Quantum Codes from Toric Surfaces
本文提出了用Calderbank-Shor-Steane方法从Toric曲面构造量子纠错码的理论。特别是我们研究的方法复曲面Hirzebruch曲面。利用复曲面簇的上同调和相交理论，通过构造复曲面的对偶微分形式，得到了这些结果。在早期的工作中，作者开发的方法来构建线性纠错码从环面品种和获得的代码参数使用上同调和相交理论环面品种。将该方法推广到构造适合于用Calderbank-Shor-Steane方法构造量子码的线性码。该理论的实质是复曲面上对偶微分形式的存在性及其应用。A.R. Calderbank，P.W. Shor和A.M. Steane从包含其对偶码的线性码中产生稳定器码。合并这两种构造以获得复曲面的结果。A.用不同的方法对代数曲线进行了类似的合并。Ashikhmin，S. Litsyn和M.A. Tsfasman。
2012-03-20 cs.IT math.AG math.IT
Efficiently decoding the 3D toric codes and welded codes on cubic lattices
近年来，人们对三维（3D）量子码的兴趣越来越大。最早提出的3D量子码之一是3D复曲面码。已经表明，3D颜色代码可以映射到3D复曲面代码。立方晶格上的三维复曲面代码也是迄今为止能量势垒最高的焊接代码的构建块。尽管众所周知，但尚未对3D复曲面代码的性能进行广泛研究。在本文中，我们提出了有效的解码算法的三维环面码的立方晶格与无边界，并报告其性能的各种量子信道。我们观察到对于位翻转错误的阈值为$\gtrsim 12\%$，对于相位翻转错误的阈值为$\approx 3\%$，以及对于擦除信道的阈值为$ 24.8\%$。我们还研究了焊接三维环面码在量子擦除信道上的性能。我们没有观察到擦除通道上焊接代码的阈值。
2018-08-09 cs.IT math.IT quant-ph
Toric Codes, Multiplicative Structure and Decoding
有限域上复曲面簇构造的长线性码及其乘法结构和译码。主要的主题是在环面码的内在乘法结构。乘法结构允许\emph{decoding}，类似于里德-所罗门码的解码，并且与通过纠错对的解码对齐。我们利用复曲面码上的乘法结构，通过Massey的构造推广了由Reed-Solomon码构造的Shamir线性秘密共享方案，利用\emph{strong multiplication}构造了线性秘密共享方案。我们用Calderbank-Shor-Steane方法构造了复曲面量子纠错码。
2017-02-20 cs.IT math.AG math.IT
Toric complete intersection codes
本文给出了由复曲面簇的完全交构造的求值码的最小距离的下界。这推广了Gold-Little-Schenck和Ballico-Fontanari关于射影空间中完全交的求值码的结果。
2013-10-18 cs.IT math.AG math.IT
List decoding of toric codes
University of Crete（克里特大学）
本文针对由任意凸多胞体P定义的Toric码（一类通用多项式求值码），提出结合P几何与组合特性的Guruswami-Sudan推广算法，推导译码半径界，拓展了多项式求值码的列表译码研究。
2026-09-28 cs.IT math.IT
On dual toric complete intersection codes
本文研究了d维超曲面与给定的d维Newton多面体的交上的赋值码的对偶性，即所谓的复曲面完全交码。特别地，我们给出了这样的码是拟自对偶的一个条件。在d=2的情况下，它简化为牛顿多边形上的组合条件。这使我们能够给出一个明确的建设的对偶和拟自对偶环面完全相交码。我们提供了一个16个元素的领域的例子列表。
2013-10-18 cs.IT math.AG math.IT
On $m$-dimensional toric codes
Toric码是J. Hansen最近提出的一类$m$维循环码。它们可以被定义为从与整凸多面体$P \subseteq \R^m$中的整数格点相对应的单项式获得的求值码。因此，它们在某种意义上是Reed-Solomon码的自然扩展。几位作者利用复曲面上的交理论，用$m = 2$导出了某些复曲面码的最小距离的界。在本文中，我们将提供一个更基本的方法，同样适用于所有$m \ge 2$的许多复曲面码。我们的方法是基于一种多元推广的Vandermonde行列式，也被用于多元多项式插值的研究。我们使用这些范德蒙行列式，以确定最小的距离环面码从矩形多面体和单纯形。我们还证明了一个一般性的结果表明，如果有一个么模整数仿射变换采取一个多面体$P_1$的第二个多面体$P_2$，那么相应的复曲面码是monomially等价的（因此有相同的参数）。我们用它来开始一个分类的二维复曲面代码与小尺寸。
2005-07-25 cs.IT math.AC math.AG
Subfield-Subcodes of Generalized Toric codes
本文研究了$\mathbb{F}_{p^s}$上广义Toric码的子域子码，通过确定其多项式生成元来计算维数并界定最小距离，并给出了达到已知最优性能的二进制和三进制示例。
2010-05-11 cs.IT math.IT
Remarks on generalized toric codes
本文给出了R^2中固定的整数格点集S所对应的广义环面码的最小距离随基域变化的一些新信息。主要结果表明，在某些情况下，在足够大的域上，对应于集合S的码的最小距离将与对应于S的凸包的码的最小距离相同。在一个例子中，我们还将讨论GF（8）上的[49，12，28]广义环面码，根据M. Grassl的在线表格，截至2011年7月。
2011-09-12 cs.IT math.AG math.IT
Bringing Toric Codes to the next dimension
本文研究由格多面体定义的高维环面码的最小距离计算问题。我们表明，最小距离是乘法相对于采取产品的多面体，并表现在一个简单的方式，当一个人建立一个k-扩张的金字塔在多面体。这使我们能够构建一个大类的例子，更高的维复曲面代码，我们可以计算的最小距离明确。
2010-04-12 cs.IT math.AG math.IT
There are no good infinite families of toric codes
本研究通过证明更一般的Szemerédi型结果，证实Soprunov与Soprunova提出的好的无限族toric码并不存在，明确了高维格点稠密子集的超立方体结构性质。
2025-01-17 cs.IT math.AG math.CO
Projective toric codes
$\mathbb{R}^N$中的任何整凸多胞体$P$都提供一个$N$维复曲面簇$X_P$和这个簇上的一个充分因子$D_P$.本文通过在$X_P$的每一个有理点上计算$\mathcal{L}(D_P)$的整体瓣，给出了$X_P$上代数几何纠错码的显式构造.这项工作提出了一个扩展的复曲面代码类似的Reed-Muller码到投影的，通过评估的整个品种，而不是只考虑点与非零坐标。码的维数是根据多面体$P$中的整数点的数目给出的，并描述了一种获得最小距离下界的算法技术。
2021-02-04 cs.IT math.AG math.IT
Rational points of lattice ideals on a toric variety and toric codes
该研究提出用Smith标准形计算有限域环面簇上齐次格理想定义子群的有理点个数，证明有限域零点定理型对应关系，并推广了Hirzebruch曲面上广义环面码的参数计算结果。
2023-05-03 cs.IT math.AC math.AG
Generalized Hamming weights of toric codes over hypersimplices and square-free affine evaluation codes
设$\mathbb{F}_{q}$是具有$q$元素的有限域，其中$q$是素数$p$的幂。$\mathbb{F}_{q}$上的多项式是无平方的，如果它的所有单项式都是无平方的。在本文中，我们确定了在$s$变量中，在$r$，$s$和这些多项式的次数的一定条件下，任何一组$r$线性无关的无平方多项式在$\mathbb{F}_{q}$上的仿射环面$T=(\mathbb{F}_{q}^{*})^{s}$中的零点数目的上界。应用这些结果，我们部分地得到了超单上环面码和无平方赋值码的广义Hamming重量，如\cite{hyper}中所定义的。最后，我们得到了这些环面码关于欧几里德标积的对偶。
2020-10-25 cs.IT math.AC math.IT
New Three and Four-Dimensional Toric and Burst-Error-Correcting Quantum Codes
针对拓扑量子纠错码缺乏抗错误簇交织方案的问题，本文构造新型三维、四维环面格码并引入量子交织，得到信息率更优且适用于定位错误、量子存储与带记忆信道的纠突发错误量子码。
2023-07-12 cs.IT math.IT quant-ph
Toric Codes and Lattice Ideals
设$X$是有限域$\mathbb{F}_q$上具有齐次坐标环$S=\mathbb{F}_q[x_1,\dots,x_r]$和分裂环面$T_X\cong (\mathbb{F}^*_q)^n$的完全单复曲面簇.证明了环面$T_X$的子集$Y$的消失理想是格理想当且仅当$Y$是子群.我们表明，这些子群正是那些子集的参数化的劳伦单项式。我们给出了一个算法来确定这个参数化，如果子群是零轨迹的一个理想的环面。我们还证明了$T_X$的子群的零理想是$r-n$维的根齐次格理想。我们确定对应于一个退化环面在$X$的晶格和完全刻画时，它的晶格理想是一个完整的交叉。我们计算了定义在这些退化环面上的广义环面码的维数和长度。
2018-10-02 cs.IT math.AC math.AG
Analysis of the Error-Correcting Radius of a Renormalisation Decoder for Kitaev's Toric Code
本文针对Kitaev环面码的重整化解码器，研究其在最坏情况或对抗性错误下的纠错半径，证明其能纠正权重小于$\frac{5}{6} d^{\log_{2}(6/5)}$的所有错误模式，并给出权重按$d^{1/2}$缩放的不可纠正错误模式。
2023-09-21 cs.IT math.IT quant-ph
Next-to-minimal weight of toric codes defined over hypersimplices
本研究针对超单形上的托里拆利码，利用格罗布纳基理论确定了$3\leq d\leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2}\leq d < s$时的次最小权重，补充了该类码的距离特性研究。
2025-02-11 cs.IT math.AC math.AG
On the number of minimal and next-to-minimal weight codewords of toric codes over hypersimplices
本文刻画并确定了超单纯形上环面码在$3 \leq d < s$时的最小重量码字数，以及在$3 \leq d \leq \frac{s - 2}{2}$或$\frac{s + 2}{2} \leq d < s$时的次最小重量码字数。
2025-02-25 cs.IT math.AC math.AG
