On the index of Farey sequences
F. P. Boca, R. N. Gologan, A. Zaharescu
本文证明了Q阶Farey分式的指数分布为$Q\to \infty$的一些渐近公式。
We prove some asymptotic formulae concerning the distribution of the index of Farey fractions of order Q as $Q\to \infty$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the distribution of index of Farey Sequences
本文研究了Hall和Shiu首次提出并研究的Farey分数的指数分布。给出了具有$\mathcal{B}$ -free算子的Farey分式的Dirichlet特征标扭曲的Farey分式的指数矩的渐近公式.此外，我们重新考虑了在[ALVZ 08]中所做的无平方的情况，并获得了无平方因子的指数矩的新结果。我们还研究了更高级别的相关性的指标函数推广先前已知的结果两个级别的相关性。
Some special property of Farey sequence
讨论了法里序列的一些特殊性质。我们证明了在法里序列的每一项中，分母中的元素之和与分子中的元素之和之比正好是2。我们还表明，法里序列包含一个回文结构。
The Farey Sequence, Stern Brocot Tree and Euclids Theorem
法里数列是一个众所周知的程序，用来产生从0到1的真分数。法里序列常用于无理数的有理逼近、福特圆和黎曼假设。因此，在本文中，我们的目标是使用的性质的法瑞序列来证明流行的gcd定理。
The Farey Sieve
本文给出了利用法里序列计算各种素数序列的一种初等方法。
The Farey Sequence and the Mertens Function
Franel和Landau推导出了一个涉及法里序列的算术语句，它相当于黎曼假设。既然Mertens函数和黎曼假设之间存在关系，那么Mertens函数和法里序列之间也应该存在关系。引入了类似于Mertens函数的法里序列中分式子集的函数。米克拉斯证明了某些Mertens函数值的总和是1。类似于Mikolas定理的结果是这些函数的定义性质。假定了法里序列与黎曼假设之间的关系，而不是与Franel-Landau定理之间的关系。这个猜想涉及Mertens定理和第二Chebyshev函数。
On the distribution of the Farey sequence with odd denominators
本文证明了Q阶连续Farey分式的h-元组的分布的一些渐近结果，其中奇算子为$Q\to \infty$ .
The Distribution of Special Subsets of the Farey Sequence
本文将我们的一些结果从“关于具有奇因子的Farey分数的一个注记”推广到由具有不能被给定素数整除的因子的分数组成的Farey分数的子集。我们还研究了在这些集合中连续分数的h-元组的差的分子的联合分布。
Computations with finite index subgroups of $PSL_2(\mathbb Z)$ using Farey Symbols
模群的有限指数子群具有重要的算术意义。1991年由Ravi Kulkarni引入的Farey符号是与这些群体合作的工具。给定这样的群$Γ$，$Γ$的Farey符号是有理数的某个有限序列（表示$Γ$的基本区的顶点）以及顶点之间的边的配对信息。它们是一种紧凑的编码群信息的方式，并且提供了一种简单的计算群的方法。举例来说：计算生成元的独立集，并将群元素分解为这些生成元中的一个字，找到陪集代表、椭圆点和群的亏格，测试群是否是同余等。在这篇临时文章中，我们将讨论Farey符号和使用它们的显式算法。
Asymptotic behavior of a series of Euler's totient function $φ(k)$ times the index of $1/k$ in a Farey sequence
受加速器物理研究的启发，本文计算了级数$\displaystyle \sum_{k=1}^N φ(k) I_N\left(\frac{1}{k}\right)$的渐近行为，其中$φ(k)$是欧拉函数，$\displaystyle I_N\left(\frac{1}{k}\right)$是$1/k$在$N$阶法里序列中所占的位置.为此，当$\displaystyle \left[2,\left\lceil \frac{N}{k} \right\rceil\right]$中的所有整数都是$N$的约数时，导出了$\displaystyle I_N\left(\frac{1}{k}\right)$的精确公式。
On the Uniform Distribution (mod 1) of the Farey Sequence, quadratic Farey and Riemann sums with a remark on local integrals of $ζ(s)$
对于$1$ -周期函数$f$在$]0,1[$的有理点处只满足弱Dini型局部正则性假设，我们研究了Farey和$$F_n(f)= \sum_{\frac{\k}ł\in \F_n} f\big(\frac{\k}ł\big),\qq F_{n,\s}(f)= \sum_{\frac{\k}ł\in \F_n} \frac{1}{\k^\sł^\s}f\big(\frac{\k}ł\big),\qq 1/2\le \s<1 , $$，其中$\F_n$是$n\ge 1$阶的Farey级数.对于所有的$0< \s\le1$，我们得到了$F_{n,\s}(f)$的精确估计。我们证明了类似的结果，相应的黎曼二次和$$ S_{n,\s}(f) \ =\ \sum_{1\le k\le \ell \le n}\frac{1}{(k\ell)^{\s }}\, f\big( \frac{k}{\ell}\big). $$这些款项涉及到局部积分的黎曼zeta函数在有界区间$I$，这是考虑在最后一部分的文件。
Denominators in the Farey Sequence, the Stern Sequence, and the Frobenius Problem with Relatively Prime Multipliers
该研究针对带系数互素限制的弗罗贝尼乌斯开放问题，证明此类问题仍存在无法表示的最大整数，并探究其与斯特恩序列等的关联及相关性质。
A Note on Boolean Lattices and Farey Sequences III
我们描述了法里序列序列之间的单调映射。
The correlations of Farey fractions
我们证明了所有的相关性的序列的Farey分数存在，并提供公式的相关措施。
A Note on Boolean Lattices and Farey Sequences II
我们建立了与布尔格的元素有关的法里序列的双射和Farey双射的半序列之间的单调双射。
New insight into results of Ostrowski and Lang on sums of remainders using Farey sequences
A.研究了$k \leq x$上的中心算子$kt-\lfloor kt\rfloor - 1/2$与相应的Dirichlet级数的和$S(x,t)$. Ostrowski，E. Hecke，H. Behnke和S. Lang用于固定实数无理数$t$。他们的工作最初的灵感来自Weyl的equidistribution结果模1序列在数论。在以前的一系列论文中，我们得到了描述$n$阶Farey序列对$n \to \infty$在任意固定分数$a/b$附近的标度性质的极限函数，并且这些极限函数与$a/b$无关.我们将这一理论推广到和$S(x,t)$上，并得到了一个新的极限函数的标度行为。这种方法改进了Ostrowski和Lang的结果，并建立了相关Dirichlet级数的解析延拓的一个新证明.我们也将提出明确的关系理论的法里序列。
A Note on Boolean Lattices and Farey Sequences
建立了2 m-集的子集构成的布尔格的m阶法里序列与秩为m的元素所对应的法里序列的半序列之间的单调双射.我们还提出了一些相关的组合恒等式。
On a Conjecture about Sums Involving Farey Fractions
本文证明了Daniele Mundici关于Q阶Farey序列中相邻元素平方距离之和的猜想，探讨了整数Q≥2时的性质。
Farey fractions with equal numerators and the rank of unit fractions
该研究推导了n阶Farey序列及截断Farey序列中分子相等的分数数量的解析表达式，得到单位分数的秩的表达式与不同单位分数秩的关系，并将结果推广至形如2/k的Farey分数。
The lcm(1,2,...,n) as a product of sine values sampled over the points in Farey sequences
最近Greg Martin推导出了{1，2，..}的最小公倍数的一个有趣公式，n}。在这里，我们给出了一个简洁的证明正弦函数。
Fine-scale statistics for the multidimensional Farey sequence
我们推广的经典结果的间隙分布（和其他精细尺度统计）的一维法里序列到任意维。这是通过利用格空间中的平均球分布和格空间的某个子空间中的Farey点的平均分布来实现的。这个论证紧密地遵循了A. Strömbergsson和作者[Annals of Math.172（2010）1949- 2033].
A dichotomy between uniform distributions of the Stern-Brocot and the Farey sequence
我们采用无穷遍历论证明了偶数Stern-Brocot序列和法里序列关于某些规范权重是模1均匀分布的。作为推论，我们得到了连分数和水平集的勒贝格测度的精确渐近性，以及与几何和算术限制的庞加莱级数的渐近性态的联系.此外，我们给出的关系，我们的主要结果的Stern-Brocot树的基本意见。
On the Intervals of a Third between Farey Fractions
近年来，Farey点之间的间距分布引起了人们的关注。发现法里序列的连续元件之间的间隙$γ_{j+1}-γ_j$产生作为$Q\to\infty$的限制性测量。数值计算表明，对于任何$d\ge 2$，间隙$γ_{j+d}-γ_j$也产生一个限制措施，其支持是由显着的拓扑特征区分。本文证明了$d=2$空间分布的存在性，并完整地刻画了测度的相应支撑.
Farey Sequences for Thin Groups
高度$Q$的经典法里序列是分母小于$Q$的简化形式的有理数的集合。本文引入了广义法里序列的概念。虽然这些序列在离散（特别是薄）子群的研究中自然出现，但它们可以用于研究有趣的数论序列-例如其连分数部分同分项受同余条件约束的有理数。我们表明，这些序列均匀分布，间隙分布收敛，我们回答了相关的问题，在丢番图逼近与富克斯群。此外，对于一个具体的例子，我们使用稀疏福特配置结构写下一个明确的公式的间隙分布。最后，对于这个例子，我们构造了类似的高斯测度在这种情况下，我们表明是遍历的高斯映射。这使我们能够证明一个关于序列的高斯-库兹涅茨统计量的定理。
Maximum mean discrepancies of Farey sequences
该研究确定了一大类半正定核，其中Farey序列的最大均值偏差的特定多项式收敛速率等价于黎曼假设，这类核包含所有阶数≥1/2的Matérn核。
A note on Farey sequences and Hausdorff dimension
本文证明了Farey序列可以表示为以分形参数（类似Hausdorff维数h，1<h<2）标记的等价类，且每类满足Farey序列性质并对应一个代数方程。
Equidistribution of Farey sequences on horospheres in covers of SL(n+1,Z)\SL(n+1,R) and applications
我们建立了法里序列的某些子集的极限分布，即，在$\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{Z})\backslash\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{R})$的覆盖$Δ\backslash\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{R})$中的扩展球面上的本原有理点序列，其中$Δ$是$\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{Z})$的有限指数子群。这些子集可以通过将$\mathbf{A}=\bigcup_{j=1}^J\boldsymbol{a}_jΔ$形式的集合投影到超平面$\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}:x_{n+1}=1\}$来获得，其中对于所有$j$，$\boldsymbol{a}_j$是$\mathbb{Z}^{n+1}$中的本原格点。我们的方法涉及到应用等分布的扩展horospheres在由Marklof和Strömbergsson开发的$\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{R})$的替代品，并更精确地了解如何完整的Farey序列分布在$Δ\backslash\mathrm{SL}(n+1,\mathbb{R})$嵌入扩展horospheres在Marklof以前的工作。对于每个Farey序列子集，我们推广了Marklof关于全多维法里序列的统计结果，以及Athreya和Gh…
Construction of some special subsequences within a Farey sequence
近年来，人们发现Farey序列中某些特殊的双折射对确定可积导数非线性Schrodinger模型中量子孤子态存在的耦合常数范围起着至关重要的作用。在这篇文章中，我们找到了一个新的映射，它连接两个这样的序列属于不同的顺序的Farey序列。通过使用这个映射，我们构造了一个算法，以产生所有这些特殊的序列内的Farey序列。我们还推导出所有属于一个子序列的元素的连分式展开式，并观察到相应的展开系数之间的密切联系。
On the distribution of polynomial Farey points and Chebyshev's bias phenomenon
该文研究多项式Farey分数的分布与Chebyshev偏差问题，通过偏差和配对关联测度刻画其全局与局部分布，证明均匀分布性，给出特定多项式的配对关联函数显式公式，并得到计数函数误差项的Ω结果。
A distribution related to Farey sequences -- I
本文采用Boca等人引入的方法研究Farey序列的算术性质，针对特定分母同余的分数进行染色并分析间隙分布，最终推导出D=2,3且c=0时极限比例ν(r;D,c)的显式公式。
The weighted Farey sequence and a sliding section for the horocycle flow
法里序列是实数单位区间内所有有理数的序列，由递增的乘数分层。Hall的一个经典结果表明，它的归一化能隙分布与随机变量1/（2 zeta（2）xy）在某个单位三角形上的分布相同。在本文中，我们加权的任意分段光滑的连续函数，我们所得到的间隙分布作为上述变量的倍数，定义在一个特定的单位五边形。我们的表征细化以前的结果博卡，Cobeli和Zaharescu，但采用完全不同的技术。基于Athreya和Cheung最近的工作，我们在幺模格空间上构造了一个时变的正则循环流的庞加莱截面，并将加权法里序列解释为该截面的返回时间列表。在一个适当的参数化，我们的五边形出现的轨道霍尔三角形的运动下的部分，和基本的equidistribution结果长封闭horcycles产生明确的公式的限制横向措施。
Farey sequence and Graham's conjectures
令${F}_{n}$为$n$阶的法里序列。对于$S \subseteq {F}_n$，我们让$\mathcal{Q}(S) = \left\{x/y:x,y\in S, x\le y \, \, \textrm{and} \, \, y\neq 0\right\}$。我们证明了，如果$\mathcal{Q}(S)\subseteq F_n$，那么$|S|\leq n+1$。此外，我们证明了在以下任何情况下：（1）$\mathcal{Q}(S)=F_n$ ;（2）$\mathcal{Q}(S)\subseteq F_n$和$|S|=n+1$，我们必须有$S = \left\{0,1,\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{n}\right\}$或$S=\left\{0,1,\frac{1}{n},\ldots,\frac{n-1}{n}\right\}$除了$n=4$，我们有一个额外的集合$\{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\}$的第二种情况。我们的结果是基于Graham的GCD图，这已经被Balasubramanian和Soundararajan证明。
A distribution related to Farey sequences -- II
本文沿用 Boca、Cobeli 和 Zaharescu 的方法研究 Farey 序列间隔分布，针对模 3 分母染色情形给出极限比例 ν(r;3,c) 的显式公式。
Shrinking target horospherical equidistribution via translated Farey sequences
本文研究SL(d,Z)\SL(d,R)上对角流的收缩靶标horosphere等分布问题，通过重整化技术与推广的平移Farey序列等分布结果，将已有二维情形推广到一般d≥2及平移horosphere情形。
Gaps in the complex Farey sequence of an imaginary quadratic number field
本文研究虚二次域复Farey分数的渐近间隙统计，通过齐性动力系统方法结合双曲空间联合均匀分布结果证明极限概率测度存在，并给出累积分布函数积分公式及高斯和爱森斯坦情形的尾分布显式估计。
Properties and approximations of fractions associated to Ford circles extracted by inclined lines
本研究探讨Ford圆提取分数的类Farey序列性质，证明满足Farey和的有序序列可由连续曲线提取，聚焦斜率1/m斜线提取的分数，推导其基数与素数omega、Möbius函数的关联并给出对数线性近似。
Optimal Farey sequence for the Congruence subgroup $Γ_0(2^{n})$
本文研究了 $Γ_0(2^n)$ 的最优 Farey 序列，证明了其存在性及上界最优性，并给出了生成元的构造方法。
Poincaré sections for the horocycle flow in covers of SL(2,R)/SL(2,Z) and applications to Farey fraction statistics
对于SL（2，Z）的一个给定的有限指数子群H，我们利用Fisher和Schmidt提出的一个过程，将Athreya和Cheung在SL（2，R）/SL（2，Z）上发现的时循环流的一个Poincaré截面提升到SL（2，R）/SL（2，Z）的有限覆盖SL（2，R）/H上.然后，我们使用本节的性质来证明存在的限制间隙分布的各种子集的Farey分数。此外，这些子集的分数，我们延长解决方案熊和Zaharescu，并独立博卡，一个丢番图逼近问题的Erdjs，Szüsz，和图兰。
Distribution of Farey fractions with $k$-free denominators
该研究探讨带k自由分母的Farey分数序列的分布与局部统计性质，证明其模1均匀分布，推导广义黎曼假设的等价形式，建立高阶相关测度公式，为相关数论问题提供新结果。
On denominators of consecutive $\operatorname{SL}(2,{\mathbb N})$-saturated Farey fractions
研究连续SL(2,N)-饱和 Farey 分数的分母在特定区域的稠密性，并给出其分布公式。
Enumerating the rationals from left to right
证明了法里序列、Stern-Brocot序列、Calkin-Wilf序列都是通过几乎相同的二阶递归关系生成的。这些序列具有组合、计算和几何应用，并且对于枚举有理数很有用。
On the distribution of $\operatorname{SL}(2,{\mathbb N})$-saturated Farey fractions
本文研究了满足特定$\operatorname{SL}(2,{\mathbb Z})$矩阵条件的$\operatorname{SL}(2,{\mathbb N})$-饱和Farey分数集合，证明了其构成幺模划分，并确立了其渐近概率分布与极限间隙分布。
Modular variants of p-adic fundamental sequence
将扩展上半平面中的任何Farey三角形与p进Hodge理论中Colmez-Fontaine基本引理的变体相关联，原始引理对应基本Farey三角形。
On a variance associated with the distribution of $r_3(n)$ in arithmetic progressions
多年来，解析数论中有两个问题一直备受关注。第一个是关于实数列在等差数列中分布的方差的渐近公式，它起源于Barban的工作。第二个是关于函数$r_3(n)$，即$n$在三个正立方之和中的有序表示的个数，Robert C.沃恩本文利用Hardy-Littlewood方法和法里序列，将这些问题联系起来。
Discrepancy estimates for index-transformed uniformly distributed sequences
在本文中，我们显示的索引变换均匀分布序列的差异界。从一个一般的结果，我们推导出非常紧密的上下上界的差异指数变换范德Corput，Halton，和$(t,s)$ -序列索引的数字和功能。我们还分析了由其他函数索引的序列的差异，例如，$\lfloor n^α\rfloor$和$0 < α< 1$。
Non-recursive expressions for even-index Bernoulli numbers: A remarkable sequence of determinants
伯努利数通常用其较低的指数来表示（递归）。本文给出了偶数指数Bernoulli数的显式公式。这些公式包含了一系列显著的行列式。这些决定因素的价值为可变尺寸的调查。
Smallest denominators
该论文将Chen-Haynes定理及Kruwswijk-Meijer猜想推广至高维，用多维Farey空隙统计刻画最小分母分布，证明分布函数与有限矩收敛，并推广Kargaev-Zhigljavsky矩结果，获得鸽笼统计新结果。
Spectral sequences of universal distribution and Sinnott's index formula
证明了两个格之间Sinnott符号的一个抽象指标公式。从二重复形的观点发展了泛分布和预分布理论。利用谱序列理论解释了指数公式，并分析了泛分布的上同调性。结合这些结果，我们成功地证明了关于Stickelberger理想的Sinnott指数公式。此外，还得到了泛分布和泛预分布的{1，-1}-上同调群.
Vojta's Conjecture on Multiple Blowups of $\mathbb{P}^2$ and the $abc$ conjecture
证明了Vojta猜想与$abc$猜想之间的关系。更具体地说，我们证明了Vojta的猜想在这些表面上意味着一个特殊的情况下的$abc$猜想，而$abc$猜想意味着Vojta的猜想在这些表面上。此外，对于相似但不同的有理曲面，我们无条件地证明了Vojta猜想。为了证明这些结果，我们使用了法里序列的一些（可能是新的）性质。
The density of the terms in an elliptic divisibility sequence having a fixed G.C.D. with their index
令$\mathbf{D}=(D_{n})_{n\geq 1}$是与对$(E,P)$相关联的椭圆可除性序列。对于固定整数$k$，我们定义$\mathscr{A}_{E,k}=\{n\geq 1 : \gcd(n,D_{n})=k\}$。给出了$\mathscr{A}_{E,k}$的结构描述。利用与$E$的Frobenius迹分布有关的界，解释了$\mathscr{A}_{E,k}$何时具有正的渐近密度.利用默比乌斯函数得到了$\mathscr{A}_{E,k}$的显式密度.
On the index-conjecture of length four minimal zero-sum sequences II
设$G$是有限循环群. $G$上的每个序列$S$都可以写成$S=(n_1g)\cdot...\cdot(n_lg)$的形式，其中$g\in G$和$n_1,\cdots,n_l\in[1,{\hbox{\rm ord}}(g)]$，并且$S$的索引$\ind S$被定义为所有可能的$g\in G$上的$(n_1+\cdots+n_l)/\hbox{\rm ord}(g)$的最小值，使得$\langle g\rangle=G$。一个猜想说，如果$G$是有限的，使得$\gcd(|G|,6)=1$，那么对于每个最小零和序列$S$，$\ind(S)=1$。在本文中，我们证明了，如果$S$是约化的，并且满足（A1）条件，则该猜想成立（见[19]）。
On the index-conjecture on the length four minimal zero-sum sequences
设$G$是有限循环群. $G$上的每个序列$S$都可以写成$S=(n_1g)\cdot...\cdot(n_lg)$的形式，其中$g\in G$和$n_1,\cdots,n_l\in[1,{\hbox{\rm ord}}(g)]$，并且$S$的索引$\ind(S)$被定义为所有可能的$g\in G$上的$(n_1+\cdots+n_l)/\hbox{\rm ord}(g)$的最小值，使得$\langle g\rangle=G$。一个猜想说，如果$G$是有限的，使得$\gcd(|G|,6)=1$，那么对于每个最小零和序列$S$，$\ind(S)=1$。本文证明了当$S$是约化的且至少有一个$n_i$与$|G|$互质时，猜想成立.
On the index of length four minimal zero-sum sequences
设$G$是有限循环群. $G$上的每个序列$S$都可以写成$S=(n_1g)\cdot\ldots\cdot(n_lg)$的形式，其中$g\in G$和$n_1, \ldots, n_l\in[1, \ord(g)]$，并且$S$的索引$\ind(S)$被定义为所有可能的$g\in G$上的$(n_1+\cdots+n_l)/\ord(g)$的最小值，使得$\langle g \rangle =G$。关于长度为4的序列的指数的一个猜想是说，在具有$\gcd(|G|, 6)=1$的有限循环群$G$上，每个长度为4的极小零和序列的指数为1。该猜想最近被证实的情况下，$|G|$是一个产品的最多两个素数的权力。然而，总的情况仍然开放。在本文中，我们取得了一些进展，解决一般情况。基于以前的工作对这个问题，我们表明，如果$G=\langle g\rangle$是一个有限的循环群的顺序$|G|=n$，使$\gcd(n,6)=1$和$S=(x_1g)(x_2g)(x_3g)(x_4g)$是一个最小的零和序列在$G$，使$x_1,\cdots,x_4\in[1,n-1]$与$\gcd(n,x_1,x_2,x_3,x_4)=1$，和$\gcd(n,x_i)>1$的一些$i\in[1,4]$，然后$\ind(S)=1$。利用本文提出的一种新的证明方法，对$|G|$是两个素数幂的乘积时的指数猜想给出了一个…
Primitive Indexes, Zsigmondy Numbers, and Primoverization
我们定义一个整数在序列中的本原下标为以该整数为本原除数的项的下标。对于序列$k^u+h^u$和序列$k^u-h^u$，给出了一个求任意合数的本原指数的公式，给出了它的素因子的本原指数.我们展示了这个公式如何减少到一个公式有关的乘法阶的$k$模$N$，它的素因子。然后，我们介绍了直接后果的公式：某些序列产生相同的原始指数的数字具有相同的独特的素数因子，一个扩展的提升指数引理$v_2(k^n+h^n)$，一个简单的公式，以找到任何Zsigmondy数，一个说明一定类的伪素数标题overpseudoprime，并证明，如瓦格斯塔夫数是overpseudoprime或素数。
The asymptotic distribution of Frobenius numbers
具有正互质系数的整数向量a的Frobenius数F（a）被定义为不具有作为a的系数的正整数线性组合的表示的最大数。我们证明了如果a在扩展的d维区域中是随机的，则F（a）有一个极限分布，它由某个单形关于（d-1）维随机格的覆盖半径的概率分布给出.这一结果扩展了Arnold，Bourgain-Sinai和Shur-Sinai-Ustinov最近对d=3的研究。我们的方法的主要特点是：（a）一个新的解释Frobenius数的动力学的一个特定的群作用在空间的d维格，和（b）一个等分布定理的多维法里序列封闭horospheres。
On the Index of Sequences over Cyclic Groups
设$G$是$n \ge 2$阶的有限循环群.每个序列$S$ over $G$可以写成$S=(n_1g)\cdot ... \cdot (n_lg)$的形式，其中$g\in G$和$n_1,..., n_l \in [1,\ord(g)]$，并且$S$的索引$\ind (S)$被定义为所有具有$\ord (g) = n$的$g \in G$上的$(n_1+ ... + n_l)/\ord (g)$的最小值。本文证明了一个序列$S$在$G$上的长度为$|S| = n$且其重数至少为$\frac{n}{2}$的序列有一个子序列$T$，其重数至少为$\ind (T) = 1$，并且如果群序$n$是素数，则重数的假设可以放宽为$\frac{n-2}{10}$ .另一方面，如果$n=4k+2$具有$k \ge 5$，我们提供了一个序列$S$的例子，该序列具有长度$|S| > n$和具有多重性$\frac{n}{2}-1$的元素，该元素没有具有$\ind (T) = 1$的子序列$T$。这就推翻了莱姆克和克莱特曼20年前提出的一个猜想。
Index Divisibility in Dynamical Sequences and Cyclic Orbits Modulo $p$
令$ϕ(x) = x^d + c$是次数至少为2的整数多项式，并考虑序列$(ϕ^n(0))_{n=0}^\infty$，它是$0$在$ϕ$迭代下的轨道。令$D_{d,c}$表示正整数集合$n$，其中$n \mid ϕ^n(0)$。我们给出了$D_{d,c}$在有向图方面的一个特征，并描述了它的一些性质，包括它的基数和其中包含的素数。特别地，我们研究了哪些素数$p$具有$0$的轨道是单$p$ -圈模$p$的性质.我们证明了当$d$是偶数时，这类素数的集合是有限的，并猜想当$d$是奇数时，这类素数的集合是无限的。
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