Eigenvalues in Spectral Gaps of a Perturbed Periodic Manifold
我们考虑一个非紧的黎曼周期流形，使得相应的拉普拉斯算子有一个谱隙。通过连续局部扰动周期度量，我们可以证明间隙中特征值的存在性。通过求解离散特征值问题，给出了特征值分支数的下界。此外，我们讨论的例子扰动导致无穷多个本征值分支来自上述。很多树枝从下面伸出来。
2002-07-14 math-ph math.MP math.SP
Spectral gaps for periodic Schrödinger operators with hypersurface magnetic wells
考虑非紧黎曼流形$M$上的周期磁薛定谔算子，使得$H^1(M, \RR)=0$具有离散群的适当不连续的余紧等距作用.我们假设没有电场，磁场中有一组周期性的致密磁阱。我们回顾了一个一般性的计划，证明存在的一个任意大数目的间隙在这样的运营商的频谱中的半经典极限，这是建议在我们以前的文件，和这个计划的一些应用。然后，我们应用这些方法建立类似的情况下，当井有规则的超曲面片的结果。
2008-01-29 math-ph math.MP math.SP
Gaps in the spectrum of a cuboidal periodic lattice graph
我们定位间隙的频谱上的周期立方体（一般超矩形）格图的$δ$耦合的顶点的哈密顿。我们制定的充分条件下，缺口的数量是有限的。作为主要的结果，我们发现之间的连接安排的差距和系数的连分数与边长的比例的晶格。这种知识使得能够直接构建具有任何所需数量的谱隙的周期量子图，并且在某种程度上控制它们的位置;即，来部分解决逆谱问题。
2018-12-13 math-ph math.MP math.SP
Creating and controlling band gaps in periodic media with small resonators
研究了周期无界区域$Ω_\varepsilon$上Neumann-Laplacian $\mathscr{A}_\varepsilon$的谱性质，其中$Ω_\varepsilon$依赖于小参数$\varepsilon>0$ .通过从$\mathbb{R}^n$ $m\in\mathbb{N}$族中去除$\varepsilon$ -周期性分布的小谐振器来获得域$Ω_\varepsilon$。证明了$\mathscr{A}_\varepsilon$的光谱至少存在$m$能隙。第一个$m$间隙作为$\varepsilon\to 0$收敛到一些间隔，这些间隔的位置和长度可以通过适当选择谐振器来控制;其他间隙（如果有的话）趋于无穷大。讨论了光子晶体理论的应用。
2023-01-02 math-ph math.AP math.MP
Lyapunov functions for periodic matrix-valued Jacobi operators
我们考虑周期矩阵值Jacobi算子。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义的李雅普诺夫函数，这是分析相关的黎曼曲面。在每一张上，李雅普诺夫函数具有标量情形下李雅普诺夫函数的标准性质。我们表明，这个功能有（真正的或复杂的）分支点，我们称之为共振。我们证明了存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，即，端点是周期和反周期本征值，ii）不稳定（谐振）间隙，即，端点是谐振（实分支点）。我们表明，一些谱数据确定的Jacobi算子的谱（计数多重性）。
2007-01-16 math-ph math.MP math.SP
Asymptotics of spectral gaps of quasi-periodic Schrödinger operators
对于具有丢番图频率的非临界几乎Mathieu算子，我们建立了关于谱间隙大小的指数渐近性，并证明了谱是齐次的。我们还证明了薛定谔算子的频谱的均匀性（测量理论）典型的拟周期解析势和固定的强丢番图频率。作为应用，我们给出了Deift猜想\cite{Deift, Deift17}在亚临界解析准周期初值下的离散形式，并解决了Damanik-Goldstein等人\cite{BDGL, DGL1, dgsv, Go}和Kotani \cite{Kot97}的一系列公开问题.
2017-12-13 math-ph math.DS math.MP
The Lyapunov function for Schrödinger operators with a periodic 2x2 matrix potential
我们考虑实直线上的薛定谔算子，其矩阵值为2 × 2的1-周期势。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义了一个李雅普诺夫函数，这是解析的两个单黎曼曲面。在每一个薄片上，李雅普诺夫函数具有与标量情形相同的性质，但它有分支点，我们称之为共振。我们证明了存在的真正的以及非真正的共振特定的潜力。我们确定的周期和反周期的频谱和共振在高能量的渐近性。我们证明了存在两种类型的带隙：1）稳定带隙，其中端点是周期和反周期本征值，2）不稳定（共振）带隙，其中端点是共振（即，李雅普诺夫函数的实分支点）。我们还证明了周期谱和反周期谱共同决定了矩阵Hill算子的谱。
2005-08-29 math-ph math.MP math.SP
Spectral estimates for matrix-valued periodic Dirac operators
本文研究了一阶周期系统受实直线上$2N\ts 2N$矩阵值周期位势扰动的情形。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义的李雅普诺夫函数，这是一个相关的N-单黎曼曲面上的分析。在每一张上，李雅普诺夫函数具有标量情形下李雅普诺夫函数的标准性质。李雅普诺夫函数有分支点，我们称之为共振。我们证明了真实的或复杂的共振的存在。我们确定的周期性，反周期谱和共振在高能量（在傅里叶系数的潜力）的渐近性。我们发现存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，即，端点是周期和反周期本征值，ii）不稳定（谐振）间隙，即，端点是谐振（实分支点）。此外，我们还确定了各种新的势迹公式和李雅普诺夫指数。
2006-12-11 math-ph math.MP math.SP
Periodic Riemannian manifold with preassigned gaps in spectrum of Laplace-Beltrami operator
已知（E. L。Green，O. Post（2003）），对于任意的$m\in\mathbb{N}$，我们可以构造一个周期非紧黎曼流形$M$，在相应的Laplace-Beltrami算子$-Δ_M$的谱中至少有$m$间隙.在这项工作中，我们不仅要产生一种新的类型的周期流形的谱间隙，但也要控制这些间隙的边缘。本文的主要结果如下：对于任意成对不相交区间$(\a_j,\b_j)\subset[0,\infty)$、$j=1,...,m$（$m\in\mathbb{N}$），对于任意小的$δ>0$和任意大的$L>0$，我们构造了一个周期非紧黎曼流形$M$，在算子$-Δ_{M}$的谱中至少有$m$间隙，此外，第一$m$间隙的边缘属于间隔$(\a_j,\b_j)$的边缘的$δ$ -邻域，而剩余间隙（如果有的话）位于间隔$[0,L]$之外。
2011-10-31 math-ph math.AP math.DG
Spectral gaps for the linear surface wave model in periodic channels
本文研究了由无限多个相同容器组成的周期性通道中的线性水波问题，这些容器的开口宽度为$ε$。受表面波传播现象应用的启发，我们研究了连续谱的带隙结构。我们表明，对于小孔径存在大量的差距，并找到渐近公式的间隙的位置为$ε\to 0$：端点内确定的顺序$ε^{3/2}$的校正。第一带的宽度显示为$O(ε)$。最后给出了谱带不退化为无穷重本征值的一个充分条件。
2013-12-18 math-ph math.FA math.MP
Eigenvalue bounds in the gaps of Schrodinger operators and Jacobi matrices
我们考虑$C=A+B$，其中$A$是自伴的，在它的谱中有一个间隙$(a,b)$，$B$是（相对）紧的。本文证明了一个允许$B$具有不定符号的一般结果，并应用它得到了适当的周期Schrodinger算子扰动的$(δV)^{d/2}$界和代数几何概周期Jacobi矩阵扰动的Lieb-Thirring界.
2007-05-24 math-ph math.MP math.SP
Upper bounds on the spectral gaps of quasi-periodic Schrödinger operators with Liouville frequencies
我们证明了具有Liouville频率的弱耦合拟周期薛定谔算子的谱隙的大小是指数衰减的。作为应用，我们得到了谱的均匀性。
2018-08-23 math.SP
Gaps in the spectrum of the Neumann Laplacian generated by a system of periodically distributed trap
本文讨论了NeumannLaplacian在周期无界区域$Ω^\varepsilon$中的谱依赖于小参数$\varepsilon>0$的收敛性.该结构域具有$Ω^\varepsilon=\mathbb{R}^n\setminus S^\varepsilon$的形式，其中$S^\varepsilon$是陷阱状筛选的$\varepsilon\mathbb{Z}^n$周期族。我们证明，对于一个任意大的$L$的频谱只有一个间隙在$[0,L]$时，$\varepsilon$足够小，而且当$\varepsilon\to 0$这个间隙收敛到一些间隔，其边缘可以通过适当选择的几何形状的屏幕控制。讨论了二维光子晶体理论的应用。
2013-01-14 math-ph math.AP math.MP
Spectral gaps of Schrödinger operators with periodic singular potentials
本文利用拟导数方法研究了具有周期奇异势$v.$的一维Schr dinger算子的谱隙。我们的结果揭示了在先验假设$v \in H^{-1}_{loc} (\mathbb{R}).$下势的光滑性与谱隙渐近性之间的密切关系。它们推广和加强了经典情形$v \in L^2_{loc}(\mathbb{R}).$中的类似结果。
2009-03-30 math.SP
Spectral properties of periodic systems cut at an angle
我们考虑一个半周期的二维薛定谔算子，它被切割成一个角度。当切割与周期晶格相称时，算符的谱具有带隙布洛赫结构。我们证明，在不可分割的情况下，有没有差距：散装运营商的差距是由边缘谱填充。
2021-10-27 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.MP
Periodic quantum graphs from the Bethe-Sommerfeld perspective
本文研究了周期量子图的谱中开能隙的个数。Bethe和Sommerfeld（1933）的著名猜想指出，在多个方向上周期的系统的开放谱隙的数量是有限的。到目前为止，它的有效性已经建立在许多系统上，但是，众所周知，量子图不符合这一定律，因为它们的光谱通常有无限多的间隙，或者根本没有间隙。这些事实引起了关于量子图是否存在“贝特-索末菲性质”的问题，也就是说，在光谱中具有非零的有限数量的间隙。在本文中，我们证明了所述性质是不可能的图的顶点耦合，无论是标度不变的或以某种特定的方式与标度不变的。另一方面，我们证明了具有有限数量的开放间隙的量子图确实存在。我们说明了这种现象上的一个例子，一个矩形晶格的$δ$耦合的顶点和一个适当的无理比的边缘。我们的结果允许明确地找到一个量子图与任何规定的确切数量的差距，这是第一个这样的例子的日期。
2017-11-15 math-ph math.MP math.SP
Spectral estimates for Schrödinger operator with periodic matrix potentials on the real line
本文考虑实直线上的薛定谔算子，其周期势为$N\ts N$矩阵，N>1。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义的李雅普诺夫函数，这是一个相关的N-单黎曼曲面上的分析。在每一张上，李雅普诺夫函数具有标量情形下李雅普诺夫函数的标准性质。李雅普诺夫函数有（实的或复的）分支点，我们称之为共振。我们确定的周期性，反周期谱和共振在高能量（在傅里叶系数的潜力）的渐近性。我们发现存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，即，端点是周期和反周期本征值，ii）不稳定（谐振）间隙，即，端点是谐振（实分支点）。进一步得到了如下结果：1）将准动量定义为李雅普诺夫函数Riemann曲面上的一个解析函数，得到了准动量的各种性质和估计; 2）构造了实部由积分态密度给出，虚部由李雅普诺夫指数给出的共形映射.我们得到了与N=1情形相似的共形映射的各种性质; 3）我们确定了势、积分态密度和李雅普诺夫指数的各种新的迹公式; 4）得到了关于势的能隙长度的先验估计。
2005-08-29 math-ph math.MP math.SP
Schrödinger operators on zigzag graphs
我们考虑具有周期势的Z字形图上的薛定谔算子。这个算子的谱由一个绝对连续的部分（间隔间隔）加上无限多个具有无限重数的本征值组成。我们用相同的本征值描述所有紧支本征函数。我们定义了一个李雅普诺夫函数，这是解析的一些黎曼曲面。在每一个薄片上，李雅普诺夫函数具有与标量情形相同的性质，但它有分支点，我们称之为共振。我们证明了所有的共振都是真实的。我们确定的周期和反周期的频谱和共振在高能量的渐近性。我们证明了存在两种类型的间隙：i）稳定间隙，其中端点是周期和反周期特征值，ii）不稳定（共振）间隙，其中端点是共振（即，李雅普诺夫函数的实分支点）。本文从逆谱理论出发，得到如下结果：1）描述了所有有限间隙势; 2）势--所有特征值映射是某类势的实解析同构。我们将所有这些结果应用到锯齿形单阱碳纳米管的准一维模型。
2006-07-10 math-ph math.MP math.SP
Schrödinger operators on armchair nanotubes. II
我们考虑了扶手椅型单壁纳米管的准一维模型上具有周期势的薛定谔算子。这个算子的谱由一个绝对连续的部分（间隔间隔）加上无限多个具有无限重数的本征值组成。我们描述了薛定谔算子的绝对连续谱：1）多重性，2）间隙的端点，它们由周期或反周期本征值或共振（李雅普诺夫函数的分支点）给出，3）共振间隙，其中李雅普诺夫函数是非实的。我们确定了在高能量的间隙的渐近性。
2007-07-26 math-ph math.MP math.SP
On the Number of Closed Gaps of Discrete Periodic One-Dimensional Operators
本文研究离散周期一维薛定谔算子的闭谱间隙最大数量，给出大周期下的非平凡上下界，精确算出周期≤6时的数值，且均严格小于周期雅可比矩阵逆理论的p-2上界，同时拓展到纯非对角雅可比矩阵情形。
2023-08-23 math.SP
The band spectrum of the periodic airy-schrodinger operator on the real line
我们引入了周期性的Airy-Schrödinger算子并研究了它的带谱。这是一个显式可解模型的例子，其周期势在其最小值和最大值处不可微。我们定义了一个半经典制度，其中的结果是一个固定值的半经典参数，因此估计，而不是渐近结果。我们证明了存在一个序列的显式常数，这是零的经典功能，给上界的半经典参数的光谱带是在半经典制度。我们完全确定的行为的边缘的第一个光谱带相对于半经典参数。然后，我们研究了位于势范围内的谱带和带隙。我们证明这些光谱带的宽度和这些光谱间隙的精确估计，我们确定在这个范围内的综合谱密度的上界。最后，在半经典区域，我们得到了每个谱带边缘的估计，从而得到了每个谱带宽度和谱隙的估计。
2017-01-27 math-ph math.MP math.SP
Perturbation theory for spectral gap edges of 2D periodic Schrödinger operators
我们考虑二维周期薛定谔算子$H=-Δ+W$，其中$Γ$是周期格.我们研究了$H$光谱中开隙边的结构。我们表明，在任意小扰动$V$周期性的$NΓ$，其中$N=N(W)$是某个整数，所有的边缘的间隙在频谱中的$H+V$，这是扰动的间隙$H$成为非退化的，即在许多点仅由一个带函数，并具有非退化的二次最小值/最大值。我们还讨论了这个问题的离散设置，并表明，改变晶格的周期可能确实是不可避免的，以实现非简并。
2017-04-28 math-ph math.AP math.MP
Opening up and control of spectral gaps of the Laplacian in periodic domains
本文的主要结果如下：对于任意两两不相交的有限区间$(α_j,β_j)\subset[0,\infty)$，$j=1,\dots,m$和任意$n\geq 2$，我们构造了周期非紧域族$\{Ω^\varepsilon\subset\mathbb{R}^n\}_{\varepsilon>0}$，使得当$\varepsilon$足够小时，$Ω^\varepsilon$中的Neumann Laplacian的谱至少有$m$间隙，并且第一个$m$间隙趋向于区间$(α_j,β_j)$为$\varepsilon\to 0$ .通过从$\mathbb{R}^n$中去除周期性分布的“陷阱状”表面的系统来获得构建的结构域$Ω^\varepsilon$。参数$\varepsilon$表征了畴$Ω^\varepsilon$的周期，它也涉及到被去除表面的几何形状。
2014-12-20 math.AP math.SP
Bethe-Sommerfeld conjecture for periodic Schroedinger operators in strip
本文研究了受有界周期对称算子扰动的平面直条上的Dirichlet Laplacian。我们证明了经典的Bethe-Sommerfeld猜想，即当某个特殊函数表示为满足某个下界的级数时，该算子在其谱中有1000个间隙.我们证明了当周期与带宽之比小于某个显式值（约等于0.10121）时确实存在这种情况。我们还明确地发现了频谱中的点，在该点之上没有内部间隙。然后，我们研究的情况下，一个足够小的周期，我们证明，在这种情况下，考虑运营商没有内部的差距在频谱。确保不存在的条件被写为某些明确的不等式。
2019-06-11 math-ph math.AP math.MP
Dislocation problems for periodic Schrödinger operators and mathematical aspects of small angle grain boundaries
我们讨论了二维晶格中的两种缺陷，即（1）平移位错和（2）晶格在半空间中旋转产生的缺陷。对于Lipschitz连续势和$\Z^2$周期势，我们首先证明了平移位错在周期问题的间隙内产生谱，并给出了相关表面态的（积分）密度估计.然后，我们研究晶格与一个小角度的缺陷，我们发现，周期性问题的间隙填充频谱的缺陷角为零。为了介绍我们的方法，我们首先研究的位错问题的真正的线和一个无限的带。最后，我们考虑松饼罐类型的示例。我们的概述参考[HK1，HK2]中的结果。
2012-04-11 math-ph math.MP math.SP
Spectral gaps of the one-dimensional Schrödinger operators with singular periodic potentials
研究了具有实值1-周期分布势$q(x)\in H_{1{-}per}^{-1}(\mathbb{R})$的Hill-Schr dinger算子S（q）u=-u“+q（x）u，\quad u \in \mathrm{Dom}（S（q））的谱隙长度$\{γ_{n}(q)\}_{n=1}^{\infty}$的性质.我们表明，他们表现出相同的行为的傅立叶系数$\{\widehat{q}(n)\}_{n=-\infty}^{\infty}$的潜力$q(x)$相对于加权序列空间$h^{s,φ}$，$s>-1$，$φ\in \mathrm{SV}$。情况$q(x)\in L_{1{-}per}^{2}(\mathbb{R})$、$s\in \mathbb{Z}_{+}$、$φ\equiv 1$对应于马琴科-奥斯特洛夫斯基定理。
2009-04-06 math.SP
Spectral estimates for periodic Jacobi matrices
我们得到了$(Hψ)_n= a_{n-1}ψ_{n-1}+b_nψ_n+a_nψ_{n+1}$形式的$\ell^2(\Z)$上Jacobi矩阵的谱和谱隙总宽度的界，其中$a_n=a_{n+q}$和$b_n=b_{n+q}$是实数的周期序列.这些结果是基于对对应于$H$的准动量$k(z)$的研究。我们把$k(z)$看作是复平面上的一个共形映射。我们获得了将间隙上的李雅普诺夫指数积分与$H$的幂的归一化迹联系起来的迹恒等式。
2003-10-13 math-ph math.MP math.SP
Magnetic Schrödinger operators on armchair nanotubes
我们考虑具有周期势的薛定谔算子在$\R^3$中的扶手椅型纳米管的准一维连续周期模型上，该模型在平行于纳米管轴的均匀磁场（振幅为$B\in \R$）中。该算子的谱由一个绝对连续的部分（由间隙分隔的谱带）加上具有无限重数的无穷多个本征值组成。我们描述了所有具有相同特征值的特征函数，包括紧支集。我们将光谱描述为$B$的函数。对于某些特定的势，我们证明了独立于磁场的间隙的存在。如果$B\ne 0$，则存在无限个长度为$|G_n|\to\iy$的能隙$G_n$为$n\to\iy$，并且我们确定了固定$B$的能隙在高能时的渐近性。此外，我们确定的间隙$G_n$为$B\to 0$固定$n$的渐近。
2008-04-01 math-ph math.MP math.SP
Scattering in Quantum Graphs with Scale-Invariant Vertex Couplings: Resonances, Gaps and (Quasi-)Periodic Transmission
Ivan Franko National University of Lviv（利沃夫伊万·弗兰科国立大学）；Ukrainian Catholic University（乌克兰东仪天主大学）；University of Rzeszów（热舒夫大学）
研究具有尺度不变顶点耦合的周期性附着谐振器的量子图散射，推导传输概率显式公式，发现传输概率呈周期或准周期行为，高频下存在完全反射和完美传输，并出现强传输抑制导致的谱隙。
2026-06-16 math.SP
Spectral gaps and discrete magnetic Laplacians
本文的目的是给出一个简单的几何条件，保证存在的离散拉普拉斯谱间隙的周期图。为了证明这一点，我们分析了离散磁拉普拉斯算子（DML）的有限商和解释作为Floquet参数的矢量位。我们开发了一个虚拟化的边缘和顶点，产生矩阵的特征值（以升序和计数的多重性）指定的括号间隔的拉普拉斯算子的频谱是本地化的过程。我们证明了Higuchi-Shirai猜想的Z-周期树，并应用我们的技术在几个例子，如聚丙烯或聚乙炔显示存在的光谱间隙。
2018-08-07 math-ph math.CO math.MP
Spectral asymptotics for periodic fourth order operators
我们考虑具有实周期势$V$的实直线上的算子${d^4dt^4}+V$。这个算子的谱是绝对连续的，并且由间隔隔开的区间组成。我们定义了一个李雅普诺夫函数，这是解析的两个单黎曼曲面。在每一个薄片上，李雅普诺夫函数具有与标量情形相同的性质，但它有分支点，我们称之为共振。我们证明了存在的真正的以及非真正的共振特定的潜力。我们确定的周期和反周期的频谱和共振在高能量的渐近性。我们证明了存在两种类型的带隙：1）稳定带隙，其中端点是周期和反周期本征值，2）不稳定（共振）带隙，其中端点是共振（即，在频谱底部以上的李雅普诺夫函数的实分支点）。我们还表明，周期谱和反周期谱一起决定我们的运营商的频谱。最后，我们表明，对于小的潜力$V\ne 0$的频谱在最低频带的多重数为4和底部的频谱是一个共振，而不是周期（或反周期）的本征值。
2005-07-14 math.SP
Gap opening in two-dimensional periodic systems
本文提出了一种新的二维周期系统的间隙控制方法，该方法的扰动由一个二阶微分算子和一族沿一个方向隔开周期胞的窄势“墙”组成。我们表明，在适当的假设下，一个可以打开周围的相关的“波导”系统的色散曲线所确定的点的间隙，在一般情况下，任何有限数量的他们，并控制其宽度的扰动参数。此外，这些间隙的显着特点是，它们的边缘值是由相应的带函数在布里渊区的内部点获得。
2019-12-09 math-ph math.MP math.SP
Spectral gaps in a double-periodic perforated Neumann waveguide
我们研究的带隙结构的频谱的Neumann问题的拉普拉斯算子在一个带周期性的密集横向穿孔由相同的孔的小直径$\varepsilon>0$。周期性单元本身包含一串孔，它们之间的距离为$O(\varepsilon)$。在对称性的假设下，我们推导并证明了渐近公式的频谱频带的端点在低频率范围内的频谱$\varepsilon \to 0$。我们证明，对于$\varepsilon$足够小，一些光谱间隙是开放的。开口间隙的位置和尺寸取决于条带宽度、穿孔周期和孔的某些整体特性。带边缘附近的色散曲线的渐近行为是通过一个'快速Floquet变量'，并涉及在附近的穿孔字符串的孔的边界层。依赖于Floquet参数的模型问题的周期性细胞需要一个严重的修改标准的理由计划均匀化的频谱问题。一些开放的问题和可能的概括列出。
2021-12-08 math.AP math.SP
High-energy asymptotics of the spectrum of a periodic square-lattice quantum graph
本文研究了一个正方形格点的周期量子图，其顶点具有一般的自伴耦合。我们分析了光谱，特别是它的高能量行为。根据耦合类型的不同，能带和带隙具有不同的渐近性。即使边缘被耦合，频带也可以是平坦的，并且非平坦带宽可以表现为$\mathcal{O}(n^j),\, j=1,0,-1,-2,-3$，如频带索引$n\to\infty$。间隙可以具有渐近恒定的宽度或线性增长，后一种情况是通用的。
2010-07-29 math-ph math.MP math.SP
Bloch-Floquet band gaps for water waves over a periodic bottom
本文针对周期底部上的线性化水波问题，利用Dirichlet-Neumann算子的解析性建立Bloch-Floquet理论，证明谱由带和间隙组成，并给出带隙大小与位置的显式公式。
2024-10-19 math.AP math.SP
Spectral gaps for periodic Schrödinger operators with hypersurface magnetic wells: Analysis near the bottom
考虑非紧黎曼流形$M$上的周期磁薛定谔算子$H^h$，它依赖于半经典参数$h>0$，使得$H^1(M, {\mathbb R})=0$具有离散群的适当不连续的余紧等距作用量.我们假设没有电场，磁场中有一组周期性的致密磁阱。我们假设磁场在超曲面$S$上规则地消失。首先，我们证明了$L^2(M)$中算子$H^h$的谱的底部$λ_0(H^h)$的上下估计。然后，假设$S$上的约化谱问题存在非简并小阱，证明了在接近$λ_0(H^h)$的区域中，算子$H^h$存在任意大数目的谱隙，如$h\to 0$ .在这种情况下，我们也得到了一个井问题的特征值的上估计。
2008-12-23 math.AP math.SP
Asymptotic formulas for spectral gaps and deviations of Hill and 1D Dirac operators
设$L$是区间$[0,π].$上的Hill算子或一维Dirac算子。如果考虑$L$的Dirichlet、周期或反周期边界条件，则相应的谱是离散的，并且对于足够大的$|n|$，在Hill情况下接近于$n^2 $，或在Dirac情况下接近于$n, \; n\in \mathbb{Z}$，存在一个狄利克雷本征值$μ_n$和两个周期（如果$n$是偶数）或反周期（如果$n$是奇数）本征值$λ_n^-, \, λ_n^+ $（用多重数计数）。我们给出了谱隙$γ_n = λ_n^+ - λ_n^-$和偏差$ δ_n =μ_n - λ_n^+$的渐近估计的傅立叶系数的潜力。此外，对于三角多项式的特殊势函数，我们给出了$γ_n$和$δ_n.$的精确渐近性
2013-09-06 math-ph math.FA math.MP
Quantum graphs with the Bethe-Sommerfeld property
与通常的量子系统相比，如果它们在多个方向上是周期性的，则最多具有有限数量的开放谱隙，周期量子图可以在谱中具有任意高的谱隙。图哈密顿算子的这一性质，在某种意义上是通用的，启发了关于存在有限个非零谱隙的图的问题。我们表明，答案取决于顶点耦合与图的边的可扩展性。一个有限的和非零数量的差距被排除的规模不变的耦合图，另一方面，我们证明了具有有限的非零数量的差距的图形确实存在，说明索赔的例子，一个矩形晶格适当调整$δ$耦合的顶点。
2017-05-11 math-ph math.MP math.SP
Gap control by singular Schrödinger operators in a periodically structured metamaterial
我们考虑一族$\{\mathcal{H}^\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$的$\varepsilon\mathbb{Z}^n$ -周期薛定谔算子与$δ'$ -相互作用支持在一个格子上的封闭的紧凑的表面;在一个最小的周期细胞有$m\in\mathbb{N}$表面。我们发现，在极限时，$\varepsilon\to 0$和相互作用强度适当缩放，$\mathcal{H}^\varepsilon$有最多$m$间隙在有限的间隔内，而且，第一个$m$间隙的限制行为可以完全控制通过适当的选择这些表面和相互作用的强度。
2018-11-20 math-ph math.AP math.MP
Extremal Spectral Gaps for Periodic Schrödinger Operators
具有周期势的薛定谔算符的谱通常由带和隙组成。在本文中，对于固定的m，我们考虑的问题，最大化的第m个谱间隙的间隙到midgap比的潜力，具有固定的周期性和逐点有界上下。我们证明了最大化第m个间隙到midgap比的潜力存在。在一维中，我们证明了最优势在域中的几乎处处达到逐点有界，并且是一个阶跃函数，在恰好m个区间上达到强加的最小值和最大值。最佳的潜力计算数值重排算法，并观察到是周期性的。在二维空间中，我们基于半定公式发展了一种有效的重排方法，并将其应用于研究极值势的性质。我们表明，提供了一个几何假设的最大化持有，晶格的磁盘最大化的第一个间隙到midgap比在无限的对比度限制。使用一个明确的参数化的二维布拉维晶格，我们还考虑了如何最优值变化的所有等体积晶格。
2018-05-11 math.OC math.SP
Gap opening and split band edges in waveguides coupled by a periodic system of small windows
在两个耦合波导的例子中，我们构造了一个周期性的二阶微分算子，它作用在欧几里得整环中，并且具有严格在布里渊区内达到边缘的谱隙。在两个不同宽度的无限长的带，有一个共同的内部边界的拉普拉斯算子的波导建模。在这个共同的边界上，我们施加诺依曼边界条件，但削减了一个周期性的系统的小孔，而其余的外部边界上，我们施加狄利克雷边界条件。它示出，通过改变带的宽度和孔之间的距离，可以控制的带函数的极值的位置以及开放的间隙的数量。我们计算了间隙长度和极值位置的渐近性中的首项。
2012-03-01 math-ph math.AP math.MP
On the Bethe-Sommerfeld conjecture for periodic Maxwell operators
贝特-索末菲猜想指出，在大于1的维度上，具有周期势的定态薛定谔算子的谱只有1000个间隙。经过许多作者的工作，现在已经证明了它的充分普遍性。在周期磁势的存在下，类似的猜想仅在2维中得到了证明。另一个重要的兴趣，由于其重要性的光子晶体理论，是一个周期性的麦克斯韦算子，显然没有这样的结果是已知的。我们在这里建立的情况下的二维光子晶体，即介质周期的两个变量和均匀的第三个，如果介电函数是可分离的，相应的麦克斯韦算子的光谱间隙的数量确实是有限的。它还表明，正如人们所期望的那样，当介质接近均匀时，根本没有光谱间隙。
2010-08-05 math.SP
Periodic discrete graphs with prescribed spectrum
University of Hradec Králové（赫拉德茨克拉洛韦大学）；University of Warmia and Mazury in Olsztyn（奥尔什丁瓦尔米亚-马祖里大学）
通过构造刷状几何的周期加权图，其离散拉普拉斯算子谱恰好有n个带隙，并证明通过适当选择权重可使带隙端点和谱上界达到指定值。
2026-06-04 math-ph math.CO math.MP
Asymptotics of spectral gaps of 1D Dirac operator with two exponential terms potential
一维Dirac算子\begin{equation*} L = i \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{d}{dx} +\begin{pmatrix} 0 & P(x) \\ Q(x) & 0 \end{pmatrix}, \quad P,Q \in L^2 ([0,π]), \end{equation*}在$[0,π]$上考虑周期和反周期边界条件，具有离散谱.对于足够大的$|n|,\, n \in \mathbb{Z}, $有两个（计数的多重性）特征值$λ_n^-,λ_n^+ $（周期，如果$n$是偶数，或反周期，如果$n$是奇数），使$|λ_n^\pm - n |<1/2.$我们研究的渐近谱间隙$γ_n =λ_n^+ - λ_n^-$的情况下$$P(x)=a e^{-2ix} + A e^{2ix}, \quad Q(x)=b e^{-2ix} + B e^{2ix},$$，其中$a, A, b, B$是非零复数。我们表明，对于足够大的$m,$，$γ_{\pm 2m}=0 $和\begin{align*} γ_{2m+1} = \pm 2 \frac{\sqrt{(Ab)^m (aB)^{m+1}}}{4^{2m} (m!)^2 } \left[ 1 + O \left( \frac{\log^2 m}{m^2}…
2013-12-08 math-ph math.MP math.SP
A gap in the spectrum of the Neumann-Laplacian on a periodic waveguide
我们将研究奇异摄动周期波导中与拉普拉斯算子有关的谱问题。波导是一个准圆柱体，包含周期性排列的夹杂物。在波导的边界上，我们考虑Neumann和Dirichlet条件。我们将证明，如果夹杂物的直径在拉普拉斯频谱中足够小，则会打开频谱间隙，即不通过波导传播的频率。利用椭圆算子的渐近分析来验证带隙的存在性。
2011-10-27 math.SP
Bloch theory and spectral gaps for linearized water waves
水波的方程组，当线性化的平衡流体体与变化的底部边界，描述的谱问题的Dirichlet -诺伊曼算子的未扰动自由表面。这个谱问题对于稳定性问题以及此类环境中自由表面演化的扰动理论来说都是基础性的。此外，Dirichlet - Neumann算子是自伴的，当给出适当的定义和区域，它是一个新的，但非常自然的非局部算子的谱问题。在底部边界周期性变化的情况下，$\{y = -h + b(x)\}$其中$b(x+γ) = b(x)$，$γ\in Γ$是一个晶格，这个谱问题允许在谱带函数和它们相关的带参数化本征函数方面的布洛赫分解。本文描述了二维水波问题中海底从恒定深度起发生空间周期性变化时的这种解析构造，给出了Bloch本征函数和本征值随带参数变化的构造，以及Dirichlet-Neumann算子的水深学描述$b(x)$。这种描述的结果之一是，光谱由一系列被光谱间隙分开的带组成，这些光谱间隙是禁止能量的区域。对于给定的一般周期性底部轮廓$b(x)=\varepsilon β(x)$，每个间隙对于足够小的扰动参数$\varepsilon$值打开。
2018-02-27 math-ph math.AP math.MP
Covering graphs, magnetic spectral gaps and applications to polymers and nanoribbons
研究了具有阿贝尔格群$Γ$和周期磁势$\widetildeβ$的无限覆盖图$\widetilde{G} \rightarrow G=\widetilde{G} /Γ$上离散磁拉普拉斯算子（DML）的谱.我们给出了在DML的频谱中存在频谱间隙的充分条件，并研究了这些间隙如何依赖于$\widetildeβ$。磁势可以解释为谱带和带隙的控制参数。我们应用这些结果来描述的光谱带/隙结构的聚合物（聚乙炔）和纳米带中存在一个恒定的磁场。
2019-08-01 math-ph math.CO math.MP
Spectral Gaps for Jacobi Matrices on Graphs
本文研究了树上周期 Jacobi 矩阵的有限商的特征值隙的界，证明了谱隙的 Alon-Boppana 型界及其他特征值隙的比较结果。
2024-02-11 math.CO math.SP
Periodic elliptic operators with asymptotically preassigned spectrum
我们处理的运营商在$\mathbb{R}^n$的形式$$\mathbf{A}=-{1\over \mathbf{b}(x)}\sum\limits_{k=1}^n\ds{\partial\over\partial x_k}(\mathbf{a}(x){\partial \over\partial x_k})$$其中$\mathbf{a}(x),\mathbf{b}(x)$是积极的，有界的和周期的功能。我们用$\mathbf{L}_{\mathrm{per}}$表示这样的算子的集合。本文的主要结果如下：对于任意的$L>0$和任意的两两不相交区间$(α_j,β_j)\subset[0,L]$，$j=1,...,m$（$m\in\mathbb{N}$），我们构造了算子族$\{\mathbf{A}^\varepsilon\in \mathbf{L}_{\mathrm{per}}\}_{\varepsilon}$，使得当$\varepsilon$足够小时，$\mathbf{A}^\varepsilon$的谱在$[0,L]$中恰好有$m$间隙，并且这些间隙趋向于$(α_j,β_j)$作为$\varepsilon\to 0$ .构造${\mathbf{A}\e}_\eps$族的思想是基于均匀化理论的方法。
2012-02-03 math-ph math.AP math.MP
On the self-adjoint differential operator with the periodic matrix coefficients
本文研究了由m × m周期矩阵系数的n阶微分表达式生成的自伴微分算子L的谱，其中n和m分别为奇、偶数且n>1.我们证明了L的谱中的间隙数是有限的，并找到了间隙数的系数的显式估计。此外，我们还得到了谱为实轴的系数范数的一个条件。此外，我们还研究了谱带，证明了实轴的大部分被m个谱带所重叠。
2022-12-27 math.SP
Periodic and limit-periodic discrete Schrödinger operators
发展了离散周期和极限周期薛定谔算子的理论。特别地，Floquet-Bloch分解进行了讨论。此外，它表明，一个任意小的电位可以添加间隙甚至周期。在二维，它表明，互质期间小潜在的条款不增加差距，从而证明了贝特-索末菲型声明。进而构造了谱为区间的极限周期势。
2011-08-07 math.SP
Bands in the spectrum of a periodic elastic waveguide
本文研究了无界周期波导中的谱线弹性问题，该波导由一系列相同的有界单元组成，这些单元由直径为$ h >0$的薄韧带连接。已知问题的本质谱具有带隙结构。我们推导出的光谱带和间隙的位置，作为$h \to 0$的渐近公式。
2016-02-12 math.AP math.SP
Thin Spectra for Periodic and Ergodic Word Models
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Texas State University（德克萨斯州立大学）
研究提出了一种生成周期性词模型谱间隙的新准则，展示了具有零哈维多维数的康托尔谱的遍历施图姆-刘维尔算子的新例子。
2026-03-02 math.SP
On Approximation of the Eigenvalues of Perturbed Periodic Schrodinger Operators
本文采用二次投影法，在无谱污染的情况下计算由快速衰减势扰动周期薛定谔算子产生的位于本质谱间隙中的特征值，并详细阐述理论基础及通过实例验证有效性。
2007-02-14 cs.NA math.NA math.SP
