The subfield codes and subfield subcodes of a family of MDS codes
最大距离可分码（MDS）在理论和实际应用中都具有重要的意义。对于$1 \leq u \leq 2^{m-1}$，有一类经典的$[2^m+1, 2u-1, 2^m-2u+3]$ MDS码的构造，它们是$\mathrm{GF}(2^m)$上循环的、可逆的BCH码.本文研究了偶$m$的MDS码的一个子族的四子域子码和四子域码。得到了一类四元循环码。这些四元码在某些情况下是距离最优的，并且通常非常好。此外，这些四元码的$3$ -设计的无限家庭。
2021-06-15 cs.IT math.CO math.IT
Entanglement-assisted quantum error-correcting codes from subfield subcodes of projective Reed-Solomon codes
本文研究了射影 Reed-Solomon 码的子域子码及其对偶码，通过提供基和估计参数，构造出性能优于现有文献的对称与非对称纠缠辅助量子纠错码。
2023-10-23 cs.IT math.AC math.IT
On Parameters of Subfield Subcodes of Extended Norm-Trace Codes
本文讨论了如何求扩展范数迹码的子域子码的参数。利用范数迹曲线的$\mathbb{F}_{q^r}$有理点的理想的Gröbner基，可以确定子域子码的维数或迹码的维数。我们还发现了BCH-从原来的超码的最小距离的限制。
2016-04-20 cs.IT math.AC math.AG
Subfield subcodes of projective Reed-Muller codes
本文研究了射影 Reed-Muller 码的子域子码，求得了其显式基与维数公式，推广了射影空间中的 Gröbner 基工具，从而在小有限域上获得了具有良好参数的长线性码。
2023-12-20 cs.IT math.AC math.IT
Optimal $(r,δ)$-LRCs from monomial-Cartesian codes and their subfield-subcodes
本文研究单项式-笛卡尔码作为$(r,δ)$-局部可恢复码的最优性，利用子域子码在更小基域上构造出无穷多个新的$(r,δ)$-最优LRCs并确定其参数。
2023-04-11 cs.IT math.IT
Estimating The Dimension Of The Subfield Subcodes of Hermitian Codes
本文研究了Hermitian码子域子码的真维数的性质。我们的动机是使用这些类的线性码，以改善McEliece密码系统的参数，如密钥大小和安全级别。McEliece方案是当前公开密钥方案的有前途的替代密码方案之一，因为在过去的四十年中，它们抵抗了所有已知的量子计算攻击。通过对真尺寸计算数据序列的分析，得出了真尺寸可以用极值分布函数估计的结论。
2020-04-01 cs.IT math.AG math.CO
Generalized subspace subcodes with application in cryptology
大多数具有代数解码算法的码都是从里德所罗门码衍生而来的。它们是通过取等价码，例如广义Reed Solomon码，或通过使用所谓的子域子码方法来获得的，该方法导致在底层素域上或在一些中间子域上的Alternant码和Goppa码。这些构造的主要优点是保留了最小距离和底层里德-所罗门码的解码算法。在本文中，我们提出了一个推广的子域子码的建设，通过引入子空间子码的概念和推广的等价代码，从而导致广义子空间子码的概念。当所选子空间的维数等于1时，我们证明了我们的方法精确地给出了由等价和子域子码技术得到的码族。然而，我们的方法突出了定义在扩展字段上的代码的子字段子码和穿孔该代码的$q$ ary图像的操作之间的联系。当子空间的维数大于1时，我们得到的码的字母表不再是一个有限域，而是一组规则。我们解释了为什么这些代码实际上是有效的应用程序的代码定义的程度r的扩展。此外，它们使得有可能在具有先前不可访问的参数的大字母表上获得可解码的代码。作为应用，我们给出了一些例子，可用于公钥密码系统，如McEliece。
2017-04-25 cs.CR cs.IT math.IT
Codes and the Cartier Operator
本文提出了一种新的由代数曲线构造码的方法。给定非素有限域上的一条曲线，所得到的码定义在一个子域上。我们称它们为卡地亚码，因为它们的构造涉及卡地亚运算符。这类新的代码可以被看作是一个自然的几何推广的经典Goppa码。特别是，我们证明了一个著名的性质满足经典Goppa码自然扩展到卡地亚码。我们证明了这些码的维数和最小距离的一般下界，并将我们的构造与经典的代数几何码的子域子码进行了比较。我们证明了每一个Cartier码都包含在代数几何码的子域子码中，并且这两种码的构造具有相似的渐近性能。利用Cartier算子的性质可以很好地证明关于代数几何码的子域子码的一些已知结果，并且由于Cartier码和Cartier算子，代数几何码的子域子码的维数的一些已知界可以得到改进.
2012-09-10 cs.IT math.AG math.IT
New binary and ternary LCD codes
LCD码是具有重要密码学应用的线性码。最近，已经提出了一种方法，将任何线性码转换为LCD码具有相同的参数时，它是支持在有限域上的基数大于3。因此，LCD代码的研究主要是针对二进制和三进制字段的。$J$ -仿射簇码的子域-子码是BCH码的推广，BCH码已被成功地用于构造好的量子码。我们描述了构造为$J$ -仿射簇码的子场子码的二进制和三进制LCD码，并给出了由此构造的一些新的好的LCD码。
2017-10-23 cs.IT math.IT
Explicit Subcodes of Reed-Solomon Codes that Efficiently Achieve List Decoding Capacity
该研究提出一类Reed-Solomon码的显式子码，基于置换乘积码与双仿射变换轨道的二元多项式求值构造，无需子空间设计，能以恒定列表大小高效达列表译码容量，码长可等于域大小且无素域限制。
2024-01-26 cs.IT math.IT
Properties of subspace subcodes of optimum codes in rank metric
最大秩距离码MRD-码与MDS-码在秩度量上是等价的。给定素数的任意整数$q$幂和任意整数$n$，存在$\FF{q^n}$上长度为$n$的MRD码族，其具有多项式时间解码算法。这些码可以被看作是用于秩度量的里德-所罗门码（以下表示为RS码）的类似物。本文刻画了它们的子空间子码。它表明，他们是等价的MRD码以同样的方式构造，但具有较小的参数。设计了一种具体的多项式时间译码算法。进一步证明了子空间码的直和等价于参数较小的MRD码的直积。这意味着解码过程可以纠正比纠错能力更高秩的错误。最后，它表明，对于给定的参数，子域子码的特点是完全由一般的线性组${GL}_n(\FF{q})$的非奇异$q$元矩阵的大小$n$的元素。
2006-07-25 cs.DM cs.IT math.IT
Affine Subcode Ensemble Decoding for Degeneracy-Aware Quantum Error Correction
Communications Engineering Lab (CEL), Karlsruhe Institute of Technology (KIT)（卡尔斯鲁厄理工学院通信工程实验室）；School of Informatics, University of Edinburgh（爱丁堡大学信息学院）
本文提出量子低密度奇偶校验码的仿射子码集合解码方法，通过扩展检查矩阵行减少退化解搜索空间，提升收敛性和降低逻辑错误率。
2026-05-08 cs.IT math.IT quant-ph
Generalized Skew Multivariate Goppa Codes
University of Bordeaux（波尔多大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文介绍基于多变量奥尔多项式理论的广义斜多变量戈普码，展示其作为广义斜戈普码的特例，并通过新的校验矩阵证明其在某些假设下为广义斜里德-所罗门码的子码，从而为研究其参数提供界限。
2026-10-02 cs.IT math.IT
Multivariate Goppa codes
本文提出多元Goppa码，推广经典Goppa码，给出其奇偶校验矩阵，证明其为增广Cartesian码的子域子码，并用于构造量子纠错码及长LCD、自对偶或自正交码。
2021-12-12 cs.IT math.IT
Decoding of Interleaved Alternant Codes
交织Reed-Solomon码允许高效的解码算法，这些算法可以纠正远远超过随机错误机制中最小距离一半的突发错误，例如，如Schmidt等人所描述的，通过计算每个Reed-Solomon码的Key方程的公共解。如果该解码器不成功，则它可能无法返回码字或错误地校正到不正确的码字，并且发生这些事件的误差矩阵的分数的良好上限是已知的。解码算法也立即应用于交织交替码，即，交织Reed-Solomon码的子字段子码，但是可解码误差矩阵的分数不同，因为误差现在被限制到子字段。在本文中，我们提出了新的一般上下界的分数的错误矩阵可解码的施密特等人。的解码算法，从而使其成为已知这种边界的交织交替码的唯一解码算法。
2021-09-17 cs.IT math.IT
Classical and Quantum Evaluation Codes at the Trace Roots
通过在适当的迹函数的根上对多项式求值，我们引入了一类新的求值线性码。我们给出了这些码及其子域-子码关于厄米特内积自正交的条件。它们允许我们在几个有限域上构造稳定子量子码，这大大改进了文献中的代码，并且在[http://www.codetables.de]中记录了二进制情况。此外，我们还得到了域$\mathbb{F}_4$上的几个经典线性码，这些码是[http://www.codetables.de]上的记录。
2017-11-02 cs.IT math.IT
The dual codes of two families of BCH codes
本文通过研究两类BCH码的对偶码参数，构造了无限族MDS码和几乎MDS码，解决了2022年提出的猜想，并证明了相关码及其对偶码承载无限族3-设计，同时提供了最佳参数的二元、三元和四元码。
2024-11-11 cs.IT math.IT
Infinite families of cyclic and negacyclic codes supporting 3-designs
编码理论和组合$t$ -设计之间的相互作用多年来一直是组合学家和编码理论家的热门话题。在过去的50年中，人们构造了一些支持$3$ -设计无限族的循环码无限族。然而，没有无限族的非循环码支持无限族的$3$ -设计已在文献中报道。这是本文的主要动机。设$q=p^m$，其中$p$是奇素数，$m \geq 2$是整数。本文的目的是给出$\gf(q)$上的一个支持一个无限族$3$ -设计的无限族循环码和支持两个无限族$3$ -设计的$\gf(q^2)$上的两个无限族非循环码.这些代码的参数和重量分布的确定。研究了$\gf(q)$上这些非循环码的子域子码。还提出了三个几乎MDS码的无限族。本文还提出了一个GF上的常循环码（$4$），它支持$4$ -设计，并给出了六个公开问题.
2022-07-15 cs.IT math.IT
Infinite families of constacyclic codes supporting 3-designs and their applications in coding theory
Hubei University（湖北大学）；Nankai University（南开大学）
本文研究了支持无限族3设计的λ-常循环码，推导了其参数和重量分布，并应用于构造纠缠辅助量子误差校正码和局部可恢复码。
2026-05-07 cs.IT math.IT
On the structure of the Schur squares of Twisted Generalized Reed-Solomon codes and application to cryptanalysis
本文证明扭曲广义Reed-Solomon码不能抵抗基于Schur乘积的攻击，通过计算缩短码的Schur平方可区分此类码，并针对单次扭曲情形提出密钥恢复攻击。
2025-01-23 cs.IT math.IT
The Tangent Space Attack
本文利用二次包络、有理正规曲线与 Weil 限制，提出高码率 alternant 码的多项式时间结构恢复方法，并据此攻击 McEliece 体制。
2025-05-15 cs.CR cs.IT math.IT
Optimal rate algebraic list decoding using narrow ray class fields
我们使用类域理论，特别是Drinfeld模块的秩1，构造一个家庭的渐近良好的代数几何（AG）代码在固定的字母。在大小为$\ell^2$的字段上，这些代码在单例界限的$2/(\sqrt{\ell}-1)$内。这些代码下的函数域是具有某些函数域的窄射线类域的循环伽罗瓦群的子域。由此产生的代码使用伽罗瓦群的生成器“折叠”。这概括了早期工作的第一作者折叠AG代码的基础上分圆函数字段。使用Chebotarev密度定理，我们认为在我们的循环扩展的惰性的地方大的程度的丰度，并使用此设计一个线性代数算法来列出解码这些折叠码接近$1-R$的错误分数$R$是率。给定关于函数字段的多项式量的预处理信息，可以在多项式时间内执行列表译码。我们的建设产生的代数代码在常数大小的字母表，可以列表解码的Singleton界-具体地说，对于任何所需的速率$R \in (0,1)$和常数$\eps > 0$，我们得到的代码在一个字母表大小$(1/\eps)^{O(1/\eps^2)}$，可以列表解码的错误分数$1-R-\eps$限制附近的消息的子空间与$N^{O(1/\eps^2)}$元素。以前的结果列表译码错误分数$1-R-\eps$在恒定大小的字母是基于级联或涉及采取仔细抽样的子码的代数几何码。相反，我们的结果表明，这些折叠代数几何码{PDMATHAMV本身}具有所要求的列表译码性质.
2013-02-27 cs.CC cs.IT math.IT
