An Urn Model of Diaconis
David Siegmund, Benjamin Yakir
讨论了Diaconis的一个瓮模型及其推广.证明了一个收敛定理，它意味着对于Diaconis模型，瓮中球的经验分布以概率1收敛到均匀分布。
An urn model of Diaconis and some generalizations are discussed. A convergence theorem is proved that implies for Diaconis' model that the empirical distribution of balls in the urn converges with probability one to the uniform distribution.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Revisit of a Diaconis urn model
设$G$是一个有限的$d$阶阿贝尔群.我们考虑一个瓮，其中，最初，有标记的球，产生组$G$。从有替换的瓮中选择两个球，观察它们的标号，并对相应的群元素进行群乘以获得群元素。然后，我们将一个标有结果元素的球放入瓮中。这个模型是由P. Diaconis在研究一个叫做MeatAxe的群论算法时提出的（Holt and Rees（1994））。Siegmund和Yakir（2004）部分研究了这个模型。在本文中，我们进一步研究和推广这个模型。更具体地说，我们允许随机数的球从骨灰盒中抽取在Diaconis骨灰盒模型的每个阶段。对于这样的情况下，我们验证了归一化的瓮成分几乎肯定收敛到均匀分布的组$G$。利用鞅的中心极限定理，得到了瓮复合的渐近联合分布。
Convergence of randomized urn models with irreducible and reducible replacement policy
广义Friedman模型是概率论中最简单、最有用的模型之一。由于Athreya和Ney（1972）在$L\log L$矩假设下证明了置换矩阵不可约的随机骨灰模型中骨灰比例的几乎必然收敛性，该假设一直被认为是最弱的矩假设，但其必要性从未得到证明。本文研究了广义Friedman壶的强收敛性和弱收敛性。证明了当随机置换矩阵依概率不可约时，置换矩阵的期望是有限的，这比$L\log L$矩假设的严格性弱;当置换矩阵依概率可约时，$L\log L$矩假设是最弱的充分条件.并给出了非齐次广义Friedman钟的收敛速率和强收敛性与弱收敛性。
A.s. convergence for infinite colour Pólya urns associated with random walks
我们考虑Pólya瓮无限多的颜色是一个随机游动型，在两个相关的版本。我们表明，颜色分布a.s.，在重新缩放之后，收敛到正态分布，仅假设偏移分布上的二阶矩。这改进了Bandyopadhyay和Thacker（2014- 2017;概率依概率收敛）以及Mailler和Marckert（2017; a.s.收敛假设指数矩）。
Almost sure convergence of Polya urn schemes
对于最一般的Polya瓮格式，我们建立了其合成的几乎必然收敛.唯一的要求是始终有足够的两种颜色的球，以便根据模型的规格无限期地进行提取。我们还考虑了确定满足这一要求的概率的方法，作为每种颜色的球的初始数量的函数。
Strong Convergence of Infinite Color Balanced Urns Under Uniform Ergodicity
我们考虑推广的Pólya瓮计划与可能无限多的颜色引入\cite{Th-Thesis, BaTH2014, BaTh2016, BaTh2017}。对于可数的多个颜色，我们证明了在\emph{uniform ergodicity}假设下，瓮配置在相应的马尔可夫链上的几乎必然收敛性。该证明使用所选颜色序列与加权\emph{random recursive tree}上的\emph{branching Markov chain}的随机耦合，如\cite{BaTh2017, Sv_2018}中所述。使用这种耦合，我们估计任何两个选定的颜色之间的协方差。特别地，我们重新证明了经典的多色瓮模型的极限定理。
Rate of Convergence and Large Deviation for the Infinite Color Pólya Urn Schemes
在这项工作中，我们考虑\emph{infinite color urn model}与有界增量随机游动$\Zbold^d$。该模型由Bandyopadhyay和Thacker（2013）首次提出。我们证明，收敛速率的预期配置的骨灰盒在时间$n$适当的中心和缩放的顺序是${\mathcal O}\left(\frac{1}{\sqrt{\log n}}\right)$。此外，我们推导出类似于经典的Berry-Essen界的界限。此外，我们表明，对于预期的配置一个\emph{large deviation principle (LDP)}持有良好的速率函数和速度$\log n$。
Moment convergence of balanced Pólya processes
已知在不可约的小波利亚瓮过程中，瓮的组成在适当的归一化之后在分布上收敛于正态分布。我们表明，如果骨灰盒也是平衡的，这种正常的收敛与收敛的所有时刻，从而给（中心）时刻的渐近性。
Generic Behaviour of Strongly Reinforced Polya Urns : Convergence and Stability
我们认为，建议和研究Hofstad等。al. \cite{HHKR}，一类基于图的“交互瓮”型波利亚瓮模型，其灵感来自于大脑中的神经元处理，其中信号在某个（随机）选择的神经元处进入大脑，并且以取决于连接神经元的突触的相对“效率”的概率被传输到（随机）单个相邻神经元，并且在这样做时，所利用的突触的效率被改进/加强。我们研究的结构（或架构）和相对效率的神经元网络，可以从重复这个过程中出现了非常大量的时间在一个“强强化制度”。在最一般的条件下，我们证明了\cite{HHKR}中的一部分主要的公开猜想，即相应的“瓮过程”收敛到任何“不稳定”平衡点的概率为零。在非常一般的条件下，即，对于具有满测度的开稠密参数子集，我们还证明了完全开猜想，证明了平衡集的有限性，从而证明了“瓮过程”收敛到某个“稳定”平衡点的单位概率。
Rate of convergence for traditional Pólya urns
考虑一个有几种颜色的球的波利亚瓮，其中球被顺序地抽出，并且每个抽出的球立即被固定数量的相同颜色的球替换。众所周知，不同颜色的球的比例在分布上收敛于狄利克雷分布。我们证明了对于任何$p\in[1,\infty]$，在最小$L_p$度量下的收敛速率是$Θ(1/n)$，扩展了Goldstein和Reinert的结果;我们进一步证明了Lévy距离的相同速度，而Kolmogorov距离的速度取决于参数，即，骨灰盒的初始成分这里使用的方法与Goldstein和Reinert使用的方法不同，并且使用基于已知精确分布的直接计算。
Almost Sure Convergence of Randomized Urn Models with Application to Elephant Random Walk
我们考虑一个随机瓮模型与许多颜色的对象。替换矩阵是随机的，并且有条件地独立于给定过去选择的颜色。此外，置换矩阵的条件期望接近于几乎必然不可约矩阵。得到了配置向量、比例向量和计数向量的几乎必然收敛性和$L^1$收敛性。我们证明了一阶矩对于i.i.d.是足够的。替换矩阵独立于过去的颜色选择。这显著地改进了Athreya和Ney（1972）中要求$L\log_+ L$矩的瓮模型的类似结果。对于更一般的自适应置换矩阵序列，需要略多于$L\log_+ L$的条件。在Zhang（2018）中单独和并行考虑了基于$L^1$矩假设的类似结果。最后，利用所得结果研究了具有随机记忆的$d$维非负正交点上的延迟象随机游动。
An Analysis of the Diaconis-Holmes-Neal Markov Chain Sampler Under Generalized Unimodal Underlying Probabilities
本文分析了Diaconis-Holmes-Neal采样器在一般单峰概率分布下的收敛性，探讨了其在统计物理中的应用及收敛步骤数。
Convergence of generalized urn models to non-equilibrium attractors
广义波利亚瓮模型已被用来模拟建立一个小的创始人口组成的k个不同的基因型或策略的动态。当总体规模变大时，这些种群过程可以用一个状态空间为k单纯形的均值极限常微分方程很好地逼近。我们证明了，如果这个平均极限常微分方程有一个吸引子，在该吸引子处，人口增长率的时间平均值为正，那么人口不灭绝（即增长没有限制）的概率为正，其分布收敛到吸引子。相反，当人口增长率的时间平均值沿该吸引子为负时，总体分布不收敛于该吸引子。对于随机模拟的复制方程，它可以表现出非平衡动力学，我们证明，验证收敛和不收敛的条件减少到一个简单的代数问题。我们也将这些结果应用于选择-突变动力学，以说明这些种群遗传模型的正概率收敛到周期解。
Nonlinear Randomized Urn Models: a Stochastic Approximation Viewpoint
本文扩展了随机逼近（SA）理论和Laruelle，Pag{è}s（2013）中提出的随机瓮模型之间的联系，以及它们在Bai，HU（1999，2005）和Bai，Hu，Shen（2002）中介绍的临床试验中的应用。我们不再假设绘制规则在瓮的球之间是均匀的（包含d种颜色），但可以通过函数f来加强。这是一种模拟风险规避的方法。首先，考虑f是凹的或凸的，并通过将瓮组合的动力学重新表述为带余数的SA算法，我们导出了a.s.收敛性和渐近正态性（中心极限定理，CLT）的正规化程序，通过调用所谓的ODE和ESTA方法。深入分析d=2的情形，可以发现两种不同的行为：当f是凹的时，有一个单一的平衡点;当f是凸的时，有一个从单一吸引平衡点到两个吸引和一个排斥平衡点的过渡阶段。最后一个设置使用关于朝向噪声和无噪声“陷阱”的非收敛的结果来解决，以便推导a.s.向其中一个吸引点收敛。其次，分析了Polya瓮的特殊情况（加法规则为单位矩阵时），仍然使用SA理论关于“陷阱”的结果。最后，这些结果被应用到一个函数的定期变化和金融中的最优资产配置。
Generalized Urn Models of Evolutionary Processes
广义Polya瓮模型可以描述互作基因型的有限总体的动态。这些模型可以解决的三个基本问题是：在什么条件下人口会增长？在增长的情况下，人口以多大的速度增长？基因型分布的长期行为是什么？为了解决这些问题，我们将一个均值极限常微分方程（ODE）与瓮模型相关联。以前，它已被证明，在人口增长的情况下，基因型的极限分布是一个连接的内部链的平均极限常微分方程的回归集。为了确定增长和收敛何时以正概率发生，我们证明了两个结果。首先，如果平均极限常微分方程有一个“可达到”的吸引子，在这个吸引子上增长是预期的，那么增长和收敛到这个吸引子的概率是正的。第二，总体分布几乎肯定不会收敛到预期不会增长的集合
Generalized gamma approximation with rates for urns, walks and trees
研究了一类新的时间非齐次Pólya-type urn格式，并给出了对于给定颜色的球的适当比例数的分布，到几乎整类的带整数参数的广义Γ分布的最优收敛速度，这类广义伽玛分布包括Rayleigh分布、半正态分布和Γ分布.我们的主要工具是Stein的方法结合特征的广义伽玛极限分布的不动点的分布变换相关的平衡分布变换更新理论。我们确定这些骨灰盒模型的特殊情况下，递归结构的随机游动路径和树木，产生的收敛速度的本地时间和高度统计的简单随机游动路径，以及随机子树的大小均匀随机二叉树和平面树。
Analysis of Large Urn Models with Local Mean-Field Interactions
本文研究的随机模型描述了一组$F_N$相同的球分散到$N$瓮连接的基础对称图与常数度$h_N$的演变。经过一段随机的时间{ \em所有的球}后，任何骨灰盒在其邻域的$h_N$骨灰盒中局部重新分布。球的分配是根据一组取决于系统状态的权重随机进行的。这个上下文的主要原始特征是，相互作用的范围的基数$h_N$不一定是线性的，相对于$N$在一个经典的平均场上下文，而且，由于在同一时间的所有球的重新分配的过程的同时跳转的数量是没有限制的。该方法依赖于与位于给定骨灰盒附近的骨灰盒状态相关联的局部经验分布的演化分析。在适当的条件下，通过选取适当的Wasserstein距离和建立局部经验分布的几个技术估计，我们能够证明平均场收敛结果。当每个节点的负载趋于无穷大，收敛结果的不变分布的相关的McKean-Vlasov过程得到几个分配政策。对于一类权力的$d$的选择政策，我们表明，相关的不变测度有一个渐近有限的支持性质，在此制度下。这一结果与文献中通常遇到的$d$选择策略的幂的经典双指数衰减性质有些不同。
Stein's method of exchangeable pairs for absolutely continuous, univariate distributions with applications to the Polya urn model
我们提出了一种方法，找到一个斯坦型特征的一个给定的绝对连续分布$μ$上$\R$的动机是由一个可交换的对$(W,W')$满足的回归性质，其中$\calL(W)$是假定或已知接近$μ$。我们还开发了可交换对的方法在此设置。然后，将该一般过程专门用于β分布类，并且作为应用，计算来自Polya瓮的第一$n$绘图中绘制的红球的相对数目的收敛速度。
Random Additions in Urns of Integers
本文研究整数标签瓮的随机加法过程，证明其收敛于指数极限定律，均值随机且依赖初始配置，并采用收缩方法完成证明。
Convergence analysis of some multivariate Markov chains using stochastic monotonicity
我们提供了一个非渐近分析收敛到平稳的多元状态空间上的马尔可夫链的集合，从任意的起点，从而推广结果[Khare和周安。19（2009）737-777]。我们的例子包括多等位基因的莫兰模型在人口遗传学和它的变种在社区生态学，一个广义的Escherifest瓮模型和变种的波利亚瓮模型。证明了所有这些马尔可夫链关于适当的偏序都是随机单调的。然后，使用[Diaconis，Khare和Saloff-Coste Sankhya 72（2010）45-76]和[Wilson Ann. Appl. Probab. 14（2004）274-325]（对于单变量全序空间）到多变量偏序空间，我们得到了从任意起点到平稳性的距离的显式非渐近界。在以前的文献中，界限，如果有的话，只能从特殊的起点。该分析也适用于不可逆的马尔可夫链，并允许我们分析在[Khare和Zhou Ann. Appl. Probab. 19（2009）737-777]。
Pólya urns with immigration at random times
我们研究了一个经典的Pólya瓮模型中的白球的数量，该模型具有一个额外的特征，即在随机时间，一个黑球被添加到瓮中。这些随机时间之间的抽奖次数是独立同分布的。并且，在到达间隔分布的某些矩条件下，我们描述了当抽签次数趋于无穷大时白球的（适当缩放的）数量的极限分布。以这种方式获得的可能的限制分布根据到达间隔分布而变化很大，并且难以明确描述。然而，我们证明了极限是某些概率分布变换的不动点，这一事实提供了收敛性的证明，并导致极限的性质。该模型也可以被看作是一个优先连接随机图模型，其中添加的顶点最初有一个随机数的边缘，从这个角度来看，我们的结果描述了一个固定的顶点的程度的限制。
Urn models with random multiple drawing and random addition
考虑了一个具有多重抽取和随机时变加法矩阵的瓮模型。该模型是非常普遍的相对于以前的文献：在每个时间步的采样球的数量是随机的，添加矩阵具有一般的随机元素。对于给定颜色的球的比例，我们证明了几乎必然收敛结果和波动定理（通过CLT在稳定收敛和几乎必然条件收敛的意义下，这是强于依分布收敛）。给出了分布一般未知的极限比例的渐近置信区间。
Central limit theorems for a hypergeometric randomly reinforced urn
我们考虑随机加固的骨灰盒的一个变体，其中可以同时抽出更多的球，并且可以同时添加不同颜色的球。更准确地说，在每个时间步，给定过去的特定颜色的提取的球的数量的条件分布被假定为超几何的。证明了几个比分布依分布收敛强的中心极限定理，它们分别是稳定收敛和几乎几乎必然条件收敛。证明的结果提供了渐近置信区间的极限比例，其分布通常是未知的。此外，我们还考虑了多个骨灰盒受到一些随机公共因子的情况。
A generalized Pólya's Urn with graph based interactions: convergence at linearity
我们考虑Benaim等人（2013）引入的广义Pólya瓮模型的一个特例。给定一个有限连通图$G$，在每个顶点放置一个bin。如果两个bin共享$G$的一条边，则它们被称为一对。在离散的时间，一个球被添加到每对箱子。在一对箱子中，其中一个箱子得到球的概率与其当前的球数成正比。该模型的一个重要问题是了解不同图$G$中箱子中球的比例的极限行为。在本文中，我们提出了两个结果关于这个问题。如果$G$不是平衡二部的，我们证明了球的比例几乎必然收敛到某个确定点$v=v(G)$。如果$G$是正则二部的，我们证明了球的比例几乎必然收敛于某个显式区间内的一点。在$G$是非正则平衡二分的情况下，收敛问题仍然是开放的（见本文的最后一句话）。
The Convergence rate of the Gibbs sampler for the $2-$D Ising model via a geometric bound
本文研究了二维Ising模型在自由边界条件下Gibbs抽样的Diaconis和Stroock $(1991)$引入的几何边界。所得结果将Shiu和Chen $(2015)$提出的方法从一维推广到二维。此外，我们还观察到新的界改进了Ingrassia $(1994)$给出的结果.
Limit theorems for forward and backward processes of numbers of non-empty urns in infinite urn schemes
研究了无限瓮方案中非空瓮个数的前向过程和后向过程的联合渐近性。假设球击中瓮的概率满足规则减少的条件。我们证明了弱收敛到一个二维高斯过程。它的协方差函数只依赖于概率的规则下降的指数。我们得到的参数估计，有一个正常的渐近的联合分布连同向前和向后的过程。我们使用这些估计来构造统计检验的均匀性的瓮计划的数量扔球。
Measure-valued Pólya processes
波利亚瓮过程（英语：Pólya urn process）是一个马尔可夫链，它模拟了一个包含一些彩色球的瓮的演化，可能的颜色集合是$\{1,\ldots,d\}$ for $d\in \mathbb{N}$。在每个时间步，在瓮中均匀地选择随机球。它在骨灰盒中被替换，并且如果它的颜色是$c$，则还添加颜色为$j$的$R_{c,j}$球（对于所有$1\leq j\leq d$）。我们引入了一个模型的测度值的过程，概括了这一建设。这种推广包括颜色空间是（可能是无限的）波兰空间$\mathcal P$的情况。我们将任何时间步$n$处的骨灰盒组成视为$\mathcal P$上的度量${\mathcal M}_n$--可能是非原子的。在此概括中，我们根据与${\mathcal M}_n$成比例的概率分布选择随机颜色$c$，并在骨灰盒中添加度量${\mathcal R}_c$，其中Borel集$B$的数量${\mathcal R}_c(B)$模拟$B$中具有颜色的"球"的添加重量。本文研究了测度值Pólya urn过程的渐近性态，并给出了测度序列$({\mathcal M}_n, n\geq 0)$依分布收敛的替换测度$({\mathcal R}_c, c\in \mathcal P)$的一些条件.对于某些模型，有关分支随机游动，$({\mathcal M}_n, n\geq 0)$示出收敛几乎肯…
Two-colour balanced affine urn models with multiple drawings I: central limit theorems
这是一个研究工作分为两个部分。我们研究了一类关于两种颜色（比如白色和黑色）球的平衡瓮方案。在每次绘图时，从骨灰盒中抽取尺寸为$m\ge 1$的样本，并应用球添加规则。我们认为这些多张图纸是抽样的，有或没有替换。我们进一步根据期望值的结构将球加法矩阵分为仿射和非仿射两类。本文给出了一个方案属于仿射子类的充要条件。对于仿射子类，我们得到明确的结果后，白球数的期望值和二阶矩的$n$步骤和渐近展开的方差。此外，我们发现了一个鞅结构，服从中心极限定理制定。这统一了几个早期的作品集中在特殊情况下的骨灰盒模型与多个图纸。该类由$Λ$参数化，由“简化”球置换矩阵的两个特征值的比率和样本大小指定。我们将该类分为小索引骨灰盒（$Λ<\frac 1 2$），临界索引骨灰盒（$Λ= \frac 1 2$），和大索引骨灰盒（$Λ> \frac 1 2$），和三角形骨灰盒。本文（第一部分）给出了小指标和临界指标瓮的中心极限定理，并证明了三角形瓮和大指标瓮的几乎必然收敛.在另一篇论文（第二部分）中，我们讨论了大指数瓮和三角瓮的矩结构。
Conditionally identically distributed species sampling sequences
分布中的条件恒等式（Berti et al.（2004））是随机变量的一种新的依赖关系，它推广了众所周知的交换变量的概念。本文定义了一类随机序列，称为广义种群抽样序列，并给出了分布具有条件恒等式的条件。此外，还引入并研究了一类条件同分布的广义种群抽样序列：广义Ottawa序列（GOS）。这个类包含了波利亚瓮和布莱克威尔-麦奎因瓮方案的“随机复制”版本。对于GOS的经验平均值和预测平均值，我们证明了两个收敛结果向合适的混合高斯分布。第一个是稳定收敛意义下的，第二个是几乎必然条件收敛意义下的。在本文的最后一部分，我们研究了在时间$n$，即直到时间$n$的GOS的不同值的随机数的GOS诱导的分区的长度。在适当的条件下，证明了一个稳定收敛意义下的强大数律和一个中心极限定理。文中的所有结果都附有一些例子。
Rates of convergence of some multivariate Markov chains with polynomial eigenfunctions
本文利用谱技术对标准多元马尔可夫链的收敛速度进行了非渐近分析。所有的链都具有多元正交多项式作为特征函数。我们的例子包括群体遗传学中的Moran模型及其在群落生态学中的变体，Dirichlet-多项式Gibbs抽样，一类广义Bernoulli-Laplace过程，广义Escherichfest urn模型和多元正态自回归过程。
On the rate of convergence in de Finetti's representation theorem
de Finetti表示定理的一个推论是，对于每一个可交换0-1随机变量序列$(X_k)_{k\geq1}$，在$[0,1]$的Borel集上存在概率测度$μ$，使得$\bar X_n = n^{-1} \sum_{i=1}^n X_i$弱收敛到$μ$。对于一类在$(0,1)$上具有光滑密度的概率测度$μ$，我们给出了$1/n$阶的界，并给出了$\bar X_n$和$μ$之间Wasserstein距离的显式常数.这扩展了Goldstein和Reinert \cite{goldstein2013stein}最近的一个结果，该结果是关于在Pólya-Eggenberger瓮中绘制的白球的标度数与其极限分布之间的距离。我们还证明，在最一般的情况下，$\bar X_n$和$μ$的法律之间的距离是有界的$1/n$和以上的$1/\sqrt{n}$（一些乘法常数）。对于每一个$δ\in [1/2,1]$，我们给出一个可交换序列的例子，使得这个距离是$1/n^δ$阶的。
On the tradeoff between almost sure error tolerance and mean deviation frequency in martingale convergence
本文通过推广首个 Borel-Cantelli 引理的量化版本，在鞅收敛中刻画几乎必然误差容限与偏差频率之间的权衡，并应用于多个随机过程与统计估计量。
A functional central limit theorem for branching random walks, almost sure weak convergence, and applications to random trees
设$W_{\infty}(β)$是与具有平均子代数$m$的超临界分支随机游动相关联的Biggins鞅$W_n(β)$的极限。我们证明了一个功能中心极限定理，说明作为$n\to\infty$的过程$$ D_n(u):= m^{\frac 12 n} \left(W_{\infty}\left(\frac{u}{\sqrt n}\right) - W_{n}\left(\frac{u}{\sqrt n}\right) \right) $$收敛弱，在一个合适的空间的解析函数，高斯随机解析函数的随机方差。利用这个结果，我们证明了随机树的总路径长度的中心极限定理。在二叉搜索树的环境下，我们恢复了R. Neininger [精炼快速排序渐近，兰德。结构和算法，出现]，但我们也证明了一个类似的定理均匀随机递归树。此外，我们用几乎必然弱（a. s.w.）概率转移核的收敛性在二叉查找树的情况下，我们的结果表明，$$ L\left\{\sqrt{\frac{n}{2\log n}} \left(EPL_{\infty} - \frac{EPL_n-2n\log n}{n}\right)\Bigg | G_{n}\right\} \to \{ω\mapsto N_{0,1}\}, \quad \text{a.s.w.},$$其中$EPL_n$是具有$n$顶点的二叉查找树$X_n$的外部路径长度，$EPL…
Synchronization and functional central limit theorems for interacting reinforced random walks
本文得到了有限集上概率测度单形上一类非时齐相互作用随机游动的泛函形式的中心极限定理。由于强化机制，行走的增量是相关的，迫使它们收敛到相同的，可能是随机的极限。这种形式的随机游动已经在瓮模型和随机逼近中引入。我们还提出了一个应用程序的意见动态随机网络通过优先附件。我们研究，特别是，随机游动相互作用，通过平均场规则和比较的速度，他们收敛到他们的极限与同步率，即在他们的相互距离收敛到零的速度。在一定条件下，同步比收敛快。
On a memory game and preferential attachment graphs
在最近的一篇论文中，Velleman和Warrington分析了记忆游戏中一些参数的期望值，即游戏的长度、第一场比赛的等待时间和幸运移动的数量。在本文中，我们继续这一方向的调查，并获得这些参数的极限分布。更具体地说，我们证明，当适当规范化，这些数量收敛分布的正常，瑞利，泊松随机变量，分别。我们还建立了记忆游戏和偏好连接图模型之间的联系。特别是，作为一个产品，我们的方法，我们得到更简单的证明（虽然没有收敛速率）的Peköz，Röllin，和罗斯的一些结果的联合限制分布的前几个顶点的程度在优先附件图。为了证明对策长度是渐近正态的，我们的主要技术工具是多型广义Pólya瓮模型中球数的联合分布的一个极限结果.
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