Generalized complex structures and Lie brackets
Marius Crainic
我们期待在广义复结构从泊松和狄拉克几何的角度来看，我们注意到，令人困惑的方程的概念下的广义复结构有奇迹般地简单的意义时，通过李代数/群胚。
We look at generalized complex structures from the point of view of Poisson and Dirac geometry and we remark that the puzzling equations underlying the notion of generalized complex structure have miraculously simple meaning when passing to Lie algebroids/groupoids.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Prequantization and Lie brackets
我们首先描述了经典预量子化条件和与此问题相关的某个李代数体的可积性之间的关系，并利用这一关系给出了预量子化丛在道路空间中的整体构造（引言），然后我们用群胚来重新表述这个问题（第二节），然后我们研究了更一般的具有乘法2-形式的预量子化群胚问题（论文的其余部分）。
Deformations of Lie brackets: cohomological aspects
引入了李代数胚的一个新的上同调，证明了它提供了一个微分分次李代数，它“控制”了代数胚的结构括号的变形.我们也有一个更仔细地研究各种特殊情况，如李代数，泊松流形，叶状，李代数行动流形。
Integrability of Lie brackets
在本文中，我们提出了解决微分几何的一个长期问题：李代数胚的李第三定理。我们表明，可积性问题是由两个可计算的障碍。作为应用，我们推导，解释和改进已知的可积性结果，我们建立可积性的局部李群胚，我们澄清的光滑性的泊松σ模型的泊松流形，我们描述了其他几何应用。
Generalized n-Poisson brackets on a symplectic manifold
在辛流形上研究了一族与辛形式的幂有关的广义泊松括号.极端情况与哈密顿和刘维尔动力学有关。它表明，狄拉克括号可以得到以类似的方式。
On Poisson structures arising from a Lie group action
本文研究了流形上由李群作用引起的无穷维李代数及其相应的Poisson结构。若$G$是一个李群，$\g$是它的李代数，$M$是$G$作用于其上的流形，则从$M$到$\g$的光滑映射的集合至少有两个李代数结构，它们都满足成为李代数胚的性质。然后，我们可以应用马尔的{构造}来获得$M\times \g^*$上的光滑实值或复值函数集合上的泊松括号。在本文中，我们研究这些泊松括号。我们表明，一组例子包括标准的达布辛结构和经典的李泊松括号，但严格更大的一类泊松括号比这些。我们的研究包括相关的哈密顿流和它们的不变量，由李群作用诱导的正则映射，以及相容的泊松结构。我们的方法主要是计算，我们详细介绍了许多例子。我们的结果来自李括号，产生于考虑零曲率和常挠的丛上的连接。我们给出了一个替代推导的李括号，这将适合于应用程序的李群行动的应用程序不涉及黎曼度量。我们还开始研究的无限维泊松括号，这可能是通过考虑的李代数的中心扩张。
Canonical endomorphism field on a Lie algebra
证明了每个李代数都具有一个自然的$(1,1)$ -变张量场，即“正则自同态场”，它由李代数的结构自然决定，并且满足一定的Nijenhuis括号条件.这一观察可以被认为是对关于共伴轨道的辛几何的基里洛夫-科斯坦-苏里奥定理的补充。我们表明它的相关性经典力学，特别是拉克斯方程。证明了Lax向量场空间在李括号下是闭的，并引入了李代数上向量场的一个新括号。这个括号在向量场空间上定义了一个新的Lie结构。
Covariant Lie derivatives and Frölicher-Nijenhuis bracket on Lie Algebroids
定义了李代数胚上作用于向量值形式的协变李导数，并研究了它们的性质。这使我们能够得到一个简洁的公式Frölicher-Nijenhuis括号李代数胚。
Derived brackets
本文综述了微分几何、李代数体和柯朗代数体理论中导出括号的构造及其性质。我们回顾并比较了Buttin和Vinogradov的构造，证明了Vinogradov括号是导括号的斜对称化.奇数（分别为，超流形上的泊松括号是正则偶的导出括号（分别为，奇数）的余切丛上的泊松括号（分别，宇称反转余切丛）。李代数也有类似的性质，李代数胚理论一方面统一了对流形有效的结果，另一方面也统一了对李代数有效的结果。我们概述了派生括号中的“泊松结构与背景”的理论的作用。
Deformations of Lie brackets and representations up to homotopy
我们表明，表示同伦可以区分函子的方式。建立了一个van Est型同构定理，并利用它证明了Crainic和Moerdijk关于李括号变形的一个猜想.
On Extensions, Lie-Poisson Systems, and Dissipations
在\textit{extended structure}的对偶空间上，导出了两个相互作用的Lie-Poisson系统的集体运动方程。通过引入一个扭曲的2-上循环项，这种新的构造提供了Lie-Poisson系统耦合（去耦合）的最一般的实现。构造了2-上循环扩张的双交叉和（匹配对）。条件是确定这个双重交叉和是一个2-上循环扩张本身。在对偶空间上，计算了Lie-Poisson方程。我们给出了一些对称括号的双交叉和，如双括号，Cartan-Killing括号，Casimir耗散括号和Hamilton耗散括号。相应地，两个相互作用的不可逆动力学的集体运动，以及相互作用的metriplectic流，得到。三个例子说明了理论结果。作为一个无限维的物理模型，BBGKY层次的分解。作为有限维的例子，我们研究了两个海森堡代数的耦合和两个$3D$动力学副本的耦合。
Generalized double bracket vector fields
本文提出广义双括号向量场，将其推广至带伪黎曼度量的泊松流形，并用于哈密顿系统的平衡点渐近稳定化。
A connection whose curvature is the Lie bracket
设G是一个李群。在G的李代数上的平凡主G-丛上存在一个自然联络，其曲率为李括号。指数映射是由这个连接的并行传输给出的。如果G是流形的自同态群，则自然联络的曲率是流形上向量场的李括号。在定向曲面上滚动的球的运动是平凡SO（3）-丛上的相似联络在曲面上的平行输运。如果曲面是平面或球面，则联络的曲率是SO（3）的李代数中李括号的标量倍。
On local integration of Lie brackets
我们给出了一个直接的，明确的和自包含的局部李群胚集成一个给定的李代数体，它只依赖于一个喷雾向量场提升底层锚映射的选择。这一建设导致一个完整的帐户，当地李理论，特别是有限维证明的事实，即范畴的芽当地李群胚是等同于李代数胚。
Lectures on Integrability of Lie Brackets
这是在的里雅斯特举行的ICTP的2005年泊松几何暑期学校的一系列课程的讲义。
Local and global integrability of Lie brackets
本文综述了李代数胚的局部可积性和整体可积性，以及其上无穷小乘法几何结构的可积性。
Deformations of Linear Lie Brackets
VB-代数胚是李代数胚范畴中的向量丛对象。我们附加到每个VB-代数体的微分分次李代数，我们表明，它控制变形的VB-代数体结构。几个例子和应用进行了讨论。这是第一次在一系列文件致力于变形的向量丛和相关结构的可微堆栈。
A Lie Bracket on the Space of (Right) Biderivations of a Lie Algebra
本文研究李代数的右双导子，在其空间上引入李括号以探索代数与几何性质，通过对称与反对称情形分析左右括号相互作用构建连贯框架，并着手构建对应李群，为高阶导子提供新视角。
Higher Derived Brackets for Arbitrary Derivations
我们介绍并研究了李超代数的一个（不一定是内部的）导子所产生的高导括号的构造。李超代数的元素生成的高导括号在我们的早期工作中被引入。高阶派生括号的例子自然出现在几何和数学物理中。从一个完全不同的观点，我们表明，高导括号出现时，要把包含映射的子代数微分李超代数，与给定的互补子代数，成纤维化。(For一个非阿贝尔补子代数，这导致了括号的对称性被丢弃或减弱的$L_{\infty}$ -代数的推广。）
The sh Lie structure of Poisson brackets in field theory
给出了由李代数的同调分解构造sh李代数的一般方法。它适用于空间的局部泛函配备了泊松括号，引起了括号的局部功能沿线建议的凝胶'fand，Dickey和Dorfman。通过这种方式，构造了更高阶的映射，这些映射组合起来形成水平形式的分次微分代数上的sh李代数。同样的构造也适用于场论中的分次括号，如哈密顿BRST理论的Batalin-Fradkin-Vilkovisky括号或Batalin-Vilkovisky反括号。
Jacobi structures revisited
引入了Jacobi代数胚，即与向量丛相关的Grassmann代数上的分次李括号，它满足与Jacobi括号类似的性质.它们在伊格莱西亚斯和马雷罗意义上等价于广义李代数胚，并且也可以看作是与向量丛相关的超流形上的奇Jacobi括号。Jacobi双代数胚也以同样的方式定义。在保持相应括号的向量丛的全空间上，给出了Grassmann代数的元素到多向量场的提升过程。这就给出了在Kirillov意义下正则地将一个李代数胚与任何局部李代数联系起来的可能性。
Dispersive deformations of the Hamiltonian structure of Euler's equations
二维系统的欧拉方程可以写成哈密顿形式，其中泊松括号是与无发散向量场的李代数相关联的李-泊松括号。我们展示了如何推导出泊松括号的二维流体力学的理想流体作为一个减少从一个相关的全代数的矢量场。受最近关于向量场的Lie-Poisson括号变形的一些结果的启发，我们研究了欧拉方程的Poisson括号的色散变形，并证明了在二阶以下，它们是平凡的.
Tangent and cotangent lifts and graded Lie algebras associated with Lie algebroids
对任意李代数体定义了广义Schouten、Froelicher-Nijenhuis和Froelicher-Richardson括号。引入并讨论了李代数胚的切升和余切升，并研究了相关分次李括号在这些升下的行为。在切丛上的标准李代数胚的情形下，得到了Froelicher-Nijenhuis括号和对称Schouten括号的一个新的公共推广，以及Nijenhuis-Richardson括号和Froelicher-Nijenhuis括号在Schouten括号中的嵌入.
Lie groupoids and the Frolicher-Nijenhuis bracket
本文研究李群胚上的乘法向量值形式，证明其关于Frolicher-Nijenhuis括号自然构成分次李子代数，并给出该类形式的多种实例与刻画方式，拓展了相关分次李代数结构的研究范畴。
Extensions of Lie Brackets
我们提供了一个框架的扩展李代数胚，包括非交换扩展和李代数胚在不同的基础。我们的方法涉及Ehresmann连接，它允许直接概括的经典结构。我们展示了过滤上同调和解释相关的谱序列。我们还给出了一个描述的广群集成的情况下，一个完整的连接可以固定的扩展。还研究了可积性问题。
Lie brackets on affine bundles
基于微分几何和分析力学中的自然例子，研究仿射丛上李括号的自然类似物。特别是，李代数体的密切关系，并通过一种对偶，仿射类似物的泊松结构建立以及仿射版本的完整的一节和Cartan外部演算的电梯。
Single Lie Brackets on Closed Manifolds
本文证明闭光滑流形上每个光滑向量场均可表示为两个光滑向量场的李括号，通过有限输运与横截图延拓构造，并推论余切丛上纤维线性函数的泊松括号性质。
Lie brackets of nonsmooth vector fields and commutation of their flows
众所周知，如果两个光滑向量场的李括号为零，则这两个光滑向量场所产生的流是可交换的。这一断言被认为可以推广到Lipschitz连续向量场，直到解释它们的李括号在几乎处处相等的意义上消失。我们表明，这不能扩展到一般a.e.。容许a.e.的可微向量场独特的流动。然而，我们表明，扩展时，一个字段是Lipschitz连续的，另一个仅仅是索伯列夫经常（但承认经常拉格朗日流）。
Crossed modules and the integrability of Lie brackets
我们证明了传递李代数胚的可积性障碍与自然地与给定代数胚相关联的群胚的交叉模的提升障碍是一致的。然后将这个结果推广到可积传递李代数胚通过李代数丛的一般扩张。这种提升障碍与传递李群胚扩张的分类直接相关。我们也给出了这样的扩展，区别于\cite{KCHM:new}中讨论的传递李代数胚的分类分类。
Exterior Differentials in Superspace and Poisson Brackets
它表明，两个定义的外微分在超空间中，给出相同的外部演算，但导致不同的结果时，适用于泊松括号。借助这些外微分，给出了从给定的确定格拉斯曼宇称的泊松括号到另一个括号的过渡的处方。它还表明，由此产生的括号导致推广的Schouten-Nijenhuis括号的情况下，超空间和括号的不同格拉斯曼宇称。它表明，在格拉斯曼奇外部微分的情况下，所产生的括号是括号上给出的外部形式。上面提到的过渡与应用到线性偶/奇泊松括号的奇外微分的使用，对应于半单李群，结果，分别在也是线性奇/偶括号自然连接的李超代数。后者包含BRST和反BRST电荷，可用于计算BRST算子上同调。
The Schouten-Nijenhuis bracket, codifferential of products and generalized interior products of $p$-forms
本文汇集了微分几何中涉及常用微分算子（如李导数和Schouten-Nijenhuis括号）的de Rham余微分恒等式，并利用内积的自然扩展提出新公式，提供了一份紧凑实用的总结。
Random Lie Brackets that Induce Torsion: A Model for Noisy Vector Fields
定义并研究了一个在期望中诱导挠率的随机李括号。几乎所有流形上的随机分析都假设平行输运。从数学上讲，这个假设是非常合理的。然而，在许多应用几何和图形问题中，并行传输是无法实现的，由于噪声的影响，“坐标变换”并不精确。我们制定了一个随机模型的流形上的平行运输不成立，并分析了这个模型的后果，在黎曼几何研究的经典数量。我们首先定义了一个随机李括号，诱导随机共变导数。然后，我们研究的随机共变导数隐含的连接，并注意到，随机李括号诱导扭转。然后，我们陈述诱导随机测地线方程和一个随机微分方程的平行运输。我们还推导出我们的建设和随机Laplace-Beltrami算子的曲率张量。最后，我们讨论了我们的建设的动机和相关性。
The bracket of the exceptional Lie algebra E8
基于三重性与八八元数，研究E8李代数的括号公式，并推导E6、E7子代数及F4的26维不可约表示公式。
Nambu-Lie Groups
我们将Nambu括号扩展到1-形式。在Poisson-Lie情形下，我们定义Nambu-李群为具有乘法Nambu结构的李群。具有Nambu结构P的李群G是Nambu-李群当且仅当P=0且左（右）不变形式的Nambu括号是左（右）不变的.定义了Nambu-李代数的相应概念。我们给出了Nambu-李群和代数的几个例子。
Super homologies associated with low dimensional Lie algebras
流形上的泊松结构由Schouten括号刻画。带有Schouten括号的切丛的分次代数是李超代数的原型。Poisson条件是指2-链空间中的一个圈。给定一个分次李超代数，其0-分次子空间是一个李代数。本文以带有Schouten括号的切丛的DGA为模型，从抽象李代数出发，利用Schouten类括号构造非平凡李超代数.那么很自然地要问核心李代数是如何控制李超代数的。这里的一个尝试是研究超同调群的贝蒂数。由于交换李代数的边界算子是平凡的，所以我们研究了维数小于4的低维非交换李代数的超同调群。
Courant algebroids, derived brackets and even symplectic supermanifolds
在这篇论文中，我们研究了Courant代数胚，它最早出现在T。柯朗对狄拉克结构的研究他们后来研究了刘，温斯坦和徐谁使用柯朗代数胚推广的概念Drinfeld双李双代数胚。作为理解柯朗代数体的复杂性质的第一步，我们解释他们通过关联到每个柯朗代数体的强同伦李代数在一个自然的方式。其次，我们提出了偶辛流形上李双代数胚作为同调哈密顿向量场的二重化的另一种构造方法。经典的BRST复形和Weil代数作为特例出现。通过导出的括号构造，我们恢复了Courant代数胚，并给出了Liu，Weinstein和Xu的加倍定理的一个简单证明。我们还介绍了一个推广，准李双代数，类似于德林费尔德的准李双代数，我们表明，在这种情况下，派生括号建设也产生了柯朗代数。最后，我们计算了S^2上单参数SU（2）-协变泊松结构族的泊松上同调。作为一个应用程序，我们表明，这些结构是非平凡的变形对方，他们不承认重新缩放。
The Schouten-Nijenhuis bracket, cohomology and generalized Poisson structures
新引入的广义泊松结构的基础上适当的反对称逆变张量的偶数阶的Schouten-Nijenhuis括号进行了讨论。相关的“雅可比恒等式”表示为这些张量的条件，其中给出了上同调的内容。特别地，我们确定了可以在单李代数的对偶空间上构造的线性广义Poisson结构。
Rankin-Cohen brackets for orthogonal Lie algebras and bilinear conformally invariant differential operators
本文利用代数傅里叶变换的李理论方法，分类了正交李代数情形下标量广义Verma模对角分支规则中的奇异向量，并应用于分类共形球面上的双线性共形不变微分算子。
Euler number and Betti numbers of homology groups of pre Lie superalgebra
首先回顾了prer李超代数的同调群。然后引入双权链空间，讨论了n维数空间上系数为多项式的多向量场的准李超代数。括号是Schouten括号。本文给出了一类特殊的准李超代数的同调群的欧拉数和贝蒂数的几个结果。
Generalized Ricci flow on nilpotent Lie groups
本文在M的定义基础上，定义了精确Courant代数体上广义里奇流的孤子。加西亚·费尔南德斯和J·斯特里特然后，我们定义了一个家庭的流左不变Dorfman括号上的一个精确的柯朗代数体在一个单连通幂零李群，推广的括号流幂零李括号的方式，可能使这个新的家庭的流有用的广义几何流的研究，如广义里奇流。我们提供了明确的例子，这两个建设的海森堡群。我们还讨论了海森堡群上广义里奇流的解。
The Z_2-graded Schouten-Nijenhuis bracket and generalized super-Poisson structures
引入了超阶或Z_2阶Schouten-Nijenhuis括号。利用它，我们找到了新的广义超Poisson结构，它们是由某些偶数阶的分次反对称反变张量Λ给出的。相应的超“雅可比恒等式”表示为：这些张量具有零个超Schouten-Nijenhuis括号，且它们自身[Λ，Λ]=0。作为一种特殊情况，我们给出了线性广义超Poisson结构，它可以构造在具有非退化Killing度量的单超代数的对偶空间上。给出了su（3，1）超代数的一般例子.
A Note on the Schouten--Nijenhuis Bracket of Lie--Rinehart Algebras
本文从分级微分角度重新考察 Lie--Rinehart 代数上的 Schouten--Nijenhuis 括号，证明其良定义性、相关恒等式及 Gerstenhaber 括号与 Lie--Rinehart 结构的一一对应。
Lie Algebroids as Gauge Symmetries in Topological Field Theories
李代数胚是李代数的推广。他们出现，特别是作为一种数学工具，在调查的动力系统与第一类约束。在这里，我们考虑一类特殊的李代数胚生成的哈密顿系统的正则对称性。哈密顿相空间的"坐标部分“是泊松流形$M$，李代数体括号是通过泊松双向量定义的。定义在$M$上的李代数体作用可以提升到相空间。主要的观察是，经典的BRST算子具有相同的形式，在李群作用的情况下。分析了两个实例。在第一种情形中，$M$是带有Adler-Gelfand-Dikii括号的Riemann曲线上的$SL(3,C)$ -算子空间。相应的哈密顿系统是$W_3$ -引力。它的相空间是代数体丛的基。丛的截面是黎曼曲线上的二阶微分算子。它们是理论的规范对称性。黎曼曲线的$W_3$几何的模空间是关于它们的作用的辛商。证明了非线性括号和二阶微分算子是由Chern-Simons场论中的正则括号和标准规范变换产生的，是部分规范固定的结果.第二个例子是带有Sklyanin括号的$M=C^4$。关于代数体作用的辛约化导致了有理Calogero-Moser模型的推广。正如在前面的例子中，Sklyanin括号可以从“自由理论”中推导出来。在这种情况下，它是$SL(2,C)$希格斯束在椭圆曲线上的“相对论变形”。
Compatibility, multi-brackets and integrability of systems of PDEs
利用某些多括号的微分算子，建立了广义完全交型系统的一个有效的相容准则。这些多重括号推广了更高的Jacobi-Mayer括号，这在发展方程和可积性问题的研究中很重要。我们还计算了广义完全交的Spencer δ-上同调，并估计了解空间的形式泛函维数。结果被应用于建立新的积分方法和解决几个微分几何问题。
On the history of Lie brackets, crossed modules, and Lie-Rinehart algebras
这里的目的是勾勒出与括号和类似概念相关的思想的发展：由于博士霍尔的一些纯群论组合学导致了同伦理论中怀特海产品的雅可比恒等式的证明。Whitehead引入了交叉模来刻画第二个相对同伦群;在组合群论的指导下，Reidemeister和Peiffer探索了这种结构来开发3-流形分解的标准形式;但是交叉模也潜伏在图灵对群的扩张问题的一种被遗忘的方法后面：图灵炮制了障碍3-cocycle隔离后，由艾伦伯格-麦克巷，并已证明了艾伦伯格-麦克巷定理的效果，消失类的cocycle是等价的存在一个解决方案，为相应的扩展问题。这个图灵上循环与后来被称为Teichmueller上循环的东西有关。有一个平行的发展李代数包括一个被遗忘的文件戈德堡，同样，李莱因哈特代数和李代数。在这种情况下，图灵定理的版本被发现了好几次，很少有相互关系的暗示。此外，李-莱因哈特代数长期以来一直出现在微分代数的文献中，至少是隐式的。
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