometric inequalities for convex spacelike hypersurface in de Sitter space
本文研究了德西特空间中凸类空超曲面的几何不等式，通过局部约束流的长时间存在性和收敛性结果，建立了与淬灭积分和加权曲率积分相关的不等式。
Null surfaces of pseudo-spherical spacelike framed curves in the anti-de Sitter 3-space
本研究引入三维反德西特空间中伪球类空标架曲线的零曲面，分类其零锥波前奇点并关联标架曲线奇点，通过定义反德西特距离平方函数从勒让德奇点理论视角解释零锥波前，辅以示例验证结果。
Lorentz harmonic maps into the hyperbolic plane and spacelike surfaces in anti-de Sitter 3-space
研究洛伦兹调和映射到双曲平面与反德西特3空间中类空曲面的关系，利用环群技术发展DPW型表示法，提供求解相关柯西问题的显式解，并分析调和映射作为曲面高斯映射的条件。
Spacelike mean curvature 1 surfaces of genus 1 with two ends in de Sitter 3-space
给出了三维de Sitter空间中亏格为1的具有两个椭圆端点或两个双曲端点的中曲率1曲面的存在性的数学基础和数值证明.中曲率为1的表面的端部是"椭圆端“（分别为：“双曲端”），如果在端部的单值矩阵是可对角化的，特征值在单位圆中（相应地，in the reals）。虽然表面的存在是数值的，但末端的类型是数学确定的。
Convex Spacelike Hypersurfaces of Constant Curvature in de Sitter Space
我们证明了对于一个非常普遍和自然的一类曲率函数（例如曲率导数$(σ_n/σ_l)^{\frac{1}{n-l}}$），在de Sitter空间中找到一个满足$f(κ) = σ\in (1,\infty)$且在无穷远处具有一个预定的紧致未来渐近边界$Γ$的完备类空严格凸超曲面的问题至少有一个光滑解（如果l = 1或l = 2，则存在唯一性）。这是双曲空间中渐近坪问题的精确模拟，实际上是一个精确的对偶问题。利用这种对偶性，我们在deSitter空间和双曲空间中自由地得到了$σ_l = σ$ ; $1\leq l < n$渐近高原问题严格凸解的存在性.
Spacelike CMC 1 surfaces with elliptic ends in de Sitter 3-Space
证明了在de Sitter 3-空间中具有常中曲率（CMC）1且端点为椭圆的类空曲面的Osserman型不等式成立. CMC 1表面的浸入端是"椭圆端“，如果在端部的单值表示与单位圆中的特征值可对角化。我们还给出了不等式中等式成立的一个充要条件，并在此过程中导出了椭圆端点嵌入的判定条件。
Spacelike mean curvature one surfaces in de Sitter 3-space
第一作者研究了deSitter三维空间中的类空常中曲率1（CMC-1）曲面，当该曲面除在某个紧子集内外无奇点，且在该紧子集的补集上具有有限的全曲率。然而，有许多CMC-1曲面的奇异集是不紧的。事实上，这样的例子已经出现在李和最后一位作者通过超几何函数给出的trinoid的构造中。本文改进了第一作者给出的Osserman型不等式。此外，我们将开发一个基本的框架，允许奇异集是非紧的，然后将使用它来研究CMC-1曲面的整体行为。
Rigidity of stable spacelike capillary hypersurfaces in de Sitter and Minkowski spaces
该研究证明了德西特与闵可夫斯基空间中，当支撑为非负内蕴曲率的类时全脐超曲面时，保体积稳定的紧致类时毛细管超曲面必为全脐，还推导了统一闵可夫斯基型公式并构造了测试族。
Caustics and Maxwell sets of world sheets in anti-de Sitter space
反德西特空间中的世界单是由单参数类空子流形族组成的类时子流形。我们考虑世界单中沿类空子流形的类光超曲面族。沿着类空子流形的类光超曲面的奇点轨迹形成了世界片的焦散面。这个概念最初是由Bousso和Randall在理论物理学中提出的。在本文中，我们给出了一个数学框架的焦散线的世界片作为一个应用程序的理论，图形的勒让德展开。
Soliton Solutions to the Curvature Flow on the 2-dimensional De Sitter Space and Applications
该研究建立了德西特空间与双曲空间上曲率流、逆曲率流及曲线缩短流解的对应关系，推导了孤子解的判定条件与存在性，明确了非平凡完全孤子的类型。
In this article, we study spacelike and timelike rotational surfaces in a 3--dimensional de Sitter space $\mathbb{S}^3_1$ which are the orbit of a regular curve under the action of the orthogonal transformation of 4--dimensional Minkowski space $\mathbb{E}^4_1$ leaving a spacelike, a timelike or a degenerate plane pointwise fixed. We determine the profile curve of such Weingarten rotational surfaces parameterized by the principal curvature. Then, we classify spacelike and timelike Weingarten rotational surface in $\mathbb{S}^3_1$ with the principal curvatures $κ$ and $λ$ satisfying $κ=aλ+b$ or…
Locally constrained inverse curvature flow and Alexandrov-Fenchel type inequalities in de Sitter space
本文在de Sitter空间中研究局部约束反曲率流，并推导出Alexandrov-Fenchel型不等式。
Generalized convexity and quantitative estimates for constant mean curvature spacelike hypersurfaces in Anti-de Sitter space
本文推广凸包概念，给出反德西特空间中常平均曲率超曲面主曲率的上界，并由此界定截面曲率及双曲平面上θ-滑坡的拟共形伸缩商。
Spacelike hypersurfaces with negative total energy in de Sitter spacetime
De Sitter时空可以沿着两种超曲面分成两部分，半De Sitter时空分别被平面坐标和双曲坐标覆盖。第二作者和合作者以前证明了两个正能量定理，对于某些$¶$ -渐近de Sitter和$\H$ -渐近de Sitter初始数据集。这些初始数据集分别渐近于两种半德西特时空的时间片，并且它们的平均曲率由一定的常数上界。当平均曲率不满足这些条件时，本文构造了两类半德西特时空中具有负总能量的类空超曲面。
On spacelike Zoll surfaces with symmetries
本文给出了三类具有Killing场的类空Zoll曲面。它允许证明类空Zoll表面的存在不光滑共形的覆盖德西特空间以及存在的洛伦兹默比乌斯带的非常曲率所有的类空测地线是封闭的。进一步研究了类空Zoll柱的共形性问题。
Submanifolds in Lorentz-Minkowski space are investigated from various mathematical viewpoints and are of interest also in relativity theory. We define the hyperbolic surface and the de Sitter surface of a curve in the spacelike hypersurface M in the Minkowski 4-space. These surfaces are respectively located in the hyperbolic 3-space and in the de Sitter 3-space. We use techniques of the theory of singularities in order to describe the generic shape of these surfaces and of their singular value sets. We also investigate geometric meanings of those singularities. The results in this paper contri…
We prove existence of compact spacelike hypersurfaces with prescribed k - curvature in de Sitter space, where the prescription function depends on both space and the tilt function.
An isoperimetric type inequality in De Sitter space
本文证明了de Sitter空间中类空、紧致、星形且$2$-凸超曲面的最优等周不等式。
Maximal spacelike surfaces in a certain homogeneous Lorentzian 3-manifold
考虑一类齐次Lorentzian三维流形的2参数族，它包含Minkowski三维空间和反de Sitter三维空间。2-参数族中的每一个齐次Lorentzian 3-流形都有一个具有左不变度量的可解李群结构。得到了一类广义整表示式，它是齐次Lorentz三维流形中极大类空曲面表示式的统一。讨论了齐次洛伦兹三维流形中极大类空曲面的法高斯映射及其调和性。
A Simons' type formula for spacelike submanifolds in semi-Riemannian warped product
本文建立半黎曼扭曲乘积中类空子流形的 Simons 型公式，并据此推广平行与伪平行浸入结果，得出 de Sitter 与 Einstein-de Sitter 时空中的分类结论。
Compact spacelike surfaces whose mean curvature function satisfies a nonlinear inequality in a 3-dimensional Generalized Robertson-Walker spacetime
研究了广义Robertson-Walker时空中中曲率函数满足自然非线性不等式的类空曲面。证明了此类紧致类空曲面的唯一性和不存在性。在非参数的情况下，新的Calabi-Bernstein型问题解决的结果。
Spacelike capillary surfaces in the Lorentz-Minkowski space
对于三维Lorentz-Minkowski空间中具有非空边界的紧致类空常中曲率曲面，引入了Choe \cite{Choe}提出的边界脐点处曲率线的旋转指数.利用内部脐点和边界脐点处的旋转指数的概念，并应用Poincaré-Hopf指数公式，证明了在由（类空或类时）全脐面围成的$\Bbb L^3$区域中，顶点小于$4$的紧致浸入类空盘型毛细曲面是（类空）平面或双曲平面的一部分.证明了在$\Bbb L^3$中，唯一浸入de Sitter曲面内的类空圆盘型毛细管曲面是类空平面或双曲平面的一部分.
The Dirichlet problem for the prescribed scalar curvature in Anti-de Sitter space
研究Anti-de Sitter空间中类空超曲面标量曲率预定的完全非线性二阶椭圆方程Dirichlet问题，在数据严格凸时得到解。
The Riemannian geometry of the space of compact spacelike Cauchy hypersurfaces
研究全局双曲时空中紧致类空Cauchy超曲面空间上的弱黎曼度量，证明测地距离为正且截面曲率非正。
By means of a family of counter-examples, it is shown that the Reilly upper bound for the first eigenvalue of the Laplace operator for a compact submanifold in Euclidean space does not work for $n$-dimensional compact spacelike submanifolds of Lorentz-Minkowski spacetime $\mathbb{L}^m$, $m\geq n+2$. We develop a new suitable technique, based on an integral formula on compact spacelike sections of the light cone in $\mathbb{L}^m$. Then, a family of extrinsic upper bounds for the first eigenvalue of the Laplace operator for a compact spacelike submanifold in $\mathbb{L}^m$ is proved. For each on…
Orientability of linear Weingarten surfaces, spacelike CMC-1 surfaces and maximal surfaces
证明了三维双曲空间中Bryant型线性Weingarten曲面作为波前的几个拓扑性质。例如，我们展示了这种曲面的可定向性，以及当它们不平坦时的可共定向性。此外，我们通过另一个全纯双曲高斯映射给出了非全纯双曲高斯映射的一个显式公式。利用这一点，我们证明了CMC-1面的可定向性和可共定向性（即，常中曲率曲率曲面（含容许奇点）。（CMC-1面通常可能不是波前，但属于一类具有奇点的线性Weingarten曲面。）由于线性Weingarten面和CMC-1面都可能有奇点，可定向性和可共定向性都是非平凡性质。我们还讨论了Lorentz-Minkowski三维空间中不可定向极大曲面的一些性质，并与deSitter三维空间中CMC-1面的相应性质进行了比较。
Generalized de Sitter Space in $n$-dimensional Minkowski Space
在本文中，我们通过用满足一定条件的函数$f$代替de Sitter半径来推广de Sitter空间的定义方程;每个得到的超曲面都与de Sitter空间同构，并且具有由$f$的选择控制的几何（和因果特征）。在广义模型中，得到了超曲面为类时、零或类空的充要条件;在非零情形下，超曲面的几何形状由翘曲积给出.几个例子的类时，零，类空超曲面。最后，我们计算了一类特殊的四维广义de Sitter空间的Ricci张量和数量曲率。
Rigidity and nonexistence of complete spacelike hypersurfaces in the steady state space
本文研究稳态空间中完备类空超曲面，在适当高阶平均曲率约束下证明其必为类空超平面，并给出不存在性结果，方法基于广义最大值原理。
On the scalar curvature of complete maximal spacelike submanifolds in pseudo-hypebolic spaces
本文研究了伪双曲空间中完备极大类空子流形的曲率，证明了其标量曲率在任意符号下均非正并给出精确界限，显式刻画了达到界限的子流形，并在余维数为1时推导出Ricci曲率的精确上界。
We show that the Dirac operator on a compact globally hyperbolic Lorentzian spacetime with spacelike Cauchy boundary is a Fredholm operator if appropriate boundary conditions are imposed. We prove that the index of this operator is given by the same expression as in the index formula of Atiyah-Patodi-Singer for Riemannian manifolds with boundary. The index is also shown to equal that of a certain operator constructed from the evolution operator and a spectral projection on the boundary. In case the metric is of product type near the boundary a Feynman parametrix is constructed.
Compact spacelike surfaces in four-dimensional Lorentz-Minkowski spacetime with a non-degenerate lightlike normal direction
四维洛伦兹-闵可夫斯基时空中通过光锥的类空曲面具有有意义的类光法向量场$η$。对具有非退化$η$ -第二基本型的曲面建立了几个充分假设，证明了它一定是全脐圆球面.为此，我们导出了一个新的公式，它把导出度规的高斯曲率与$η$ -第二基本型的高斯曲率联系起来。然后，全脐圆球被刻画为唯一通过光锥的紧致类空曲面，使得它的$η$ -第二基本型是非退化的，并且具有常高斯曲率2。利用$η$的Gauss-Kronecker曲率和$η$ -第二基本型的面积给出了全脐球面的另一个特征.
Singularities of Maximal Surfaces
证明了三维Lorentz-Minkowski空间中类空极大曲面的奇点一般由尖边、燕尾和尖十字帽组成。对于deSitter三维空间中的类空中曲率曲面，同样的结果也成立.为了证明这些，我们将给出曲面上给定的奇点是尖点十字帽的一个简单判据。
We consider the complex hyperbolic quadric ${Q^*}^n$ as a complex hypersurface of complex anti-de Sitter space. Shape operators of this submanifold give rise to a family of local almost product structures on ${Q^*}^n$, which are then used to define local angle functions on any Lagrangian submanifold of ${Q^*}^n$. We prove that a Lagrangian immersion into ${Q^*}^n$ can be seen as the Gauss map of a spacelike hypersurface of (real) anti-de Sitter space and relate the angle functions to the principal curvatures of this hypersurface. We also give a formula relating the mean curvature of the Lagran…
Spacelike Submanifolds of Codimension Two with Parallel Mean Curvature Vector Field in Lorentz-Minkowski Spacetime Contained in the Light Cone
该研究针对洛伦兹-闵可夫斯基时空中余维二、具平行平均曲率向量场的紧致类空子流形建立积分不等式，推导出刚性结论，完整刻画了光锥内这类子流形必为类空超平面中的全脐球面。
Any compact spacelike hypersurface immersed in a doubly warped product spacetime $I{}_{h} \times_ρ \mathbb{P}$ with nondecreasing warping factor $ρ$ must be a spacelike slice, provided that the mean curvature satisfies $H\geqρ'/hρ$ everywhere on the hypersurface. The conclusion also holds, under suitable assumptions on the immersion, when the hypersurface is complete and noncompact. A similar rigidity property is shown for compact hypersurfaces in spacetimes carrying a conformal, strictly expanding, timelike vector field.
Spacelike surfaces in De Ditter 3-space and their twistor lifts
本文研究De Sitter三维空间上扭量纤维化$\mathcal{Z} \to \bb{S}^3_1$的几何性质。全空间$\mathcal{Z}$是一个五维约化齐性空间，具有两个标准不变的几乎CR结构。固定$\mathcal{Z}$上的正规度量，研究黎曼曲面到$\mathcal{Z}$的光滑映射的调和映射方程.本文给出了类空曲面的一个特征，它的简谐扭量提升到$\mathcal{Z}$。它还表明，扭振电梯的调和映射方程可以制定为曲率消失的$\bb{S}^1$-回路的连接，即调和扭振电梯存在于$\bb{S}^1$-家庭。特殊的调和映射，如全纯扭量升降机也被认为是和一些评论有关（紧）真空的扭量能量。
We prove that any weakly acausal curve $Γ$ in the boundary of Anti-de Sitter (2+1)-space is the asymptotic boundary of two spacelike $K$-surfaces, one of which is past-convex and the other future-convex, for every $K\in(-\infty,-1)$. The curve $Γ$ is the graph of a quasisymmetric homeomorphism of the circle if and only if the $K$-surfaces have bounded principal curvatures. Moreover in this case a uniqueness result holds. The proofs rely on a well-known correspondence between spacelike surfaces in Anti-de Sitter space and area-preserving diffeomorphisms of the hyperbolic plane. In fact, an impo…
A locally constrained inverse Hessian quotient flow in de Sitter space
本文在德西特空间中研究局部约束逆曲率流，推导出闭合2凸类空时空的Alexandrov-Fenchel不等式，部分验证了Hu和Li的猜想。
The Fenchel-type inequality in the 3-dimensional Lorentz space and a Crofton formula
本文将Fenchel定理推广到三维Lorentz空间中指标为1的强类空闭曲线（即切向量和曲率向量在每一点上都跨越一个类空2-平面），证明了其全曲率必须小于或等于$2π$ . Fary-Milnor定理的一个类似的推广也得到了。我们建立了de Sitter 2-球面上的Crofton公式，它包含了上述结果.
We prove long-time existence for mean curvature flow of a smooth $n$-dimensional spacelike submanifold of an $n+m$ dimensional manifold whose metric satisfies the timelike curvature condition.
On spacelike surfaces in 4-dimensional Lorentz-Minkowski spacetime through a lightcone
在四维Lorentz-Minkowski空间光锥中的任意类空曲面上，考虑一个特殊的光滑函数.它示出了如何外在和内在的几何形状这样的表面是由这个函数编码。假设存在一个局部极大值来决定何时类空曲面必须是全脐的，从而得到一个Liebmann型结果。明确地构造了光锥中类空曲面的两个显著的例子族。最后，得到了光锥中紧致类空曲面Laplace算子第一本征值的几个结果。
Rigidity of spacelike hypersurface with constant curvature and intersection angle condition
研究类空超曲面在Minkowski空间中的刚性性质，证明当k阶均曲率常数且边界与超平面交角恒定时，超曲面必为双曲面的一部分或完全包含于超平面中。
Complete Spacelike Hypersurfaces in Generalized Robertson-Walker and the Null Convergence Condition. Calabi-Bernstein problems
研究了广义Robertson-Walker时空中的常中曲率类空超曲面，它们是空间抛物覆盖的（即其纤维F是一个泛覆盖为抛物的（非紧）完备黎曼流形），并且满足零收敛条件.特别是，我们提供了适当的数学和物理假设下的几个刚性结果。我们特别注意GRW时空是爱因斯坦的情况。作为应用，给出了一些Calabi-Bernstein型结果.
Spacelike Brakke flows with boundary in pseudo-Euclidean space
研究伪欧几里得空间中带边界的类空平均曲率流，通过建立弱形式、引入相关向量，证明闭包和紧致性定理等，采用椭圆正则化程序证明存在性，为研究奇点外的弱类空平均曲率流提供变差设置。
In this work, we study the geometric properties of spacelike foliations by hypersurfaces on a Lorentz manifold. We investigate conditions for the leaves being stable, totally geodesic or totally umbilical. We consider that $\overline{M}^{n+1}$ is equipped with a timelike closed conformal vector field $ξ$. If the foliation has constant mean curvature, we show that the leaves are stable. When the leaves are compact spacelike hypersurfaces we show that, under certain conditions, its are totally umbilic hypersurfaces. In the case of foliations by complete noncompact hypersurfaces, we using a Maxim…
Several uniqueness results for non-compact complete stationary spacelike surfaces in an $n(\geq 3)$-dimensional Generalized Robertson Walker spacetime are obtained. In order to do that, we assume a natural inequality involving the Gauss curvature of the surface, the restrictions of the warping function and the sectional curvature of the fiber to the surface. This inequality gives the parabolicity of the surface. Using this property, a distinguished non-negative superharmonic function on the surface is shown to be constant, which implies that the stationary spacelike surface must be totally geo…
Conformal deformation of spacelike surfaces in Minkowski space
研究紧致Minkowski四维空间中类空曲面的二阶共形变形问题。给出了共形变形外微分系统的构造，并讨论了它的通解和奇异解。特别地，我们证明了等温表面是系统的奇异解，这意味着一般的二阶变形表面不是等温的。这不同于三维共形几何中的情况，其中等温表面与可变形表面重合。
Rigidity of anti-de Sitter (2+1)-spacetimes with convex boundary near the Fuchsian locus
本文证明了在Fuchsian轨迹附近，具有严格凸类空边界（光滑或多面体）的整体双曲紧致反德西特(2+1)时空由边界诱导度量唯一确定。
Making Surfaces Biharmonic by Conformal Reparametrization in Anti-de Sitter Three-Space
研究非退化曲面到三维反德西特空间的双调和共形浸入，通过特定符号约定和相关量表示双调和方程，证明类空曲面相关性质，推导解析系统并证明局部存在性，给出零坐标重构及具体初始数据，记录类时抛物约化。
A note on spacelike and timelike compactness
当研究一个场在整体双曲时空M中的因果传播时，人们常常想表达这样的物理直觉：它在类空方向上有紧支集，或者它的支集是类空紧集。我们比较了一些逻辑上不同的配方这个想法，和互补的想法的类时紧性，我们澄清他们的相互关系。例如，在一个示例中，M的闭子集A与所有柯西曲面有紧交当且仅当对于某个紧集K，A包含在J（K）中。（然而，仅仅考虑参与M的给定叶理的柯西曲面是不够的。）类似地，M的闭子集A包含在两个柯西曲面之间的区域中当且仅当A与J（K）的交对于所有紧K都是紧的。我们也以类似的方式对待未来和过去的紧集。
Spacelike hypersurfaces with constant mean curvature in the steady state space
我们考虑在称为定常状态空间的de Sitter空间的开区域中具有常中曲率的完备类空超曲面。我们证明了如果超曲面是有界的远离无限的环境空间，那么中曲率必须是H=1。此外，在二维情形下，我们得到了唯一的完全类空曲面的恒定中曲率，有界远离无穷远是全脐平坦曲面。我们还得到了一些其他的结果，超曲面的有界远离未来无穷大。最后，使用等距等价模型的稳定状态空间，我们将我们的结果扩展到更广泛的时空家庭。
Constant mean curvature hypersurfaces in Anti-de Sitter space
该研究针对任意维反德西特空间的类空整体常平均曲率超曲面，完成渐近边界分类，证明超曲面随平均曲率变化解析叶状划分不可见区域，并将Cheng-Yau定理推广至该空间。
This paper studies timelike minimal surfaces in the De Sitter space $\mathbb S^3_1(1) \subset \mathbb R^4_1$ via a complex variable. Using complex analysis and stereographic projection of lightlike vectors we obtain a representation formula. Real and complex special quadrics in $\mathbb CP^3$ are identified with the grassmannians of spacelike and timelike oriented 2-planes of $\mathbb R^4_1$, and the normal frame is written in terms of certain complex valued functions $x$ and $y$, which may be considered holomorphic functions as a special case. Then several results describing the analytic rest…
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