Polynomial Solutions to Difference Equations Connected to Painleve' II-VI
Gert Almkvist
与Painleve方程的有理解有关的多项式满足一定的差分方程。条件acertain所有的解决方案真的是多项式。
Polynomials related to rational solutions of Painleve' equations satisfy certain difference equations. Conditions are given to acertain that all solutions really are polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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We give a survey of the connection between orthogonal polynomials, Toda lattices and related lattices, and Painlevé equations (discrete and continuous).
Orthogonal polynomials on the unit circle, $q$-Gamma weights, and discrete Painlevé equations
我们考虑单位圆上的正交多项式关于权是$q$ -Γ函数的商。我们表明，这些多项式的Verblunsky系数满足离散Painlevé方程，在一个Lax形式，这对应于一个$A_3^{(1)}$表面在Sakai的分类。
Discrete Orthogonal Polynomials with Hypergeometric Weights and Painlevé VI
研究了带超几何权的非负整数上离散正交多项式的递推系数，证明了它们在权的一个参数上满足一个非线性差分方程组和一个非线性二阶微分方程.非线性差分方程形成一对离散的Painlevé方程，并且微分方程是第六Painlevé方程的$σ$ -形式。我们简要地研究了递归系数的渐近行为作为$n\to \infty$使用离散的Painlevé方程。
Recurrence coefficients of generalized Charlier polynomials and the fifth Painlevé equation
本文研究了Charlier多项式在格点$\mathbb{N}$、移位格点$\mathbb{N}+1-β$和双格点$\mathbb{N}\cup (\mathbb{N}+1-β)$上的推广。证明了正交多项式的三项递推关系的系数与第五类Painlevé方程PV的解有关（PV可以转化为第三类Painlevé方程）.不同格子的初始条件可以转化为具有特定参数值的PV的经典解。
The generalized Krawtchouk polynomials and the fifth Painlevé equation
研究了正交多项式关于Krawtchouk权的半经典扩张的递推系数。我们推导出一个耦合的离散系统，这些系数，并表明，他们满足第五Painlevé方程时，被视为一个参数的函数的重量。
Discrete Painlevé equations for recurrence coefficients of orthogonal polynomials
我们给出四个例子的家庭的正交多项式的系数的递归关系满足离散Painlevé方程。第一个例子涉及弗洛伊德在实数线上的权重$|x|^ρ\exp(-|x|^m)$，我们重复弗洛伊德对$m=2,4,6$的推导和分析。当$m=4$对应于离散的Painlevé I方程时，Freud方程的递归系数。第二个例子处理单位圆上的正交多项式，用于权值$\exp(λ\cos θ)$。这些正交多项式在随机酉矩阵理论中有重要的应用。Periwal和Shevitz证明了递归系数满足离散Painlevé II方程。第三个例子是关于正整数的离散正交多项式。我们证明了广义Charlier多项式的递推系数可以从离散Painlevé II方程的解中得到。第四个例子处理$\pm q^n$上的正交多项式。本文考虑离散的$q$ -Hermite I多项式和某些离散的$q$ -Freud多项式，它们的递推系数满足离散Painlevé I的$q$ -变形.
Orthogonal polynomials and multiple orthogonal polynomials are interesting special functions because there is a beautiful theory for them, with many examples and useful applications in mathematical physics, numerical analysis, statistics and probability and many other disciplines. In these notes we give an introduction to the use of orthogonal polynomials in random matrix theory, we explain the notion of multiple orthogonal polynomials, and we show the link with certain non-linear difference and differential equations known as Painlevé equations.
We study bivariate orthogonal polynomials associated with Freud weight functions depending on real parameters. We analyze relations between the matrix coefficients of the three term relations for the orthonormal polynomials as well as the coefficients of the structure relations satisfied by these bivariate semiclassical orthogonal polynomials, also a matrix differential-difference equation for the bivariate orthogonal polynomials is deduced. The extension of the Painlevé equation for the coefficients of the three term relations to the bivariate case and a two dimensional version of the Langmui…
The recurrence coefficients of semi-classical Laguerre polynomials and the fourth Painlevé equation
我们表明，系数的三项递归关系的正交多项式关于一个半经典的扩展Laguerre重量满足第四Painlevé方程时，被视为一个参数的功能的重量。我们比较不同的方法，即，梯形算子的方法，isomonodromy变形的方法和结合户田系统的递归系数与离散方程得到这个结果。我们还讨论了弗洛伊德重量和半经典拉盖尔重量的递归系数之间的关系，并显示它是如何产生的第四Painlevé方程的Bäcklund变换。
Painleve Classification of Polynomial Ordinary Differential Equations of Arbitrary Order and Second Degree
问题的Painleve分类的常微分方程持续自十九世纪末看到显着的进展有限的方程秩序，但没有那么多的方程高阶。在这项工作中，我们提出了完整的Painleve分类的常微分方程的任意阶的右手边是一个二次型的因变量及其所有的衍生物。本文共发现了七类具有Painleve性质的方程，其中五类阶数达到四阶的方程是已知的。第六，其他五个中的一个似乎也可以在已知函数中积分。而唯一的第七类无限制阶似乎是线性化的。该分类采用了一种新的一般必要条件的Painleve属性证明的文件，潜在的Painleve分类的其他类型的常微分方程的更广泛的应用。
Painlevé-type differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials.
根据D. G.丘德诺夫斯基并给出了实例。例如，与{ \blackb R\/}上的权重$\exp(-x^4/4-tx^2)$相关的正交多项式的$a_{n+1}p_{n+1}(x)=xp_n(x) -a_np_{n-1}(x)$中的递归系数满足$4a_n^3\ddot a_n = (3a_n^4+2ta_n^2-n)(a_n^4+2ta_n^2+n)$，并且$a_n^2$满足Painlevé ${\rm P}_{\rm IV}$方程。
Preud's equations for orthogonal polynomials as discrete Painlevé equations
考虑关于指数权函数w（x）= exp（-P（x））的正交多项式p_n.许多人从Laguerre [49]开始研究递归系数的相关方程，以研究特殊的连分数、递归关系和各种渐近展开（G.弗洛伊德的贡献[28，56]）。最显著的例子是n = 2tw_n + w_n（w_n+1 + w_n + w_n-1），其中正交多项式的递归系数p_n+1 = xp_n-w_np_n-1与权w（x）= exp（-4（tx^3 + x^4））有关（[26，pp. 34-36]）。这个例子几乎出现在下面所有的参考文献中。这里描述了与离散Painlevé方程的联系。
The Painlevé equations are here connected to other classes of equations with the Painlevé Property (Ince's equations) by the same degeneracy procedure that connects the Painlevé equations (coalescence). These Ince's equations here are also connected among themselves like in the traditional Painlevé's coalescence cascade. Such degeneracy is considered also for the special equations, symmetric equations and Bäcklund transformations.
A Constructive Proof for the Umemura Polynomials of the Third Painlevé Equation
本文扩展Taneda方法，为第三类Painlevé方程的Umemura多项式提供构造性代数证明，证实非线性递推生成的有理函数实为多项式，并揭示其根的信息。
The relationship between semi-classical Laguerre polynomials and the fourth Painlevé equation
讨论了正交多项式关于半经典Laguerre权的递推系数与第四类潘勒韦方程的经典解之间的关系.我们表明，这些递归关系中的系数可以表示在抛物柱面函数的特殊功能解决方案的第四潘勒韦方程的描述中出现的Wronskians。
On an Orbifold Hamiltonian Structure for the First Painleve Equation
对于第一个Painleve方程，我们在Okamoto空间的纤维化上建立了一个轨道多项式Hamilton结构，并证明了这种几何结构唯一地恢复了原来的Painleve方程，从而解决了K.高野
On a q-Deformation of the Discrete Painlevé I Equation and q-Orthogonal Polynomials
我提出了一个$q$ -模拟的离散Painlevé I方程，并在$q$ -正交多项式的特殊实现。
Orthogonal polynomials: from Heun equations to Painlevé equations
本文研究了四种权函数对应的正交多项式，给出了其满足的二阶线性微分方程及Heun方程，利用等单值形变方法将其转化为Painlevé方程，并讨论了Hankel行列式的渐近行为。
Recurrence coefficients for discrete orthonormal polynomials and the Painlevé equations
我们调查的Charlier和Meixner多项式，这是离散的正交多项式，满足三项递归关系的半经典推广。结果表明，对于广义Charlier多项式和广义Meixner多项式，这些递推关系中的系数可以分别用修正Bessel函数和合流超几何函数的Wronskian表示.这些Wronskians出现在第三和第五潘勒韦方程的特殊功能解决方案的描述。
Existence of Nontrivial Negative Resonances for Polynomial Ordinary Differential Equations With Painlevé Property
Painlevé分类是微分方程分析理论中的核心问题之一，起源于十九世纪。虽然它在分析某些类别的方程方面取得了许多重大进展，但分类仍然是一个悬而未决的问题，特别是对于高阶方程。Painlevé分析的主要经典方法之一是基于考虑共振数对应于可移动奇点邻域中通解的Laurent展开式中任意系数的可能指数。共振数的复数和非整数值表明可动临界奇点的存在，正整数数可以用来构造该一般解。该方程还具有至少一个负共振数$-1$，它对应于可动极点的任意位置。然而，我们对不同于$-1$的非平凡负共振的作用的理解仍然有限，尽管最近与之相关的方法学进展，而且尽管在迄今为止建立的低阶分类中，具有非平凡负共振的方程是一种特殊情况，本文的结果表明，对于Painlevé型高次常微分方程，负共振是普遍存在的财产具体地说，我们将证明它们的存在是首项的次数大于2的方程具有Painlevé性质的必要条件。
Painlevé V and a Pollaczek-Jacobi type orthogonal polynomials
我们研究一个序列的多项式正交关于一个参数的家庭的权重$$ w(x):=w(x,t)=\rex^{-t/x}\:x^{\al}(1-x)^{\bt},\quad t\geq 0, $$定义为$x\in[0,1].$如果$t=0,$这减少到一个转移雅可比权重。我们的梯形算子形式主义和相关的兼容性条件给出了一个简单的确定的递归系数。对于$t>0,$，因子$\rex^{-t/x}$在$x=0.$诱导出一个无穷强零点。借助于相容条件，递推系数用一组满足差分方程组的辅助量表示。这些，当适当地结合一对户田式方程从正交性原则，表明辅助量是一个特定的Painlevé V和/或类似的功能。本文还证明了Hankel行列式的对数导数$$ D_n(t):=\det(\int_{0}^{1} x^{i+j} \:\rex^{-t/x}\:x^{\al}(1-x)^{\bt}dx)_{i,j=0}^{n-1}, $$满足Painlevé V的Jimbo-Miwa-Okamoto $σ-$形式，并且这个量满足一个我们认为是新的二阶非线性差分方程.
Semiclassical limit of a non-polynomial $q$-Askey scheme
本文证明了非多项式双曲q-Askey方案底部元素M和Q的半经典渐近公式，并揭示其指数是Painlevé I和III₃方程单值流形上Darboux坐标对之间典范变换的生成函数，进而猜想该方案其他成员对应其他Painlevé方程。
$q$-Discrete Painlevé equations for recurrence coefficients of modified $q$-Freud orthogonal polynomials
提出了一个非对称的$q$ -Painlevé方程。我们将使用关于广义弗洛伊德权重的$q$ -正交多项式推导出这一点：它们的递归系数将服从这个$q$ -Painlevé方程（直到一个简单的变换）。我们将展示一个稳定的方法来计算一个特殊的解决方案，它给出了递归系数。我们与$α-q-P_V$建立连接。
Painleve IV asymptotics for orthogonal polynomials with respect to a modified Laguerre weight
我们研究的多项式是正交的修改拉盖尔重量$z^{-n + ν} e^{-Nz} (z-1)^{2b}$的限制，其中$n, N \to \infty$与$N/n \to 1$和$ν$是一个固定的数字在$\mathbb{R} \setminus \mathbb{N}_0$。在因子$(z-1)^{2b}$的作用下，临界点附近的局部参数$z =1$可以用与Painleve IV方程相联系的$Ψ$ -函数来构造.我们证明了正交多项式的递推系数的渐近性可以用Painleve IV方程在双标度极限下的指定解来描述。我们的方法是基于与正交多项式相关的Riemann-Hilbert问题的Deift/Zhou最速下降分析。
Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model. III. Painlevé VI equation
我们证明，某些多项式以前介绍的作者可以确定与tau功能的Painlevé VI，从皮卡德的代数解之一，通过采取行动与四维格的贝克隆变换。对于晶格中的特定线，这证明了Bazhanov和Mangazeev的猜想。作为应用，我们描述了Painlevé VI的相应解在奇点附近的行为，得到了多项式的几个新性质.
Irrationality of the Roots of the Yablonskii-Vorob'ev Polynomials and Relations between Them
研究了第二类Painlevé方程的有理解的特殊多项式--Yablonskiii-Vorob 'ev多项式。这些多项式的系数的整除性质，涉及4的权力，我们得到的Yablonskiii-Vorob 'ev多项式的非零根是无理的。进一步，通过对第二类Painlevé方程的有理解进行幂级数展开，得到了这些多项式的连续次数根之间的关系.
Krall-type orthogonal polynomials and integrable isomonodromic deformations
本文研究了Krall型正交多项式与可积等单调变形的关系，揭示了其与Painlevé方程及Schlesinger型偏微分方程的联系。
Differential system related to Krawtchouk polynomials: iterated regularisation and Painlevé equation
研究通过迭代正则化将广义Krawtchouk多项式相关微分系统与Painlevé V方程联系起来，并探讨正则化如何产生多项式系统及birational变换的分解。
Orthogonal Polynomials for the Gaussian Weight with a Jump and Discrete Painlevé Equations
本文提出精细化的离散潘勒韦识别问题，强调超越表面类型描述动力学，并以带单跳跃高斯权正交多项式中的递推关系为例展示求解方法。
The Toda and Painlevé Systems Associated with Semiclassical Matrix-Valued Orthogonal Polynomials of Laguerre Type
考虑拉盖尔多项式，并通过引入零点处的指数奇异性来变形它们。在[Chen Y.，它的A，J.近似值Theory 162（2010），270-297，arXiv：0808.3590]，作者证明了这种变形可以通过对应递归系数的微分/差分方程系统来描述，并且这些方程最终等价于Painlevé III方程及其Bäcklund/Schlesinger变换。在这里，我们证明了一个类似的结果保持某种半经典矩阵值正交多项式的Laguerre型。
Non-commutative Painleve' equations and Hermite-type matrix orthogonal polynomials
我们研究了与两个Hermite型矩阵正交多项式的例子相关的Christoffel-Darboux核的二重积分表示。我们表明，与这些内核连接的Fredholm行列式相关的通过Its-Izergin-Korepin-Slavnov（IIKS）理论与一定的黎曼-希尔伯特问题。使用这个黎曼-希尔伯特问题，我们得到一个拉克斯对的兼容性条件导致每个家庭的Painleve' IV微分方程的非交换版本。
Over the last decade it has become clear that discrete Painlevé equations appear in a wide range of important mathematical and physical problems. Thus, the question of recognizing a given non-autonomous recurrence as a discrete Painlevé equation and determining its type according to Sakai's classification scheme, understanding whether it is equivalent to some known (model) example, and especially finding an explicit change of coordinates transforming it to such an example, becomes one of the central ones. Fortunately, Sakai's geometric theory provides an almost algorithmic procedure for answer…
Modified Painlevé systems with meromorphic solutions for polynomial Hamiltonians of all degrees
本文研究了具有多项式哈密顿量的所有次数的非自治哈密顿系统，其所有解均为复平面上的有理函数。通过计算Okamoto的初始条件空间，得到关于系数函数的微分约束，从而确定了多项式哈密顿量的三种、四种、五种和七种系统，揭示了新的Painlevé等价问题参考哈密顿量。
Rational Solutions of the Fifth Painlevé Equation. Generalised Laguerre Polynomials
本文研究第五潘勒韦方程的有理解，用广义拉盖尔多项式表示解，确定其性质、微分-差分方程、根结构与判别式，并给出朗斯基拉盖尔多项式系数的显式表达式。
Painleve I asymptotics for orthogonal polynomials with respect to a varying quartic weight
我们研究了对于t<0，关于变化的四次权\exp（-N（x^2/2+tx^4/4））正交的多项式，其中正交性发生在复平面中的某些轮廓上。受二维量子引力发展的启发，Fokas、Its和Kitaev证明了t存在一个临界值，在该值附近，递归系数的渐近性可以用Painleve I方程的精确指定解来描述。本文通过对与多项式有关的黎曼-希尔伯特问题的Deift/Zhou最速下降分析，给出了这一结果的另一种更直接的证明.此外，我们将分析扩展到轮廓的非对称组合。在最速下降分析的特点是一个修改的equililillance问题，并使用Painleve我方程的PSI功能的建设中的局部参数。
Unique special solution for discrete Painlevé II
本文证明具有初值 $a_{-1}=-1$ 的离散 Painlevé II 方程存在唯一满足 $-1 < a_n < 1$ 的解，该解对应单位圆上正交多项式的 Verblunsky 系数，并基于正交多项式方法给出不同于 Duits 和 Holcomb 的新证明及该解的上界。
Large-degree asymptotics of rational Painleve-IV functions associated to generalized Hermite polynomials
Painleve-IV方程有三族由广义Hermite多项式生成的有理解。每个族都由两个正整数m和n索引。这些函数可应用于非线性波方程、随机矩阵、流体动力学和量子力学。数值研究表明，零点和极点形成一个变形的n × m矩形网格。适当地缩放，零点和极点似乎密集地填充某些曲线矩形，因为m和n趋于无穷大，r=m/n固定。推广Bertola和Bothner研究有理Painleve-II函数的方法，将广义Hermite有理Painleve-IV函数表示为单位圆上的正交多项式.利用Deift-Zhou非线性最速下降法，当n趋于无穷大，m=r*n，r固定时，在极限下渐近分析了相应的Riemann-Hilbert问题.我们得到了边界曲线的一个明确的特征，并确定了无极点区域的函数的领先阶渐近展开。
In this paper the Riemann-Hilbert problem, with jump supported on a appropriate curve on the complex plane with a finite endpoint at the origin, is used for the study of corresponding matrix biorthogonal polynomials associated with Laguerre type matrices of weights ---which are constructed in terms of a given matrix Pearson equation. First and second order differential systems for the fundamental matrix, solution of the mentioned Riemann-Hilbert problem are derived. An explicit and general example is presented to illustrate the theoretical results of the work. Related matrix eigenvalue problem…
Matrix biorthogonal polynomials in the unit circle: Riemann-Hilbert problem and matrix discrete Painleve II system
研究了测度拟定矩阵的Szego双正交多项式。对于Holder权矩阵，利用矩阵Szego多项式及其Cauchy变换唯一地解决了一个黎曼-希尔伯特问题.给出了黎曼-希尔伯特问题作为讨论Szego矩阵和矩阵正交多项式及其柯西变换的Szego递归关系的适当框架。研究了权矩阵的Pearson型微分系统。这些是线性系统的常微分方程，要求是monodromy自由。导出了矩阵Szego多项式及其Cauchy变换的线性常微分方程。它示出了这些皮尔逊系统如何导致非线性差分方程的Verblunsky矩阵和两个例子，Fuchsian和非Fuchsian型，被认为是。对于这两种情况，我们发现了离散Painlevé II方程的一个新的矩阵形式，并讨论了这些矩阵离散Painlevé II系统的约化.
Discrete Painlevé equations, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle and N-recurrences for averages over U(N) -- \PIIIa and \PV $τ$-functions
在这项工作中，我们表明，$ N\times N $ Toeplitz行列式的符号$ z^μ\exp(-{1/2}\sqrt{t}(z+1/z)) $和$ (1+z)^μ(1+1/z)^ν\exp(tz) $ -已知的$τ$ -功能的\PIIIa和\PV系统-其特征在于非线性递归的反射系数的相应的正交多项式系统的单位圆。结果表明，这些递推关系完全等价于与有理曲面$ D^{(1)}_{6} \to E^{(1)}_{7} $（离散Painlevé { \rm II}）和$ D^{(1)}_{5} \to E^{(1)}_{6} $（离散Painlevé { \rm IV}）退化相关的离散潘勒韦方程.此外，它示出的差分方程推导的方法的基础上的Toeplitz格和Virasoro的约束，减少时，为了精确求和，相当于我们的递归。分别给出了反射系数的广义超几何函数$ {{}^{\vphantom{(1)}}_0}F^{(1)}_1, {{}^{\vphantom{(1)}}_1}F^{(1)}_1 $的表达式。
These are the lecture notes for a course on exceptional polynomials taught at the \textit{AIMS-Volkswagen Stiftung Workshop on Introduction to Orthogonal Polynomials and Applications} that took place in Douala (Cameroon) from October 5-12, 2018. They summarize the basic results and construction of exceptional poynomials, developed over the past ten years. In addition, some new results are presented on the construction of rational solutions to Painlevé equation PIV and its higher order generalizations that belong to the $A_{2n}^{(1)}$-Painlevé hierarchy. The construction is based on dressing ch…
Discrete equations from Bäcklund transformations of the fifth Painlevé equation
本文从第五Painlevé方程的Bäcklund变换导出离散方程，包括一个具有三元对称性的新离散方程，并利用广义Laguerre多项式和广义Umemura多项式推导出离散方程的有理解层次，同时利用非唯一有理解对得到满足同一离散方程的不同有理解层次。
Studies on the second member of the second Painlevé hierarchy
在本文中，我们研究了第二Painlevé层次$P_{II}^{(2)}$的第二成员。我们证明了双有理变换将该方程化为四维多项式哈密顿系统，并且该哈密顿系统可以看作是一个单参数耦合Painlevé系统族.这个哈密尔顿算子是新的。我们还证明了该系统具有$A_1^{(1)}$型的广义仿射外尔群对称性，并且可以通过其全纯性条件恢复。我们还研究了该哈密顿量所满足的一个五阶常微分方程。通过双有理变换将该方程化为一个五维多项式型一阶常微分方程组，给出了它的对称性和全纯性条件.
In this paper we present a general scheme for how to relate differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials to the Painlevé equations using the geometric framework of the Okamoto Space of Initial Conditions. We demonstrate this procedure in two examples. For semi-classical Laguerre polynomials appearing in \cite{HC17}, we show how the recurrence coefficients are connected to the fourth Painlevé equation. For discrete orthogonal polynomials associated with the hypergeometric weight appearing in \cite{FVA18} we discuss the relation of the recurrenc…
Painlevé V and time dependent Jacobi polynomials
在本文中，我们研究最简单的变形序列的正交多项式，即取代原来的（或参考）的重量$w_0(x)$定义在一个区间上的$w_0(x)e^{-tx}.$。这是一个众所周知的事实，在这样的变形下的递归系数表示为$α_n$和$β_n$演变在$t$根据户田方程，产生的时间相关的正交多项式，使用Sogo的术语。所得到的“时间相关”雅可比多项式满足线性二阶方程。我们将证明该颂歌的系数与特定的Painlevé V密切相关。此外，我们还证明了与“时间相关”雅可比权重相关的一元正交多项式的$z^{n-1}$系数满足，直到$t,$中的翻译Jimbo-Miwa $σ$ -当递归系数$P_{V};$取决于$t$中的平移和线性分数变换$P_{V}(α^2/2,-β^2/2, 2n+1+α+β,-1/2).$时，组合一对非线性差分方程和一对Toda方程。这将反过来使我们能够证明，与一类Toeplitz加Hankel算子相关的某个Fredholm行列式与Painlevé方程有联系。
Poles of Painlevé IV Rationals and their Distribution
我们研究的Painlevé IV方程的合理的解决方案的奇点（极点和零点）的分布通过isomonodromic变形方法。奇异性用广义Hermite $H_{m,n}$和广义Okamoto $Q_{m,n}$多项式的根表示。我们发现，广义厄米和冈本多项式的根所描述的反monodromy问题的非谐振子的程度2。因此，他们原来是分类的单值表示一类亚纯函数与有限数量的奇异性介绍Nevanlinna。当$m$较大且$n$固定时，我们计算了广义Hermite多项式在渐近区域根的渐近分布.
Delay Painlevé-I equation, associated polynomials and Masur-Veech volumes
本文研究由 Shabat 穿衣链延迟周期约化得到的延迟 Painlevé-I 方程，构造其形式整函数解并引入 Bernoulli-Catalan 多项式，用 $A_1^{(1)}$ 仿射 Weyl 群刻画奇点结构，并重新推导 Masur-Veech 体积公式。
In this paper we study different Hamiltonian systems with polynomial and rational Hamiltonians associated with the generic third Painlevé equation and present explicit birational transformations relating them.
Exactly solvable anharmonic oscillator, degenerate orthogonal polynomials and Painleve' II
本文研究 Shapiro–Tater 猜想，将四次非谐振子出现重本征值的参数点与 Vorob'ev-Yablonskii 多项式零点及 Painlevé II 有理解极点联系起来，并揭示其与退化正交多项式的深刻关联。
From KP/UC hierarchies to Painleve equations
我们研究Painleve方程和无穷维可积系统，如KP和UC族之间的潜在关系。我们表明，这些层次结构的一定程度的减少，要求同质性和周期性产生Painleve方程，包括他们的高阶推广。这个结果使我们能够清楚地理解方程的各个方面，例如，Lax形式主义，τ函数的Hirota双线性关系，Weyl群对称性，以及特征多项式的代数解，即，Schur函数和普适性。
Matrix Biorthogonal Polynomials: eigenvalue problems and non-Abelian discrete Painlevé equations
本文利用矩阵双正交多项式的黎曼-希尔伯特问题，在复平面上的适当的曲线上进行跳跃，并将其应用于求解正交多项式及其第二类函数的Sylvester微分方程组。为了这个目的，西尔维斯特型微分皮尔逊方程的矩阵的权重被证明是有用的。几个应用程序中，以增加复杂性。首先，一般性讨论非阿贝尔Hermite双正交多项式在实数线，理解为那些的权重矩阵是一个解决方案的Sylvester型皮尔逊方程系数一阶矩阵多项式，给出。所有这些应用于讨论导致具有矩阵特征值的二阶线性微分算子的本征值问题的可能情形。接下来讨论非线性矩阵差分方程。首先，对于一般的Hermite情形，得到了递归系数的一般非线性关系（非平凡的，因为集合的非交换性）。在下一个更高难度的情况下，皮尔逊方程中允许二次多项式，但通过只考虑左皮尔逊方程来简化讨论。在这种情况下，该措施的支持是在一个适当的分支的双曲线。的递归系数示出，以满足交替离散Painlevé I方程的非阿贝尔扩展。最后，讨论了三次多项式作为左皮尔逊方程中的系数的情况下，特征的重量矩阵。然而，为了简单起见，只允许奇数多项式。在这种情况下，一个新的和更一般的矩阵扩展的离散Painlevé I方程被发现。
Discrete Painlevé equations, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle and $N$-recurrences for averages over U(N) -- \PVI $τ$-functions
单位圆上的正交多项式理论是为一般的权类而发展的，它导致多项式及其相关函数的递归关系和导数的系统，以及出现在理论中的某些系数函数的函数差分方程。一个自然制定的黎曼-希尔伯特问题的解决方案的正交多项式和相关功能的上述系统。特别是对于单位圆$ w(z) = \prod^m_{j=1}(z-z_j(t))^{ρ_j} $，由$ m \in \mathbb{Z}_{> 0} $奇点，差分方程的正交多项式次数$ n $（拉盖尔-弗洛伊德方程）和微分方程的变形变量$ z_j(t) $（施莱辛格方程）的经常半经典的重量的情况下，推导出完全表征系统。它是在最简单的非平凡的情况下$ m=3 $，相当普遍和简单的差分方程是等价的离散Painlevé方程与退化的有理曲面$ D^{(1)}_4 \to D^{(1)}_5 $，没有其他。在三个方面的比较与其他方法在这个问题上-的Toeplitz格和Virasoro的约束，isomonodromic变形的$ 2\times 2 $线性Fuchsian微分方程，和代数方法的基础上仿射Weyl群对称性-它示出了所有是完全等价的，当减少了顺序的精确求和，上述离散Painlevé方程通过显式变换公式。由广义超几何函数$ {{}^{\vphantom{(1)}}_2}F^{(1)}_1 $给出了酉群$ U(N) $上的基本矩阵积分。
Differential equations for deformed Laguerre polynomials
有限大小的拉盖尔酉系综中第一特征值间距的分布函数可以用第五Painleve超越的解来表示。拉盖尔酉系综的某个不连续线性统计量的母函数可以类似地用第五个Painleve方程的解来表示。用于获得这些结果的方法依赖于两个理论关于正交多项式系统的微分方程，一个涉及isomonodromic变形和其他梯形运营商。我们比较这两种理论，显示如何可以用来获得一个更一般的拉盖尔酉系综平均的表征的哈密顿系统Painleve V。
Joint moments of characteristic polynomials in the circular Jacobi ensemble and Painlevé equations
该研究建立圆雅可比系综中特征多项式联合矩与σ-Painlevé V、III'方程解的联系，解决相关问题并将Hua-Pickrell测度联合矩结果从实参数扩展到复参数。
Total integrals of global solutions to Painleve II
我们评估从负无穷大到正无穷大的所有整体解决方案的Painleve II方程的实数线上的总积分。该方法是基于相关的Lax对的方程之一和相应的黎曼-希尔伯特问题之间的相互作用。此外，我们评估的Painleve V方程的一个特殊的解决方案相关的函数的总积分。作为推论，我们得到了最近在[4]和[18]中得到的高斯正交和高斯辛系综的边缘和体积中极限间隙概率的常数项的计算的简短证明。我们还评估的Painleve函数及其衍生物的某些多项式的总积分。这些多项式是修正Korteweg-de Vries方程的首次积分的密度。讨论了所得到的公式与直线上Dirac算子的经典迹公式之间的关系。
The Painleve-IV equation has two families of rational solutions generated respectively by the generalized Hermite polynomials and the generalized Okamoto polynomials. We apply the isomonodromy method to represent all of these rational solutions by means of two related Riemann-Hilbert problems, each of which involves two integer-valued parameters related to the two parameters in the Painleve-IV equation. We then use the steepest-descent method to analyze the rational solutions in the limit that at least one of the parameters is large. Our analysis provides rigorous justification for formal asym…
Confluent Darboux transformations and Wronskians for algebraic solutions of the Painlevé III ($D_7$) equation
本文利用 Schrödinger 算子的合流 Darboux 变换构造 Painlevé 方程代数解的 Wronskian 公式，并给出对应 $D_7$ 型 Painlevé III 方程代数解的 Ohyama 多项式新表示。
Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model. II. Schrödinger equation
我们证明了作者以前引入的对称多项式满足一定的微分方程。在变量变化后，它可以写成具有椭圆势的非定常薛定谔方程，它与Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard方程和Painlevé VI方程的正则量子化密切相关。在随后的论文中，这将用于构建Painlevé VI的tau函数的四维晶格。
In this paper we study the integrability of the Hamiltonian system associated to the fourth Painlevé equation. We prove that one two parametric family of this Hamiltonian system is not integrable in the sense of the Liouville-Arnold theorem. Computing explicitly the Stokes matrices and the formal invariants of the second variational equations we deduce that the connected component of the unit element of the corresponding Galois grou is not Abelian. Thus the Morales-Ramis-Simó theory leads to a non-integrable result. Moreover, combining the new result with our previous one we establish that for…
Rational Solutions of the Painlevé-II Equation Revisited
Painlevé-II方程的有理解出现在几个应用中，并且已知具有许多显着的代数和分析性质。它们也有几种不同的表示，以不同的方式用于建立这些属性。特别是，Riemann-Hilbert表示已被证明是有用的，用于提取大次数极限（相当于大参数极限）的有理解的渐近行为。我们回顾了有理Painlevé-II函数的基本性质，然后描述了文献中出现的三种不同的Riemann-Hilbert表示：通过Flaschka-Newell拉克斯对的等单值理论的表示，通过Jimbo-Miwa拉克斯对的等单值理论的第二表示，以及由Bertola和Bothner发现的与伪正交多项式有关的第三种表示。我们证明了有理Painlevé-II函数的Flaschka-Newell和Bertola-Bothner Riemann-Hilbert表示是显式相互连接的。最后，我们回顾了最近的结果描述的理性Painlevé-II功能从这些Riemann-Hilbert表示通过最速下降法获得的渐近行为。
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