Computing the writhe of a knot
David Cimasoni
研究了闭空间曲线在不同投影下的Tait数的变化。将所得结果用于计算节点的扭转，得到了多边形曲线情况下的闭公式。
We study the variation of the Tait number of a closed space curve according to its different projections. The results are used to compute the writhe of a knot, leading to a closed formula in case of polygonal curves.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Multivariate writhe polynomial of multi-virtual knots
将拧扭多项式不变量从虚拟纽结推广到多虚拟纽结，并解答了[16]中的若干问题。
We give a new interpretation of the Alexander polynomial $Δ_0$ for virtual knots due to Sawollek and Silver and Williams, and use it to show that, for any virtual knot, $Δ_0$ determines the writhe polynomial of Cheng and Gao (equivalently, Kauffman's affine index polynomial). We also use it to define a second-order writhe polynomial, and give some applications.
The writhe polynomial is a fundamental invariant of an oriented virtual knot. We introduce a kind of local moves for oriented virtual knots called shell moves. The first aim of this paper is to prove that two oriented virtual knots have the same writhe polynomial if and only if they are related by a finite sequence of shell moves. The second aim of this paper is to classify oriented $2$-component virtual links up to shell moves by using several invariants of virtual links.
Writhes and $2k$-moves for virtual knots
本文研究了虚拟结的 $2k$-移动，证明了通过该移动相关的虚拟结的 $n$-绞拧数和奇绞拧数分别满足模 $k$ 和模 $2k$ 的同余关系，并给出了奇绞拧数模 $2k$ 同余类相同的充要条件。
Ropelength and writhe quantization of 12-crossing knots
本文测量了2176个12交叉结的绳长，发现紧致交错结和非交错结的空间缠绕数分别呈现接近4/7和4/3倍数的量子化现象，并揭示了绳长与双曲体积、空间缠绕数与Rasmussen s不变量的正相关性。
Conformal invariance of the writhe of a knot
本文对Banchoff和White（1975）提出的一个旧定理给出了新的证明，该定理认为纽结的扭转是共形不变的.
The space writhes and signatures of polymer knots
本文通过半柔性聚合物纽结的Langevin动力学模拟，发现平均空间环绕数近似等于最紧致构型的空间环绕数，并据此证明在多达38个交叉的复杂纽结中空间环绕数与符号差强相关。
We introduce and study the writhe of a permutation, a circular variant of the well-known inversion number. This simple permutation statistics has several interpretations, which lead to some interesting properties. For a permutation sampled uniformly at random, we study the asymptotics of the writhe, and obtain a non-Gaussian limit distribution. This work is motivated by the study of random knots. A model for random framed knots is described, which refines the Petaluma model. The distribution of the framing in this model is equivalent to the writhe of random permutations.
Intersection graph and writhe polynomial
本文建立虚拟纽结相交图等价性与拧数多项式相等之间的充要条件，揭示二者的一一对应关系。
It has long been known that the quadratic term in the degree of the colored Jones polynomial of a knot is bounded above in terms of the crossing number of the knot. We show that this bound is sharp if and only if the knot is adequate. As an application of our result we determine the crossing numbers of broad families of non-adequate prime satellite knots. More specifically, we exhibit minimal crossing number diagrams for untwisted Whitehead doubles of zero-writhe adequate knots. This allows us to determine the crossing number of untwisted Whitehead doubles of any amphicheiral adequate knot, in…
We model the typical behavior of knots and links using grid diagrams. Links are ubiquitous in the sciences, and their "normal" or "typical" behavior is of significant importance in understanding situations such as the topological state of DNA or the statistical mechanics of ring polymers. We examine three invariants: the expected size of a random knot; the expected number of components of a random link; and the expected writhe of a random knot. We investigate the first two numerically and produce generating functions which codify the observed patterns: knot size is uniformly distributed and li…
Real algebraic knots of low degree
本文研究了$\R P^3$中的有理实代数纽结。证明了两个实代数纽结$\leq5$是刚性同位的当且仅当它们的次数和复圈相等。我们还表明，任何不可约光滑结，承认一个平面投影小于或等于四个交叉有一个合理的参数化程度$\leq 6$。此外，一个显式的建设合理的纽结的一个给定的程度与任意encomplexed扭（受自然的限制）。
Classification of $2$-component virtual links up to $Ξ$-moves
本文通过改进奇缠绕数和链环数，将Taniguchi等人关于$Ξ$-移动刻画虚纽结奇缠绕数的结果扩展，完成了$Ξ$-移动下$2$-分支虚链环的分类。
Subspaces of Knot Spaces
把一个特定的合痕类中的一个给定扭的所有纽结的空间包含到该合痕类中的所有纽结的空间中是一个弱同伦等价。
On the crossing number of positive knots and braids and braid index criteria of Jones and Morton-Williams-Franks
我们给出了一些不寻常的性质的交叉数的正图或股数的正辫表示的结的例子。特别是，我们表明，积极的编织结可能没有积极的最小（股数）编织表示，给对方的结果，弗兰克-威廉姆斯和Murasugi。其他的例子回答了克伦威尔关于齐次和（部分）亚当斯关于几乎交替结的问题。我们给出了一个反例，并纠正版本的琼斯定理的亚历山大多项式的4-辫子结。我们还给出了一个结的例子，所有以前应用的编织指数标准未能估计急剧（从下面）的编织指数。之间的关系（推广）这样的例子和琼斯的猜想，最小的辫子表示有独特的writhe的讨论。最后，我们给出了一个反例莫顿猜想有关的亏格和次数的绞多项式。
The Slope Conjecture proposed by Garoufalidis asserts that the degree of the colored Jones polynomial determines a boundary slope, and its refinement, the Strong Slope Conjecture proposed by Kalfagianni and Tran asserts that the linear term in the degree determines the topology of an essential surface that satisfies the Slope Conjecture. Under certain hypotheses, we show that Mazur doubles of knots satisfy the Strong Slope Conjecture if the original knot does. Consequently, any knot obtained by a finite sequence of cabling, untwisted w--generalized Whitehead doublings with w > 0, connected sum…
Minimal unknotting sequences of Reidemeister moves containing unmatched RII moves
Arnold为一般平面曲线引入了不变量$J^+$、$J^-$和$St$。已知$J^+ /2 + St$和$J^- /2 + St$都是通用球面曲线的不变量。将这些不变量应用于纽结图的基础曲线，我们可以得到用于Uknotting的Reidemeister移动数目的下界。$J^- /2 + St$适用于不匹配的RII移动。然而，它只对RI移动起一半作用。令$w$表示纽结图的扭转。我们表明，$J^- /2 + St \pm w/2$也适用于RI移动，并证明它给出了一个精确的估计，为一定的结图的unknot与潜在的曲线$r = 2 + \cos (n θ/(n+1)),\ (0 \le θ\le 2(n+1)π$）。
Some properties of simple minimal knots
最小纽结是$\mathbb{R}^4$ $\mathbb{C}^2 $中拓扑嵌入的分支最小圆盘与以分支点为中心的小球体的交点。当在$\mathbb{C}^2$中嵌入圆盘的每个坐标分量中的最低阶项足以确定纽结类型时，我们讨论一个简单的极小纽结。这样一个结由三个整数$N < p,q$给出;用$K(N,p,q)$表示，它可以在圆柱体中参数化为$e^{iθ}\mapsto (e^{Niθ},\sin qθ,\cos pθ)$。从这个表达式中可以得到$K(N,p,q)$作为$N$辫子的自然表示。本文给出了它的扭数即交叉点的符号数的计算公式，并导出了它的拓扑推论。我们还表明，如果$q$和$p$不是互质的，$K(N,p,q)$是周期的。简单极小纽结是环面纽结的推广。
The genus of satellite tunnel number one knots and torti-rational knots is computed using the tools introduced by Floyd and Hatcher. An implementation of an algorithm is given to compute genus and slopes of minimal genus Seifert surfaces for such knots.
A ribbon is, intuitively, a smooth mapping of an annulus $S^1 \times I$ in 3-space having constant width $\varepsilon$. This can be formalized as a triple $(x,\varepsilon, \mathbf{u})$ where $x$ is smooth curve in 3-space and $\mathbf{u}$ is a unit vector field based along $x$. In the 1960s and 1970s, G. Calugareanu, G. H. White, and F. B. Fuller proved relationships between the geometry and topology of thin ribbons, in particular the "Link = Twist + Writhe" theorem that has been applied to help understand properties of double-stranded DNA. Although ribbons of small width have been studied ext…
Computing the rho-invariants of links via the signature of colored links with applications to the linear independence of twist knots
我们使用Cimasoni-Florens定义的链接不变量来计算ρ-不变量。这将Cochran-Teichner和Friedl关于结的结果推广到了链接的设置。作为应用，我们证明了只有12个可能的例外，代数阶为2的扭结是线性无关的拓扑协调组。
Computing Chebyshev knot diagrams
切比雪夫曲线C（a，b，c，n）具有以下形式的参数化：x（t）=Ta（t）; y（t）=T_b（t）; z（t）= Tc（t + n），其中a、b、c是整数，Tn（t）是n次切比雪夫多项式，并且Tn（t）是\in \RR。当C（a，b，c，n）没有二重点时，它定义了一个多项式纽结。当a，b和c已知时，我们确定所有可能的纽结.
In this paper we use artificial neural networks to predict and help compute the values of certain knot invariants. In particular, we show that neural networks are able to predict when a knot is quasipositive with a high degree of accuracy. Given a knot with unknown quasipositivity we use these predictions to identify braid representatives that are likely to be quasipositive, which we then subject to further testing to verify. Using these techniques we identify 84 new quasipositive 11 and 12-crossing knots. Furthermore, we show that neural networks are also able to predict and help compute the …
Kjuchukova's $Ξ_p$ invariant gives a ribbon obstruction for Fox $p$-colored knots. The invariant is derived from dihedral branched covers of 4-manifolds, and is needed to calculate the signatures of these covers, when singularities on the branching sets are present. In this note, we give an algorithm for evaluating $Ξ_p$ from a colored knot diagram, and compute a couple of examples.
Computing the unknotting numbers of certain pretzel knots
我们计算了两个无限族的椒盐卷饼结的解结数，$P(3,1,\dots,1,b)$（$b$为正且奇数，1为奇数）和$P(3,3,3c)$（$c$为正且奇数）。为此，我们在Lickorish和Millett工作的基础上，使用Donaldson对角化定理扩展了Owens的技术，以及使用Jones多项式扩展了Traczyk的技术。
On computing higher-order Alexander modules of knots
Cochran定义了三球面上纽结的n阶积分Alexander模为纽结的（n+1）阶迭代阿贝尔覆盖的第一个同调群。n=0的情形给出经典的Alexander模（和多项式）。通过局部化，得到了主理想整环上的一个非线性表示模，并由此得到了高阶Alexander多项式。我们提出了一个算法来计算一阶亚历山大模的任何结。作为应用，我们表明，这些高阶亚历山大多项式提供了一个更好的约束比经典的亚历山大多项式的结属，他们检测突变。该算法还解决了Z[Z]-模中的字问题.
Knot Floer homology and the fundamental group of $ (1,1) $ knots
本文提出一种算法，可从$ (1,1) $纽结基本群的特定展示计算其纽结Floer同调。
By using grid homology theory, we give an explicit algorithm for computing Ozsváth-Stipsicz-Szabó's $Υ$-invariant and the $d$-invariant of Dehn surgeries along knots in $S^3$. As its application, we compute the two invariants for all prime knots with up to 11 crossings.
Fixed-parameter tractable computation of Reshetikhin--Turaev knot polynomials via tensor networks
本文通过张量网络上的张量收缩分析Reshetikhin-Turaev扭结多项式的时间复杂度，证明其关于输入扭结图树宽的线性参数是固定参数可处理的，并结合树分解近似算法恢复亚指数时间界。
Algorithms for Computing Invariants of Trisected Branched Covers
本文提出了一种计算三重分支覆盖不变量的算法，应用于多个结的覆盖和同伦-ribbon障碍计算。
Effective computation of knot Floer homology
我们扩展了Beliakova的方法计算结弗洛尔同调，并在一个公开的计算机程序中实现它。我们回顾了主要的编程和最优化方法使用。我们的程序，然后用来检查的弗洛尔同调的一个素数非交替结与小于12交叉没有扭转。
Natural Moves for Knots and Links
我们提出了一些自然的概括Reidemeister移动，不增加生成的图中的交叉点的数量。实验结果使我们猜想这类单调移动对于计算标准形进而判定合痕是完备的。
Computing Knot Floer Homology in Cyclic Branched Covers
我们使用网格图给出了一个计算纽结K在其m重循环分支覆盖Sigma^m（K）中拉回的纽结弗洛尔同调的组合算法，并且当m=2时，我们给出了50多个三桥纽结的计算结果，最多可达11个交叉点.
A virtual knot that has a homologically trivial representative $\mathscr{K}$ in a thickened surface $Σ\times [0,1]$ is said to be an almost classical (AC) knot. $\mathscr{K}$ then bounds a Seifert surface $F\subset Σ\times [0,1]$. Seifert surfaces of AC knots are useful for computing concordance invariants and slice obstructions. However, Seifert surfaces in $Σ\times [0,1]$ are difficult to construct. Here we introduce virtual Seifert surfaces of AC knots. These are planar figures representing $F \subset Σ\times [0,1]$. An algorithm for constructing a virtual Seifert surface from a Gauss diagr…
Ropelength-Filtered Essential Surface Spaces
该研究为纽结外部本质曲面建立几何有限性理论，通过构造有界规范分层码等方法，证明有界几何切片的同痕类有限，拓扑可由有限几何数据恢复，还得出扭结窗口等结果且框架无需三角剖分，补充了多种理论方法。
This paper explores the interactions between knot theory and quantum computing. On one side, knot theory has been used to create models of quantum computing, and on the other, it is a source of computational problems. Knot theory is often used to introduce topological idea to people without a formal mathematical background, and we are building on this tradition to discuss some of the deeper ideas of quantum computing.
Using the HOMFLY-PT polynomial to compute knot types
本文介绍了利用 HOMFLY-PT 多项式和公开 Linux 免费软件从三维坐标计算纽结类型的方法，并提供了其在交叉数不超过 16 的纽结上的有效性数据。
Mirror-Curves and Knot Mosaics
受量子纽结和纽结镶嵌[23]以及Heegaard-Floer纽结同调[2，3，7，24]计算中广泛使用的网格图（或弧表示）的启发，我们通过镜像曲线构造了纽结镶嵌和网格图的更简洁表示。驯服纽结理论等同于纽结镶嵌图[23]、镜像曲线和网格图[3，7，22，24]。因此，我们介绍代码的镜像曲线视为结或链接图放置在矩形正方形网格，适合于软件实现。我们提供了从大小为3x 3和px 2（p<5）的矩形网格获得的节点和连接的最小镜像曲线代码表，并描述了直接从镜像曲线表示计算考夫曼括号和L多项式的有效算法[18，19，20]。
The ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-character variety of an arborescent knot
本文给出计算树状结的 ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-特征簇的方法，澄清树状缠结表示的性质，并证明一族双曲结的特征簇维数为1，正面回答了Boyer与Zhang在1998年提出的问题。
Computing Finite Type Invariants Efficiently
本研究提出一种高效计算k型有限型不变量的算法，通过构建以并矢区间索引的子图查找表，将n交叉点纽结的计算时间复杂度从原最优的Õ(n^k)降至Õ(n^⌈k/2⌉)，显著提升了计算效率。
Computing closed essential surfaces in knot complements
我们提出了一个新的，实用的算法来测试是否一个结补包含一个封闭的本质曲面。这个属性具有重要的理论和算法后果;然而，系统地测试它到目前为止是不可行的缓慢，目前的技术只适用于特定的家庭结。作为其实用性的证明，我们运行的算法在一个全面的身体2979结，包括两个20交叉十二面体结，产生的结果是以前不知道的。该算法源自原始的Escherich-Oertel框架，涉及枚举和优化程序，并结合了正常表面理论的几种技术。这代表了法向曲面理论在实际应用中的重大进展，因为我们可以系统地解决重要输入的理论上的双指数时间问题。我们的方法是相关的其他困难的计算问题，在3-流形理论，从测试哈肯尼斯识别问题的结，链接和3-流形。
Computing Homology Invariants of Legendrian Knots
勒让德纽结L的Chekanov-Eliashberg微分分次代数是勒让德纽结不变量的丰富来源，生成族理论也是如此。契卡诺夫-埃利亚什伯格代数的增广的同调群的集合P（L）是一个不变量，就像生成族理论中称为分次正规规则的对象的计数一样。这篇文章给出了两个结果证明有用的计算同调群的增广使用组合解释的生成家庭称为莫尔斯复杂的序列。首先，我们证明如果L在xz平面上的投影正好有4个尖点，那么|P（L）|小于或等于1。其次，我们证明了由Ng和Sabloff定义的增广与分次正规规则之间的多对一映射所关联的两个增广与同一分次正规规则不一定有同构的同调群。
Computing the crosscap number of a knot using integer programming and normal surfaces
纽结的交叉数是描述纽结所围最小亏格的不可可定向曲面的不变量。不像纽结亏格（它的可定向对应物），crosscap数很难计算，也没有通用的算法。我们提出了三种方法计算crosscap数，提供不同的精度和速度之间的权衡：（i）基于希尔伯特基枚举的算法和（ii）基于精确整数规划的算法，这两种算法都可以精确地计算解决方案或将其减少到两个可能的值，以及（iii）快速但有限的精度整数规划算法，从上面的解决方案。前两个算法推进了理论上的最新技术，但对于实际使用仍然是棘手的。第三种算法是快速和有效的，我们在一个实际的设置，使显着的改进，以目前的知识，在结表中的crosscap数。我们的整数规划框架是通用的，在计算几何和拓扑学的进一步应用的潜力。
Braids and combinatorial knot Floer homology
我们提出了一个辫子理论的方法来组合计算结弗洛尔同调。对于一个纽结或链环K，它是围绕（S^3，S^3_std）的标准圆盘开卷分解编织的，我们将一个对应的多点尼斯Heegaard图关联起来。然后，我们描述了一个明确的算法计算相关的结弗洛尔同调组。我们计算明确的界限，我们的算法的计算复杂性，并表明，在许多情况下，它是显着快于以前的方法，使用网格图。
A New Way to Compute the Thurston-Bennequin Number
建立了$\mathbb{H}^2 \times S^1$中一般纽结的几个易于计算的数值不变量之间的关系，并利用它给出了计算紧接触$\mathbb{R}^3$中勒让德纽结的Thurston-Bennequin数的一种新方法.
Previous work used polygonal realizations of knots to reduce the problem of computing the superbridge number of a realization to a linear programming problem, leading to new sharp upper bounds on the superbridge index of a number of knots. The present work extends this technique to polygonal realizations with an odd number of edges and determines the exact superbridge index of many new knots, including the majority of the 9-crossing knots for which it was previously unknown and, for the first time, several 12-crossing knots. Interestingly, at least half of these superbridge-minimizing polygona…
A knot is a circle piecewise-linearly embedded into the 3-sphere. The topology of a knot is intimately related to that of its exterior, which is the complement of an open regular neighborhood of the knot. Knots are typically encoded by planar diagrams, whereas their exteriors, which are compact 3-manifolds with torus boundary, are encoded by triangulations. Here, we give the first practical algorithm for finding a diagram of a knot given a triangulation of its exterior. Our method applies to links as well as knots, allows us to recover links with hundreds of crossings. We use it to find the fi…
Computing closed essential surfaces in 3-manifolds
本文提出一种基于Jaco-Oertel框架的实用算法，用于测试三角剖分3-流形是否包含闭本质曲面，并在大量流形上验证得到新结果，方法亦适用于纽结与3-流形识别等计算难题。
Integer inequalities between knot invariants, skein tree depth and delta-crossing numbers
本文研究了结不变量、skein树深度和delta交叉数之间的整数不等式，通过理论和计算结果证明了新的上界，并给出了新的下界，同时提供了未确定的结和链的skein树深度表。
Closed 4-braids and the Jones unknot conjecture
针对Jones纽结猜想中4股辫子情形的未解问题，研究发现一族以拧数为参数、可能对应非平凡纽结的双变量HOMFLY-PT多项式（其Jones多项式平凡），探究其性质并提出检验方法与多股推广思路。
GLC actors, artificial chemical connectomes, topological issues and knots
基于图形lambda演算，我们提出了一个基于Hewitt Actor模型的异步分布式计算模型的实现方案，以及如何将λ演算与纽结代数学相结合的研究思路.
Topology of two-connected graphs and homology of spaces of knots
本文基于位形空间和二连通图的拓扑结构，提出了一种计算$\R^n$中结点空间的上同调群的新方法$n \ge 3$，并计算了所有这类$\R^3$阶.更一般地说，对于任何有限阶的节点空间的上同调类，我们定义它的主象征，它位于某个有限维配置空间的上同调群中，并以更小滤子的类为模来刻画我们的类。
Legendrian grid number one knots and augmentations of their differential algebras
本文研究紧透镜空间中Legendrian纽结的微分分次代数（DGA）不变量。给定一个网格编号为一个结在L（p，q）的图，我们展示了如何构建一个特殊的拉格朗日图适合于计算DGA不变的勒让德结指定的图。然后，我们专门为L（p，p - 1），并表明，对于两个家庭的结，存在的DGA的扩增仅取决于p的值。
We give an explicit formula to compute the rotation number of a nullhomologous Legendrian knot in contact (1/n)-surgery diagrams along Legendrian links and obtain a corresponding result for the self-linking number of transverse knots. Moreover, we extend the formula by Ding-Geiges-Stipsicz for computing the d3-invariant to (1/n)-surgeries.
Computing rotation numbers in open books
本文提出了一种计算开书页上Legendrian结旋转数的算法，并推导了相关接触结构的不变量新公式。
Computing the Thurston-Bennequin invariant in open books
本文提出了一种计算开书页面上Legendrian结Thurston-Bennequin不变量的算法，并扩展到任意3流形中的有理无缠绕结。
On the holomorphic point of view in the theory of quantum knot invariants
在本文中，我们描述的进展建设的Witten-Reshetikhin-Turaev理论的结不变量从几何的角度来看。这是从作者与A. Uribe的方法，该方法将环上平坦SU（2）-联络的模空间的量子群与Weyl量子化联系起来。强调了两个结果：从Weyl量子化的限制的模函子的环面的重建，并在环面上的着色曲线，回答了量子计算相关的问题的量子可观测量空间的基础的描述。
A single qubit may be represented on the Bloch sphere or similarly on the $3$-sphere $S^3$. Our goal is to dress this correspondence by converting the language of universal quantum computing (UQC) to that of $3$-manifolds. A magic state and the Pauli group acting on it define a model of UQC as a positive operator-valued measure (POVM) that one recognizes to be a $3$-manifold $M^3$. More precisely, the $d$-dimensional POVMs defined from subgroups of finite index of the modular group $PSL(2,\mathbb{Z})$ correspond to $d$-fold $M^3$- coverings over the trefoil knot. In this paper, one also invest…
Rotation numbers and the Euler class in open books
本文研究了开书支持的接触结构中Legendrian结的旋转数与欧拉类的计算方法，并通过前投影和拉格朗日投影提供了相关不变量的计算公式。
Torus knots and mirror symmetry
我们提出了一个谱曲线描述环面节点和链接的B-模型。特别是，应用拓扑递归这条曲线产生所有的彩色HOMFLY不变量。该曲线是通过利用分解锥的谱曲线的完全Sl（2，Z）对称性得到的，并且应该被看作是大N Gopakumar-Vafa对偶中与环面结相关联的拓扑D-膜的镜像。此外，我们推导出曲线作为计算环面结不变量的矩阵模型的大N极限。
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