Compact metrizable groups are isometry groups of compact metric spaces
Julien Melleray
本文证明了如下结果：给定一个紧可度量群G，存在一个紧度量空间K，使得G同构（作为拓扑群）于K的等距群。
This note is devoted to proving the following result: given a compact metrizable group G, there is a compact metric space K such that G is isomorphic (as a topological group) to the isometry group of K.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Metrizable Topology on the Contracting Boundary of a Group
真测地度量空间的“收缩边界”由表现为双曲空间中的射线的测地射线的等价类组成。我们引入了一个几何相关的，拟等距不变的拓扑收缩边界。当空间是有限生成群的Cayley图时，我们证明了新拓扑是可度量化的.
Contraction groups for tidy automorphisms of totally disconnected groups
我们表明，最近的结果，美国。鲍姆加特纳和G.A.威利斯关于收缩群的自同构的度量化，全不连通的，局部紧群仍然有效，也在非度量化的情况下，如果一个限制注意自同构的小整齐的子群存在。
On homomorphism spaces of metrizable groups
对于两个不一定交换的拓扑群G和T，设H（G，T）表示从G到T的所有连续同态所构成的空间.证明了如果G是可度量化的，T是紧的，则H（G，T）是k-空间。由此得到：若G是G的稠密子群，则H（G_1，T）同胚于H（G，T）;若G是可分h-完全的，则自然映射G -> C（H（G，T），T）在其象上是开的。
Smoothing countable group actions on metrizable spaces
该研究将有限生成群拓扑作用的双李普希茨实现结果推广至可数群，基于既有思路证明可数群在可度量化空间上的拓扑作用可对应相容度量实现为双李普希茨作用，给出一维流形相关定理的简洁证明，并得到局部紧群闭子群的类似结论。
Metrizability of CHART groups
对于紧Hausdorff容许右拓扑群$G$，我们证明了$w(G)=πχ(G)$ .这个等式对于紧拓扑群是众所周知的。这暗示了CHART群的可度量化的准则：如果$G$是第一可数的（2013，Moors，Namioka），或者$G$是Fréchet（2013，Alberner，Megrelishvili），或者$G$有可数的$π$ -特征（2022，Reznichenko），那么$G$是可度量化的。在连续统假设（CH）假设下，序列紧CHART群是可度量化的。Namioka关于可度量化的CHART群是拓扑群的定理推广到小权CHART群。
Actions of finitely generated groups on compact metric spaces
本文证明有限生成群在紧致可度量化空间上的同胚作用，可通过选择适当度量使其成为双 Lipschitz 变换。
Isometry groups of proper metric spaces
给定局部紧Polish空间X，给出了X的同胚群G是（X，d）的全等距群的一个充要条件，其中d是X上的一个真度量.本文证明了：任意局部紧Polish空间Y具有不同于（1，2）的（card（G），card（Y）），G在GxY上自由作用，作为GxY关于GxY上某个适当度量的全等距群.刻画了在完全度量空间上作为全等距群有效且几乎传递的局部紧Polish群。刻画了局部紧波兰非阿贝尔群的特征，并对其进行了完全分类，证明了每个左不变度量自动右不变.证明了对于每个局部紧的Polish空间X，使得Iso（X，d）= {id}的真度量集d在X上的所有真度量空间中是稠密的.
Local properties on the remainders of the topological groups
当一个拓扑群$G$有一个Hausdorff紧化$bG$，其余项属于给定的一类空间时，什么时候？本文主要改进了A. V. Arhangel'ski \v和C.刘的。设$G$是一个非局部紧拓扑群，$bG$是$G$的紧化.证明了如下事实：（1）若$bG\setminus G$有局部a点可数的$p$ -元基，且$bG\setminus G$的$π$ -特征标可数，则$G$与$bG$可分可度量化;（2）若$bG\setminus G$有局部a点可数的$δθ$ -基，则$G$与$bG$可分可度量化;（3）若$bG\setminus G$局部有一个拟$G_δ$ -对角，则$G$和$bG$是可分的和可度量化的.最后，我们对C.刘在\cite{LC}。
Generic properties of topological groups
本文利用Baire范畴方法研究拓扑群的一般性质，证明可数无限离散阿贝尔群和紧可度量化阿贝尔群均存在剩余同构类，并刻画了泛型紧可度量化群的连通性与挠性质。
Topological classification of zero-dimensional $M_ω$-groups
一个拓扑群$G$称为$M_ω$ -群，如果它允许由$G$的可度量化闭子空间构成的可数覆盖$\K$，使得$G$的子集$U$在$G$中开当且仅当对每个$K\in\K$，$U\cap K$在$K$中开.证明了任意两个不可度量化的不可数可分零维$M_ω$ -群是同胚的。连同Zelenyuk的可数$k_ω$ -群的分类，这意味着不可度量化的零维$M_ω$ -群$G$的拓扑完全由其密度和紧分散性秩$r(G)$决定，根据定义，该秩等于$G$的分散紧子空间的分散性指数的最小上界。
Locally Compact Groups with All Dense Subgroups Separable
该研究探讨所有稠密子群均可分的局部紧群的可度量化问题，构造反例说明局部紧阿贝尔群情形答案为负，证明连通紧群、代数阿贝尔紧群及子群全可分的局部紧群情形答案为正，并给出幂零群可度量化的必要条件。
A note concerning a tidying procedure and contraction groups in non-metrizable, totally disconnected groups
在2004年的一篇文章中，Udo Baumgartner和George Willis使用了来自全不连通的、局部紧群的结构理论的思想来更好地理解与这样一个群G的自同构f相关联的收缩群U_f，假设G是可度量化的。（回想一下，U_f由所有群元素x组成，使得当n趋于无穷大时，f^n（x）趋于单位元）。最近，Wojciech Jaworski证明了后一篇文章的主要技术工具在不可度量的情况下仍然有效。因此，他在没有证据的情况下断言，该条的所有结果仍然有效。然而，可度量性在第二点进入了争论。在这篇文章中，我们解决了这个困难，通过提供一个肯定的答案威利斯在2004年提出的问题。
Isometry Group of Lorentz Manifolds: A Coarse Perspective
在闭子群具有指数增长性的假设下，证明了紧致Lorentz流形的等距群Iso（M，g）的一个结构定理.我们对Iso（M，g）的单位连通区没有作任何假设，因此我们的结果适用于离散等距群.我们推断出一个完整的分类格，可以等距紧凑的洛伦兹流形上。此外，没有任何增长假设，我们证明了一个山雀替代离散子群Iso（M，g）。
On topological groups containing a Fréchet-Urysohn fan
设G是一个拓扑群，它包含一个Frechet-Urysohn扇的（闭）拓扑副本.若G是完全正规序列空间（正规k-空间），则$G$中的每个闭可度量化子集都是局部紧的.将这一结果应用于其基础拓扑空间可表示为闭可度量化子集序列的直接极限的拓扑群，我们得到每个这样的群要么是可度量化的，要么同胚于一个$k_ω$ -空间和一个离散空间的乘积。
Pontryagin duality in the class of precompact Abelian groups and the Baire property
我们提出了一个广泛的自反，预紧，非紧，阿贝尔拓扑群$G$确定的三个要求。它们必须具有Baire性质，满足\textit{open refinement condition}，并且不包含无限紧子集。这种性质的组合保证了对偶群$G^\wedge$的所有紧致子集都是有限的。我们还证明了许多（非自反）预紧阿贝尔群是自反预紧阿贝尔群的等价群。这包括所有具有Baire性质的准紧几乎度量化群及其乘积。最后，给定一个紧阿贝尔群$G$，其权为$\geq 2^\om$，我们找到了$G$的适当稠密子群$H_1$和$H_2$，使得$H_1$是自反的伪紧的，而$H_2$是非自反的几乎可度量化的.
Metrizability of Clifford topological semigroups
证明了拓扑Clifford半群$S$是可度量化的当且仅当$S$是$M$ -空间，且$S$的幂等元集$E=\{e\in S:ee=e\}$是$S$中的可度量化$G_δ$ -集.同样的度量化准则也适用于任何可数紧Clifford拓扑半群$S$。
Isometry groups of proper CAT(0)-spaces
设G是真CAT（0）-空间X的等距群的闭子群.证明了若G是非初等的且含有秩为1的元素，则其系数在正则表示中的第二有界上同调群是非平凡的.因此，直到传递到有限指数的开子群，G要么是全不连通的群的紧扩张，要么是秩为1的单李群的紧扩张。
Cardinal invariants and convergence properties of locally minimal groups
若G是紧阿贝尔群K的局部本质子群，则：（i）t（G）=w（G）=w（K），其中t（G）是G的紧度;（ii）若G是径向群，则K必是可度量化的;（iii）G包含收敛到0的超序列S，使得|S| =w（G）=w（K）.当G是K的稠密局部极小子群时，（i）-（iii）项成立.证明了可数紧度的局部极小、局部预紧阿贝尔群是可度量化的。特别地，可数紧度的极小阿贝尔群是可度量化的。这回答了O.奥库涅夫在2007年提出。对每个不可数基数kappa，构造一个特征标为kappa的Frechet-Urysohn极小群G，使得G的连通分支是一个开正规ω-有界子群（因此G是局部预紧的）.我们还建立了一个极小幂零群的幂零类2没有非平凡的收敛序列具有一个开放的正规可数紧子群。
Titchmarsh Theorems for Hölder-Lipschitz functions on profinite groups
本文将Titchmarsh关于Hölder-Lipschitz函数Fourier变换的经典定理推广至可度量化profinite群，证明其与Sobolev正则性的关系，并刻画了Dini-Lipschitz类。
Construction of minimal skew products of amenable minimal dynamical systems
对于紧致可度量化空间$Z$上的群的顺从极小拓扑自由动力系统$α$和满足温和条件的紧致可度量化空间$Y$，构造了$α$在$Z\times Y$上的极小斜积扩张.这推广了Alberner和Weiss的一个结果。我们还研究了由此结果所产生的极小动力系统的交叉积的纯无限性。特别地，我们推广了Rørdam和Sierakowski的一个结果.
Metrization criteria for compact groups in terms of their dense subgroups
根据Comfort，Raczkowski和Trigos-Arrieta，如果一个紧阿贝尔群G的限制同态G^ --> D^是一个拓扑同构，则G的稠密子群D决定G。我们在D上引入了确定G所必需的四个条件，并解决了以下问题：如果对G的每个稠密（或G_δ-稠密）子群D，其中一个条件成立，那么G一定是度量化的吗？特别地，我们证明了（在ZFC中）由所有G_δ-稠密子群所决定的紧阿贝尔群是可度量化的，从而解决了Hernandez，Macario和Trigos-Arrieta提出的一个问题.（在连续统假设CH的附加假设下，最近布鲁格拉、查斯科、多明格斯、特卡琴科和特里戈斯-阿列塔证明了同样的陈述。）作为一种工具，我们给出了一种构造权为ω_1的紧群中不含不可数紧子集的G_δ-稠密子群的方法（在ZFC中）.构造是微妙的，因为在ZFC的某些模型中，这些子群必须具有非平凡的收敛序列。
The universal minimal space for groups of homeomorphisms of h-homogeneous spaces
设X是h-齐次零维紧T2空间，即X是齐次布尔代数的Stone对偶.证明了拓扑群G=Homeo（X）的泛极小空间M（G）是由Uspenskij引入的X上的极大链空间.如果X是可度量化的，那么很明显X同胚于康托尔集，结果是已知的（Reyner-Weiss 2003）。然而，许多新的例子出现了不可度量化的空间。其中包括不可数基数kappa的广义康托集X={0，1}^{kappa}，以及ω的冠或余数X=beta（omega）\ omega，其中beta（omega）表示自然数的斯通-切赫紧化。
The character of topological groups, via bounded systems, Pontryagin--van Kampen duality and pcf theory
Birkhoff-Kakutani定理证明了一个拓扑群是可度量化的当且仅当它具有可数特征标.我们开发和应用工具的估计的性质，为广泛的一类nonmetriquizable拓扑群。我们考虑拓扑由可数共尾紧集族决定的阿贝尔群。这些是\emph{metrizable}阿贝尔群的Pontryagin-van Kampen子群的闭子群，或者等价地，完全阿贝尔群的对偶是可度量化的。通过调查这些连接，我们表明，也在这些情况下，字符可以估计，它是由该组的\emph{compact}子集的权重，或由紧凑的子群组的继承人。例如，一个阿贝尔可度量化群的密度和局部密度决定了它的对偶群的特征。我们的主要结果适用于交换Čech-完全群的Pontryagin-van Kampen群的闭子群的更一般的情形。在自由交换拓扑群的特殊情况下，我们的结果推广了Nickolas和Tkachenko用组合方法证明的一些结果.为了得到具体的估计，我们在所研究的概念和pcf理论之间建立了一个自然的桥梁，允许直接应用该理论的几个主要结果。我们包括对这些结果及其使用的介绍。
Minimal model-universal flows for locally compact Polish groups
设$G$是局部紧波兰群.一个可度量化的$G$ -流$Y$称为模型泛的，如果通过考虑$Y$上的各种不变概率测度，我们可以将$G$在标准Lebesgue空间上的每个自由作用恢复到同构. Weiss证明了对于可数的$G$，存在一个极小的模型泛流。在本文中，我们将这个结果推广到所有的局部紧波兰群。
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