Haefliger cohomology of complete Riemannian foliations
Haefliger上同调通过Haefliger定理刻画了绷紧的叶状流形。我们表明，Haefliger上同调的特点强紧张叶状流形，即，叶状流形承认黎曼度量，使中曲率形式的叶子是封闭的和基本的。证明了完全黎曼叶理的Haefliger上同调与不变上同调是对偶的。作为这些结果的应用，我们证明了任何完备的黎曼叶状结构都是强紧张的，这是闭流形上黎曼叶状结构的Domínguez紧张性定理的推广.
2018-12-20 math.DG math.DS
Equivariant Basic Cohomology of Riemannian Foliations
完备流形上所有叶都闭的黎曼叶化的基本上同调是叶空间的上同调。本文介绍了在单连通情况下（或更一般地对于Killing叶状流形），在闭叶和非闭叶同时存在的情况下计算基本上同调的各种方法：证明了闭叶并C的总基本贝蒂数小于或等于叶状流形的总基本贝蒂数，并给出了相等的充分条件.如果存在一个临界集等于C的基本Morse-Bott函数，我们可以显式地计算其基本上同调.另一个可以确定基本上同调的情况是叶闭包空间是简单的凸多胞体。我们的结果是基于Molino的观察，即非闭叶的存在产生了一个杰出的横向作用的叶状流形与不动点集C。我们引入等变基本上同调的横向行动类比等变上同调的李群行动，使我们能够转移许多结果从理论的李群行动黎曼叶理。不动点集在环面作用理论中的突出作用解释了集合C在基本设置中的相关性。
2010-04-07 math.DG
On the cohomology of $L^2$-harmonic forms of an incomplete Riemannian manifold
本文将紧致流形上调和形式的上同调概念扩展到Hilbert复形，应用于不完整黎曼流形，特别是光滑分层Thom-Mather空间。
2025-12-15 math.DG math.GT
Harmonic vector fields on pseudo-Riemannian manifolds
将黎曼流形上的调和向量场理论推广到伪黎曼流形上。伪欧几里德超二次曲面上的调和共形梯度场被分类为同余，伪黎曼二次曲面上的调和Killing场也是如此。利用仿Kaehler扭曲反等距映射对中性签名二次曲面上的调和向量场进行相关。
2016-10-28 math.DG
Equivariant basic cohomology of singular Riemannian foliations
本文为奇异黎曼叶状结构引入等变基本上同调，证明其同伦不变性，并在奇异Killing叶状结构中利用结构代数作用将等变基本同调局部化到闭叶集合，推广了Borel局部化定理，得到基本欧拉示性数的局部化及维数不等式。
2023-06-20 math.DG
Harmonic Riemannian submersions from 3-dimensional geometries
在本文中，我们研究了调和黎曼淹没从3维几何使用（广义）可积性数据相关联的正交框架自然黎曼淹没。本文给出了Thurston三维几何、三维BCV空间和Berger球面到曲面的调和黎曼浸没的完全分类。我们也给出了这些调和黎曼浸没的一些明确的结构。
2023-02-19 math.DG
On transversally harmonic maps of foliated Riemannian manifolds
研究了叶化黎曼流形之间的横截调和映射。特别地，我们证明了在一定的曲率条件下，横截调和映射是横截全测地的。
2011-09-19 math.DG
Harmonic Riemannian submersions between Riemannian symmetric spaces of noncompact type
该研究构造了非紧型对称空间到其一秩全测地子空间的调和黎曼淹没，证明了分裂实半单李群对应黎曼对称空间上存在全局非常值复值调和态射，完成了Gudmundsson猜想的肯定证明。
2024-04-12 math.DG
Harmonic morphisms with one-dimensional fibres on conformally-flat Riemannian manifolds
我们将一维纤维调和态射分类为（1）至少四维的实解析共形平坦黎曼流形和（2）至少三维的共形平坦黎曼流形。
2006-10-11 math.DG
Harmonic maps into sub-Riemannian Lie groups
该研究推广黎曼流形的相关定义，提出次黎曼流形间调和映射的定义，推导了映到左不变度量李群的水平映射为调和映射的条件，证明其可分为异常与正常两类，并以Heisenberg群的调和映射方程为例进行说明。
2023-08-22 math.DG
Proper p-harmonic functions and harmonic morphisms on the classical non-compact semi-Riemannian Lie groups
利用特征族方法在非紧经典李群上构造了新的显式复值p-调和函数，并赋予了它们的自然半黎曼度量.然后，我们采用同样的方法来制造显式复值调和态射对这些群体。
2021-02-15 math.DG
Unitary Representations, $L^2$ Dolbeault Cohomology, and Weakly Symmetric Pseudo--Riemannian Nilmanifolds
本文结合弱对称伪黎曼流形的最新发展和构造平方可积〔的〕Dolbeault上同调空间的酉表示的几何方法。这与在旗域上的全纯向量丛中具有值的平方可积〔的〕调和形式空间上的离散级数表示的构造并行。Satake在1971年和提交人在1975年分别叙述了一些特殊情况。在这里，我们发展了一个理论的pseudo-riemannian nilmanifold复型和nilmanifold版本的旗域。我们在这些区域上的全纯上同调空间上构造了相应的平方可积〔的〕（模中心）表示，并指出在那里有足够的这种表示用于Plancherel和Fourier反演公式.最后，我们注意到，最有趣的空间是弱对称伪黎曼流形，所以我们讨论的理论，并给出分类的三个基本家庭的弱对称伪黎曼流形的复杂类型。
2019-09-15 math.DG math.RT
Correction to "Harmonic representatives for cuspidal cohomology classes"
本文对J.Dodziuk，J.McGowan和Peter Perry在Serge Lang纪念卷上发表的文章“Harmonic representatives for cuspidal cohomology classes”的主要结果的证明作了修正。
2012-11-15 math.DG
Eells-Sampson type theorems for subelliptic harmonic maps from sub-Riemannian manifolds
本文研究了亚黎曼流形到黎曼流形的水平能量泛函的临界映射。这些临界映射称为次椭圆调和映射。利用次椭圆调和映射热流，研究了次椭圆调和映射的存在性问题。在假设目标黎曼流形具有非正截面曲率的条件下，证明了当源流形为step-2亚黎曼流形或step-r亚黎曼流形且其亚黎曼结构来自于一个紧黎曼叶理时，该流动的Eells-Sampson型存在性结果.最后，也建立了一些Hartman型结果的流动。
2019-03-12 math.DG
RC-positivity and rigidity of harmonic maps into Riemannian manifolds
本文证明了从具有一致RC-正曲率的紧致Kähler流形到具有非正复截面曲率的黎曼流形的每个调和映射都是常数.特别地，不存在从具有正全纯截面曲率的紧致Kähler流形到具有非正复截面曲率的黎曼流形的非常调和映射.
2018-09-12 math.DG
k-harmonic curves into a Riemannian manifold with constant sectional curvature
J.Eells和L. Lemaire引入了k-调和映射，T. Ichiyama，J. Inoguchi和H.Urakawa给出了一阶变分公式。本文将$3$ -调和曲线的常微分方程描述到具有常截面曲率的黎曼流形中，证明了双调和曲线是k-调和曲线$(k\geq 2)$ .
2010-06-08 math.DG
Vanishing theorems of the basic harmonic forms on a complete foliated Riemannian manifold
在具有某些横曲率条件的紧致叶状黎曼流形上，不存在非平凡的基本调和形式（M。Min-Oo等人，J. Reine Angew。Math.415（1991）。本文将上述事实推广到完备的叶状黎曼流形。
2016-06-29 math.DG
Biharmonic and harmonic homomorphisms between Riemannian three dimensional unimodular Lie groups
我们对双调和和调和同态$f:(G,g_1)\rightarrow(G,g_2)$进行了分类，其中$G$是连通和单连通的三维么模李群，$g_1$和$g_2$是左不变黎曼度量.
2020-10-06 math.DG
Riemannian foliations with parallel or harmonic basic forms
本文考虑法丛具有平行或调和基本形式的黎曼叶理。我们估计的范数的O'Neill张量的曲率数据的整个流形。然后给出了一些例子。
2013-10-30 math.DG
Tautness for riemannian foliations on non-compact manifolds
对于闭流形$M$上的黎曼叶理$\mathcal{F}$，已知$\mathcal{F}$是紧的（即叶是极小子流形）当且仅当由平均曲率形式$κ_μ$（相对于适当的黎曼度量$μ$）定义的（紧度）类为零。在可横向定向的情况下，紧性等价于上基本上同调群$H^{^{n}}(M/\mathcal{F})$的非零性，其中$n = \codim \mathcal{F}$。通过庞加莱对偶，当$M$定向时，最后一个条件等价于基本扭曲上同调群$H^{^{0}}_{_{κ_μ}}(M/\mathcal{F})$的非零。当$M$不是紧的时，紧度类甚至一般不定义。在这项工作中，我们恢复了以前的研究和结果的一个特殊情况下的黎曼叶状在非紧流形：正规部分的奇异黎曼叶状在一个紧流形（CERF）。
2005-11-19 math.AT math.DG
Harmonic morphisms between degenerate semi-Riemannian manifolds
本文将调和映射和态射推广到\emph{degenerate semi-Riemannian category}，当流形$M$和$N$是\emph{stationary}，映射$ϕ:M\to N$是\emph{radical-preserving}时.我们几何刻画了\emph{(generalized) horizontal (weak) conformality}的概念，并得到了（广义）调和态射的（广义）调和映射的一个刻画。
2003-03-21 math.DG
Harmonic sections of Riemannian vector bundles, and metrics of Cheeger-Gromoll type
本文研究了黎曼向量丛的调和截面，其全空间具有一个包含Sasaki和Cheeger-Gromoll度量的两参数度量族.这使得调和单位截面理论可以推广到非零Euler类的丛。
2006-02-02 math.DG
Harmonic vector fields on extended 3-dimensional Riemannian Lie groups
给定两个黎曼流形$(B,g_B)$和$(F,g_F)$，利用特征变分条件，给出了向量场在黎曼翘曲积$B\times_fF$与$f:B \longrightarrow ]0,+\infty[$上的调和性条件.然后，我们应用这一情况下$B=\mathbb{R}$和$F$是一个三维连通黎曼李群$G$配备了一个左不变度量，以确定调和向量场$\mathbb{R}\times_fG$。给出了$G$上非左不变的调和向量场的例子，并确定了$\mathbb{R}\times_fG$上的调和向量场。最后给出了$\mathbb{R}\times_fG$上的向量场的调和映射的一些例子。
2020-09-25 math.DG
Proper $r$-harmonic functions from Riemannian manifolds
介绍了一种构造黎曼流形上复值PDMATHAMM-调和函数的新方法。然后，我们应用这种方法的重要半单李群$SO(n)$，$SU(n)$，$Sp(n)$，$SL_n(R)$，$Sp(R,n)$，$SU(p,q)$，$SO(p,q)$，$Sp(p,q)$，$SO^*(2n)$和$SU^*(2n)$。
2019-11-25 math.DG
Vanishing theorems on complete Riemannian manifold with a parallel $1$-form
本文首先考虑完备黎曼流形$M$上的$L^{2}$ \textit{Morse-Novikov cohomology}，该流形具有包含Vaisman流形的平行$1$ -形式.基于$L^{2}$ \textit{Morse-Novikov cohomology}的一个消灭定理，证明了$M$上的$L^{2}$ -调和形式恒零.
2020-05-28 math.DG
On f-harmonic morphisms between Riemannian manifolds
f-调和映射首先由Lichnerowicz在\cite{Li}中引入并研究（另见Eells-Lemaire的报告\cite{EL}的第10.20节）。本文研究了f-调和映射的一个子类f-调和态射，它将局部调和函数拉回到局部f-调和函数.证明了黎曼流形之间的映射是f-调和态射当且仅当它是水平弱共形f-调和映射。这推广了著名的Fuglede-Ishihara对调和态射的刻画。给出了f-调和态射的一些性质和例子，以及f-调和态射的不存在性。我们还研究了共形浸入的f-调和性。
2011-03-29 math.DG
Complex-valued (p,q)-harmonic morphisms from Riemannian manifolds
我们引入了黎曼流形之间的（p，q）-调和态射的自然概念。这统一了过去几十年来研究的几种理论。然后，我们研究的特殊情况下，所涉及的地图是复值。对于这些，我们找到一个特征，并提供新的重要情况下的非平凡的例子。
2021-04-02 math.DG
On compact Riemannian manifolds with harmonic weyl curvature
给出了具有调和Weyl曲率、正数量曲率和正常数$σ_2$的n $(\geq4)$维紧致黎曼流形的刚性定理.当$n=4,$时，我们证明了具有正数量曲率和正常数$σ_2$的4维紧致局部共形平坦黎曼流形等距于圆$\mathbb{S}^4$的商.
2018-10-15 math.DG
Pseudo-Harmonic Maps From Pseudo-Hermitian Manifolds to Riemannian Manifolds
本文讨论了从闭伪Hermite流形到具有非正截面曲率的黎曼流形的伪调和映射的热流，证明了伪调和映射的存在性，它是Eells-Sampson存在性定理的推广.在目标流形具有负截面曲率的条件下，我们还讨论了它的同伦类的伪调和表示的唯一性，这是Hartman定理的推广。
2017-09-03 math.DG
Left invariant Riemannian metrics with harmonic curvature are Ricci-parallel in solvable Lie groups and Lie groups of dimension $\leq6$
证明了可解李群上任何具有调和曲率的左不变度量都是Ricci平行的。我们对维数为$\leq$ 6的任何李群给出了同样的结果。
2021-08-14 math.DG
Harmonic maps on weighted Riemannian foliations
本文研究加权叶状结构上的横截f-调和映射与$(F,F')_f$-调和映射，推广了极小叶状结构中两类调和映射的等价关系。
2023-08-12 math.DG
Back to harmonic mappings of compact Riemannian manifolds
本文探讨了黎曼流形间调和映射理论的几个关联问题，提出了验证调和性的解析准则，分析了拉回度量的L2-正交分解，并研究了调和对称双线性形式在恒等调和映射中的作用。
2025-07-10 math.DG
Harmonic morphisms of sub-Riemannian Lie groups
Department of Mathematics, University of Trento（特伦托大学数学系）；Institute of Mathematics, University of Warsaw（华沙大学数学研究所）
本文证明次黎曼李群间的调和态射是光滑共形淹没且为拉普拉斯算子的对称性，给出李群外调和态射的部分结果，计算其水平能量第一变分，发现其不一定是调和映射。
2026-09-07 math.AP math.DG
A Cohomology (p+1) Form Canonically Associated with Certain Codimension-q Foliations on a Riemannian Manifold
设$(M^{n},g)$是一个闭的、连通的、定向的、$C^{\infty}$的、黎曼的、n-流形，它具有一个横向定向的叶理$\boldkey F$ .我们证明了，如果$\lbrace X,Y \rbrace$是基本向量场，则当$κ\wedge χ_{\boldkey F}$是封闭的（可能为零）de Rham上同调（p+1）-形式时，$[X,Y]$的叶分量$\Cal{V}[X,Y]$的叶发散为零.这里$κ$是叶理${\boldkey F}$的平均曲率的一种形式，而${χ_{\boldkey F}}$是它的特征形式。在余维2的情况下，当且仅当$κ$水平闭合时，$κ\wedge χ_{\boldkey F}$闭合。在一定的限制条件下，给出了$κ\wedge{χ_{\boldkey F}}$是调和的充要条件.作为应用，我们给出了某些闭三维流形是局部黎曼积的一个刻划。我们证明了常曲率流形上的具有不可积横截分布的、叶维数大于或等于2的全脐叶的类Einstein-like叶理是全测地线的。
2006-03-09 math.DG
Removability of singularities of harmonic maps into pseudo-Riemannian manifolds
本文考虑到伪黎曼流形的调和映射。本文证明了连续映射的孤立奇点的可移性，即从R^m的开子集到伪黎曼流形的任何连续映射，只要该流形是二次连续可微的，且在孤立点外处处调和，则它实际上是处处光滑调和的.
2003-05-15 math.AP math.DG
On the behaviour of harmonic functions on Riemannian cones
本文探讨了黎曼锥上调和函数的性质，并研究了Liouville定理在该情境下的成立情况。
2024-02-08 math.AP math.DG
Hodge theory for Riemannian solenoids
被测螺线管是一个紧凑的层压空间，具有横向测量。利用沿叶方向光滑而沿横方向$L^2$光滑的微分形式定义了螺线管的De Rham $L^2$-上同调.本文发展了黎曼测度函数的调和形式理论，并证明了这一理论计算了螺线管的De Rham $L^2$-上同调.这意味着特别是庞加莱对偶的结果。
2010-04-23 math.DG
Explicit proper p-harmonic functions on the Riemannian symmetric spaces SU(n)/SO(n), Sp(n)/U(n), SO(2n)/U(n), SU(2n)/Sp(n)
本文在紧致黎曼对称空间SU（n）/SO（n），Sp（n）/U（n），SO（2 n）/U（n），SU（2 n）/Sp（n）上构造了显式复值p-调和函数.我们还描述了如何相同的可以制造其非紧对称对偶空间。
2022-01-25 math.DG
Vanishing theorems for $L^2$ harmonic forms on complete Riemannian manifolds
本文给出了完备黎曼流形上的$L^2$调和形式的几个消灭定理，它们具有加权Poincaré不等式和一定的曲率下界.这些结果继承了Li-Wang和Lam的思想，但没有对权函数的符号和增长率作任何假设，因此可以应用于完备稳定超曲面.
2015-11-10 math.DG
k-harmonic maps into a Riemannian manifold with constant sectional curvature
J. Eells和L. Lemaire引入了k-调和映射，王少波给出了第一变分公式。当k=2时，称为双调和映射（2-调和映射）.在这一领域进行了广泛的研究。本文研究了重调和映射与k-调和映射之间的关系，给出了3-调和映射的不存在性定理。给出了欧几里得空间的k-调和子流形的定义，并研究了欧几里得空间中的k-调和曲线.其次，我们给出了欧几里得空间的k-调和子流形的一个猜想.
2010-10-05 math.DG
Vanishing properties of $p$-harmonic $\ell$-forms on Riemannian manifolds
本文给出了黎曼流形（$p\geq2$）上$p$ -调和$\ell$ -形式的几个消失型定理.首先，我们考虑${N}^{n+m}$的完备非紧浸入子流形$M^n$，它具有平坦的法丛，证明了$M$上的任何$p$ -调和$\ell$ -形式是平凡的，如果$N$具有纯曲率张量，并且$M$满足一定的几何条件.然后，我们得到了黎曼流形上加权Poincaré不等式的一个消失定理.最后，我们研究了完备单连通局部共形平坦的黎曼流形$M$，指出只要$\operatorname{Ric}$有适当的界，$M$上就不存在非平凡的$p$ -调和$\ell$ -形式.
2017-04-17 math.DG
A local curvature estimate for the Ricci-harmonic flow on complete Riemannian manifolds
本文考虑完备非紧流形上由List \cite{List2005}引入的Ricci调和流或List流的黎曼曲率的局部$L^p$估计。作为应用，在假设流存在于有限时间区间$[0,T)$上且里奇曲率一致有界的条件下，证明了黎曼曲率的$L^p$范数是有界的，然后应用De Giorgi-Nash-Moser迭代法，得到了黎曼曲率的局部有界性，从而流可以连续地延拓到$T$ .
2021-12-09 math.DG
A class of nonsymmetric harmonic Riemannian spaces
$H$型群的某些可解扩张为所谓的Lichnerowicz猜想提供了非紧的反例，该猜想断言“调和”黎曼空间必须是秩1对称空间。
1992-07-01 math.DG math.RT
Liouville Theorem for Harmonic Maps from Riemannian Manifold with Compact Boundary
本文为从带紧致边界的完备非紧黎曼流形（Kasue流形）到非正截面曲率单连通完备黎曼流形的调和映射提供了梯度估计，并由此得出刘维尔定理及线性椭圆方程无正解的结论。
2023-04-05 math.DG
Characteristic Laplacian in sub-Riemannian geometry
研究了一类与具有分布的光滑流形的特征上同调有关的拉普拉斯算子。我们证明，这拉普拉斯不表现得很好：它不是hypoelliptical一般，不尊重在复杂的设置形式的bigrating。我们还讨论了这些负面结果的后果，P.格里菲斯猜想，关于特征上同调的周期域。
2013-04-17 math.DG
Harmonic Hermitian structures on Riemannian manifolds with skew-torsion
我们在四维Hermitian流形上找到了一个几何条件，在这个几何条件下，复结构是一个从流形到其扭量空间的调和映射，而扭量空间是由度量和基流形上的给定联络定义的一个自然黎曼度量族.
2021-07-02 math.DG
Basic Morse-Novikov cohomology for foliations
本文给出了黎曼叶理上Morse-Novikov上同调为零的充分条件。对扭曲上同调复形给出了一个Bochner技巧，得到了相应的消元结果。同时，我们推广了闭黎曼流形情形的设置消失结果。几个例子，随着应用的上下文中的l.c.s.和l.c.K.叶理
2016-02-09 math.DG
Lp -cohomology and the geometry of p-harmonic forms
本文通过研究p-调和形式与p-余闭形式的几何性质，重新证明了Pansu消失定理，建立了负曲率夹挤流形Lp-上同调的新单射性定理，并部分解决了Gromov关于对称空间Lp-上同调消失的猜想。
2024-09-02 math.DG
Harmonic sections of tangent bundles equipped with Riemannian $g$-natural metrics
设$(M,g)$是一个黎曼流形.当$M$是紧的且切丛$TM$具有Sasaki度量$g^s$时，定义从$(M,g)$到$(TM,g^s)$的调和映射的向量场是唯一的平行向量场. Sasaki度量和其他熟知的关于$TM$的黎曼度量是$g$ -自然度量的特定示例。我们给$TM$配上一个任意的黎曼$g$ -自然度规$G$，并研究了$M$的向量场$V$的调和性，认为它是从$(M,g)$到$(TM,G)$的映射.然后，我们将这项研究应用到Reeb向量场，特别是奇维球面上的Hopf向量场。
2007-10-19 math.DG
Computing harmonic maps between Riemannian manifolds
在之前的论文[GLM2018]中，我们证明了黎曼流形之间的调和映射理论可以通过在域流形上引入具有顶点和边权重的三角剖分来离散化。在本文中，我们研究收敛的离散理论光滑理论时，采取越来越精细的三角剖分。我们提出了适当的条件，加权三角剖分，以确保收敛的离散调和映射光滑调和映射。我们的计算机软件Harmony实现了这些方法来计算双曲平面上的等变调和映射。
2020-01-18 math.DG
Higher analytic torsion and cohomology of diffeomorphism groups
我们考虑一个封闭的奇维定向流形$M$和一个非循环平坦厄米向量丛$\cF$。我们在$M$上的所有黎曼度量的流形上用纤维$M$构成平凡纤维丛.它有一个自然的平坦联络和一个垂直的黎曼度量。Bismut/Lott的高阶解析挠率形式与这种情形有关，它对于$M$的同素同构群的连通分量是不变的.利用黎曼度量空间是可收缩的这一性质，定义了复同态群及其李代数的连续上同调类。对于圆，我们计算这个类的度2，并表明，组上同调类是非平凡的，而李代数上同调类消失。
1997-12-02 dg-ga math.DG
Local Gradient Estimate for $p$-harmonic functions on Riemannian Manifolds
对于黎曼流形上的正$p$ -调和函数，我们得到了一个梯度估计和Harnack不等式，其常数仅依赖于里奇曲率的下界、$n$维数、$p$维数和函数所定义的球的半径.我们的方法是基于一个仔细的应用Moser迭代技术和不同的Cheng-Yau的方法所采用的Kostchwar和Ni，其中一个梯度估计的正$p$ -调和函数的截面曲率是从下面有界的假设下导出。
2010-10-14 math.DG
Harmonic Mappings into non-negatively curved Riemannian manifolds
50年前，Eells和Sampson证明了一个著名的定理：如果调和映射$(M, g)$是一个具有非负Ricci张量的紧致流形，且$(\bar{M},\bar{g})$的截面曲率是非正的，则调和映射是全测地的.此外，调和映射理论的其他主要结果“在大”是调和映射到非正弯曲的黎曼流形的结果。本文发展了到具有非负截面曲率的黎曼流形的调和映射理论。特别地，我们将证明，如果$(\bar{M},\bar{g})$的截面曲率是非负的，并且$(M, g)$是一个紧流形，其Ricci张量$Ric \geq f^{*}\bar{Ric}$是由$f$拉回的Ricci张量$f^{*}\bar{Ric}$，则任何黎曼流形$\bar{Ric}$之间的调和映射都是全测地的。将上述方案推广到完备流形到具有非负截面曲率流形的调和映射。此外，我们将从我们的结果中得到有趣的推论。
2016-06-14 math.DG
Harmonic maps and biharmonic Riemanian submersions
给出了黎曼浸没是调和的或双调和的刻划。双调和但不是调和黎曼浸没的例子。
2018-09-28 math.DG
