Dirac operators with infinite mass boundary conditions on unbounded domains with infinite corners
本文研究带无限质量边界条件的二维Dirac算子在含无限角点的无界区域上的自伴性，证明无凹角点时算子自伴，有凹角点时构造并刻画了特选自伴扩张，并分析了其谱。
2024-08-05 math-ph math.AP math.MP
Self-adjoint extensions of the two-valley Dirac operator with discontinuous infinite mass boundary conditions
考虑了$\mathbb{R}^2$中楔上的四分量两谷Dirac算子，其边界条件为无穷大，且在顶点处具有翻转.我们表明，它有不足的指标$(1,1)$和我们参数化的所有自伴扩展，依赖于这样一个事实，即基本的两个组件狄拉克运营商是对称的不足指标$(0,1)$。明确地计算相应的缺陷元素。我们观察到，不存在自伴扩张，它可以分解成两个两个分量算子的正交和。在物理学中，这种效应被称为混合谷。
2019-10-08 math-ph math.AP math.MP
Spherically symmetric Dirac operators with variable mass and potentials infinite at infinity
在弱正则性假设下，研究了三维空间中位势在无穷远处趋于无穷大的球对称Dirac算子的谱。我们证明了纯绝对连续谱覆盖整个实数线，如果潜在的主导质量，或标量势，长期。在势和标势相同的情况下，谱的正部分是纯离散的;我们证明了在这种情况下，负半线充满了纯绝对连续的谱。
1998-04-20 math-ph math.MP math.SP
Graph-Laplacians and Dirac Operators on (Infinite) Graphs and the Calculation of the Connes-Distance-Functional
本文受非交换几何的启发，在（无限）图上建立了一个图-Hilbert空间框架，并利用它研究了\tit{graph-Laplacians}和所谓的\tit{graph-Dirac-operators}的谱性质.把各个部分放在一起，我们定义了一个{ \it光谱三元组}，它与Connes所称的\tit{spectral triple}共享大部分（如果不是全部，取决于特定的图形模型）属性。借助于这个方案，我们导出了一般图上的{ \it Connes距离函数}的显式表达式，证明了它的各种先验估计，并对某些图的例子进行了计算.作为一个可能有趣的旁白，我们表明，自然设置接近这些问题可能是\tit{(non-)linear programming}或\tit{optimization}的框架。我们比较我们的结果（在我们特定的框架内）与其他作者的结果，并表明，表面上的差异取决于使用不同的图形几何和/或狄拉克算子。
2000-08-23 hep-th math-ph math.MP
Comparison of two formulas for metric connections in the bundle of Dirac spinors
研究了Dirac旋量丛中度量联络的两个显式公式。证明了它们的等价性。重新推导了旋量曲率张量与黎曼曲率张量之间的显式关系。
2007-07-03 gr-qc hep-ph hep-th
Noncommutative circle bundles and new Dirac operators
本文研究非交换主U（1）丛上的谱三元组。基于经典情形和抽象代数方法，我们给出了全空间和丛基空间上的联络的算子定义及其与Dirac算子的相容性.我们详细地分析了非交换三环面作为非交换二环面上的U（1）丛的例子，并找到了与一个可容许的Dirac算子相容的所有联系。相反，我们发现一个家庭的新的狄拉克运营商的非交换环面，它产生的基础空间狄拉克运营商和一个合适的连接。
2011-11-13 hep-th math-ph math.MP
Self-Adjointness of Dirac Operators with Infinite Mass Boundary Conditions in Sectors
本文研究了具有无限质量边界条件的二维Dirac算子在扇形区域内的解。我们调查的问题ofself-adjointness取决于孔径的部门：当部门是convexit是自共轭的一个通常的Sobolev空间，而当部门是非convexit有一个家庭的自共轭扩展参数化的一个复数的单位圆.作为这种分析的副产品，我们能够给出多边形上的自伴结果。我们还讨论了区分自伴扩张的问题，并研究了该扇区中算子的基本谱性质。
2018-07-11 math-ph math.AP math.MP
Reduction of Stokes-Dirac structures and gauge symmetry in port-Hamiltonian systems
Stokes-Dirac结构是在具有边界的光滑流形上用微分形式定义的无限维Dirac结构。这些狄拉克结构奠定了一个几何框架制定的哈密顿系统与非零边界能量流。底层流形的单纯三角剖分导致了所谓的单纯狄拉克结构，斯托克斯-狄拉克结构的离散类似物，从而提供了一个自然的框架，用于导出模拟无限维对应物的有限维端口哈密顿系统。端口哈密顿系统相对于斯托克斯狄拉克和单纯狄拉克结构定义的规范和离散规范对称性，分别。本文利用Poisson约化给出了一种统一的方法，将广义正则无穷维Dirac结构约化为与Stokes-Dirac结构相关的Poisson结构，将细维Dirac结构约化为单纯Dirac结构.我们证明了这种泊松计划的振动弦的物理例子。
2012-06-17 math-ph math.DG math.MP
Pythagoras' Theorem on a 2D-Lattice from a "Natural" Dirac Operator and Connes' Distance Formula
A. Connes的非交换几何是一个广义的Dirac算子，它在状态空间上引入了一个度量（Connes距离）。我们推广了A. Dimakis等人的Connes距离将一维格点上的线性距离恢复到二维格点上。这个狄拉克算子被“自然”定义，具有所谓的“局部特征值属性”，并在这个二维格上诱导欧几里得距离。这种Dirac算子可以推广到任意高维格上。
2001-01-15 hep-lat hep-th math-ph
Dirac-Connes Operator on Discrete Abelian Groups and Lattices
在离散交换群上引入了一种定义在Connes的NCG框架下的Dirac-Connes算子，它满足一个无Junk条件，并将Dimakis，Müller-Hoissen和Sitarz的NCG与Connes的NCG连接起来.然后我们将这个算子应用到d维格上。
2001-01-22 hep-lat hep-th math-ph
Axial anomaly and topological charge in lattice gauge theory with Overlap Dirac operator
一个明确的，详细的评估的经典连续极限的轴向异常/指数密度的重叠狄拉克算子进行了无限体积设置，并在一定的有限体积设置的连续极限涉及一个无限体积极限。我们的方法是基于一个新的幂级数展开的重叠狄拉克算子。当参数$m_0$在物理区域$0<m_0<2$中时，再现正确的连续统表达式。这是建立了一个广泛的连续规范场。一个类似的结果为费米拓扑荷，给出的重叠狄拉克算子的指数，然后建立一类拓扑非平凡领域在上述有限体积设置。还讨论了有关指数在无限体积设置的问题。
2001-10-04 hep-lat hep-th math-ph
Dirac structures on the space of connections
本文给出了三元流形上SU（n）-丛的不可约联络空间上的扭Dirac结构，以及四维流形上平凡SU（n）-丛的不可约联络空间上的扭Dirac结构族。扭曲由联络空间上的Cartan 3-形式描述。它在平坦联络的子空间上为零。因此，平坦联络的空间被赋予了（非扭曲的）狄拉克结构。作为四维流形上相应Dirac结构的边界限制，得到了三维流形上平坦联络空间上的Dirac结构。我们还讨论了这些狄拉克结构上的规范变换群的作用。
2021-06-20 math-ph math.DG math.MP
Infinite-dimensional Lagrange-Dirac systems with boundary energy flow I: Foundations
本文通过建立无限维 Lagrange-Dirac 动力系统框架，利用 Dirac 结构处理具有边界能量流的系统，并给出非线性波动方程、电报方程和 Maxwell 方程等应用实例。
2025-11-08 math-ph math.DS math.MP
A note on metric connections for chiral and Dirac spinors
众所周知，狄拉克旋量丛是由两个丛-手征旋量丛和它的厄米共轭丛-的直和产生的。本文恢复了手征旋量和Dirac旋量的度量联系的某些方面，并研究了它们之间的关系。
2006-02-16 math-ph math.DG math.MP
The Metric Nature of Matter
我们在规范连接的位形空间上构造了一个度规结构，并表明它自然地产生了一个非微扰的3+1维杨-米尔斯-狄拉克量子场论的候选者.度规结构是一个无限维的Bott-Dirac算子，而新兴的量子场论的费米子部分是由构造这个算子所需的无限维Clifford代数产生的。Bott-Dirac算子与$\mathbf{HD}(M)$代数相互作用，$\mathbf{HD}(M)$代数是一个由基础流形上的完整性-同构生成的非交换代数，即沿着向量场流的并行变换。这个代数结合Bott-Dirac算子编码的规范交换和反交换关系的量子玻色子和费米子领域。Bott-Dirac算子的平方产生了杨-米尔斯哈密顿算子和狄拉克哈密顿算子，以及一个拓扑杨-米尔斯项和一个度量不变量。
2021-12-21 gr-qc hep-th math-ph
Canonical quantization of the Dirac oscillator field in (1+1) and (3+1) dimensions
本工作的主要目的是利用量子场论的正则形式来研究Dirac振子作为量子场，并在$(1+1)$和$(3+1)$维中发展该系统的正则量子化过程。这是可能的，因为狄拉克振子的特征是不存在克莱因悖论，并且其本征函数是完备的。我们证明了狄拉克振子场可以看作是由无限自由度构成的，这些自由度被识别为解耦的量子线性谐振子。我们观察到，而对于自由狄拉克场的无限谐振子的能量量子是自由粒子的相对论能量，狄拉克振子场的量子是相对论线性谐振子的能量。
2014-09-30 hep-th math-ph math.MP
The Dirac Sea
我们给出了一个替代的定义的自由狄拉克领域具有明确的建设狄拉克海。该处理采用希尔伯特空间的半无限楔形积。我们还证明了该构造等价于标准的Fock空间构造。
2010-11-26 math-ph math.MP
A Non-Perturbative Construction of the Fermionic Projector on Globally Hyperbolic Manifolds II -- Space-Times of Infinite Lifetime
本文将以往在全局双曲洛伦兹流形上的费米子投影的泛函解析构造推广到无限寿命时空。的建设是基于一个家庭的狄拉克方程的解决方案与变化的质量参数的分析。它利用了所谓的质量振荡性质，这意味着在质量参数上积分会产生狄拉克波函数在无穷远处的衰减。我们得到一个规范分解的解决方案空间的大量狄拉克方程成两个子空间，独立的观察员或坐标的选择。超静态时空和德西特时空的例子说明的建设。
2020-10-12 gr-qc math-ph math.FA
Dirac operator on noncommutative principal circle bundles
本文研究了任意维非交换主U（1）-丛上的谱三元组，并在该丛的全空间和底空间上建立了一个Dirac算子与联络的相容条件.低维非交换环面的例子进行了更详细的分析，发现所有的连接是兼容的一个容许狄拉克算子。相反，一个家庭的新的狄拉克运营商的非交换环面，它产生于基空间狄拉克运营商和一个适当的连接展示。这些例子被推广到θ-变形的主U（1）-丛S^3_θ-> S^2。
2013-11-20 math-ph math.MP math.QA
Connes' trace formula and Dirac realization of Maxwell and Yang-Mills action
该文件涵盖了已知的事实Dixlitsa迹（与一些一般性的痕迹），Wodzicki剩余，和康纳斯的迹定理，包括两个变种的证明后者。行动公式处理得非常粗略，因为它们在研讨会的其他讲座中被考虑过。
2000-05-08 hep-th math-ph math.MP
Dirac operators for infinite-dimensional color Lie algebras
University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文构造了无限维二次Z-分次颜色李代数的三次Dirac算子和相对三次Dirac算子，建立了Parthasarathy型平方公式，并将其应用于可对称化Kac-Moody超代数，得到了Dirac不等式和Dirac核与李超代数上同调的关系。
2026-09-25 math-ph math.MP math.RT
On a Connection between the Maxwell System, the Extended Maxwell System, the Dirac Operator and Gravito-Electromagnetism
麦克斯韦方程、狄拉克方程和引力电磁方程都是推广的麦克斯韦系统的特例。在演化方程理论的框架下讨论了这些方程。系统地分析了它们的形式关系。耦合系统，如麦克斯韦-狄拉克系统的应用也进行了讨论。
2014-06-11 math-ph math.AP math.MP
Levy Differential Operators and Gauge Invariant Equations for Dirac and Higgs Fields
我们研究了Levy无穷维微分算子（通过与Levy Laplacian的类比定义的微分算子）及其与Yang-Mills方程的关系。我们认为平行运输空间的曲线作为一个无限维的手征场的模拟，并表明，它是一个解决方案的微分方程组的当且仅当相关的曲率是一个解决方案的杨米尔斯方程。这个系统是手征场运动方程的一个类似物，并且包含Levy发散。得到了与Yang-Mills-Higgs方程和Yang-Mills-Dirac方程（量子色动力学方程）等价的含Levy微分算子的无穷维方程组.证明了Levy微分算子的两种定义方法的等价性。
2018-07-29 math-ph math.MP
Statistical Fluctuation of Infinitesimal Spaces
本文将无穷小空间非交换微分几何的代数收敛性扩展至几何背景，利用Clifford代数重新表述有限维相容Dirac算子并构造新Laplace算子，证明其序列平均收敛至spin流形上的标准算子。
2023-09-12 cs.NA math-ph math.MP
Spectrum of the perturbed Landau-Dirac operator
本文研究了扰动Landau-Dirac算子的谱特性，揭示了有限支撑扰动下离散本征值分布的三阶渐近公式，并探讨了符号变化扰动对本征值有限性或无限性的影响。
2025-12-14 math-ph math.AP math.MP
Infinite-dimensional Lagrange-Dirac systems with boundary energy flow II: Field theories with bundle-valued forms
本文将无限维 Lagrange-Dirac 理论从微分形式空间推广到向量丛值形式与非阿贝尔规范场，提出两种等价的受限对偶表述以刻画边界能量流，并应用于 Yang-Mills-Higgs 方程。
2025-11-07 math-ph math.DS math.MP
Simple way to the high-temperature expansion of relativistic Fermi-Dirac integrals
在高温和非零化学势下，理想相对论性费米气体的压强被计算为无穷级数。粒子数密度、标量密度和熵密度作为压力的一阶导数的展开也被发现。
2015-11-11 hep-ph hep-th math-ph
Magnetic Dirac systems: Violation of bulk-edge correspondence in the zigzag limit
研究半平面恒定磁场中边界条件介于无限质量与锯齿型之间的 Dirac 算子，通过分析能量色散曲线的连续形变，构造反例证明锯齿极限下体-边对应可能失效。
2024-01-23 math-ph math.MP math.SP
Hestenes' Tetrad and Spin Connections
定义一个自旋联系是在弯曲时空中建立狄拉克双旋量方程的必要条件。Hestenes证明了一个双旋量场等价于一个正交四元向量场和一个复标量场。在本文中，我们表明，使用Hestenes的四分体的自旋连接在黎曼时空导致的狄拉克拉格朗日的杨-米尔斯制定，其中的双频纳场映射到一组杨-米尔斯规范位和一个复杂的标量场。这一结果以前证明了闵可夫斯基时空使用Fierz恒等式。作为应用，我们直接从作用于Hestenes四元组和标量场的任意线性联系导出了文献中发现的几种不同的非黎曼自旋联系。我们还推导出狄拉克双旋量方程形式不变的自旋联系。以前的工作没有考虑狄拉克方程的形式不变性作为定义一般自旋连接的标准。
2007-06-08 gr-qc math-ph math.MP
On the eigenvalues of the twisted Dirac operator
给定一个具有正数量曲率的紧致黎曼自旋流形，我们在一个足够高秩的平凡向量丛上找到了$t\in[0,1]$的一族联络$\nabla^{A_t}$，使得扭曲狄拉克算子$D_{A_t}$的第一本征值不为零，并且变得任意小为$t\to1$。然而，如果限制所考虑的扭转连接类，则非零下界确实存在。我们通过建立黎曼曲面上厄米-爱因斯坦连接扭曲的狄拉克算子的非零下界来说明这一事实。
2008-07-04 math-ph math.DG math.MP
On representations of the rotation group and magnetic monopoles
最近（Phys. Lett.）A302（2002）253，hep-th/0208210; hep-th/0403146）利用旋转群的有界无限维表示，我们论证了可以得到具有广义Dirac量子化条件$2κμ\in \mathbb Z$的相容的Dirac理论，其中$κ$是Dirac弦的权。在这里，我们将这个证明扩展到无界的无限维表示。
2004-03-22 hep-th math-ph math.MP
Congruence of Dirac operators with applications to generalized MIT bag models
Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Carl von Ossietzky Universität Oldenburg（奥登堡卡尔·冯·奥西茨基大学）
研究提出带壳相互作用Dirac算子的同余变换，为广义MIT袋模型的自伴性与无穷质量诠释提供新观测结果
2026-10-22 math-ph math.MP math.SP
The MIT Bag Model as an infinite mass limit
狄拉克运营商，在三维，被认为是。假设大质量$m>0$位于光滑有界开集$Ω\subset\R^3$之外，证明了它的谱可用$Ω$上的Dirac算子在MIT袋边界条件下的谱来逼近.通过在$\partialΩ$的邻域内引入管坐标，并在法向上分析相应的一维最优化问题，实现了逼近到和阶误差为$o(1/\sqrt m)$的逼近.
2018-08-29 math-ph math.AP math.MP
A projective Dirac operator on $\mathbb{C}P^n$ and extended SUSY
通过投影$su(n+1)$左作用量，构造了$\mathbb{C}P^n$上的一个泛自旋$_c$ Dirac算子，并证明了它与$\mathbb{C}P^n$上的标准右作用量Dirac算子的等价性.本征值问题的解决和旋量空间的构建，表明所提出的狄拉克算子是普遍的，改变不同的自旋$_c$结构，只有其域。手征性和本征旋量的显式表达式也被发现，并建立与指数定理的一致性。此外，扩展的$\mathcal{N} =2$超对称代数实现通过狄拉克运营商和它的同伴超荷，并为任何自旋$_c$连接上的超势的表达式$\mathbb{C}P^n$被发现和推广到任何自旋陪集流形$G/H$与$G,H$紧，连接，和$G$半单。这个超代数的$R$ -对称性等价于自旋$_c$联络的$U(1)$完整性.
2016-10-07 hep-th math-ph math.MP
A connection between quantum dot Dirac operators and $\overline\partial$-Robin Laplacians in the context of shape optimization problems
Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）
本文探讨了量子点狄拉克算子与\overline\partial-Robin拉普拉斯算子在形状优化问题中的联系，并证明了相关不等式在特定边界条件下的有效性。
2026-02-17 math-ph math.AP math.MP
Connections on naturally reductive spaces, their Dirac operator and homogeneous models in string theory
给定一个具有自然约化度量的约化齐性空间M=G/H，研究了连接标准联络和Levi-Civita联络（t=0，1/2）的单参数联络族.我们证明了对应于t=1/3的Dirac算子D^t是B. Kostant，并推导出它的平方公式，从而推广了经典的Parthasarathy公式对称空间。应用包括旋量上一个新的G-不变一阶微分算子的存在性和D^{1/3}的第一特征值的特征值估计。这种几何情形可以用来构造黎曼流形，这些流形是里奇平坦的，并且允许一个关于某个度量联络的平行旋量，该度量联络的挠率T是3-形式，这是弦理论公共部分的几何模型。我们给出了弦方程解的一些结果，并对一些5维例子进行了详细的讨论。
2002-02-11 math-ph math.DG math.MP
Magnetic Dirac operator in strips submitted to strong magnetic fields
该研究针对带无穷质量边界条件的弯曲条形区域上的强磁场磁狄拉克算子，给出了本质谱与离散谱的精确估计，并得到离散谱非空的充分条件，丰富了狄拉克算子谱理论的相关结果。
2025-01-17 math-ph math.MP math.SP
Dirac bag model on thin domains: a microlocal viewpoint
本文从微局部分析视角重新研究了薄区域上带无穷质量边界条件的Dirac算子，重点分析了离散谱的存在性及其在薄宽度极限下的渐近行为。
2024-09-30 math-ph math.MP math.SP
Resolvent convergence to Dirac operators on planar domains
考虑一个定义在全平面上的狄拉克算子，其质量项的大小为m，并在区域Ω外得到支持。我们给出了一个简单的证明的规范预解收敛，作为m走向无穷大，这个运营商的狄拉克运营商定义在欧米茄无限质量的边界条件。所得结果对有界和无界区域均有效，并给出了收敛速度的估计。此外，该方法很容易扩展时，添加外部矩阵值的潜力。
2018-10-06 math-ph math.MP
Dynamical and spectral Dirac systems: response function and inverse problems
我们建立了动力学狄拉克系统的响应函数与谱狄拉克系统的$A$ -振幅和Weyl函数之间的简单联系。利用这些联系，我们提出了一个新的和严格的程序，以恢复一个一般类型的动力学狄拉克系统从其响应函数，以及一个程序来构造这个问题的显式解决方案。
2015-08-03 math-ph math.AP math.CA
The Square of the Dirac and spin-Dirac Operators on a Riemann-Cartan Space(time)
本文介绍了Riemann-Cartan空间（时间）上的Dirac算子和spin-Dirac算子，以及Riemann-Cartan空间（时间）上的Levi-Civita联络上的标准Dirac算子和spin-Dirac算子（洛伦兹）空间（时间）和计算这些算子的平方，这些算子在现代数学的几个主题中发挥着重要作用，特别是在研究一类黑洞模空间的几何、第二类超引力理论NS-5膜解的几何以及某些弦论中的BPS孤子等方面。我们得到了一个推广的Lichnerowicz公式，Dirac和自旋-Dirac算子及其平方的分解，并利用旋量场（自旋-Clifford丛的截面）在Clifford丛中有代表这一事实，我们还提出了一个涉及自旋-Dirac和Dirac算子的值得注意的关系。
2007-11-29 math-ph math.DG math.MP
Green's functions for magnetic Dirac operators and bulk-edge correspondence
Univ Toulon, Aix Marseille Univ, CNRS, CPT, Toulon, France（土伦大学，艾克斯-马赛大学）；Department of Mathematical Sciences, Aalborg University, Skjernvej 4A, 9220 Aalborg, Denmark（奥尔堡大学）；Aix Marseille Univ, CNRS, I2M, Marseille, France（艾克斯-马赛大学）；Univ Angers, CNRS, LAREMA, Institut Universitaire de France, F-49000 Angers, France（昂热大学）；Instituto de Física, Pontificia Universidad Católica de Chile, Vicuña Mackenna 4860, Santiago 7820436, Chile.（智利天主教 Pontificia 大学）
本文研究半平面上磁狄拉克算子的格林函数，证明在无限质量与锯齿形之间的插值边界条件下，其预解核满足体-边对应证明所需性质，使无限质量情形的证明可逐字推广。
2026-10-15 math-ph math.MP quant-ph
Weakly localized states for nonlinear Dirac equations
证明了一类二维无质量Dirac方程无穷多个非平方可积稳态解的存在性。它们在二维蜂窝结构中表现为有效方程。我们给出了一个直接的存在性证明，由于一个特定的径向anomaly，这也允许提供旋量分量的精确渐近行为。此外，这些解决方案承认变分表征。我们还指出了本文的内容是如何将我们以前的结果推广到更一般的非线性问题的。
2018-07-30 math-ph math.AP math.MP
Dirac Operators with Operator Data of Wigner-von Neumann Type
我们考虑具有Wigner-von Neumann型算子数据的半线Dirac算子。如果数据是一个有限的线性组合的Wigner-von Neumann函数，我们表现出缺乏奇异的连续谱，并提供了一个明确的集包含所有嵌入的纯点只依赖于Lp衰减和频率的运营商数据。对于Wigner-von Neumann同类项的无穷和，我们限定了谱奇异部分的豪斯多夫维数.
2021-09-27 math-ph math.CA math.MP
Spectral inequality for Dirac right triangles
本文研究了无限质量边界条件下 Dirac 直角三角形的最低正特征值问题，猜想等腰直角三角形在面积或周长约束下使其最小化，并在附加几何假设下基于已有方法完成了证明。
2023-02-25 math-ph math.MP math.OC
On the space of connections having non-trivial twisted harmonic spinors
本文考虑奇维紧自旋流形上的Dirac算子，该流形被一个积丛扭曲。我们证明了如果非扭曲Dirac算子是可逆的，并且扭曲丛的维数足够大，那么扭曲丛上产生可逆算子的联络空间有无穷多个连通分支.
2015-06-13 math-ph math.DG math.MP
Spectral asymptotics of the Dirac operator in a thin shell
本文研究薄管状邻域内带无限质量边界条件的 Dirac 算子谱，证明邻域收缩时特征值渐近由含几何性电势与 Yang-Mills 势的 Schrödinger 算子决定。
2023-07-18 math-ph math.AP math.MP
