Homotopical structures in categories
Adrian Duma, Cristian Vladmirescu
本文对范畴中的公理化同伦理论提出了一种新的方法，它为一个范畴中的两个对象（没有任何拓扑特征）如何相互变形这一老问题提供了一个更简单、更有用的答案。
In this paper is presented a new approach to the axiomatic homotopy theory in categories, which offers a simpler and more useful answer to this old question: how two objects in a category (without any topological feature) can be deformed each in other?
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Homotopical presentation of categories
本文给出小范畴间函子生成 Dugger 万有模型范畴小呈现的判定准则。
Adjoint functor theorems for homotopically enriched categories
证明了一类包含在Monoidal模型范畴$\mathcal V$中的范畴的伴随函子定理。当$\mathcal V$配备了平凡的模型结构，这夺回丰富版本的Freyd的伴随函子定理。对于非平凡的模型结构，我们得到了新的同伦味的伴随函子定理-特别是，当$\mathcal V$是单纯集的范畴，我们得到了一个同伦的伴随函子定理适当的$\infty$ -宇宙的Riehl和Verity。我们还调查了丰富的设置中的可访问性，特别是获得同伦的cocompleteness结果，可访问的$\infty$ -cosmoi。
Homotopical categories: from model categories to $(\infty,1)$-categories
这一章是为安德鲁·J·布伦伯格、蒂娜·格哈特和迈克尔·A. Hill，调查同伦范畴的历史，从加布里埃尔和齐斯曼的分数范畴到奎伦的模型范畴，通过Dwyer和Kan的单纯局部化，并最终在$(\infty,1)$ -范畴，首先通过具体模型引入，后来在模型独立的框架中重新概念化。本书读者不必事先了解这些概念。建议的练习包括施肥的直觉和丰富的参考资料指向外部来源与更多的细节。同伦极限和共极限的运行主题包括解释同伦范畴旨在解决的问题以及解决这些问题的技术方法。
Homotopical inverse diagrams in categories with attributes
本文研究了具有属性的范畴中的同伦逆图，提出了同伦图模型的构造方法，并探讨了其在类型理论中的应用。
From triangulated categories to module categories via homotopical algebra
在Hom有限三角范畴C中，刚性对象的自同态代数上的模范畴被给出了两种不同的描述：一方面，如Osamu Iyama和Yuji Yoshino所证明的，它等价于C的一个子范畴的理想商;另一方面，Aslak Buan和Robert Marsh证明了这个模范畴也等价于C的某些局部化。在本文中，我们给出了一个概念性的解释，启发同伦代数，这种双重描述。我们的主要目标，尚未实现，是推广Buan-Marsh的结果的情况下，Hom-infinite集群类别。我们注意到，与模型范畴是同伦范畴是三角化的模范畴的更常见的情况相反，我们在这里考虑一些同伦范畴是模范畴的三角化范畴。
`Double modules', double categories and groupoids, and a new homotopical double groupoid
我们给出了一个相当一般的双范畴的建设，因此，在进一步的条件下，双群胚，从一个结构，我们称之为“双模”。我们也给出了一个同伦结构的一个三元组组成的一个空间，两个子空间，和一组基点的双重广群，在一定的条件下，这也意味着这个双重广群包含两个第二相对同伦群。
A homotopical Dold-Kan correspondence for Joyal's category $Θ$ and other test categories
本文通过引入模型结构的Quillen等价，证明了在特定兼容条件下，测试范畴上的abelian预示子范畴的同调范畴与abelian群的非负导出范畴等价，并应用于Joyal的范畴Θ。
Homotopical resolutions associated to deformable adjunctions
给定一个连接合理范畴与弱等价的附加项，我们定义了一个新的导出bar和cobar构造。这就产生了与附加的单子和余单子相关联的完备化和余完备化的同伦模型。我们讨论了这些决议的谱序列的派生完成和Goodwillie演算在一般模型范畴的应用。
Homotopical Algebra in Categories with Enough Projectives
对于一个完备且共完备的范畴$\mathcal{C}$，其中包含一个行为良好的“投射”类$\bar{\mathcal{P}}$，我们构造了一个关于$\mathcal{C}$中单纯对象范畴$s\mathcal{C}$的模型结构，其中弱等价、纤维化和上纤维化都用$\bar{\mathcal{P}}$定义.当$\mathcal{C}$是$\mathcal{U}$，紧生成的弱Hausdorff空间的范畴，而$\bar{\mathcal{P}}$是紧T2空间的范畴时，这尤其成立。我们还构建了一个新的模型结构上$\mathcal{U}$本身，其中的coherant空间是广义的CW-复合物允许空间，而不是集，$n$ -细胞被连接。奇异的单纯复形和几何实现函子给出了这些模型结构之间的Quillen邻接。对于$\mathcal{U}$中的空间，这些结构允许在$\mathcal{U}$的精确完备中定义同伦群对象，这些同伦群对象在弱等价下是不变的，并且具有同伦群通常所期望的许多好的性质。在$\mathcal{U}$中，存在由纤维序列引起的同伦群对象的长正合序列。沿着类似的思路，我们研究了$\mathcal{U}$内部模范畴中的同调代数，特别得到了$\mathcal{U}$拓扑群扩张的Lyndon-Hochschild-Serre谱序列.
Homotopical recognition of diagram categories
本文通过引入同伦原子概念，刻画了模型范畴与预层范畴Quillen等价的判定条件，并将其应用于分类从有限带点单纯集到谱的多项式函子，推广了Dwyer-Kan轨道模型结构等经典结果。
Homotopical models for metric spaces and completeness
本文在Lawvere度量空间及对称Lawvere度量空间范畴上构建三种同伦模型结构，明确了各结构对应的纤维-上纤维对象，并证明其中两种模型结构具有与Cat上典范模型结构类似的唯一性，拓展了度量空间的同伦研究框架。
Enhancement for categories and homotopical algebra
本文提出基于导出器概念的抽象同调理论，旨在以接近常规范畴论的方式实现导出范畴相干层的增强。
Homotopical Dold-Kan Correspondences
论文围绕 test category 推广 Dold–Kan 对应，定义 Whitehead 范畴并构造模型结构，证明同调函子在局部化后给出范畴等价。
Exactness and stability in homotopical algebra
正合列是同调代数中的一个重要概念。我们在这里调查更模糊的属性的同伦精确性，例如出现在纤维或cofibre序列的地图。这种精确性的概念可以在具有同伦核和上核的非常一般的“同伦范畴”中给出，但在适当的稳定性假设下变得更加有趣，特别是由链复形满足。这样就有可能通过某个对象的同伦类型来度量序列的同伦正合性的缺省，这是一种“同伦同调”。
Algebraic colimit calculations in homotopy theory using fibred and cofibred categories
高阶同伦范坎彭定理允许计算为胶合空间的某些同伦不变量的共极限。一个推论是用群胚上的诱导模和交叉模来描述临界维数上的同伦切除。本文展示了如何将范畴和核心范畴给出了一个整体的背景下，讨论和计算这样的结构，允许一个结果，以涵盖许多情况。一个有用的一般结果是，包含纤维的一个范畴保持连接的余极限。同伦的主要应用是对空间的几个基点，但我们也简要介绍了三面体的情况。
A double $(\infty,1)$-categorical nerve for double categories
本文构造双重范畴到双重 $(\infty,1)$-范畴的神经，证明其右 Quillen 且同伦全忠实，并沿嵌入限制得到 Lack 模型结构的右诱导关系。
Cocycles in categories of fibrant objects
我们建立了一个范畴的conquerant对象（在布朗的意义下）承认一个Dwyer-Kan同伦演算的右分数。这是使用同伦上循环演算来完成的，它是一种辅助结构，可以定义在每一个范畴的同伦对象上。作为应用，我们推出了Verdier超覆盖定理的一些非交换形式。
Abstract homotopical methods for theoretical computer science
本文的目的是收集同伦方法用于流理论的发展，由作者的论文“同伦理论的一个模型范畴”发起。利用弱因子分解系统给出了经典的Whitehead定理的推广，从而反演了CW-复形之间的弱同伦等价。给出了利用Quillen算子和Reedy范畴计算同伦极限和同伦余极限的方法。
Homotopical Adjoint Lifting Theorem
本文给出了范畴论中伴随提升定理的一个同伦版本，使得Quillen等价从monoidal模型范畴提升到色算子上的代数范畴.我们的方法的一般性，使我们能够同时回答问题的整改和改变的基础模型类别的Quillen等效的。我们在有色操作符的设置中工作，并且我们不要求它们是$Σ$相关的。我们的主要定理的特殊情况下恢复了许多已知的结果，关于纠正和改变模型类别，以及许多新的结果。特别是，我们恢复了Richter-Shipley最近关于交换$H\mathbb{Q}$ -代数谱和交换微分分次$\mathbb{Q}$ -代数之间的曲折Quillen等价的结果，但我们的版本只涉及三个Quillen等价而不是六个。我们还研究了在左Bousfield局部化之后如何将Quillen等价提升到有色运算代数范畴的理论。
Nonstandard model categories and homotopy theory
为了适用于非标准的方法问题的代数几何，我们继续我们的调查，从“扩大的类别”（理论应用。14（2005），No. 16，357- 398），并且示出了同伦构造在放大下表现得多么重要。
Flat model structures for accessible exact categories
本文为可达正合范畴上的链复形构造模型结构，证明在闭对称幺半、局部可展示且具有足够多平坦对象的正合范畴中，平坦余挠对可诱导正合模型结构，并进一步揭示其在有理充实下构成同伦代数语境且具有 Koszul 对偶定理。
Localisation of cubical model categories
在这篇文章中，我们介绍了一个模型范畴的平方结构的概念，推广立方模型范畴。然后，我们表明，在某些同伦条件下，这个平方结构的诱导立方范畴是一个局部化的模型范畴。
Univalent categories and the Rezk completion
我们发展范畴论内的单价基础，这是一个基础系统的数学基础上同伦解释的依赖型理论。在这个系统中，我们提出了一个定义的“类”的平等和等价的类别同意。这样的范畴满足一个版本的单价公理，即任何两个对象之间的同构类型等价于这些对象之间的单位类型;我们称它们为“饱和”或“单价”范畴。此外，我们证明了任何范畴都是弱等价于单叶范畴的泛范畴。在同伦和更高范畴语义中，这个构造对应于Segal空间的Rezk完成的截断版本，也对应于预栈的栈完成。
Homotopy in Exact Categories
在这本专着中，我们发展的同伦理论的各个方面的确切类别。我们介绍了不同的概念，紧凑性和生成的确切范畴$E$，并使用这些研究模型结构的类别链复形$Ch_{*}(E)$诱导的余挠对$E$。作为一个特殊的情况下，我们表明，在非常一般的条件下，范畴$Ch_{+}(E)$，$Ch_{\ge0}(E)$，和$Ch(E)$配备了投射模型结构，并概括的多尔-坎对应持有。我们还建立了条件下，类别的过滤对象在确切的类别配备了自然的模型结构。当$E$是monoidal时，我们也研究了这些模型结构是monoidal的，并通过研究这些范畴中的同伦代数得出结论。特别是，我们提供的条件下，$Ch(E)$和$Ch_{\ge0}(E)$同伦代数的背景下，从而使它们适合设置派生几何。
Homotopical algebra for Lie algebroids
本文在特征零的交换 dg-代数上的 dg-李代数胚与 $L_\infty$-代数胚范畴上构造了 Quillen 等价的半模型结构，从而将同伦代数方法应用于李代数胚，并证明李代数胚上同调可由同伦范畴中的对象表示。
Nerves of 2-categories and 2-categorification of $(\infty,2)$-categories
证明了严格2-范畴的同伦理论以2-预复集的形式嵌入到$(\infty,2)$ -范畴的同伦理论中。更确切地说，我们构建了一个神经范畴化的adjunction，这是一个奎伦对之间的缺乏的模型结构的2类和Riehl-Verity的模型结构的2复杂集。此外，我们表明，缺乏的模型结构转移沿此神经和神经是同伦完全忠实的。
A Constructive Proof of Coherence for Symmetric Monoidal Categories Using Rewriting
对称的幺半范畴是一个范畴，它具有一个结合的和交换的（二元）积和一个作为积的单位的对象。事实上，这些性质只适用于满足某些相干条件的自然同构。相干定理证明了所有包含左、右幺半群、结合子和辫子的线性图的交换性。利用基于重写的同伦方法证明了对称幺半范畴范畴的凝聚性。在这个范围内，我们详细介绍了拉丰的字符串图重写系统，提出了这些理论的同构的收敛性证明。
Weak and Strong Fibrations of Functors
本文提出了一种针对小范畴的同调框架，扩展了代数拓扑的经典不变量到范畴设置。通过构造真正的路径范畴，定义了函子的强和弱纤维化，并引入了纤维化替代和扩展了如Svarc genus和sectional category等同调不变量到小范畴。最后，将该框架应用于小范畴中的运动规划，提供了Farber拓扑复杂度的范畴类比，并消除了现有方法中常见的有限性约束。
Adjoint associativity: an invitation to algebra in infinity-categories
不久前出现了导出的Hochschild上同调的归约公式，这是有用的，例如，在Gorenstein映射和刚性w.r.t.半对偶复形这个公式涉及到环同态的相对对偶复形，因此引出了霍赫希尔德同调和Grothendieck对偶之间的联系。证明，有点特设，使用同伦的考虑，通过一些非典型的投影和内射决议的微分分次对象。最近的努力旨在更内在的方法，希望可扩展到“更高”的背景-像双模代数在无穷范畴。这将导致更广泛的适用性，例如环谱;和方法可能是全球化的，揭示了一些同伦推广方面的格罗滕迪克对偶。(The原始公式有一个几何版本，由来自对偶理论的完全不同的方法证明。第一步是将Hom-Tensor adjunction（伴随结合性）扩展到无穷范畴设置。
Homotopy limits and colimits and enriched homotopy theory
同伦极限和上极限是范畴论中通常的极限和上极限的同伦替代，可以使用经典的显式构造或导出函子的现代抽象机制来处理。我们在本文中的第一个目标是暂时的：我们解释这两种方法，并证明它们的等价性。我们的第二个目标是将这个结果推广到丰富的范畴和同伦加权极限，表明经典的显式结构仍然给出了正确的答案在抽象意义上。这一结果部分地弥合了经典同伦理论和现代抽象同伦理论之间的差距。为了做到这一点，我们引入了“丰富同伦范畴”的概念，它比丰富模型范畴更一般，但仍然是做丰富同伦理论的好地方。这表明，丰富的存在往往简化而不是复杂的问题，并在某种程度上实现了更好地理解“同伦理论中同伦的作用。"
A model structure on prederivators for $(\infty,1)$-categories
通过Carlson和Renaudin的定理，$(\infty,1)$ -范畴理论嵌入到预导子理论中.本文的目的是给一个双重的答案的逆问题：了解哪些prederivator模型$(\infty,1)$ -范畴，无论是严格的或同伦的意义。首先，我们的特点是prederivator出现在鼻子上的prederivator相关的quasicategories。其次，我们把一个模型结构的范畴的预导子和严格的自然变换，并证明了Quillen等价的Joyal模型结构的拟范畴。
Homotopical and Higher Categorical Structures in Algebraic Geometry
这是我的博士论文的一个稍微扩展的版本，它是我在过去4年中的研究活动的概述，以一种相当非正式的风格写的。
The Gray tensor product for 2-quasi-categories
我们构造一个$(\infty,2)$版本的（宽松）灰色张量积的产品。在1-范畴水平上，这是一个二元（或更一般的$n$ -ary）函子在范畴的$Θ_2$ -集，它被证明是左奎伦相对于阿拉的模型结构。此外，我们证明，这张量积形式的一部分，“同伦”（bicclosed）monoidal结构，或更准确地说，一个正常的松散monoidal结构，是联合同伦。
Homotopical interpretation of globular complex by multipointed d-space
球状复合物是由E. Goubault和作者在arXiv：math/0107060中对高维自动机进行了建模。球复形是具有球分解的拓扑空间，球分解是CW-复形的胞腔分解的有向模拟。我们证明了存在一个组合模型范畴，使得细胞对象恰好是球状复合物，并且使得同伦范畴等价于arXiv：math/0308054中引入的流的同伦范畴。这个模型范畴的基础范畴是M的一个变体。Grandis关于单形生成的拓扑空间上极限上的d-空间的概念。这一结果使我们能够理解的框架之间的关系流和其他作品在有向代数拓扑使用d-空间。它还使我们能够证明，在arXiv：math/0308063中构造的流的底层同伦类型函子可以被解释为左Quillen伴随的总左导出函子，直到等价的范畴。
Homotopies in Multiway (Non-Deterministic) Rewriting Systems as $n$-Fold Categories
我们研究抽象的多路重写系统，这是原型结构的Wolfram模型的形式主义的代数和成分属性。我们证明了存在更高的同伦在这一类的重写系统，同伦映射诱导适当的重写规则从一个抽象的规则空间的所有可能的规则。此外，我们表明，一个多路重写系统同伦顺序$n$可以自然地形式化为$n$ -折叠范畴，使（通过可逆重写关系包含适当的逆态射）的无限极限，这种结构产生一个${\infty}$ -广群。通过Grothendieck的同伦假设，这个${\infty}$ -广群因此继承了形式同伦空间的结构。最后，我们如何同伦多路系统的计算框架可能会被用于正式连接到同伦空间上的模型相关的物理可能会被实例化的一些意见。
A formal category theoretic approach to the homotopy theory of dg categories
本文通过形式范畴论引入细化dg范畴拟等价局部化的双范畴，构造前箭装备并定义同伦（余）极限，给出预三角dg范畴的形式刻画，证明其粘合保持性及相关反射结果。
A model structure for weakly horizontally invariant double categories
本文在双范畴范畴上构造模型结构，其纤维对象为弱水平不变双范畴，并证明该结构沿水平嵌入的变体右诱导出2-范畴的Lack模型结构，且关于Gray张量积是幺半的，同时给出Whitehead定理刻画弱等价。
Group completions and the homotopical monadicity theorem
本文围绕群完备化与同伦单子性定理展开，分三部分阐述。第一部分给出公理理论及相关例子，第二部分发展复合伴随背景并给出相关机器，第三部分说明乘法理论与公理框架的关系，展现了该定理在不同方面的构建与应用。
Simplicial Descent Categories
链复形和拓扑空间范畴的许多同伦和同调结构可以从“简单”函子Tot的存在性和性质推导出来：{双链复形} -> {链复形}和几何实现：{sSets} -> {Top}，或者类似地，Tot：{单纯链复形} -> {链复形}和||：{sTop} -> {Top}。这篇论文的目的是抽象这种情况，为此我们引入了“（上）单纯下降范畴”的概念。它的灵感来自吉伦-纳瓦罗的“（立方）血统类别”。（上）单纯下降范畴D中的关键成分是D中的态射类E，称为等价，以及一个“单纯”函子s：{D中的（上）单纯对象} -> D。它们必须满足像“Eilenberg-Zilber”、“精确性”和“非循环性”这样的公理。这一概念涵盖了广泛的一类例子，如链复形，sSet，拓扑空间，过滤上链复形（其中E =过滤拟同构或E = E_2-同构），交换微分分次代数（其中s = Navarro的N-Whitney单），DG-范畴上的DG-模和混合Hodge复形，其中s = Deligne的单。从单纯下降结构，我们得到同伦结构的D，作为锥和柱体对象。我们使用它们来i）明确地描述HoD=D[E^{-1}]的态射，类似于分数微积分的情况; ii）赋予HoD一个非可加的预三角化结构，在稳定的可加情况下变成三角化。这些结果使用了一个“全函子”的属性，它将任何双增广双单纯对象与单纯对象联系起来。它是一个二重复形的全链复形的单纯模拟，并且它是Ill…
Logical Structure on Inverse Functor Categories
本文研究了依存积和子对象分类子等逻辑结构何时从范畴诱导至图范畴，给出了多种条件，并探讨了配备弱等价类的索引范畴在局部化映射下于预层范畴间诱导保结构函子的条件。
Skew structures in 2-category theory and homotopy theory
我们研究Quillen模型范畴配备了一个monoidal斜闭结构，下降到一个真正的monoidal闭结构的同伦范畴。我们的例子是2-范畴的，包括置换范畴和双范畴。使用斜框架，我们适应艾伦伯格和凯利的定理有关monoidal和封闭的结构同伦设置。这是适用于建设monoidal双范畴所产生的伪交换2单子的Hyland和权力。
Higher Equipments, Double Colimits and Homotopy Colimits
本文围绕一个主要思想展开：单纯范畴，即范畴之范畴中的单纯对象，可以看作是一个双重范畴结构，其双重范畴论是同伦意义的。最著名的双重结构是双重范畴，通常用于组织各种上下文中的双模。然而，即使双模的概念是可以想象的，也不存在空间的双重范畴。我们首先通过构造一个有意义的单纯空间范畴来弥补双范畴论的这一缺陷。然后，我们通过定义双余限和假设一个设备属性，发展了双范畴的类比，这在例子中很快得到了满足。作为一个应用，我们证明了某些双重上极限自然地解释为同伦上极限。令人惊讶的是，这个类比揭示了一个原则：单纯范畴之于单纯充实范畴，就像双重范畴之于2-范畴一样！
The derivator of a dg-category
本文为同伦完备且余完备的dg-范畴构造稳定derivator，通过限制定义域至有限直范畴推广至预三角情形，并显式刻画弱幂等完备Frobenius正合范畴的derivator。
Generalizing quasi-categories via model structures on simplicial sets
本文利用Cisinski机制在单纯集合上构造了推广拟范畴的模型结构，通过非代数的提升条件捕捉其同伦行为，并探讨了其局部化及与Joyal和极小模型结构的关系。
From weak cofibration categories to model categories
在[BaSc 2]中，作者引入了一个比模型范畴弱得多的同伦结构，称为“弱上纤维化范畴”。我们进一步证明了一个小的弱上纤维化范畴在它的ind-范畴上自然地导出一个模型范畴结构，只要ind-范畴满足某个三取二的性质。本文的目的是作为上述论文的一个补充，证明了如果弱上纤维化范畴中存在某种性质或结构，那么同一性质或结构在ind-范畴上的诱导模型结构中也成立。也就是说，我们考虑了左真的性质和幺半范畴的结构以及在幺半范畴上张量的范畴（以一种与弱上纤维化结构相容的方式）。为了将来的参考，我们考虑更一般的情况，我们只有一个“几乎模型结构”的ind范畴。
Symmetric Cubical Sets
我们引入了一个新的同伦类型的立方模型。更确切地说，我们将定义一个范畴Qs，它具有以下特征：Qs是一个包含经典盒范畴作为子范畴的PROP，Qs上的集合的预层的范畴Qs-Set是同伦范畴，并且具有凝聚单位的组合对称monoidal模型范畴都具有同伦良好行为的Qs-Set充实。
Homotopy-theoretic aspects of 2-monads
我们研究2单子和他们的代数使用猫丰富版本的奎伦模型类别，强调同伦和2范畴的观点之间的相似之处。每个具有有限极限和上极限的2-范畴都有一个典范模型结构，其中弱等价是等价;我们使用这些来构造2-范畴上更有趣的模型结构，包括2-单子T上的2-范畴代数上的模型结构，以及固定2-范畴K上的2-单子2-范畴上的模型结构。
A 2Cat-inspired model structure for double categories
我们在范畴$\mathrm{DblCat}$上构造了一个双范畴和双函子的模型结构。与以往的双范畴模型结构不同，它通过水平嵌入$\mathbb{H}\colon2\mathrm{Cat}\to\mathrm{DblCat}$恢复了2-范畴的同伦理论，这是左和右Quillen，同伦完全忠实。此外，我们表明，缺乏的模型结构$2\mathrm{Cat}$是左和右诱导沿$\mathbb{H}$从我们的模型结构$\mathrm{DblCat}$。此外，我们获得了$2\mathrm{Cat}$ -丰富我们的模型结构上的$\mathrm{DblCat}$，通过使用一个变种的灰色张量积。在一定条件下，证明了一个Whitehead定理，将我们的弱等价刻画为双函子，它允许逆伪双函子达到水平伪自然等价.这将检索2-范畴的Whitehead定理。类似的陈述适用于弱双范畴和严格双函子范畴$\mathrm{wkDblCat}_s$，其同伦理论恢复了双范畴的同伦理论。此外，我们证明了全嵌入$\mathrm{DblCat}\to\mathrm{wkDblCat}_s$是一个Quillen等价。
Homotopical Approach to Tensor Products of Modules
范畴论提供了一种方法，通过这种方法，许多范围广泛的数学领域可以通过它们的相似结构联系起来。在Robinson [2]的一篇论文中，这种由范畴透视提供的互连性允许将挠积实现为拓扑空间的同伦群，而拓扑空间本身就是为此目的而构造的。然而，即使正式地陈述这个结果也需要代数、拓扑和范畴论中的大量预备知识。本文档的目标是提供一个基本概念和结果的独立指南，只需很少的证明，就可以使用这种数学进行工作，希望使同伦代数领域更容易获得。我们只假设熟悉拓扑空间和群，所以它是从本科水平接近。这个项目的高潮是讨论上面提到的罗宾逊的结果，以及作为概念证明的计算。
Polygraphs: From Rewriting to Higher Categories
本专著以Polygraphs（多图）为统一概念，结合同伦代数视角在严格高维范畴下研究重写理论，分低维应用与高维同伦两部分，推广了代数结构连贯性结果。
On the equivalence of all models for $(\infty,2)$-categories
本文的目标是提供最后的等价需要，以确定所有已知的模型$(\infty,2)$类别。我们这样做表明，Verity的模型饱和$2$平凡复杂集是等价于Lurie的模型$\infty$双范畴，这反过来，已被证明是等价于所有其他已知的模型$(\infty,2)$类别。一个关键的技术输入是通过识别的概念，$\infty$-bicategories与弱$\infty$ -bicategories，一个步骤，使我们能够理解Lurie的模型结构的Cisinski-Olschok的理论。这种描述的$\infty$ -bicategories，这可能是独立的利益，证明了使用工具来自一个新的理论外（共）carbohydrate纤维化，进一步发展的配套文件。本文最后构造了$2$ -范畴的同伦完全忠实标度单纯神经函子，给出了它的两个等价刻画，并证明了$\infty$ -双范畴的同伦$2$ -范畴保留了足够的信息来检测薄$2$ -单纯.
Homotopy Posets, Postnikov Towers, and Hypercompletions of $\infty$-Categories
研究同伦格在∞-范畴中的扩展，揭示其作为纤维化长正合序列的层次，并探讨Postnikov塔的收敛性及超完备∞-范畴的构造。
Towards 2-derivators for formal $\infty$-category theory
本文提出2-导出量的公理，用于形式∞-范畴理论，展示其在多种模型中的适用性及位移操作下的稳定性。
The two out of three property in ind-categories and a convenient model category of spaces
在[BaSc 2]中，作者和Tomer Schlank引入了一个比模型范畴弱得多的同伦结构，我们称之为“弱上纤维化范畴”。我们进一步证明了一个小的弱上纤维化范畴在它的ind范畴上自然地导出一个模型范畴结构，只要ind范畴满足某个三取二性质。本文的主要目的是在弱上纤维化范畴上给出三取二性质成立的充分内在条件。我们考虑了它在紧可度量化空间范畴上的应用，从而得到了它的ind-范畴上的一个模型结构。这个模型结构被定义在一个范畴上，这个范畴与拓扑空间拓扑空间范畴密切相关，并且具有许多方便的形式性质。这些结果的一个更一般的应用，可分$C^*$ -代数的（相反的）范畴，出现在作者Michael Joachim和Snigdhayan Mahanta [BJM]的一篇论文中。
The homotopy relation in a category with weak equivalences
本文定义了一类具有弱等价的范畴的箭与箭之间的同伦关系，并给出了同伦关系的商为同伦范畴的条件。在一个模型范畴的纤维凝聚对象的情况下，这个条件成立，我们表明，我们的同伦概念与经典的一致。我们还表明，奎伦的建设同伦范畴的模型类别，其中的箭头是同伦类的一个单一的箭头之间的fibrant coordinant对象，可以以及弱等价类使用这种概念的同伦。我们从我们的工作中推导出饱和模型类别。这些结果的证明，只考虑弱等价，变得简单（因为它通常是这样）比那些涉及整个结构的模型范畴。
Homotopical Quantum Field Theory
代数量子场论和预因式分解代数是量子场论的两种数学方法。在这本专著中，使用一个新的coend定义的Boardman-Vogt结构的有色操作，我们定义同伦代数量子场论和同伦预分解代数，并研究其同伦相干结构。同伦相干图、同伦逆、A-无穷代数、E-无穷代数和E-无穷模都是在这种背景下自然产生的。特别地，每个同伦代数量子场论都具有A-无穷代数的同伦相干图的结构，并且满足因果公理的同伦相干版本。当代数量子场论定义时间片公理时，每个同伦代数量子场论都满足时间片公理的同伦相干形式。在每个拓扑空间上，每个同伦预分解代数都具有E-无穷代数上的E-无穷-模的同伦凝聚图的结构。为了比较这两种方法，我们构造了从（同伦）预分解代数的色运算到（同伦）代数量子场论的色运算的比较态射，并研究了代数上的诱导态射.
Algebra+Homotopy=Operad
这篇综述对运算及其在同伦代数中的应用作了初步的介绍。其目的是解释如何概念的操作是促使必要性有一个代数对象编码更高的同伦。我们试图通过在代数、几何、拓扑和数学物理中的应用来说明这一理论的普遍性。(This任何知道什么是张量积、链复形和范畴的学生都可以阅读课文。）
Derived Categories and Projective Classes
模型范畴的一个重要例子是R-模的无界链复形范畴，它的同伦范畴是环R的导出范畴。这个例子表明传统的同调代数被奎伦同调代数所包含。本文的目的是表明，更一般形式的同调代数也适合奎伦的框架。具体地说，完备且上完备的阿贝尔范畴A中的任何对象集都生成A上的一个投射类，这正是在A中做同调代数所需的信息。主要结果是：如果生成对象在适当意义上是“小”的，则A的对象的链复形范畴具有反映投射类的同调代数的模型范畴结构.本文的动机是构造环R的“纯导出范畴”。最后，我们解释了如何在一个可能的非阿贝尔范畴的单纯对象的类别可以配备一个模型类别结构，反映了一个给定的投影类。
Time-reversal homotopical properties of concurrent systems
本研究探讨了有向拓扑中代数不变量在时间反转下的性质，证明自然同伦与同调可配备代数结构产生对偶对象，并通过引入相对有向同伦进一步精细化自然同伦。
A model structure for cartesian 2-fibrations
本文通过带标记2-范畴构造模型结构，使纤维对象恰为笛卡尔2-纤维化，并证明带标记Grothendieck构造将其等同于严格2-函子，同时构造同时反转态射和2-胞腔的局部化。
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