弱水平不变双范畴的模型结构
A model structure for weakly horizontally invariant double categories
AI总结：
本文在双范畴范畴上构造模型结构，其纤维对象为弱水平不变双范畴，并证明该结构沿水平嵌入的变体右诱导出2-范畴的Lack模型结构，且关于Gray张量积是幺半的，同时给出Whitehead定理刻画弱等价。
摘要：
我们在双范畴与双函子构成的范畴 $\mathrm{DblCat}$ 上构造了一个模型结构，其平凡纤维化是那些在对象上满射、在水平与垂直态射上满、且在方格上完全忠实的双函子；其纤维对象是弱水平不变的双范畴。我们证明函子 $\mathbb H^{\simeq}\colon \mathrm{2Cat}\to \mathrm{DblCat}$（通常水平嵌入 $\mathbb H$ 的一个更同伦论版本）在考虑 Lack 在 $\mathrm{2Cat}$ 上的模型结构时是右 Quillen 且同伦完全忠实的。特别地，$\mathbb H^{\simeq}$ 给出了 $\mathbb H$ 的逐层纤维化替换。此外，Lack 在 $\mathrm{2Cat}$ 上的模型结构是沿 $\mathbb H^{\simeq}$ 从弱水平不变双范畴的模型结构右诱导得到的。我们还证明该模型结构关于 Böhm 的 Gray 张量积是幺半的。最后，我们证明了一个 Whitehead 定理，将具有纤维源的弱等价刻画为那些允许水平伪自然等价意义下伪逆的双函子。
英文摘要：
We construct a model structure on the category $\mathrm{DblCat}$ of double categories and double functors, whose trivial fibrations are the double functors that are surjective on objects, full on horizontal and vertical morphisms, and fully faithful on squares; and whose fibrant objects are the weakly horizontally invariant double categories. We show that the functor $\mathbb H^{\simeq}\colon \mathrm{2Cat}\to \mathrm{DblCat}$, a more homotopical version of the usual horizontal embedding $\mathbb H$, is right Quillen and homotopically fully faithful when considering Lack's model structure on $\mathrm{2Cat}$. In particular, $\mathbb H^{\simeq}$ exhibits a levelwise fibrant replacement of $\mathbb H$. Moreover, Lack's model structure on $\mathrm{2Cat}$ is right-induced along $\mathbb H^{\simeq}$ from the model structure for weakly horizontally invariant double categories. We also show that this model structure is monoidal with respect to Böhm's Gray tensor product. Finally, we prove a Whitehead Theorem characterizing the weak equivalences with fibrant source as the double functors which admit a pseudo inverse up to horizontal pseudo natural equivalence.
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