离散节域定理
Discrete Nodal Domain Theorems
摘要：
本文给出了Courant节域定理的两个离散类似定理的详细证明。
英文摘要：
We give a detailed proof for two discrete analogues of Courant's Nodal Domain Theorem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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正方形中的节点域-Neumann情形
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在2001年，Davies，Gladwell，Leydold和Stadler证明了广义Laplacian特征函数的离散节点域定理，即，非正对角元素的对称矩阵。本文利用导出符号图的结构，建立了任意对称矩阵的节域定理。我们的概念的节点域的任何功能在一个有符号的图是开关不变的。当导出符号图是平衡的时，我们的定义和上界估计退化为广义拉普拉斯算子的已有结果。我们的方法提供了一个更概念性的理解Fiedler的结果的特征函数的非循环矩阵。这个新的观点导致强节点域个数的下界估计，改进了Berkolaiko和Xu-Yau的结果。我们还证明了一种新的类型的下界估计的对偶论证。
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高维圆丛的2-节点域定理
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带符号图上p-拉普拉斯算子的节点域定理
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图的“节点分解数”的严格下界
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根据Sturm的一个著名定理，振动的弦被其第N个本征函数的零点精确地分成N个节点区间。柯朗指出，斯特姆弦定理的一半适用于膜理论：第N个本征函数不能有超过N个域。他还举了一个例子，一个本征函数高的频谱与最小数目的节点域，从而排除存在一个非平凡的下限。Sturm结果的一个类似物的离散化的区间讨论了Reinmacher和Krein。区间的离散化是一种简单形式的图，即链图。但对于更复杂的图形又能说些什么呢？自90年代初以来，人们就知道量子树上薛定谔算子的一般本征函数的节点计数也是精确的（其中每条边都被标识为实数线的间隔，并且在顶点上强制执行一些匹配条件）：第N个本征函数的零将树划分为精确的N个子树。我们在两个方向上讨论这个结果的两个推广。一个处理相同的连续薛定谔算子，但一般的图（即非树）和另一个处理离散薛定谔算子的组合图（树和非树）。我们得到的结果适用于这两种类型的图：第N个特征函数的节点域的数量由N-L限制，其中L是将图与树（定义为循环空间的维数或图的基本群的秩）区分开的链接的数量。我们还表明，如果它的genericity条件下降，节点计数可以任意远低于相应的本征函数的数量。
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关于量子图的Pleijel节域定理
On Pleijel's nodal domain theorem for quantum graphs
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曲面图的节几何
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Lipschitz 区域上 Robin 问题的结点计数
Nodal counts for the Robin problem on Lipschitz domains
本文研究了 Lipschitz 区域上 Robin Laplacian 的 Courant-sharp 特征值，证明了 Pleijel 定理及其改进版，并为具有 $C^2$ 边界的凸集给出了显式的特征值数量上界。
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等距对合负曲面特征函数的节点域和奇点个数
Number of nodal domains and singular points of eigenfunctions of negatively curved surfaces with an isometric involution
本文证明了负曲紧致曲面上Laplacian特征函数的标准规范正交基$\{ϕ_j\}$的密度为1的两类节点结果。第一种类型的结果涉及$ϕ_j$的节点集$Z_{ϕ_j}$与平滑曲线$H$的交点$Z_{ϕ_j} \cap H$。利用量子遍历限制定理的最新结果和曲线上本征函数周期的先前结果，证明了在$H$的不对称性假设下，$ϕ_j$的密度为1的子序列的交点数趋于无穷大. .我们还证明了正规导数$\partial_ν ϕ_j$在$H$上的零点个数趋于无穷大。由这些结果，我们得到了等距对合曲面上奇、偶本征函数节域个数的一个下界。使用（和推广）的几何参数的Ghosh-Reznikov-Sarnak，我们表明，节点域的数量的偶数或奇数本征函数趋于无穷大的密度一子序列的本征函数。
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粗节点计数和拓扑持久性
Coarse nodal count and topological persistence
柯朗定理意味着拉普拉斯本征函数的节点域的数目由相应的本征值控制。多年来，人们一直试图从不同的方向找到对这一说法的适当概括。我们提出了一个新的考虑这个问题，从拓扑数据分析的想法。我们表明，如果一个计数的节点域在一个粗糙的方式，基本上忽略小的振荡，柯朗定理延伸到线性组合的本征函数，其产品，其他运营商，和更高的拓扑不变量的节点集。我们也得到了一个粗略的版本的Bézout估计的公共零点的线性组合的特征函数。我们表明，我们的结果基本上是尖锐的，粗计数是必要的，因为这些扩展失败的标准计数。我们的方法结合了多尺度多项式逼近在索伯列夫空间的持久性模块和条形码理论的新成果。
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关于量子图上节点域的个数与图划分的稳定性之间的联系
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曲面上的结点不等式
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给定曲面上的拉普拉斯本征函数，研究其极值在节点域上的分布。经典上已知本征函数的绝对值由本征值的4次方根渐近有界。事实证明，节点域的本征函数具有这样的顺序极值的数量，保持有界的本征值趋于无穷大。我们还观察到，某些限制节点极值的分布和版本的柯朗节域定理是有效的，而广泛的一类功能的表面。这些限制来自于Kronrod和Yomdin关于水平集连通分量平均数的约束。
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对称哑铃域上Neumann特征函数的节点缺陷
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节点几何、热扩散与布朗运动
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量子谐振子的Pleijel型定理
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带位势的Dirichlet-to-Neumann算子的节点数
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考虑光滑流形上Lipschitz域上$Δ+q$的Dirichlet-to-Neumann算子，其中$q$是一个$L^{\infty}$势.本文证明了$k$的Dirichlet-to-Neumann本征函数$ϕ_k$的扩张$u_k$到内部满足$(Δ+q)u_k=0$的结点数的Courant型界。已知经典的柯朗节域定理对斯捷克洛夫本征函数成立，斯捷克洛夫本征函数是与$Δ$相关的狄利克雷-诺依曼本征函数的调和延拓。我们的结果扩展到一个更大的家庭的Dirichlet-to-Neumann算子。我们的证明利用了Steklov和Robin问题之间的对偶性。
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节点域a la Courant
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设$H(\Om_0)=-Δ+V$是有界区域$\Om_0\subset \mathbb R^d$上的Schrödinger算子.设$\Om_\ell$（$\ell \in \{1,...,k\}$）是$\Om_0$的两两不相交的子集，而$H(\Om_\ell)$又是相应的具有Dirichlet边界条件的薛定谔算子.本文研究了$H(\Om_0)$谱与$H(\Om_\ell)$谱之间的关系。特别地，我们得到了相关的谱计数函数的一些不等式，这些不等式可以被解释为柯朗节点定理的推广。对于实现平等的情况，我们证明了相反的结果。特别地，我们使用位势理论的方法将$\Om_\ell$与$H(Ω_0)$的某些本征函数的节点域联系起来。
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具有径向势的薛定谔算子的Pleijel定理
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关于次黎曼拉普拉斯算子的Courant和Pleijel定理
On Courant and Pleijel theorems for sub-Riemannian Laplacians
本文研究次黎曼流形次拉普拉斯算子特征函数结点域数量，将Pleijel定理的有效性从一般流形归结为幂零群情形，并详细分析了Heisenberg群情形，改进了相关不等式的最优常数界限。
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平面Dirichlet Laplacian第三本征函数的闭节线猜想的一个反例
A Counterexample to the Closed Nodal-Line Conjecture for the Third Eigenfunction of the Planar Dirichlet Laplacian
Beijing Normal University（北京师范大学）
针对平面Dirichlet Laplacian第三本征函数的闭节线猜想，构造出一个第三Dirichlet特征值为单重、节集含两条不相交闭曲线的反例，完成猜想的否定。
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基于非交叉分拆组合学的本征函数的振动估计
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本文研究了分数阶薛定谔算子在实直线上的本征函数的振荡。一个参数的柯朗的节域定理的精神适用于一个相关的局部问题，在上半平面，并提供了一个边界上的节点域的本征函数的扩展。利用非交叉分区的组合性质，我们把节点域界的本征函数的符号变化的数量估计。我们讨论的应用程序中的周期设置和平面域上的Steklov问题。
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图的 Krahn-Szegő 型不等式
Krahn--Szegő type inequalities and nodal domain methods on graphs
East China University of Science and Technology（华东理工大学）
研究图的谱几何离散类比，建立树的 Krahn-Szegő 型不等式，通过邻接矩阵的节点域方法得到第二大特征值的上界，并解决 Aouchiche-Hansen 猜想。
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关于本征函数线性组合的柯朗节域性质（I）
On Courant's nodal domain property for linear combinations of eigenfunctions, Part I
根据柯朗定理，与第$λ\_n$个本征值有关的本征函数至多有$n$节点域.柯朗和希尔伯特的书中的一个脚注指出，对于特征值小于或等于$λ\_n$的特征函数的任何线性组合，同样的断言也是正确的。我们把这个断言称为\emph{Extended Courant Property}。\smallskipIn本文中，我们提出了简单而明确的例子，其中扩展的柯朗性质是假的：凸域$\R^n$（超立方体和等边三角形），域与裂纹在$\mathbb{R}^2$，在圆形球体$\mathbb{S}^2$，并在一个平坦的环面$\mathbb{T}^2$。
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关于本征函数线性组合的柯朗节域性质（II）
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推广柯朗的节点域定理，“扩展柯朗性质”是第一个$n$特征函数的线性组合最多有$n$节点域的陈述。在以前的论文（Documenta Mathematica，2018年，第23卷，第23页）中，1561- 1585），我们给出了这个性质的简单反例，包括凸区域。在本文中，使用一些输入从数值计算，我们追求的调查扩展柯朗性质与两个新的例子，等边菱形和正六边形。
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$\mathbb{R}^2$中量子谐振子和其他薛定谔算符的一些节点性质
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对于球面上的球面拉普拉斯算子和正方形上的狄利克雷拉普拉斯算子，安东尼·斯特恩在她的博士论文（1924年）中声称存在一个无穷序列的特征值，其对应的特征空间包含一个恰好有两个节点域的特征函数。这些结果分别由Hans Lewy在1977年和作者在2014年给出了完整的证明（参见Gauthier-Shalom-Przybytkowski，2006）。本文对二维各向同性量子谐振子也得到了类似的结果。在相反的方向上，我们构造了一个无穷序列的正则本征函数与尽可能多的节点域允许的柯朗定理，直到一个因素$\frac{1}{4}$。对于$2$维有界区域，一个经典的问题是用能量的平方根来估计Dirichlet本征函数的节点集的长度.在最后一节中，我们考虑了$\mathbb{R}^2$中的一些Schr{<$}dinger算子$-Δ+ V$，并给出了能量为$λ$的本征函数在经典允许区域$\{V(x) < λ\}$中节点集长度的界.
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