Graded multiplicities in the exterior algebra
Yuri Bazlov
我们知道一个半单李代数的伴随表示在它自己的外代数中的重数，但是它的副本如何在它的外幂之间分布呢？答案（分次多重性）是借助麦克唐纳多项式得到的。
We know the multiplicity of the adjoint representation of a semisimple Lie algebra in its own exterior algebra, but how do its copies distribute themselves between the exterior powers? The answer (the graded multiplicity) is obtained with the aid of Macdonald polynomials.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A filtration of a representation whose successive quotients are isomorphic to Demazure modules is called an excellent filtration. In this paper we study graded multiplicities in excellent filtrations of fusion products for the current algebra $\mathfrak{sl}_2[t]$. We give a combinatorial formula for the polynomials encoding these multiplicities in terms of two dimensional lattice paths. Corollaries to our main theorem include a combinatorial interpretation of various objects such as the coeffficients of Ramanujan's fifth order mock theta functions $ϕ_0, ϕ_1, ψ_0, ψ_1$, Kostka polynomials for h…
As a first application of the double affine Hecke algebra with unequal parameters on Weyl orbits to representation theory of semisimple Lie algebras, we find the graded multiplicities of the trivial module and of the little adjoint module in the exterior algebra of the little adjoint module of a simple Lie algebra $\,\mathfrak{g}\,$ with a non-simply laced Dynkin diagram. We prove that in type $\,B, C\,$ or $\,F\,$ these multiplicities can be expressed in terms of special exponents of positive long roots in the dual root system of $\,\mathfrak{g}.\,$
Stable Graded Multiplicities for Harmonics on a Cyclic Quiver
本文研究循环箭图对应的 Vinberg θ-群，将调和函数视为一般线性群乘积 K 的表示，通过组合分离变量消去不变式，给出了每个 K-型稳定分次重数的组合公式。
Graded multiplicities in the Kostant-Rallis setting
本文扩展Littlewood限制规则得到$\rm GL_n$相关分支规则，结合$\rm GL_n$-晶体推导三类实复四元数$\rm GL(n)$的$K$-幂零锥正则函数$K$-型分次重数公式，且将$\rm GL(n,R)$的该重数与对应Hodge $K$-特征关联。
We determine the multiplicities of irreducible summands in the symmetric and the exterior squares of hook representations of symmetric groups over an algebraically closed field of characteristic zero.
Graded characters, demazure multiplicities, and chebyshev polynomials
本文研究了sl₂[t]模V(ξ)的优秀过滤中Demazure模的数值多重性，通过切比雪夫多项式商表达生成函数，推广了肥钩分区的先前结果。并提供了一个自包含的证明，描述了V(ξ)中不可约sl₂模的分级多重性。
Möbius Functions and Semigroup Representation Theory II: Character formulas and multiplicities
利用Rota的Möbius反演理论，将群论中不可约组元重数的特征标公式推广到半群理论.这种方法适用于一大类半群，包括：逆半群，具有交换幂等元的半群，幂等元半群和具有基本代数的半群。利用这些工具，我们能够给出一个完整的描述的谱的随机游动有限半群上的复数上的上三角形矩阵的忠实表示。这些措施包括随机行走室的超平面安排的研究比迪加雷，汉伦，洛克米尔，布朗和Diaconis。应用于分解逆半群的车矩阵表示的张量幂和外积，推广和简化了Solomon关于车么半群的早期结果.
Stability theorems for multiplicities in graded $S_n$-modules
本文证明对称群自然表示与 Weyl 模不变量重数的稳定性定理，并据此将多项式环余不变量 Hilbert 级数的截断猜想推广到更多变量，同时给出 Gröbner 基等价猜想。
In the paper we propose a proof of Reeder's Conjecture on the graded multiplicities of small representations in the exterior algebra $Λ$g for the simple Lie algebras of type B and C.
In this article, we are interested in some subspaces of the exterior algebra of a simple Lie algebra g. In particular, we prove that some graded subspaces of degree d generate the g-module d (g) for some integers d.
Theory of matrix factorizations is useful to study hypersurfaces in commutative algebra. To study noncommutative hypersurfaces, which are important objects of study in noncommutative algebraic geometry, we introduce a notion of noncommutative matrix factorization for an arbitrary nonzero non-unit element of a ring. First we show that the category of noncommutative graded matrix factorizations is invariant under the operation called twist (this result is a generalization of the result by Cassidy-Conner-Kirkman-Moore). Then we give two category equivalences involving noncommutative matrix factor…
Let $W$ be an irreducible complex reflection group acting on its reflection representation $V$. We consider the doubly graded action of $W$ on the exterior algebra $\wedge (V \oplus V^*)$ as well as its quotient $DR_W := \wedge (V \oplus V^*)/ \langle \wedge (V \oplus V^*)^{W}_+ \rangle$ by the ideal generated by its homogeneous $W$-invariants with vanishing constant term. We describe the bigraded isomorphism type of $DR_W$; when $W = \mathfrak{S}_n$ is the symmetric group, the answer is a difference of Kronecker products of hook-shaped $\mathfrak{S}_n$-modules. We relate the Hilbert series of…
For each valued quiver $Q$ of Dynkin type, we construct a valued ice quiver $Δ_Q^2$. Let $G$ be a simple connected Lie group with Dynkin diagram the underlying valued graph of $Q$. The upper cluster algebra of $Δ_Q^2$ is graded by the triple dominant weights $(μ,ν,λ)$ of $G$. We prove that when $G$ is simply-laced, the dimension of each graded component counts the tensor multiplicity $c_{μ,ν}^λ$. We conjecture that this is also true if $G$ is not simply-laced, and sketch a possible approach. Using this construction, we improve Berenstein-Zelevinsky's model, or in some sense generalize Knutson-…
Coinvariant algebras and fake degrees for spin Weyl groups of classical type
外尔群的上不变代数在数学的许多领域中起着重要的作用。伪度是外尔群的不可约模在其共不变代数中的分次重数，它们是由Steinberg，Lusztig和Beynon-Lusztig计算的。本文给出了每个外尔群的自旋上不变代数的概念。然后计算每个经典外尔群的所有自旋伪度，它们定义为自旋共不变代数中自旋外尔群的单模的分次重数.给出了特殊外尔群的自旋伪度.
Gelfand-Kirillov dimensions of the $Z^2$-graded oscillator representations of sl(n)
我们发现了Luo和Xu建立的调和多项式经典定理的Z^2-分次振子推广中出现的无限维显式不可约sl（n，F）-模的Gelfand-Kirillov维数的精确公式.这些模的三个无限子族具有最小Gelfand-Kirillov维数。它们包含具有无界重数的重模和完全指向模。
Jantzen filtrations for graded affine Hecke algebras
该研究证明了具有相等参数、实中心特征的分次仿射Hecke代数标准模的Jantzen猜想，通过将标准到反标准映射与特定切片上的映射等同，结合硬莱夫谢茨定理等得出Jantzen层半单等结论，并以A型例子说明主导性的必要性。
Graded multiplicity in harmonic polynomials from the Vinberg setting
该研究针对所有节点空间维数为2的循环箭图对应的Vinberg θ-群，给出了调和多项式多分次分量的不可约表示显式分解，并通过多面体面的整点计数确定不可约表示重数。
Universal graded characters and limit of Lusztig $q$-analogues
设G是一个辛或正交复李群，其上有李代数g.作为一个G-模，对称代数S（g）的不可约分解可以利用Littlewood的恒等式得到.我们证明了在S（g）的k阶分次分量的分解中出现的重数不依赖于g的秩n，只要n足够大.由于Kostant的一个经典结果，我们对G-调和多项式空间H（g）的k阶分次分支建立了一个类似的结果。这些稳定性等价于与S（g）和H（g）相关的分次特征标在无穷多个变量中存在极限。这样得到的极限是Koike和Terada提出的泛特征标环中系数的形式级数。从谐波的分级特征的Hesselink表达式，与分区λ和权重0相关联的Lusztig q-模拟中的k次系数因此对于足够大的n稳定。通过使用莫里斯型递推公式，我们证明了这也是正确的多项式$K_{λ,μ}^{g}(q)$，其中亩是一个非空的固定分区。这可以根据Brylinski-Kostant过滤的组分的尺寸的稳定性性质来重新表述。我们还关联到每对分区（λ，μ）的形式系列$K_{λ,μ}^{so}(q)$和$K_{λ,μ}^{sp}(q)$，这可以被视为自然限制的Lusztig q-类似物。一个给出了这些限制的对偶属性，并获得简单的表达式时，λ是一个行或列分区。
Koszul duality for semidirect products and generalized Takiff algebras
得到了分次结合代数上分次模范畴的Koszul型对偶，该分次结合代数可以实现为与其零度部分重合的双代数和分次模代数的半直积.特别地，这适用于Takiff李代数（或截断电流代数）及其（超）类似物的泛包络代数的分次表示，也适用于量子群与辫状对称和外模代数的半直积，如果后者是经典代数的平坦变形。
The geometry of tilting composition series via Richardson varieties
研究翻转sheaves在旗形簇上的(加权)乔丹-霍尔乘数通过理查德森品种在朗兰兹对偶旗形簇上的超上同调几何解释，并提供基于ℓ-卡兹德-卢斯滕布希多项式的显式公式。
Exterior powers of the reflection representation in the cohomology of Springer fibres
设$H^*(\calB_e)$为单李代数$\g$中幂零元$e$的Springer纤维的上同调，Weyl群$W$作用于该单李代数上.令$Λ^i V$表示$W$的反射表示的$i$次外幂。在假定$e$在Levi子代数中是正则的并且满足一定的附加条件的情况下，我们确定了$Λ^i V$在分次表示$H^*(\calB_e)$中出现的次数，如果$\g$是A、B或C型的，则该附加条件自动成立.这部分地证实了Lehrer-Shoji的一个猜想，推广了Solomon在$e=0$情形下和Lehrer-Shoji在$i=1$情形下的结果.证明了$(H^*(\calB_e) \otimes Λ^* V)^W$是它的子空间$(H^*(\calB_e)\otimes V)^W$上的自由外代数。
Cores of graded algebras with triangular decomposition
本文研究有限维分次代数的三角分解。在前一篇文章中，我们证明了这样一个代数的分次模范畴是一个最高权范畴，并且在Ringel意义下有倾斜对象。本文主要研究代数的核心零度部分。我们发现，核心捕捉基本上所有相关信息的分级表示论。利用倾斜理论，我们表明，核心是细胞。然后，我们描述了一个典型的建设的最高权覆盖，在Rouquier的意义上，这个细胞代数使用有限的子商的最高权类别。因此，从一个自内射的分次代数开始承认三角分解，我们规范地构建一个准遗传代数编码的关键信息，如分次重数，原代数。我们的结果是一般的，并适用于各种各样的例子，包括限制包络代数，Lusztig的小量子群，超代数，有限量子群，和限制理性的Cherednik代数。我们期望这里介绍的胞腔模和拟遗传代数将为理解这些重要的例子提供一种新的方法。
Twisted Fusion Products and Quantum Twisted $Q$-Systems
本文研究特殊扭曲流代数上 Kirillov-Reshetikhin 模的融合积，刻画对偶矩阵元空间，并证明分次重数同时由 $q$-分次费米子和与量子扭曲 $Q$-系统解的常数项表示。
Let $W_π$ be the lattice Lie algebra of Witt type associated with an additive inclusion $π: \mathbb{Z}^N \hookrightarrow \mathbb{C}^2$ with $N>1$. In this article, the classification of simple $\mathbb{Z}^N$-graded $W_π$-modules, whose multiplicities are uniformly bounded, is given.
An Analysis of the Multiplicity Spaces in Branching of Symplectic Groups
辛群的分支不是无重数的。我们描述了一种新的方法来解决这些多重性的基础上研究相关的分支代数$B$。代数$B$是一个分次代数，其分量将$Sp_{2n-2}$的不可约表示的重数编码为$Sp_{2n}$的不可约表示。我们的第一个定理指出，$Sp_{2n}$的一个元素到它的主$n \times (n+1)$子矩阵的映射导致$\B$到不同的分支代数$\B'$的同构。代数$\B'$将$GL_{n-1}$的不可约表示的重数编码为$GL_{n+1}$的某些不可约表示。我们的第二个定理是，在将$Sp_{2n}$的不可约表示限制为$Sp_{2n-2}$时产生的每个重数空间是$SL_{2}$的$n$ -重积的规范不可约模。特别是，这导致了多重性空间到一维空间的典型分解，从而解决了多重性。
New graded methods in the homological algebra of semisimple algebraic groups
设$G$是代数闭域$k$上的半单代数群，其特征为$p$ .在对$p$的大小作一定限制的条件下，当$V,W$属于几类重要的有理$G$ -模，且$G_1$表示$G$的第一Frobenius核时，本文建立了关于$\Ext^\bullet_{G_1}(V,W)$的$G$ -模结构的新结果.例如，证明了如果$L,L'$是（$p$ -正则）不可约的$G_1$ -模，则$\Ext^n_{G_1}(L,L')^{[-1]}$具有可计算重数的良好滤子.这和许多其他结果依赖于全新的技术，使用的方法，我们称之为强制分级的表示理论的$G$，作为开发的作者在最近的论文，并在这里扩展。除了提供证明，这些方法有效地导致一个新的概念框架的研究合理的$G$ -模块，并在这种情况下，引入一类新的分次有限维代数，我们称之为Q-Koszul代数。这些代数类似于Koszul代数，但在0级是拟遗传的，而不是半单的。
Stratifying modular representations of finite groups
我们对有限群的稳定模范畴的局部化子范畴进行了分类，这些子范畴在与简单（或等价地所有）模的张量积下是封闭的。一个应用是证明望远镜猜想在这种情况下。其他包括新的证明张量积定理和分类厚子类的有限生成模，避免使用循环移位子群。一路上，我们为分次多项式环和分次外代数上的微分分次模建立了类似的分类。
Twisted Dickson-Mui invariants and the Steinberg module multiplicity
本文确定了有限一般线性群GL_n（q）的抛物子群作用在自然GL_n（q）-模V的对称代数与外代数的张量积上的任意行列式扭的不变量，并得到了GL_n（q）的Steinberg模在V的对称代数与外代数的张量积上的分次重数，被任意的决定性力量扭曲
Fusion products of Kirillov-Reshetikhin modules and fermionic multiplicity formulas
给出了所有单李代数的分次Kirillov-Reshetikhin模的Feigin-Loktev融合积[FL 99]中的分次重数空间的完整描述.这种结构被用来获得在这些情况下的融合系数的上界公式。该公式推广了g=A_r [AKS 06]的情况，其中重数是广义Kostka多项式[SW 99，KS 02]。在其他李代数的情况下，该公式是X=M猜想[HKO+99]的费米子方面。在关于KR-模的张量积的分解公式的Kirillov-Reshetikhin猜想以其原始的限制形式被证明的情况下，我们的结果提供了Feigin和Loktev关于融合积重数的猜想的一个证明.
Convex bodies associated to actions of reductive groups
我们将凸体与一类分次G-代数联系起来，其中G是一个连通的约化群。这些凸体给出了关于希尔伯特函数以及出现在分次代数中的不可约表示的多重性的信息。本文将Duistermaat-Heckman测度的概念推广到分次G-代数上，证明了该测度的一个Fujita型逼近定理和一个Brunn-Minkowski不等式。这特别适用于任意G-线丛，给出了线丛体积理论的等变版本。我们推广的Brion-Kazarnowski公式的程度，一个球形的品种，以任意的G-品种。我们的方法遵循了A. Okounkov.我们使用在我们早期的工作arXiv：0904.3350中发展的整点半群和Newton-Okounkov体的渐近理论
Prime representations in the Hernandez-Leclerc category: classical decompositions
本文研究量子仿射代数HL范畴中的素不可约表示，确定其经典分解与分次极限重数，进一步得到仿射李代数二级可积表示中稳定素Demazure模的分次分解。
Koszul Algebras and Sheaves over Projective Space
本文证明了$Γ_{n}=K[ x_{0},x_{1}...x_{n}] $上的分次Koszul模$% K_Γ$的层化形成了射影空间上凝聚层的一个重要子范畴$\overset{\wedge}{K}_Γ$，$Coh(P^{n}).$。原因之一是$P^{n}$上的任何凝聚层直到移位都属于$\overset{\wedge}{K}_Γ$。更重要的是，范畴$K_Γ$允许利用$Γ$上分次Koszul模与外代数$Λ.$上分次Koszul模之间的Koszul对偶性得到几乎分裂序列的概念。然后，利用这一对偶性发展了范畴$\mathit{Coh(P}^{n})$的一种相对的Auslander-Reiten理论，关于这一理论，除了100%之外，所有用于$\mathit{Coh(P}^{n})$的Auslander-Reiten分量都具有形状\textit{ZA} $_{\infty}.$。
In this paper we prove a general vanishing result for Kohlhaase's higher smooth duality functors $S^i$. If $G$ is any unramified connected reductive $p$-adic group, $K$ is a hyperspecial subgroup, and $V$ is a Serre weight, we show that $S^i(\ind_K^G V)=0$ for $i>\dim(G/B)$ where $B$ is a Borel subgroup. (Here and throughout the paper $\dim$ refers to the dimension over $\Q_p$.) This is due to Kohlhaase for $\GL_2(\Q_p)$ in which case it has applications to the calculation of $S^i$ for supersingular representations. Our proof avoids explicit matrix computations by making use of Lazard theory, …
New Irreducible Modules for Heisenberg and Affine Lie Algebras
研究Heisenberg李代数上具有任意权重数的非零水平的$\mathbb Z$ -分次模和仿射Kac-Moody李代数上相应的广义loop模.我们在Heisenberg李代数上构造了一类新的不可约模族。我们的主要结果建立了相应的广义loop模的不可约性，为仿射李代数的不可约模提供了许多新的例子。特别地，对于任何函数$ϕ:\mathbb N\rightarrow \{\pm\}$，我们将海森堡李代数上的$ϕ$ -最高权模和仿射李代数上的$ϕ$ -虚韦尔马模关联起来。证明了任何非零水平的$ϕ$ -虚韦尔马模都是不可约的.
The minimal monomial lfting of cluster algebras I: branching problems
本文研究复约化代数群的分支问题，通过发展最小单项式提升这一新的几何与组合技术，在Levi子群和张量积情形下赋予分支代数分次上簇代数结构，推广了J. Fei的已有结果。
The Existence of Pure Free Resolutions
令d1，…，dn是严格递增的整数序列。Boij和Söderberg [arXiv：math/0611081]证明了任意多项式环K[x_1，...，x_n]，其最小自由分解是纯类型（d1，.，dn），在这个意义上，它的第i个合是在度di中生成的。在本文中，我们证明了一个更强的陈述，在特征零：这样的模不仅存在，但可以采取GL（n）-等变。实际上，我们给出了两种不同的等变结构，并构造了外代数和Z/2-分次代数上的纯归结。利用Schur函子的组合学和Bott定理，构造了Grassmann簇上等变向量丛的直像。
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