On the Construction of New Toric Quantum Codes and Quantum Burst-Error Correcting Codes
提出了一种复曲面量子纠错码的构造方法。通过在正方形格点$\mathbb{Z}_{q}\times \mathbb{Z}_{q}$上对所有奇数$q\geq 5$构造一个经典的循环码，给出了一类新的无限复曲面量子码族，从而在这种正方形格点上构造了新的复曲面量子码，而不管$q$是否可以表示为两个平方之和.此外，这项工作为每个$q$提供了细分相应正方形晶格的polyomino形状，从而平铺晶格$\mathbb{Z}^{2}$。由于$\mathbb{Z}^{2}$ -格是自对偶的，所以对于这些构造的复曲面量子码，要考虑的没有记忆的信道是对称的。此外，我们提出了一种量子交织技术，利用所构造的复曲面量子码，这表明交织复曲面量子码的码率和编码增益优于Kitaev的复曲面量子码的码率和编码增益的$q=2n+1$，其中$n\geq 2$，和一个无限类的Bombin和Martin-Delgado的复曲面量子码。除了所提出的量子交织技术改善了这些参数之外，它还可以用于定位错误、存储量子数据和具有存储器的量子信道中的突发错误校正。
2022-05-26 cs.IT math.CO math.IT
Toric complete intersection codes
本文给出了由复曲面簇的完全交构造的求值码的最小距离的下界。这推广了Gold-Little-Schenck和Ballico-Fontanari关于射影空间中完全交的求值码的结果。
2013-10-18 cs.IT math.AG math.IT
Small polygons and toric codes
我们描述了两种不同的方法，使系统分类的平面点阵多边形，并恢复他们产生的复曲面代码，在小字段，这些匹配或超过最佳已知的最小距离。这包括F_7上的[36，19，12]-码，其最小距离12超过所有先前已知的码的最小距离。
2012-04-01 cs.IT math.CO math.IT
Generalized Hamming weights of toric codes over hypersimplices and square-free affine evaluation codes
设$\mathbb{F}_{q}$是具有$q$元素的有限域，其中$q$是素数$p$的幂。$\mathbb{F}_{q}$上的多项式是无平方的，如果它的所有单项式都是无平方的。在本文中，我们确定了在$s$变量中，在$r$，$s$和这些多项式的次数的一定条件下，任何一组$r$线性无关的无平方多项式在$\mathbb{F}_{q}$上的仿射环面$T=(\mathbb{F}_{q}^{*})^{s}$中的零点数目的上界。应用这些结果，我们部分地得到了超单上环面码和无平方赋值码的广义Hamming重量，如\cite{hyper}中所定义的。最后，我们得到了这些环面码关于欧几里德标积的对偶。
2020-10-25 cs.IT math.AC math.IT
Toric Codes, Multiplicative Structure and Decoding
有限域上复曲面簇构造的长线性码及其乘法结构和译码。主要的主题是在环面码的内在乘法结构。乘法结构允许\emph{decoding}，类似于里德-所罗门码的解码，并且与通过纠错对的解码对齐。我们利用复曲面码上的乘法结构，通过Massey的构造推广了由Reed-Solomon码构造的Shamir线性秘密共享方案，利用\emph{strong multiplication}构造了线性秘密共享方案。我们用Calderbank-Shor-Steane方法构造了复曲面量子纠错码。
2017-02-20 cs.IT math.AG math.IT
The generalized Pythagorean theorem on the compactifications of certain dually flat spaces via toric geometry
本文通过环面几何研究对偶平坦空间的紧化，在边界引入Bregman散度并证明其连续性与广义毕达哥拉斯定理，同时刻画了环面Kähler流形作为混合族环化的条件。
2023-12-26 cs.IT math.DG math.IT
On dual toric complete intersection codes
本文研究了d维超曲面与给定的d维Newton多面体的交上的赋值码的对偶性，即所谓的复曲面完全交码。特别地，我们给出了这样的码是拟自对偶的一个条件。在d=2的情况下，它简化为牛顿多边形上的组合条件。这使我们能够给出一个明确的建设的对偶和拟自对偶环面完全相交码。我们提供了一个16个元素的领域的例子列表。
2013-10-18 cs.IT math.AG math.IT
Bringing Toric Codes to the next dimension
本文研究由格多面体定义的高维环面码的最小距离计算问题。我们表明，最小距离是乘法相对于采取产品的多面体，并表现在一个简单的方式，当一个人建立一个k-扩张的金字塔在多面体。这使我们能够构建一个大类的例子，更高的维复曲面代码，我们可以计算的最小距离明确。
2010-04-12 cs.IT math.AG math.IT
On $m$-dimensional toric codes
Toric码是J. Hansen最近提出的一类$m$维循环码。它们可以被定义为从与整凸多面体$P \subseteq \R^m$中的整数格点相对应的单项式获得的求值码。因此，它们在某种意义上是Reed-Solomon码的自然扩展。几位作者利用复曲面上的交理论，用$m = 2$导出了某些复曲面码的最小距离的界。在本文中，我们将提供一个更基本的方法，同样适用于所有$m \ge 2$的许多复曲面码。我们的方法是基于一种多元推广的Vandermonde行列式，也被用于多元多项式插值的研究。我们使用这些范德蒙行列式，以确定最小的距离环面码从矩形多面体和单纯形。我们还证明了一个一般性的结果表明，如果有一个么模整数仿射变换采取一个多面体$P_1$的第二个多面体$P_2$，那么相应的复曲面码是monomially等价的（因此有相同的参数）。我们用它来开始一个分类的二维复曲面代码与小尺寸。
2005-07-25 cs.IT math.AC math.AG
Projective toric codes
$\mathbb{R}^N$中的任何整凸多胞体$P$都提供一个$N$维复曲面簇$X_P$和这个簇上的一个充分因子$D_P$.本文通过在$X_P$的每一个有理点上计算$\mathcal{L}(D_P)$的整体瓣，给出了$X_P$上代数几何纠错码的显式构造.这项工作提出了一个扩展的复曲面代码类似的Reed-Muller码到投影的，通过评估的整个品种，而不是只考虑点与非零坐标。码的维数是根据多面体$P$中的整数点的数目给出的，并描述了一种获得最小距离下界的算法技术。
2021-02-04 cs.IT math.AG math.IT
On Classification of Toric Surface Codes of Low Dimension
这项工作是我们以前工作\cite{yz}的自然延续。本文给出了维数小于等于6的复曲面码的一个完全分类，除了一个特殊的码对$C_{P_6^{(4)}}$和$\mathbb{F}_8$上的$C_{P_6^{(5)}}$.同时，我们给出了一个例子，$C_{P_6^{(5)}}$和$\mathbb{F}_7$上的$C_{P_6^{(6)}}$，以说明两个单值等价的环面码可以由两个格非等价多边形构造。
2014-09-14 cs.IT math.CO math.IT
Toric codes over finite fields
在本文中，一类纠错码与复曲面簇相关联，复曲面簇与有限域$\fff_q$上定义的扇形相关联，类似于与曲线相关联的Goppa码类。对于满足一定条件的复曲面码，我们提出了一种有效的对偶Goppa码的译码算法。列举了许多实例。对于小的$q$，这些代码中的许多代码具有超过Gilbert-Varshamov界限的参数。事实上，使用复曲面代码，我们构造了一个$(n,k,d)=(49,11,28)$代码在$\fff_8$，这是优于任何其他已知的代码中列出的Brouwer的在线表中的$n$和$k$。
2003-07-30 cs.IT math.AG math.CO
Characterization of $n$-Dimensional Toric and Burst-Error-Correcting Quantum Codes from Lattice Codes
本文推广量子交织方法，基于格码构造 $n\geq5$ 的新型环面量子码并导出突发错误纠正量子码，兼具良好码率与编码增益，且在 Golomb–Welch 猜想成立时具有唯一性。
2024-10-26 cs.IT math.CO math.IT
New Three and Four-Dimensional Toric and Burst-Error-Correcting Quantum Codes
针对拓扑量子纠错码缺乏抗错误簇交织方案的问题，本文构造新型三维、四维环面格码并引入量子交织，得到信息率更优且适用于定位错误、量子存储与带记忆信道的纠突发错误量子码。
2023-07-12 cs.IT math.IT quant-ph
Lattice polytopes in coding theory
在本文中，我们讨论格多面体的组合问题的最小距离估计环面码的最近结果的动机。我们还证明了广义环面码的最小距离的一个新的归纳界。作为应用，我们给出了特殊格点构型广义环面码的最小距离的新公式。
2014-10-31 cs.IT math.CO math.IT
Analysis of the Error-Correcting Radius of a Renormalisation Decoder for Kitaev's Toric Code
本文针对Kitaev环面码的重整化解码器，研究其在最坏情况或对抗性错误下的纠错半径，证明其能纠正权重小于$\frac{5}{6} d^{\log_{2}(6/5)}$的所有错误模式，并给出权重按$d^{1/2}$缩放的不可纠正错误模式。
2023-09-21 cs.IT math.IT quant-ph
Rational points of lattice ideals on a toric variety and toric codes
该研究提出用Smith标准形计算有限域环面簇上齐次格理想定义子群的有理点个数，证明有限域零点定理型对应关系，并推广了Hirzebruch曲面上广义环面码的参数计算结果。
2023-05-03 cs.IT math.AC math.AG
On Good Infinite Families of Toric Codes or the Lack Thereof
本文研究Toric码的无穷族，通过多胞体运算构造，给出不存在信息率和相对最小距离均不趋于0的好码族的条件与证据。
2024-06-14 cs.IT math.AG math.IT
There are no good infinite families of toric codes
本研究通过证明更一般的Szemerédi型结果，证实Soprunov与Soprunova提出的好的无限族toric码并不存在，明确了高维格点稠密子集的超立方体结构性质。
2025-01-17 cs.IT math.AG math.CO
Next-to-minimal weight of toric codes defined over hypersimplices
本研究针对超单形上的托里拆利码，利用格罗布纳基理论确定了$3\leq d\leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2}\leq d < s$时的次最小权重，补充了该类码的距离特性研究。
2025-02-11 cs.IT math.AC math.AG
On the number of minimal and next-to-minimal weight codewords of toric codes over hypersimplices
本文刻画并确定了超单纯形上环面码在$3 \leq d < s$时的最小重量码字数，以及在$3 \leq d \leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2} \leq d < s$时的次最小重量码字数。
2025-02-25 cs.IT math.AC math.AG
Toric Codes and Lattice Ideals
设$X$是有限域$\mathbb{F}_q$上具有齐次坐标环$S=\mathbb{F}_q[x_1,\dots,x_r]$和分裂环面$T_X\cong (\mathbb{F}^*_q)^n$的完全单复曲面簇.证明了环面$T_X$的子集$Y$的消失理想是格理想当且仅当$Y$是子群.我们表明，这些子群正是那些子集的参数化的劳伦单项式。我们给出了一个算法来确定这个参数化，如果子群是零轨迹的一个理想的环面。我们还证明了$T_X$的子群的零理想是$r-n$维的根齐次格理想。我们确定对应于一个退化环面在$X$的晶格和完全刻画时，它的晶格理想是一个完整的交叉。我们计算了定义在这些退化环面上的广义环面码的维数和长度。
2018-10-02 cs.IT math.AC math.AG
