Spectral Gaps for Periodic Elliptic Operators with High Contrast: an Overview
本文讨论了周期椭圆算子在Hilbert空间$L_2(\R^m)$中的带隙结构和积分态密度，其中对$m \ge 2$ .我们特别考虑的情况下，高对比度的系数导致弱耦合之间的周期细胞。周期系统的弱耦合经常产生光谱间隙或光谱集中。我们的例子包括薛定谔算子、散度形式的椭圆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子、周期磁场下的薛定谔和泡利算子。在热和波的传播、量子力学和光子晶体中也有相应的应用。
2002-07-16 math-ph math.MP math.SP
Creating and controlling band gaps in periodic media with small resonators
研究了周期无界区域$Ω_\varepsilon$上Neumann-Laplacian $\mathscr{A}_\varepsilon$的谱性质，其中$Ω_\varepsilon$依赖于小参数$\varepsilon>0$ .通过从$\mathbb{R}^n$ $m\in\mathbb{N}$族中去除$\varepsilon$ -周期性分布的小谐振器来获得域$Ω_\varepsilon$。证明了$\mathscr{A}_\varepsilon$的光谱至少存在$m$能隙。第一个$m$间隙作为$\varepsilon\to 0$收敛到一些间隔，这些间隔的位置和长度可以通过适当选择谐振器来控制;其他间隙（如果有的话）趋于无穷大。讨论了光子晶体理论的应用。
2023-01-02 math-ph math.AP math.MP
Spectral gaps for periodic Schrödinger operators with strong magnetic fields
本文研究了紧致流形覆盖空间上具有周期磁场${\bf B}=d{\bf A}$的薛定谔算子$H^h = (ih d+{\bf A})^* (ih d+{\bf A})$.在对$\bf B$的某些假设下，我们证明了在强磁场$h\to 0$的半经典极限下，这些算符的谱中存在任意大数目的能隙.
2003-11-12 math-ph math.MP math.SP
Hierarchical Band Gaps in Complex Periodic Systems
本文提出复杂周期系统可从其晶胞组成元素继承谱带隙的理论，证明若某频率在所有组成元素中均处于带隙，则必在整体结构中处于带隙，从而无需数值模拟即可预测大晶胞周期系统的谱特征，并通过振动声学与力学示例验证其有效性。
2024-01-12 math-ph math.CA math.MP
Super band gaps and periodic approximants of generalised Fibonacci tilings
我们目前的数学理论理解广义斐波那契平铺形成的异质材料的透射光谱。我们的结果，第一，超带隙，这是光谱间隙存在的任何周期近似的准晶材料。这个理论，其次，建立了这些周期近似的准确性，在这个意义上，他们忠实地再现了主要的频谱间隙。我们根据相关的传输矩阵的迹线上的生长条件来描述超带隙。我们的理论包括一个大家庭的广义斐波那契镶嵌，包括贵金属平均和金属平均模式。我们证明了我们的基本结果，通过分析三种不同的一维波现象：压缩波在离散的质量弹簧系统，轴向波在结构杆和弯曲波在多支撑梁。在所有这三种情况下，该理论给出了准确的预测的超级带隙，可以忽略不计的计算成本和显着更高的精度比以前的估计。
2023-02-20 math-ph math.CA math.MP
The periodic magnetic Schrödinger operators: spectral gaps and tunneling effect
考虑非紧黎曼流形$M$上的周期薛定谔算子，使得$H^1(M, \mathbb R)=0$具有离散群的适当不连续的余紧等距作用.在磁场的某些附加条件下，建立了在半经典极限下，这种算子的谱中存在任意大数目的间隙。证明是基于对相应量子系统中隧穿效应的研究。
2007-02-26 math-ph math.MP math.SP
Eigenvalues in Spectral Gaps of a Perturbed Periodic Manifold
我们考虑一个非紧的黎曼周期流形，使得相应的拉普拉斯算子有一个谱隙。通过连续局部扰动周期度量，我们可以证明间隙中特征值的存在性。通过求解离散特征值问题，给出了特征值分支数的下界。此外，我们讨论的例子扰动导致无穷多个本征值分支来自上述。很多树枝从下面伸出来。
2002-07-14 math-ph math.MP math.SP
Periodic Riemannian manifold with preassigned gaps in spectrum of Laplace-Beltrami operator
已知（E. L。Green，O. Post（2003）），对于任意的$m\in\mathbb{N}$，我们可以构造一个周期非紧黎曼流形$M$，在相应的Laplace-Beltrami算子$-Δ_M$的谱中至少有$m$间隙.在这项工作中，我们不仅要产生一种新的类型的周期流形的谱间隙，但也要控制这些间隙的边缘。本文的主要结果如下：对于任意成对不相交区间$(\a_j,\b_j)\subset[0,\infty)$、$j=1,...,m$（$m\in\mathbb{N}$），对于任意小的$δ>0$和任意大的$L>0$，我们构造了一个周期非紧黎曼流形$M$，在算子$-Δ_{M}$的谱中至少有$m$间隙，此外，第一$m$间隙的边缘属于间隔$(\a_j,\b_j)$的边缘的$δ$ -邻域，而剩余间隙（如果有的话）位于间隔$[0,L]$之外。
2011-10-31 math-ph math.AP math.DG
Asymptotics of spectral gaps of quasi-periodic Schrödinger operators
对于具有丢番图频率的非临界几乎Mathieu算子，我们建立了关于谱间隙大小的指数渐近性，并证明了谱是齐次的。我们还证明了薛定谔算子的频谱的均匀性（测量理论）典型的拟周期解析势和固定的强丢番图频率。作为应用，我们给出了Deift猜想\cite{Deift, Deift17}在亚临界解析准周期初值下的离散形式，并解决了Damanik-Goldstein等人\cite{BDGL, DGL1, dgsv, Go}和Kotani \cite{Kot97}的一系列公开问题.
2017-12-13 math-ph math.DS math.MP
Quantum waveguides with small periodic perturbations: gaps and edges of Brillouin zones
本文研究了具有周期系数的二阶微分算子对多维柱域中Laplace算子的小扰动。我们表明，在一定的非简并条件下，这样的扰动可以打开一个间隙中的连续谱，并给出领先的渐近项的间隙边缘。我们还估计了准动量的值，在该值处的频谱边缘达到。一般机械说明了几个新的例子在二维和三维结构。
2013-04-08 math-ph math.MP
1D periodic potentials with gaps vanishing at k=0
在周期势的色散关系中出现能带和能隙是量子力学的标准特征。我们研究了一类所有能隙在布里渊区中心消失的一维周期势。我们通过一个充分必要条件来刻画它们。我们所关注的势形式出现在物理学的不同领域，从超对称量子力学到Korteweg-de Vries方程理论和经典扩散问题。吸毒过量对应于这个问题是周期性的潜力，共存的线性独立的解决方案，相应的薛定谔方程（希尔方程）的特点。这一结果是放置在以前的相关结果在文献中的角度。
2008-10-13 cond-mat.other math-ph math.MP
Spectral gaps for periodic Schrödinger operators with hypersurface magnetic wells
考虑非紧黎曼流形$M$上的周期磁薛定谔算子，使得$H^1(M, \RR)=0$具有离散群的适当不连续的余紧等距作用.我们假设没有电场，磁场中有一组周期性的致密磁阱。我们回顾了一个一般性的计划，证明存在的一个任意大数目的间隙在这样的运营商的频谱中的半经典极限，这是建议在我们以前的文件，和这个计划的一些应用。然后，我们应用这些方法建立类似的情况下，当井有规则的超曲面片的结果。
2008-01-29 math-ph math.MP math.SP
Periodic quantum graphs with predefined spectral gaps
设$Γ$是任意的不与直线重合的$\mathbb{Z}^n$ -周期度量图.我们考虑$Γ$上的Hamilton $\mathcal{H}_\varepsilon$，其边缘上有作用$-\varepsilon^{-1}{\mathrm{d}^2/\mathrm{d} x^2}$;这里$\varepsilon>0$是一个小参数。令$m\in\mathbb{N}$。我们证明了在适当的顶点条件下，当$\varepsilon$足够小时，$\mathcal{H}^\varepsilon$的谱$σ(\mathcal{H}^\varepsilon)$至少有$m$能隙.我们证明，这些差距的渐近行为和渐近行为的底部的$σ(\mathcal{H}^\varepsilon)$作为$\varepsilon\to 0$可以完全控制，通过适当的选择耦合常数站在这些顶点条件。我们还展示了如何确保固定（足够小）$\varepsilon$的第一$m$频谱间隙的左端点与预定义的数字的精确重合。
2020-05-22 math-ph math.MP math.SP
Spectral gaps for the linear surface wave model in periodic channels
本文研究了由无限多个相同容器组成的周期性通道中的线性水波问题，这些容器的开口宽度为$ε$。受表面波传播现象应用的启发，我们研究了连续谱的带隙结构。我们表明，对于小孔径存在大量的差距，并找到渐近公式的间隙的位置为$ε\to 0$：端点内确定的顺序$ε^{3/2}$的校正。第一带的宽度显示为$O(ε)$。最后给出了谱带不退化为无穷重本征值的一个充分条件。
2013-12-18 math-ph math.FA math.MP
Periodic quantum graphs from the Bethe-Sommerfeld perspective
本文研究了周期量子图的谱中开能隙的个数。Bethe和Sommerfeld（1933）的著名猜想指出，在多个方向上周期的系统的开放谱隙的数量是有限的。到目前为止，它的有效性已经建立在许多系统上，但是，众所周知，量子图不符合这一定律，因为它们的光谱通常有无限多的间隙，或者根本没有间隙。这些事实引起了关于量子图是否存在“贝特-索末菲性质”的问题，也就是说，在光谱中具有非零的有限数量的间隙。在本文中，我们证明了所述性质是不可能的图的顶点耦合，无论是标度不变的或以某种特定的方式与标度不变的。另一方面，我们证明了具有有限数量的开放间隙的量子图确实存在。我们说明了这种现象上的一个例子，一个矩形晶格的$δ$耦合的顶点和一个适当的无理比的边缘。我们的结果允许明确地找到一个量子图与任何规定的确切数量的差距，这是第一个这样的例子的日期。
2017-11-15 math-ph math.MP math.SP
PT-Invariant Periodic Potentials with a Finite Number of Band Gaps
我们得到了复杂的PT不变广义关联Lamé势$V^{PT}(x)=-a(a+1)m \sn^2(y,m)-b(b+1)m {\sn^2 (y+K(m),m)} -f(f+1)m {\sn^2 (y+K(m)+iK'(m),m)}-g(g+1)m {\sn^2 (y+iK'(m),m)}$的带边本征态和中带态，其中$y \equiv ix+β$，有四个参数$a,b,f,g$ .这项工作是以前的工作与相关的Lamé势$V(x)=a(a+1)m\sn^2(x,m)+b(b+1)m{\sn^2 (x+K(m),m)}$和它们相应的PT不变的副本$V^{PT}(x)=-V(ix+β)$，这两个都只涉及两个参数$a,b$的实质性推广。我们表明，对于许多整数值的$a,b,f,g$，PT不变的潜力$V^{PT}(x)$是周期性的问题，有限数量的带隙。此外，利用超对称性，我们构建了几个额外的，新的，复杂的，PT不变的，周期性的潜力与有限数量的带隙。同时指出了广义伴随Lamé势问题与Heun微分方程之间的密切联系。
2005-05-10 hep-th math-ph math.MP
Lyapunov functions for periodic matrix-valued Jacobi operators
我们考虑周期矩阵值Jacobi算子。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义的李雅普诺夫函数，这是分析相关的黎曼曲面。在每一张上，李雅普诺夫函数具有标量情形下李雅普诺夫函数的标准性质。我们表明，这个功能有（真正的或复杂的）分支点，我们称之为共振。我们证明了存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，即，端点是周期和反周期本征值，ii）不稳定（谐振）间隙，即，端点是谐振（实分支点）。我们表明，一些谱数据确定的Jacobi算子的谱（计数多重性）。
2007-01-16 math-ph math.MP math.SP
Analytical approximations for low frequency band gaps in periodic arrays of elastic shells
本文提出并比较了计算双周期谐振薄壳低频带隙边界的三种解析方法。结果表明，在其极点附近的晶格和展开和自洽方案可以用来预测由于轴对称（n=0）和偶极（n=1）壳共振的低频带隙的边界。前一种方法的精度仅限于低填充分数阵列，然而，匹配的渐近展开的应用可以显着提高近似的上带隙边界由于轴对称谐振。自洽计划被证明是非常强大的，并给出可靠的结果，即使是密集阵列填充分数高于40%。结果被用来预测的位置和宽度的低频带隙的外壳和它们的周期阵列的属性的依赖。
2012-07-03 math-ph math.MP
The Lyapunov function for Schrödinger operators with a periodic 2x2 matrix potential
我们考虑实直线上的薛定谔算子，其矩阵值为2 × 2的1-周期势。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义了一个李雅普诺夫函数，这是解析的两个单黎曼曲面。在每一个薄片上，李雅普诺夫函数具有与标量情形相同的性质，但它有分支点，我们称之为共振。我们证明了存在的真正的以及非真正的共振特定的潜力。我们确定的周期和反周期的频谱和共振在高能量的渐近性。我们证明了存在两种类型的带隙：1）稳定带隙，其中端点是周期和反周期本征值，2）不稳定（共振）带隙，其中端点是共振（即，李雅普诺夫函数的实分支点）。我们还证明了周期谱和反周期谱共同决定了矩阵Hill算子的谱。
2005-08-29 math-ph math.MP math.SP
Spectral estimates for matrix-valued periodic Dirac operators
本文研究了一阶周期系统受实直线上$2N\ts 2N$矩阵值周期位势扰动的情形。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义的李雅普诺夫函数，这是一个相关的N-单黎曼曲面上的分析。在每一张上，李雅普诺夫函数具有标量情形下李雅普诺夫函数的标准性质。李雅普诺夫函数有分支点，我们称之为共振。我们证明了真实的或复杂的共振的存在。我们确定的周期性，反周期谱和共振在高能量（在傅里叶系数的潜力）的渐近性。我们发现存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，即，端点是周期和反周期本征值，ii）不稳定（谐振）间隙，即，端点是谐振（实分支点）。此外，我们还确定了各种新的势迹公式和李雅普诺夫指数。
2006-12-11 math-ph math.MP math.SP
Even order periodic operators on the real line
考虑实直线上具有周期系数的$2p\ge 4$阶微分算子.该算子的谱是绝对连续的，并且是由间隙分隔的谱带的并集。我们定义的李雅普诺夫函数，这是分析的p-单黎曼曲面。李雅普诺夫函数具有实分支点或复分支点。我们证明了以下结果：（1）高能谱的重数为2。(2)所有间隙的端点都是周期（或反周期）特征值或实分支点。(3)算子的谱有无限个开隙，对于某些特定的系数，只存在有限个非实分支点（一般情况）。(4)在高能下确定了周期谱、反周期谱和分支点的渐近性。
2010-10-06 math-ph math.MP
Gaps in the spectrum of the Neumann Laplacian generated by a system of periodically distributed trap
本文讨论了NeumannLaplacian在周期无界区域$Ω^\varepsilon$中的谱依赖于小参数$\varepsilon>0$的收敛性.该结构域具有$Ω^\varepsilon=\mathbb{R}^n\setminus S^\varepsilon$的形式，其中$S^\varepsilon$是陷阱状筛选的$\varepsilon\mathbb{Z}^n$周期族。我们证明，对于一个任意大的$L$的频谱只有一个间隙在$[0,L]$时，$\varepsilon$足够小，而且当$\varepsilon\to 0$这个间隙收敛到一些间隔，其边缘可以通过适当选择的几何形状的屏幕控制。讨论了二维光子晶体理论的应用。
2013-01-14 math-ph math.AP math.MP
Complex Periodic Potentials with a Finite Number of Band Gaps
本文对复广义缔合拉梅势V（x）= a（a+1）msn^2（y，m）+ b（b+1）msn^2（y+K（m），m）+ f（f+1）msn^2（y+K（m）+iK '（m），m）+ g（g+1）msn^2（y+ iK'（m），m）得到了几个新的结果，其中y = x-K（m）/2-iK '（m）/2，sn（y，m）是一个模参数为m的Jacobi椭圆函数，有四个实参数a，b，f，g首先，我们推导出两个新的对偶关系，当与先前获得的对偶关系相结合时，允许我们将通过四个参数a，b，f，g的排列获得的24个势的带边本征态联系起来。其次，我们提出并回答了这样一个问题：当a，b，f，g为整数时，有多少个独立的势函数具有有限数量的带隙“a”？对于这些潜在的，我们澄清的性质的带边本征函数。当四个参数中至少有一个是半整数时，我们也得到了几个解析结果。作为副产品，我们还获得了Heun微分方程的新解。
2006-02-13 math-ph math.MP quant-ph
Generating spectral gaps by geometry
受周期势薛定谔算子分析的启发，我们考虑以下抽象情形：设$Δ_X$是非紧黎曼覆盖流形$X$上的拉普拉斯算子，其中离散等距群$Γ$作用于其上，使得商$X/Γ$是紧流形.本文证明了算子$Δ_X$与一类合适的具有非交换覆盖变换群$Γ$的流形$X$相关联时，存在有限个谱间隙.这个结果是基于非阿贝尔Floquet理论以及最小最大原理。类型I的群指定一类满足主定理假设的例子。
2005-06-23 math-ph math.MP
Spectral properties of periodic systems cut at an angle
我们考虑一个半周期的二维薛定谔算子，它被切割成一个角度。当切割与周期晶格相称时，算符的谱具有带隙布洛赫结构。我们证明，在不可分割的情况下，有没有差距：散装运营商的差距是由边缘谱填充。
2021-10-27 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.MP
Galilean invariance in confined quantum systems: Implications on spectral gaps, superfluid flow, and periodic order
伽利略不变性在被限制在有界区域内的$N$量子粒子、玻色子或费米子的能谱和本征态上留下了印记。它赋予光谱一种循环结构，在长度为$L$和横截面积为$s_\perp$的毛细管或细长阱中，该循环结构导致波数为$2nπs_\perpρ$的光谱间隙$n^2h^2s_\perpρ/(2mL)$，其中$ρ$是数密度，$m$是粒子质量。在零温度超流体中，在环形几何中，它导致了用量子$h/(mL)$对流速的量子化，或者用已知的量子$h/m$对沿环形的环流的量子化。加入一个破坏伽利略不变性的“摩擦”势，哈密顿量可以在低流速下具有超流基态，但不超过可能与声速不同的临界速度。在$N$和$L$无限大的极限下，如果保持$N/L=s_\perpρ$不变，平移不变性被打破，质心具有周期性分布，而超流性在低流速下仍然存在。这一结论适用于Lieb-Liniger模型。
2014-03-12 cond-mat.quant-gas math-ph math.MP
On the energy growth of some periodically driven quantum systems with shrinking gaps in the spectrum
本文考虑H（t）=H+V（t）的量子哈密顿量，其中H的谱是半有界的离散的，本征值表现为E_n~n^α，其中0<α<1.特别地，连续本征值之间的间隙衰减为n^{α-1}。假设V（t）是周期的、有界的、在强意义下连续可微的，并且使得关于H的谱分解的矩阵元服从估计|V（t）_{m，n}|<=ε*| M-N|对于m，^{-p}max{m，n}^{-2γ}=其中ε>0，p>=1且γ=（1-α）/2。我们证明了能量扩散指数可以任意小，只要p足够大，ε足够小。更准确地说，对于任何初始条件\in Dom（H^{1/2}），能量的扩散从上而下有界为<H>_n（t）=O（t^σ），其中σ=α/（2 \ceil{p-1} γ-1/2）。作为应用，我们考虑了L^2（S^1，d θ）上的哈密顿量H（t）= |p| ^α+ε*v（θ，t），这在文献中已由Howland讨论过.
2007-10-11 math-ph math.MP
Converging Periodic Boundary Conditions and Detection of Topological Gaps on Regular Hyperbolic Tessellations
本文针对一般 {p,q}-双曲镶嵌提出收敛周期边界条件的实用方案，据此识别体哈密顿量真实谱隙，并构造出与格点 K-理论预言一致的拓扑模型，进而展示拓扑谱流和软界面诱导的拓扑通道。
2023-03-31 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.GR
Eigenvalue bounds in the gaps of Schrodinger operators and Jacobi matrices
我们考虑$C=A+B$，其中$A$是自伴的，在它的谱中有一个间隙$(a,b)$，$B$是（相对）紧的。本文证明了一个允许$B$具有不定符号的一般结果，并应用它得到了适当的周期Schrodinger算子扰动的$(δV)^{d/2}$界和代数几何概周期Jacobi矩阵扰动的Lieb-Thirring界.
2007-05-24 math-ph math.MP math.SP
Existence of spectral gaps, covering manifolds and residually finite groups
本文研究了具有剩余有限覆盖群$Γ$和紧基空间$(M,g)$的黎曼覆盖$(X,g) \to (M,g)$.特别是，我们给出了两个一般的程序，从而在一个家庭的变形覆盖$(X,g_\eps) \to (M,g_\eps)$，使频谱的拉普拉斯$Δ_{(X_\eps,g_\eps)}$至少有一个规定的有限数量的频谱间隙提供$\eps$是足够小的。如果$Γ$有一个正的Kadison常数，那么我们可以应用Brüning和Sunada的结果来推导出$\spec Δ_{(X,g_\eps)}$还有带结构，并且有一个关于$\spec {\laplacian {(X,g_\eps)}}$中与区间$[0,λ]$相交的分量个数$N(λ)$的渐近估计。我们还提出了几类剩余有限群的例子，适合我们的建设和研究它们之间的相互关系。最后，我们提到几个可能的应用程序，我们的结果。
2007-12-10 math-ph math.MP
Gap opening in two-dimensional periodic systems
本文提出了一种新的二维周期系统的间隙控制方法，该方法的扰动由一个二阶微分算子和一族沿一个方向隔开周期胞的窄势“墙”组成。我们表明，在适当的假设下，一个可以打开周围的相关的“波导”系统的色散曲线所确定的点的间隙，在一般情况下，任何有限数量的他们，并控制其宽度的扰动参数。此外，这些间隙的显着特点是，它们的边缘值是由相应的带函数在布里渊区的内部点获得。
2019-12-09 math-ph math.MP math.SP
High-energy asymptotics of the spectrum of a periodic square-lattice quantum graph
本文研究了一个正方形格点的周期量子图，其顶点具有一般的自伴耦合。我们分析了光谱，特别是它的高能量行为。根据耦合类型的不同，能带和带隙具有不同的渐近性。即使边缘被耦合，频带也可以是平坦的，并且非平坦带宽可以表现为$\mathcal{O}(n^j),\, j=1,0,-1,-2,-3$，如频带索引$n\to\infty$。间隙可以具有渐近恒定的宽度或线性增长，后一种情况是通用的。
2010-07-29 math-ph math.MP math.SP
Spectral estimates for Schrödinger operator with periodic matrix potentials on the real line
本文考虑实直线上的薛定谔算子，其周期势为$N\ts N$矩阵，N>1。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义的李雅普诺夫函数，这是一个相关的N-单黎曼曲面上的分析。在每一张上，李雅普诺夫函数具有标量情形下李雅普诺夫函数的标准性质。李雅普诺夫函数有（实的或复的）分支点，我们称之为共振。我们确定的周期性，反周期谱和共振在高能量（在傅里叶系数的潜力）的渐近性。我们发现存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，即，端点是周期和反周期本征值，ii）不稳定（谐振）间隙，即，端点是谐振（实分支点）。进一步得到了如下结果：1）将准动量定义为李雅普诺夫函数Riemann曲面上的一个解析函数，得到了准动量的各种性质和估计; 2）构造了实部由积分态密度给出，虚部由李雅普诺夫指数给出的共形映射.我们得到了与N=1情形相似的共形映射的各种性质; 3）我们确定了势、积分态密度和李雅普诺夫指数的各种新的迹公式; 4）得到了关于势的能隙长度的先验估计。
2005-08-29 math-ph math.MP math.SP
Quantum graphs with the Bethe-Sommerfeld property
与通常的量子系统相比，如果它们在多个方向上是周期性的，则最多具有有限数量的开放谱隙，周期量子图可以在谱中具有任意高的谱隙。图哈密顿算子的这一性质，在某种意义上是通用的，启发了关于存在有限个非零谱隙的图的问题。我们表明，答案取决于顶点耦合与图的边的可扩展性。一个有限的和非零数量的差距被排除的规模不变的耦合图，另一方面，我们证明了具有有限的非零数量的差距的图形确实存在，说明索赔的例子，一个矩形晶格适当调整$δ$耦合的顶点。
2017-05-11 math-ph math.MP math.SP
Perturbation theory for spectral gap edges of 2D periodic Schrödinger operators
我们考虑二维周期薛定谔算子$H=-Δ+W$，其中$Γ$是周期格.我们研究了$H$光谱中开隙边的结构。我们表明，在任意小扰动$V$周期性的$NΓ$，其中$N=N(W)$是某个整数，所有的边缘的间隙在频谱中的$H+V$，这是扰动的间隙$H$成为非退化的，即在许多点仅由一个带函数，并具有非退化的二次最小值/最大值。我们还讨论了这个问题的离散设置，并表明，改变晶格的周期可能确实是不可避免的，以实现非简并。
2017-04-28 math-ph math.AP math.MP
Schrödinger operators on zigzag graphs
我们考虑具有周期势的Z字形图上的薛定谔算子。这个算子的谱由一个绝对连续的部分（间隔间隔）加上无限多个具有无限重数的本征值组成。我们用相同的本征值描述所有紧支本征函数。我们定义了一个李雅普诺夫函数，这是解析的一些黎曼曲面。在每一个薄片上，李雅普诺夫函数具有与标量情形相同的性质，但它有分支点，我们称之为共振。我们证明了所有的共振都是真实的。我们确定的周期和反周期的频谱和共振在高能量的渐近性。我们证明了存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，其中端点是周期和反周期特征值，ii）不稳定（共振）间隙，其中端点是共振（即，李雅普诺夫函数的实分支点）。本文从逆谱理论出发，得到如下结果：1）描述了所有有限间隙势; 2）势--所有特征值映射是某类势的实解析同构。我们将所有这些结果应用到锯齿形单阱碳纳米管的准一维模型。
2006-07-10 math-ph math.MP math.SP
Bethe-Sommerfeld conjecture for periodic Schroedinger operators in strip
本文研究了受有界周期对称算子扰动的平面直条上的Dirichlet Laplacian。我们证明了经典的Bethe-Sommerfeld猜想，即当某个特殊函数表示为满足某个下界的级数时，该算子在其谱中有1000个间隙.我们证明了当周期与带宽之比小于某个显式值（约等于0.10121）时确实存在这种情况。我们还明确地发现了频谱中的点，在该点之上没有内部间隙。然后，我们研究的情况下，一个足够小的周期，我们证明，在这种情况下，考虑运营商没有内部的差距在频谱。确保不存在的条件被写为某些明确的不等式。
2019-06-11 math-ph math.AP math.MP
Schrödinger operators on armchair nanotubes. II
我们考虑了扶手椅型单壁纳米管的准一维模型上具有周期势的薛定谔算子。这个算子的谱由一个绝对连续的部分（间隔间隔）加上无限多个具有无限重数的本征值组成。我们描述了薛定谔算子的绝对连续谱：1）多重性，2）间隙的端点，它们由周期或反周期本征值或共振（李雅普诺夫函数的分支点）给出，3）共振间隙，其中李雅普诺夫函数是非实的。我们确定了在高能量的间隙的渐近性。
2007-07-26 math-ph math.MP math.SP
Stability of driven systems with growing gaps, Quantum rings and Wannier ladders
我们考虑一个量子粒子在一个恒定的外部电动势的周期性结构。周期背景由光滑势和奇点相互作用组成，具有带隙随带指数增大的特性。我们证明了频谱是纯点-即波包的轨迹位于Hilbert空间中的紧集-如果Bloch频率与系统的频率是非共振的，并满足丢番图型估计，或者如果它是共振的。此外，它表明，在非共振情况下采用的KAM方法产生的驱动系统的能量增长的统一界限。
1998-07-23 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
A note on sharp spectral estimates for periodic Jacobi matrices
具有正非对角元$a_n$和实对角元$b_n$的三对角自伴$p$ -周期Jacobi矩阵的谱由$p-1$间隙$γ_i$分隔的区间组成，其中某些间隙可以退化.下面的估计是真实的$$ \sum_{i=1}^{p-1}|γ_i|\geq\max(\max(4(a_1...a_p)^{\frac1p},2\max a_n)-4\min a_n,\max b_n-\min b_n). $$我们证明了，对于任何$p\in\mathbb{N}$有雅可比矩阵的最小周期$p$的谱估计是尖锐的。对于强振荡和弱振荡的$a_n$、$b_n$，该估计都是尖锐的。此外，它改进了一些最近的谱估计。
2018-10-16 math-ph math.MP
On resonances and the formation of gaps in the spectrum of quasi-periodic Schroedinger equations
我们考虑离散直线上的一维差分Schroedinger方程，其势是通过沿位移x-->x+nw的轨道对一维环面上的实解析势函数V（x）求值而产生的。如果李雅普诺夫指数对所有的能量和w都是正的，那么积分态密度对几乎所有的w都是绝对连续的。在这项工作中，我们建立了一个密集的间隙在光谱中的形成。我们的方法是基于归纳尺度的论点，因此是建设性的，以及定量的。一个尺度的本征函数之间的共振导致更大尺度的“预隙”。为了传递到光谱中的实际间隙，我们表明，这些预间隙不能被填充超过一个有限的（和一致有界的）次数。为了实现这一点，我们涉及到一个预间隙对复零点的Dirichlet行列式关闭的单位圆使用的技术，作者的早期文件。除其他外，我们在这项工作中建立一个非微扰版本的协变参数化的特征值和特征函数通过阶段的精神西奈的（微扰）描述的频谱通过他的功能，以及多尺度/有限体积的方法安德森本地化在这种情况下。这使我们能够将频谱中的间隙与由相位参数化的本征值的图形联系起来。我们的无限体积定理适用于所有的丢番图频率w到一组豪斯多夫维数为零。这与早期的技术相反，早期的技术只产生特殊的零测量集。除了解析性之外，我们对势的唯一假设是李雅普诺夫指数为正。
2008-04-09 math-ph math.DS math.MP
Spectral gaps and discrete magnetic Laplacians
本文的目的是给出一个简单的几何条件，保证存在的离散拉普拉斯谱间隙的周期图。为了证明这一点，我们分析了离散磁拉普拉斯算子（DML）的有限商和解释作为Floquet参数的矢量位。我们开发了一个虚拟化的边缘和顶点，产生矩阵的特征值（以升序和计数的多重性）指定的括号间隔的拉普拉斯算子的频谱是本地化的过程。我们证明了Higuchi-Shirai猜想的Z-周期树，并应用我们的技术在几个例子，如聚丙烯或聚乙炔显示存在的光谱间隙。
2018-08-07 math-ph math.CO math.MP
Complex classes of periodically driven topological lattice systems
周期性驱动（Floquet）晶体由它们的准能谱描述。它们的拓扑性质的特点是连接到这个频谱的间隙的不变量。在这篇文章中，我们定义这样的不变量在所有的空间维度，无论是在没有对称的情况下，并在酉手征对称性存在的情况下。当不存在对称性时，可以在所有偶数空间维度中的每个间隙中定义$\mathbb{Z}$值不变量。这个不变量并不能捕获存在手征对称性的系统的所有性质。在偶数空间维中，手征对称性对不同间隙的手征对称性的值有一定的限制。在奇数维空间中，手征对称性也使得能够仅在手征间隙$0$和$π$中定义$\mathbb{Z}$值不变量。我们涉及到两个间隙不变量的标准不变量表征的准能带的系统。在一维和三维的例子进行了讨论。
2016-03-21 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
The nature of manifolds of periodic points for higher dimensional integrable maps II
利用$p$不变量研究了$\bm{C}^d$上有理映射的周期性条件，证明了当$p\ge d/2$满足时，一个映射中不同时存在孤立的周期点集和有限维代数簇.我们还详细讨论了它们之间的过渡是如何发生的。
2005-12-22 hep-th math-ph math.MP
The band spectrum of the periodic airy-schrodinger operator on the real line
我们引入了周期性的Airy-Schrödinger算子并研究了它的带谱。这是一个显式可解模型的例子，其周期势在其最小值和最大值处不可微。我们定义了一个半经典制度，其中的结果是一个固定值的半经典参数，因此估计，而不是渐近结果。我们证明了存在一个序列的显式常数，这是零的经典功能，给上界的半经典参数的光谱带是在半经典制度。我们完全确定的行为的边缘的第一个光谱带相对于半经典参数。然后，我们研究了位于势范围内的谱带和带隙。我们证明这些光谱带的宽度和这些光谱间隙的精确估计，我们确定在这个范围内的综合谱密度的上界。最后，在半经典区域，我们得到了每个谱带边缘的估计，从而得到了每个谱带宽度和谱隙的估计。
2017-01-27 math-ph math.MP math.SP
Normal stability of slow manifolds in nearly-periodic Hamiltonian systems
M. Kruskal证明了每一个近周期动力系统都有一个形式上的$U(1)$对称性，这种对称性是由所谓的旋转速率产生的。我们证明，这样的系统也承认几乎不变流形的每一个命令，附近的快速振荡被抑制。我们研究了这些慢流形的非线性正常稳定性的近周期哈密顿系统勉强辛流形-流形配备封闭的，非退化的$2$ -形式，可以退化到领先的顺序。特别是，我们建立了一个充分条件的长期正常稳定性的基础上，著名的绝热不变量的二阶导数。我们利用这些结果研究了磁化带电粒子作为慢流形在近周期系统中嵌入引导中心动力学的问题。我们证明了一个先前的嵌入，和两个新的嵌入享有长期正常的稳定性，从而加强了这些模型的理论依据。
2021-04-05 math-ph math.DS math.MP
Dislocation problems for periodic Schrödinger operators and mathematical aspects of small angle grain boundaries
我们讨论了二维晶格中的两种缺陷，即（1）平移位错和（2）晶格在半空间中旋转产生的缺陷。对于Lipschitz连续势和$\Z^2$周期势，我们首先证明了平移位错在周期问题的间隙内产生谱，并给出了相关表面态的（积分）密度估计.然后，我们研究晶格与一个小角度的缺陷，我们发现，周期性问题的间隙填充频谱的缺陷角为零。为了介绍我们的方法，我们首先研究的位错问题的真正的线和一个无限的带。最后，我们考虑松饼罐类型的示例。我们的概述参考[HK1，HK2]中的结果。
2012-04-11 math-ph math.MP math.SP
Spectral estimates for periodic Jacobi matrices
我们得到了$(Hψ)_n= a_{n-1}ψ_{n-1}+b_nψ_n+a_nψ_{n+1}$形式的$\ell^2(\Z)$上Jacobi矩阵的谱和谱隙总宽度的界，其中$a_n=a_{n+q}$和$b_n=b_{n+q}$是实数的周期序列.这些结果是基于对对应于$H$的准动量$k(z)$的研究。我们把$k(z)$看作是复平面上的一个共形映射。我们获得了将间隙上的李雅普诺夫指数积分与$H$的幂的归一化迹联系起来的迹恒等式。
2003-10-13 math-ph math.MP math.SP
The nature of manifolds of periodic points for higher dimensional integrable maps
通过研究具有$p$不变量的$\bm{C}^d$上有理映射的周期点，证明了当周期条件是“完全相关”时，周期点形成维数为$p$的不变簇，当周期条件是“不相关”时，周期点形成孤立点集.我们提出了许多例子的不变品种的情况下，可积映射。此外，我们证明了不变簇和孤立点集不同时存在于一个地图。
2005-12-22 hep-th math-ph math.MP
Asymptotic formulas for spectral gaps and deviations of Hill and 1D Dirac operators
设$L$是区间$[0,π].$上的Hill算子或一维Dirac算子。如果考虑$L$的Dirichlet、周期或反周期边界条件，则相应的谱是离散的，并且对于足够大的$|n|$，在Hill情况下接近于$n^2 $，或在Dirac情况下接近于$n, \; n\in \mathbb{Z}$，存在一个狄利克雷本征值$μ_n$和两个周期（如果$n$是偶数）或反周期（如果$n$是奇数）本征值$λ_n^-, \, λ_n^+ $（用多重数计数）。我们给出了谱隙$γ_n = λ_n^+ - λ_n^-$和偏差$ δ_n =μ_n - λ_n^+$的渐近估计的傅立叶系数的潜力。此外，对于三角多项式的特殊势函数，我们给出了$γ_n$和$δ_n.$的精确渐近性
2013-09-06 math-ph math.FA math.MP
Topological index for periodically driven time-reversal invariant 2D systems
本文定义了一个新的$Z_2$值指数来刻画二维晶体在周期驱动下的时间反演对称性的拓扑性质。该指数与一段时间内演化算子的谱隙相关联。当存在两个这样的间隙时，具有间隙之间的本征值的本征态的Kane-Mele指数被恢复为间隙指数的差。这导致了一个表达式的凯恩-梅勒不变量的Wess-Zumino振幅。我们说明了新的指数的边缘状态在有限的几何形状的关系，通过数值求解一个明确的模型上的正方形晶格，周期性地驱动在一个时间反转不变的方式。
2015-03-23 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas math-ph
