Hurwitz numbers and BKP hierarchy
本文研究由整数$\textsc{f}\ge 0$和$\textsc{e} \le 2$以及$3k$参数集$n_i,q_i,t_i,\,i=1,..., k$定义的Schur函数的特殊比级数.这些级数可以用矩阵积分的形式表示。在$k=0$的情况下，这些系列生成Hurwitz数的$d$ -折叠分支覆盖的连接表面与一个给定的欧拉特征$\textsc{e}$和任意配置文件在$\textsc{f}$分歧点。如果$k>0$，则它们生成Hurwitz数与分布在由$i=1,...,k$索引的颜色组之间的附加分歧点的加权和，权重根据参数$n_i,q_i,t_i$来写。通过指定参数，我们得到了具有$\textsc{f}$任意固定轮廓的所有Hurwitz数的和，以及满足以下条件的附加轮廓：轮廓长度和和每个色组中的分歧点的数目都是给定的。在$\textsc{e}=\textsc{f}=1,2$的情况下，该系列可以用Kac和van de Leur的BKP tau函数来识别，该函数具有称为超几何tau函数的特殊类型。${\mathbb{RP}}^2$的$d$ -折叠分支覆盖的Hurwitz数之和与单组分BKP层次相关。我们还将Hurwitz数的和与胖图的单矩阵模型联系起来.
2014-10-29 hep-th math-ph math.MP
Multispecies quantum Hurwitz numbers
本文将超几何二维Toda $τ$ -函数作为量子Hurwitz数的生成函数的构造推广到多物种家族.导出了这些多物种量子Hurwitz数作为Riemann球面的分支覆盖的加权计数的计数几何意义和它们在$S_n$的Cayley图中的加权路的组合意义.
2015-04-23 hep-th math-ph math.CO
Twist operator correlator revisited and tau function on Hurwitz space
本文推广应力张量方法，将属零与属一的扭曲算子关联函数与 Hurwitz 空间上的 tau 函数及等单odromic tau 函数联系起来，赋予其代数几何与可积系统解释，并给出 $c=1$ 自由玻色子的 CFT 对应。
2023-07-07 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Towards the topological recursion for double Hurwitz numbers
单个赫尔维茨数列举了黎曼球面上具有特定亏格的分支覆盖，在无穷大上的指定分支，以及在其他地方的简单分支。它们表现出非常丰富的结构。特别是，它们作为曲线的模空间上的相交数出现，并由Chekhov，Eynard和Orantin的拓扑递归所支配。双Hurwitz数的定义类似，但在零和无穷大上都有指定的分支。Goulden，Jackson和Vakil已经证明了双Hurwitz数也作为模空间上的相交数出现。本文将双Hurwitz数重新包装为一类由单项式加权的分支覆盖的枚举，并猜想它们受拓扑递归的支配。相关的量子曲线和低亏格计算的形式提供的证据。此外，我们减少到一个较弱的猜想，关于双Hurwitz数的多项式结构。通过拓扑递归框架，我们的主要猜想应导致一个直接的联系，枚举几何，从而阐明了上述猜想的Goulden，Jackson和Vakil。
2018-11-13 math-ph math.AG math.CO
Generating functions for weighted Hurwitz numbers
双Hurwitz数枚举加权$n$ -片化的分支覆盖的黎曼球面或等价地，加权路的凯莱图的$S_n$产生的换位是由一个相关的重量生成函数。一个唯一确定的$1$ -参数族的二维Toda $τ$ -函数的超几何类型的，是由生成函数的加权Hurwitz数。详细介绍了四种经典的加权均匀的情形：Okounkov双Hurwitz数，它的分支除了两个指定的分支点外都是简单的; Belyi曲线的情形，有三个分支点，其中两个分支点有指定的轮廓;一般情形，有指定数目的分支点，其中两个分支点有固定的轮廓，其余分支点只受亏格的约束;和有符号枚举的情况下，与符号确定的奇偶性的数目的分支点。利用指数量子双对数函数作为权生成元，提出了三种新的加权枚举。这些根据变形参数$q$确定{ \em量子} Hurwitz数。通过对$q$的适当解释，量子加权分支覆盖的统计力学可以与玻色气体的统计力学联系起来。在经典极限下恢复了标准双Hurwitz数。
2017-08-10 hep-th math-ph math.CO
Multispecies Weighted Hurwitz Numbers
将超几何$2D$ Toda $τ$ -函数作为加权Hurwitz数的生成函数的构造推广到多物种科.导出了多物种加权Hurwitz数作为Riemann球面分支覆盖的加权计数的几何意义，以及它们在$S_n$的Cayley图中关于加权路的组合意义.详细研究了多物种量子加权赫尔维茨数的特殊情况。
2015-12-10 hep-th math-ph math.CO
BKP and projective Hurwitz numbers
我们认为$d$ -倍分支覆盖的射影平面$\mathbb{RP}^2$，并表明，超几何tau功能的BKP层次的卡茨和范德勒是生成函数的加权和相关的Hurwitz数。特别是，我们得到的$\mathbb{RP}^2$类似物的$\mathbb{CP}^1$生成功能提出的Okounkov和Goulden和杰克逊。其他例子是由霍尔-利特尔伍德和麦克唐纳多项式加权的赫维茨数。我们还考虑积分的tau函数产生的投影Hurwitz数和Hurwitz数相关的不同欧拉特征的基础克莱因曲面。
2016-11-27 hep-th math-ph math.AG
Twist operator correlators and isomonodromic tau functions from modular Hamiltonians
提出一种基于模哈密顿量计算2d CFT中扭曲算符关联函数与等单值tau函数的新方法，给出了亏格为零情况的行列式与形式积分表示，并论证了近似因式分解性质。
2023-09-14 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el hep-th
Constellations and $τ$-functions for rationally weighted Hurwitz numbers
加权星座给出黎曼球面的加权分支覆盖的图形表示。它们被引入到提供组合解释的$2$ D户田$τ$ -函数的超几何类型作为生成函数的加权Hurwitz数的情况下，多项式的重量生成函数。在所有配置上求和的给定加权星座的所有顶点和边权重上的乘积再现了$τ$函数。在目前的工作中，这是广义的星座，其中的加权参数是由一个合理的权重生成函数。相关联的$τ$函数可以表示为双标记加权星座的权重之和，其中两种类型的加权参数与分支覆盖的每个等价类相关联。分支点的双重标记，称为“颜色”和“风味”指数，是需要的事实，即在泰勒展开的权重生成函数，一个特定的颜色从分母参数中可能会出现乘法，和风味标签指示这种多样性。
2020-10-19 hep-th math-ph math.CO
On $\mathbb N$-Coefficient Binomial Polynomiality of Hurwitz Numbers and Generalized Dessin Counting
本文研究含一个任意分歧类型分支点的 Hurwitz 数，证明其对分歧部分的依赖为多项式，且二项式展开系数均为非负整数，并推广至多种 Hurwitz 数与广义 dessin 计数模型。
2025-04-29 math-ph math.CO math.MP
Tau function and Chern-Simons invariant
我们定义了一类无限体积双曲三维流形的Chern-Simons不变量。然后，我们证明了一个表达式有关的Bergman tau函数的覆盖的Hurwitz空间，提升的功能$F$定义的Zoenstein的Teichmüller空间，和另一个全纯函数的覆盖的Hurwitz空间，我们介绍。如果Hurwitz空间的覆盖中的点对应于Riemann曲面$X$，则该函数由重整化体积和由Schottky均匀化给出的$X$的边界3-流形的Chern-Simons不变量以及与双曲和奇异平坦度量中的$X$上的拉普拉斯行列式相关的正则化Polyakov积分构造。结合Kokotov和Korotkin的结果，我们得到了类似的表达的isomonodromic tau函数的Dubrovin。我们还得到了有界3-流形的Chern-Simons不变量和eta不变量之间的关系，缺陷由$X$的Bergmantau函数的相位给出.
2012-09-19 math-ph math.DG math.MP
Quantum Hurwitz numbers and Macdonald polynomials
通过将Macdonald多项式的生成函数中的待定元确定为可交换的Jucys-Murphy元，得到了对称群的群代数的中心${\bf Z}({\bf C}[S_n])$中的参数族.它们的特征值提供了二维Toda $τ$ -超几何型函数的双Schur函数展开中的系数。在幂和对称函数的乘积的基础上表达这些系数，这些系数可以在几何上解释为量子赫维茨数的参数族，枚举黎曼球面的加权分支覆盖。组合地给出了$S_n$的Cayley图中由转置生成的路上的量子加权和.对称函数代数的对偶基对相对于标量积，其中麦克唐纳多项式是正交的，提供了这些量子加权枚举不变量的几何和组合意义。
2016-11-19 hep-th math-ph math.CO
On the Goulden-Jackson-Vakil conjecture for double Hurwitz numbers
Goulden、Jackson和Vakil观察到一部分双Hurwitz数的多项式结构，它枚举了$\mathbb{CP}^1$的分支覆盖，在$\infty$上具有指定的分支轮廓，在0上有唯一的原像，在其他地方有简单的分支。这使他们猜想存在模空间和重言式类的相交理论产生一个类似的著名ELSV公式单一赫维茨数。本文给出了在某些模空间上用相交数表示一部分双Hurwitz数的三个公式。第一个涉及到分类空间的稳定映射的模空间上的Hodge类;第二个涉及到自旋曲线的模空间上的Chiodo类;第三个涉及到稳定曲线的模空间上的重言式类。我们继续讨论的优点，这些公式对一系列所需的性能阐述的古尔登，杰克逊和瓦基尔。我们的公式导致稳定曲线的模空间上的重言式相交数之间的非平凡关系，并暗示了Chiodo类的进一步结构。本文的结论与概括我们的结果的背景下，自旋Hurwitz数。
2020-05-01 math-ph math.AG math.MP
Hypergeometric τ-functions, Hurwitz numbers and enumeration of paths
一个多参数家庭的二维户田$τ$ -功能的超几何类型的复合，签署Hurwitz数，列举某些类的分支覆盖的黎曼球面和路径的凯莱图的$S_n$提供生成函数。在Toda流参数的两个集合中的幂和对称函数的乘积$P_μP'_ν$与$l+m$辅助参数的幂上的系数$F^{c_1, ..., c_l}_{d_1, ..., d_m}(μ, ν)$的级数展开被示出为枚举在一对点处具有指定的分支轮廓$ μ$和$ν$的黎曼球的$|μ|=|ν|=n$折叠分支覆盖，以及两个附加分支描绘集合，满足一定的附加条件，其分歧的轮廓长度。第一组由$l$分支点组成，其分支轮廓长度固定为数字$(n-c_1, ..., n- c_l)$ ;第二组由$m$“着色”分支点的其他组组成，其具有可变的数字，其中组内分支轮廓长度的补数之和固定为等于数字$(d_1, ..., d_m)$。后者计数的符号由这些分支点的总数的奇偶性决定。系数$F^{c_1, ..., c_l}_{d_1, ..., d_m}(μ, ν)$也被证明是枚举对称群$S_n$的Cayley图中由转置生成的路径，如通常的双Hurwitz情况那样，在循环型$μ$的共轭类中的元素处开始并且在类型$ν$的类中结束，但是$(c_1, ..., c_l)$转置的第一个$l$连续序列严格单调增加，并且随后的$(d_1, ..., d_m)$转座的连续性弱地增加。
2015-03-01 hep-th math-ph math.AG
Weighted Hurwitz numbers and topological recursion: an overview
KP或Toda型超几何$τ$ -函数的多参数族作为加权Hurwitz数的生成函数，提供黎曼球面分支覆盖的加权枚举。一个图形解释的加权给出的星座映射到覆盖面。该理论被放置在拓扑递归的框架内，在${\bf t} ={\bf 0}$的Baker函数满足量子光谱曲线方程，其经典极限是合理的。生成谱变量中形式幂级数空间的基础，该基础适应于与$τ$函数相关联的格拉斯曼元素。多电流放大器的定义方面的$τ$ -功能，并显示提供一个替代的生成函数加权Hurwitz数。费米子VEV表示提供了适应基地，对双折射率和多流双折射率。选择权重生成函数作为多项式，并且将Toda $τ$函数中的非零“第二”KP流参数的数量限制为有限，这意味着有限秩协变导数方程，其具有由自适应基元的有限“窗口”满足的有理系数。对相关器被证明提供了一个Christoffel-Darboux型有限秩可积核，并递归计算相关伴随系统的WKB级数系数，从而得到加权Hurwitz数生成元的拓扑递归关系。
2018-08-21 hep-th math-ph math.AG
Triply mixed coverings of arbitrary base curves: Quasimodularity, quantum curves and a mysterious topological recursions
简单的Hurwitz数枚举具有固定分歧数据的黎曼曲面之间的分支态射。近年来，在文献中出现了几种关于属$0$基曲线的这一概念的变体。其中有所谓的单调Hurwitz数，它与随机矩阵理论中的HCIZ积分有关，以及严格单调Hurwitz数，它计数某些Grothendieck dessins d 'enfants。我们概括的概念，Hurwitz数简单，单调和严格单调的Hurwitz数之间的插值到任何属和任意数量的任意，但固定的衍生配置文件。这产生了几个已知的赫尔维茨数的结果的概括。当目标曲面的亏格为1时，我们证明了这些插值Hurwitz数的生成序列是拟模形式。在所有分歧是简单的情况下，我们通过将这个序列写为对应于由Gromov-Witten不变量加权的热带覆盖的拟模形式的和来改进这个结果。此外，我们推导出一个量子曲线的单调和Grothendieck dessins d 'enfants Hurwitz数为任意的一般和一个任意的，但固定的衍生物配置文件。因此，我们通过半经典极限得到谱曲线作为CEO拓扑递归的输入数据。令人惊讶的是，我们发现严格单调Hurwitz数的亏格$1$谱曲线的CEO拓扑递归计算亏格$0$中的单调Hurwitz数。从而给出了单调Hurwitz数满足CEO拓扑递归的一个新的证明。这表明这些枚举数之间存在未知的关系。最后，专门针对目标表面$\mathbb{P}^1$，我们发现递…
2019-06-05 math-ph math.AG math.MP
The matrix model for hypergeometric Hurwitz numbers
本文给出了复射影线在$n$不动点$z_i$，$i=1,\dots,n$（广义Grotendieck's dessins d 'enfants）上分支覆盖的生成函数的多矩阵模型，这些不动点具有固定的亏格、度和在两点的分支轮廓$z_1$和$z_n$ .我们对其他$n-2$点上的所有可能分支求和，其中在$z_2$处的轮廓长度固定，并且在其余$n-3$点处的轮廓总长度固定。所有这些模型都属于一类超几何Hurwitz模型，因此被tau函数的Kadomtsev-Petviashvili（KP）层次。在上述情况下，我们可以将获得的模型表示为具有$\tr M_iM_{i+1}^{-1}$类型的（非标准）最近邻相互作用的矩阵链。我们描述了这种模型的光谱曲线的评价技术，它打开了可能性，应用拓扑递归开发$1/N^2$ -这些模型的扩展。这些光谱曲线原来是一个代数型。
2014-09-11 hep-th math-ph math.CO
Weighted Hurwitz numbers and hypergeometric $τ$-functions: an overview
This is an overview of recent results on the use of 2D Toda $τ$ -functions as generating functions for multiparametric families of weighted Hurwitz numbers. The Bose-Fermi equivalence composed with the characteristic map provides an isomorphism between the zero charge sector of the Fermionic Fock space and the direct sum of the centers of the group algebra of the symmetric groups $S_n$ . Specializing the fermionic formula to the case of diagonal group elements gives $τ$ -functions of hypergeometric type, for which the expansion over products of Schur functions is diagonal, with coefficients of…
2015-09-21 hep-th math-ph math.CO
Spectral curves for hypergeometric Hurwitz numbers
我们考虑多矩阵模型，它是复投影线在$n$不动点$z_i$，$i=1,\dots,n$（广义Grotendieck's dessins d'enfants）上分支的分支覆盖数的生成函数，这些不动点具有固定的亏格、度和在两点$z_1$和$z_n$的分支轮廓.其他$n-2$点的分支输入$z_2$处的轮廓长度和其余$n-3$点处的轮廓总长度之和。我们发现$n=5$模型的谱曲线使用上述生成函数表示为一个链的厄米特矩阵的最近邻相互作用的类型TR $M_iM_{i+1}^{-1}$的循环方程技术。所得到的谱曲线是代数的，并提供了所有必要的成分的拓扑递归过程中产生的所有属项的渐近展开我们的模型在$1/N^2$。我们讨论了我们的模型的辫子群对称性和所提出的方法的观点。
2018-06-18 hep-th math-ph math.AG
