Apolar schemes of algebraic forms
Jaydeep Chipalkatti
这是关于几个齐次形式的经典Waring问题的一个注记。对于正整数（n，d，r，s），确定n+1个变量的d次形式的一般r维子空间。我们描述了家庭的s边极多面体的这个子空间在许多特定的情况下。
This is a note on the classical Waring's problem for several homogeneous forms. For positive integers (n,d,r,s), fix a general r-dimensional subspace of degree d forms in n+1 variables. We describe the family of s-sided polar polyhedra of this subspace in many specific cases.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Variety of apolar schemes to powers of quadrics
本文研究二次幂的极化解簇的Grassmannian紧化，证明$\rm{VAPS_G}(q_2^3,10)$为有理正规曲线的切发展曲面，而$\rm{VAPS}_G(q_3^2,10)$可约且含三个奇异5维分量。
Apolarity is an important tool in commutative algebra and algebraic geometry which studies a form, $f$, by the action of polynomial differential operators on $f$. The quotient of all polynomial differential operators by those which annihilate $f$ is called the apolar algebra of $f$. In general, the apolar algebra of a form is useful for determining its Waring rank, which can be seen as the problem of decomposing the supersymmetric tensor, associated to the form, minimally as a sum of rank one supersymmetric tensors. In this article we study the apolar algebra of a product of linear forms, whic…
On schemes evinced by generalized additive decompositions and their regularity
本文通过广义加法分解研究 $d$-齐次多项式极对 $0$ 维概型的正则性，证明不可约简概型一般不 $d$-正则，但极小长度切向分解和长度至多 $2d+1$ 的不可约简极对概型总是 $d$-正则。
A refinement on the local cactus rank algorithm
本文改进了局部仙人掌秩算法，通过基座次数判断极小局部无极性概形由原多项式或其扩张的广义加性分解证明，并利用 Hankel 算子高效计算 Hilbert 函数。
Generalized Additive Decompositions of Symmetric Tensors
本文研究对称张量的广义加性分解（GAD），提出衡量其规模的线性代数方法，证明GAD秩与Catalecticant矩阵秩的一致性，给出极零方案的显式描述及最小唯一性条件，开发数值GAD算法并验证其有效性与稳定性。
On the cactus rank of cubics forms
本文研究一般三次型与一般可约三次型的仙人掌秩，证明其对极零维方案的最小次数分别可低于或显著小于相应的秩。
On the number of Waring decompositions for a generic polynomial vector
我们证明了一个一般的多项式向量$(f_1, f_2, f_3)$在三个齐次变量的程度$(3,3,4)$有一个唯一的Waring分解秩7。这是我们知道的第一个新病例，也可能是最后一个，自19世纪以来已知的五个病例和二元病例。我们证明了在$(a, a+1)$的三个齐次变量中，除了$a=2$之外，对$(f_1, f_2)$之间没有可识别的情况，并且我们给出了分解次数的下界。新的例子是用数值代数几何发现的，而它的证明需要非交换无极性。
Inverse Systems of Zero-dimensional Schemes in P^n
利用射影空间P^n的零维子概型Z的不可约分支的局部逆系统，构造了Z的整体Macaulay逆系统.他们表明，当Z是局部Gorenstein一个通用齐次形式F的程度d非极性的Z确定Z时，d是大于不变b（Z）。他们还表明，对于大柱脚度，坐标环的Gorenstein Artin商的Hiilbert函数具有自然的上界。在适当的假设下，证明了齐次型F到线性型幂的广义加法分解的唯一性。其中包括许多例子。
Descent for Algebraic Schemes
本文以初等方式系统阐述了域上代数概形的基本下降定理，涵盖 Grothendieck、Weil 等经典结果。
The algebraic fundamental group of a reductive group scheme over an arbitrary base scheme
定义了任意（非空）基概型上约化群概型的代数基本群函子，并证明了该函子是正合的。
Distinguishing Algebraic Spaces from Schemes
本文引入代数空间与叠的局部不变量，提出拓扑判据判断叠的模空间是否为概形，并应用于光滑射影曲线上主丛的模空间研究。
We investigate the variety of commuting matrices. We classify its components for any number of matrices of size at most 7. We prove that starting from quadruples of size 8 matrices, this scheme has generically nonreduced components, while up to degree 7 it is generically reduced. Our approach is to recast the problem as deformations of modules and generalize an array of methods: apolarity, duality and Białynicki-Birula decompositions to this setup. We include a thorough review of our methods to make the paper self-contained and accessible to both algebraic and linear-algebraic communities. Our…
Algebraic Magnetism Invariants of Self-Actions of Diagonalizable Monoid Schemes
该研究提出一种计算可对角化幺半群概形自作用纯磁体的方法，通过锐幺半群极小生成元描述，且代数磁学能检测幺半群模可逆元后的锐性与极小生成元。
Purely Algebraic Method to Construct Toric Schemes
本文首先给出了幺半群和扇的一些基本性质，然后从给定的扇出发，构造了任意环上的复曲面概型。利用赋值准则，证明了该格式是可分离的，并给出了它是可分离的充要条件必要条件。最后，我们研究了由扇形同态诱导的环面格式的态射。
Representability of Hilbert schemes and Hilbert stacks of points
证明了任意分离代数栈上点的Hilbert函子是一个代数空间。我们还显示代数栈上的Hilbert栈点的代数性和代数栈的Weil限制沿有限平坦态射。对于后两个结果，不需要分离假设。
We extend the $\hat U$-theorem for projective varieties proved in arXiv:1601.00340 and arXiv:1607.04181 to projective schemes over $\mathbb C$. The condition "ss=s" required in arXiv:1601.00340 and arXiv:1607.04181 is reformulated algebraically for our setting. We also describe a blowing up for the condition "ss=s". Different from the sequence of blowing ups in arXiv:1607.04181 , we can get "ss=s" in one blowing up.
Loops on schemes and the algebraic fundamental group
本文通过引入区间概形重新解释真概形的代数基本群，定义代数环路与同伦关系，并利用麦考利化和勒夫谢茨型结果建立主要结论。
Topics in algebraic geometry
代数几何研究生课程讲义。所涉及的主题如下。上同调：外层和群，有支撑的上同调，局部上同调，局部对偶。对偶：相对对偶，科恩-麦考利方案。概型的态射：平坦性与基变及相关主题。希尔伯特和商方案。
The Conjugates of Algebraic Schemes
修复了代数方案$Y$。给出了代数模式$X$在$Y$上的共轭的一个明显定义，若$X$在$Y$上有唯一共轭，则称$X$在$Y$上是Galois闭的.现在设$X$和$Y$都是整数，并且设$X$是通过有限型的满射$ϕ$在$Y$上封闭的伽罗瓦。则$ϕ^{\sharp}(k(Y))$是$ϕ$的$k(X)$的子字段。本文的主要定理是：$k(X) /ϕ^{\sharp}(k(Y)) $是Galois扩张，伽罗瓦群$Gal(k(X)/ϕ^{\sharp}(k(Y))) $同构于$Y$上的$X$的$k-$自同构群.
Scheme theory for groups and Lie algebras
群代数几何和李代数是近年来许多作者为了研究抽象群和李代数上的代数方程所定义的集合而定义和研究的。本文的目的是提出一个自由坐标法解决这个问题。这必然与经典代数几何中的概型理论有关，并为研究有限群提供了几何学框架
Let $C$ be a complex projective smooth curve and $W$ a symplectic vector bundle of rank $2n$ over $C$. The Lagrangian Quot scheme $LQ_{-e}(W)$ parameterizes subsheaves of rank $n$ and degree $-e$ which are isotropic with respect to the symplectic form. We prove that $LQ_{-e}(W)$ is irreducible and generically smooth of the expected dimension for all large $e$, and that a generic element is saturated and stable.
Equivariant cobordism of schemes
研究线性代数群作用概型的等变配边理论。本文比较了线性代数群作用的等变配边理论与环面作用的相似群的等变配边理论，并导出了代数群分类空间的圈类映射的一些结果。
Bivariant Algebraic Cobordism
我们将一个双变理论与代数概型范畴或代数G概型范畴上的任何合适的定向Borel-Moore同调论相关联。应用这一理论的代数配边产生的运算配边环和运算G-等变配边环的所有计划在这些类别。在复曲面簇的情形下，运算T-等变配边环可以描述为系数在Lazard环上的扇形上的分段分次幂级数环.
We study the degrees of generators of the ideal of a projected Veronese variety $v_2(\mathbb{P}^3)\subset \mathbb{P}^9$ to $\mathbb{P}^6$ depending on the center of projection. This is related to the geometry of zero dimensional schemes of length $8$ in $\mathbb{A}^4$, Cremona transforms of $\mathbb{P}^6$, and the geometry of Tonoli Calabi-Yau threefolds of degree $17$ in $\mathbb{P}^6$.
The geometry of blueprints. Part I: Algebraic background and scheme theory
在本文中，我们引入了蓝图范畴，这是一个既包括交换（半）环又包括交换幺半群的代数对象范畴。这种推广允许同时处理理想，环和幺半群的同余，并导致一个共同的计划理论。特别是，它弥合了通常的计划和$\mathbb{F}_1$ -计划（后加藤，Deitmar和Connes-Consani）之间的差距。除了这种统一，类别的蓝图包含新的有趣的对象作为“改进”分圆域的扩展$\mathbb{F}_{1^n}$的$\mathbb{F}_1$和“阿基米德赋值环“。它还产生了半环计划的概念。这第一篇论文奠定了基础，为后续项目，这是专门针对以下问题：山茨的想法Chevalley群在$\mathbb{F}_1$，同余计划，层上同调，$K$ -理论和统一的看法解析几何在$\mathbb{F}_1$，进空间（后胡贝尔），解析空间（后Berkovich）和热带几何。
Reductive group schemes, the Greenberg functor, and associated algebraic groups
设$A$是具有代数闭剩余域$k$的Artinian局部环，$\mathbf{G}$是$A$上的仿射光滑群概型.格林伯格函子$\mathcal{F}$将$\mathbf{G}$与$k$上的线性代数群$G:=(\mathcal{F}\mathbf{G})(k)$相关联，使得$G\cong\mathbf{G}(A)$。证明了：若$\mathbf{G}$是$A$上的约化群概型，且$\mathbf{T}$是$\mathbf{G}$的极大环面，则$T$是$G$的Cartan子群，且$G$的每个Cartan子群都是唯一的.证明的基础是建立一个Nullstellenbranch模拟光滑仿射计划减少纤维$A$，格林伯格函子保持一定的正规化组计划$A$。证明了若$\mathbf{G}$是可约的，且$\mathbf{P}$是$\mathbf{G}$的抛物子群，则$P$是$G$的自正规子群;若$\mathbf{B}$和$\mathbf{B}'$是$\mathbf{G}$的两个Borel子群，则相应的子群$B$和$B'$在$G$中共轭.
Principal bundles, quasi-abelian varieties and structure of algebraic groups
我们对具有仿射和交换结构群的反仿射格式的主丛进行了分类。我们表明，这产生了域k上的拟阿贝尔簇的分类（即，不具有非常数全局函数的群k-方案）。光滑群k-格式的分类归结为拟阿贝尔簇和某些仿射群格式的分类，这一结果的有趣之处在于这一事实。
Perfect algebraic spaces and perfect morphisms
本文通过函子可表示性定义完美代数空间，推广完美概形理论，并利用代数Frobenius态射给出其等价描述。
Given a locally free coherent sheaf on a smooth algebraic surface, we consider the Quot-scheme parametrizing zero-dimensional quotients of the sheaf and find the corresponding motivic class in the Grothendieck ring of algebraic varieties.
The resolution property of algebraic surfaces
我们证明了在分离的代数曲面上，每一个凝聚层都是一个局部自由层的商。这个类包含许多计划，既不是正常的，减少，quasiprojective或嵌入到环面品种。我们的方法扩展到任意$2$维计划是适当的诺特环。
On the geometry of the Hilbert schemes of points in the projective plane
我们在代数曲面上的点的希尔伯特格式中对最小度曲线进行了分类。当代数曲面为射影平面时，确定了这些Hilbert格式的Nef锥和翻转结构。
The inverse Galois problem for connected algebraic groups
本文证明了任意基域上每个有限型连通群概形均可实现为某个射影几何整概形自同构群的单位分量，主要借助嵌入、等变紧化、爆破及Fitting理想等方法。
Logarithmic geometry, minimal free resolutions and toric algebraic stacks
在本文中，我们将引入一种类型的态射的对数计划（在意义上的Fontaine，Illusie，和加藤），并研究其模。然后，应用这一点，我们定义了一个概念的环面代数堆栈在任意计划，这可能被视为环面嵌入的框架内的代数堆栈，并研究了一些基本性质。此外，我们还研究了环面嵌入的堆叠理论模拟。
On the Hilbert scheme of the moduli space of vector bundles over an algebraic curve
设$M(n,ξ)$是亏格为$g\geq 4.$的$\mathbb{C}$上的光滑射影代数曲线$X$上秩为$n\geq 3$且行列式为$ξ$的稳定向量丛的模空间。利用曲线的角性和$r$-Hecke态射来描述光滑开集和计算Hilbert格式$Hilb_{M(n,ξ)}$的分支维数。本文讨论了态射$Mor(\mathbb{G},M(n,ξ))$的概型和$X\times \mathbb{G},$上稳定丛的模空间$ M_{X \times \mathbb{G}}$，其中$\mathbb{G}$是格拉斯曼的$\mathbb{G}(n-r,\mathbb{C}^n)$ .特别地，我们证明了$\dim Mor_P(\mathbb{P}^2,M(3,ξ))=8g-7$，并给出了$Mor_{2ns}(\mathbb{P}^1,M(n,ξ))$与$s\geq 1.$非空的一个充分条件
Consider the abelian category ${\mathcal C}$ of commutative group schemes of finite type over a field $k$, its full subcategory ${\mathcal F}$ of finite group schemes, and the associated pro category ${\rm Pro}({\mathcal C})$ (resp. ${\rm Pro}({\mathcal F})$) of pro-algebraic (resp. profinite) group schemes. When $k$ is perfect, we show that the profinite fundamental group $\varpi_1 : {\rm Pro}({\mathcal C}) \to {\rm Pro}({\mathcal F})$ is left exact and commutes with base change under algebraic field extensions; as a consequence, the higher profinite homotopy functors $\varpi_i$ vanish for $i…
Toolkit for the algebraic geometer
本文提出一种基于位势的概形理论，扩展了流形、概形、解析空间等几何结构。通过sheaf理论粘合模型空间，恢复构造几何对象时的拓扑空间，并应用于半环概形。
Equivariant Algebraic Cobordism
本文对特征为零的域上的线性代数群作用的概型构造了一个等变代数配边理论。
Given two algebraic groups $G$, $H$ over a field $k$, we investigate the representability of the functor of morphisms (of schemes) $\mathbf{Hom}(G,H)$ and the subfunctor of homomorphisms (of algebraic groups) $\mathbf{Hom}_{\rm gp}(G,H)$. We show that $\mathbf{Hom}(G,H)$ is represented by a group scheme, locally of finite type, if the $k$-vector space $\mathcal{O}(G)$ is finite-dimensional; the converse holds if $H$ is not étale. When $G$ is linearly reductive and $H$ is smooth, we show that $\mathbf{Hom}_{\rm gp}(G,H)$ is represented by a smooth scheme $M$; moreover, every orbit of $H$ acting…
Nori's Fundamental Group over a non Algebraically Closed Field
本文将Nori关于基本群概型的定义从有理点推广到任意基点，使得当$X$为域$k$，点为$k\subseteq \bar{k}$时，仍得到类似于绝对伽罗瓦群${\rm Gal}(\bar{k}/k)$的非平凡群概型.然后，我们试图在不同的层次上理解组方案。
Noetherian approximation of algebraic spaces and stacks
我们表明，每一个计划/代数空间/堆栈是准紧的准有限对角线可以近似的诺特计划/代数空间/堆栈。更一般地说，我们表明，任何堆栈，这是标准本地的全球商栈可以近似。应用的例子是推广Chevalley的，塞尔的和Zebraki的定理和周的引理的非诺特设置。我们还证明了每一个具有拟有限对角线的拟紧代数栈都有一个有限的一般平坦覆盖。
Hochschild homology for log schemes
将Hochschild同调和循环同调推广到代数空间到代数栈的态射，进而得到Fontaine-Illusie意义下对数方案的这些同调理论。
Given a reductive group scheme $G$, we give a linear algebraic description of reduced étale $4$-cocycles on its classifying stack $\mathrm B(G)$. These cocycles form a $2$-groupoid, which we interpret as parameters of metaplectic covers of $G$. We use our linear algebraic description to define the Langlands dual of a metaplectic cover.
The resolution property for schemes and stacks
我们证明了代数栈的两个基本性质的等价性：作为一个强意义上的商栈，和分辨率属性，它说，每一个相干层是一些向量丛的商。此外，我们证明了这些性质的重要特殊情况下的orbifolds，其相关的代数空间是一个计划。
Geometric Construction of Generalized Local Symbols on Algebraic Curves
本文的目的是提供一种构造代数曲线上的广义局部符号作为群概型的态射的方法。从一个完整的，不可约的和非奇异的曲线$C$在一个完满域$k$作为唯一的数据，使用θ组的Picard计划的曲线，我们提供了一个尺规作图法，使我们能够定义的驯服符号和希尔伯特范剩余符号的推广。
Hilbert's Theorem 90 and algebraic spaces
希尔伯特定理90以现代形式告诉我们R^1f_*（G_m）=0，其中f是方案X的etale点和Zagliki点之间的典范映射。我构造的例子表明，相应的声明代数空间不成立。第一个例子是在Kollar意义下的非分离光滑一维虫眼覆盖。第二个例子是一个非正规的正确的代数空间，通过识别适当的非投射光滑正确的计划点。
We show that every algebraic group scheme over a field with at least 8 elements can be realized as the group of automorphisms of a nonassociative algebra. This is only a modest improvement of the theorem of Gordeev and Popov (2003), but it allows us to give a new characterization of algebraic Lie algebras and to simplify the standard descriptions of Mumford--Tate domains and Shimura varieties as moduli spaces. Once the original argument of Gordeev and Popov has been rewritten in the language of schemes, we find that it also applies to algebraic groups over discrete valuation rings.
Moduli of morphisms of logarithmic schemes
我们证明了当固定对数格式满足自然假设时，存在一个对数代数空间参数化对数态射。作为推论，我们得到了稳定对数映射栈的代数性，而不限制目标的对数结构。
The tame fundamental group schemes of curves in positive characteristic
本文研究正特征代数闭域上光滑曲线的驯服基本群概形，发展余特化映射理论，证明其依赖曲线且可重构数值不变量。
Algebraic spaces that become schematic after ground field extension
该研究构造了经有限基域扩张后可成为概形的非概形代数空间实例。
Motivic Homotopy Theory of Algebraic Stacks
本文利用∞-范畴语言和增强运算映射，将动机同伦理论及六函子形式体系从概形推广到一大类代数栈，并证明其满足同伦不变性、局部化和纯性。
Deformations of compact holomorphic Poisson manifolds and algebraic Poisson schemes
本文在Kodaira-Spencer的解析变形理论和Grothendieck的代数变形理论的框架下，研究了紧致全纯Poisson流形的变形和代数Poisson格式。
On the algebraic fundamental groups
本文从算术概型到代数概型，用类似的方法计算了代数概型的代数基本群，并定义和讨论了代数概型的qc基本群。qc基本群也将给出étale基本群的先验估计。
On Punctual Quot Schemes for Algebraic Surfaces
准时报价计划参数化的所有长度的（局部）平凡秩r层，支持在一个固定点。作者证明了该格式是不可约的和（rd-1）维的. Ellingsrud和Lehn独立地证明了同样的结果。
This is a sequel to our previous paper of oriented bivariant theory [14]. In 2001 M. Levine and F. Morel constructed algebraic cobordism $Ω_*(X)$ for schemes $X$ over a field $k$ in an abstract way and later M. Levine and R. Pandhairpande reconstructed it more geometrically. In this paper in a similar manner we construct an algebraic cobordism $Ω^*(X \xrightarrow {π_X} S)$ for a scheme $X$ over a fixed scheme $S$ in such a way that if the target scheme $S$ is the point $pt = \operatorname{Spec} k$, then $Ω^{-i}(X \xrightarrow {π_X} pt)$ is isomorphic to Levine-Morel's algebraic cobordism $Ω_i(…
We study the algebraic $K$-theory and Grothendieck-Witt theory of proto-exact categories of vector bundles over monoid schemes. Our main results are the complete description of the algebraic $K$-theory space of an integral monoid scheme $X$ in terms of its Picard group $\operatorname{Pic}(X)$ and pointed monoid of regular functions $Γ(X, \mathcal{O}_X)$ and a description of the Grothendieck-Witt space of $X$ in terms of an additional involution on $\operatorname{Pic}(X)$. We also prove space-level projective bundle formulae in both settings.
Hyperstructures of Affine Algebraic Group Schemes
我们施加一个相当未知的代数结构称为“超结构”的仿射代数群计划的基本空间。这种代数结构推广了典型群结构，并由整体瓣的霍普夫代数的结构规范地定义。本文部分推广了A.Connes和C.Consani的结果
A Note on Curve Counting Scheme in an Algebraic Family and The Admissible Decomposition Classes
Mcduff在1997年提出了一种方法来修改Taubes版本的Gromov不变量的定义，当-1曲线出现多个覆盖时。在本文中，我们推广Mcduff的建议，家庭的情况下，需要在家庭Seiberg-Witten理论的讨论。为了简单起见，讨论已经在代数范畴中公式化。
We give criteria for certain morphisms from an algebraic stack to a (not necessarily algebraic) stack to admit an (appropriately defined) scheme-theoretic image. We apply our criteria to show that certain natural moduli stacks of local Galois representations are algebraic (or Ind-algebraic) stacks.
Let $X$ be a Noetherian separated and finite dimensional scheme over a field $\mathbb{K}$ of characteristic zero. The goal of this paper is to study deformations of $X$ over a differential graded local Artin $\mathbb{K}$-algebra by using local Tate-Quillen resolutions, i.e., the algebraic analog of the Palamodov's resolvent of a complex space. The above goal is achieved by describing the DG-Lie algebra controlling deformation theory of a diagram of differential graded commutative algebras, indexed by a direct Reedy category.
Harish-Chandra pairs and affine algebraic group schemes in the Verlinde category, revisited
本文修正并完善了Venkatesh关于正特征Verlinde范畴中仿射代数群与Harish-Chandra对范畴等价的不完整证明，并给出更简洁的群概形构造及交换Hopf代数张量积分解的新结果。
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